Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach listy zada« Algebra z geometri¡ analityczn¡. Algebra liniowa 1 (rok akad. 2015/16) opracownej przez doc. Zbigniewa Skoczylasa i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Algebry z geometri¡ analityczn¡.
Paulina Frej
Liczby zespolone
1. (Uzupeªnienie do zad. 11 z listy ZS) Podane liczby zespolone zapisa¢ w postaci algebraicznej.
(a) z = (−√ 3 + i)6, (b) z = (2 − 2i)10,
(c) z = (√
3 + i)9(1 − i)5,
(d) z = (−1 −√
3i)3(1 + i)4
1 − i ,
(e) z = (i + 1)22 (1 − i√
3)6,
(f) z = (1 −√ 3i)2 (√
2 +√ 2i)3. (g) z = (i + 1)22
(1 − i√ 3)6,
2. (Uzupeªnienie do zad. 12) Wyznaczy¢ i narysowa¢ na pªaszczy¹nie zespolonej podane zbiory pierwiastków.
(a) √8 1, (b) √6
i12,
(c) q3
(2 − 2i)9, (d) √3
−27i, (e)
s√ 3 + i
√3 − i, (f) 4
s i +√
3 i −√
3,
3. Wypisa¢ w postaci trygonometrycznej wszystkie elementy zbioru q5 i√
8 −√ 24.
4. (Uzupeªnienie do zad. 8 i 13) Wybieraj¡c odpowiedni¡ posta¢ liczby zespolonej, rozwi¡za¢ podane równania w zbiorze liczb zespolonych. Pami¦ta¢ o wyznaczeniu dziedziny!
(a) 5Imz − i(1 + 2Rez)
Imz − z = 1 + 2i, (b) Rez − iz − 2i
(i + 1)Imz − i = 1 − 3i, (c) 3 + i
z − 2i + 1 = i − 1 2 − iz, (d) 1 − i
iz − 1 = 3 + i z − 3i + 1, (e) i¯z2+
z2
= 16 + 8i, (f) z2
+ ¯z2= 18 + 12i, (g) 4¯z = z2+ 4,
(h) 2z − 1 = ¯z2,
(i) z2− 2z + 1 + 2i = 0, (j) z4+ 16 = 0,
(k) z6= −1,
(l) z4+ 2z2i − 1 = 0, (m) ¯z · z3+ ¯z · 8i = 0,
(n) z3= 8(1 + i)3, (o) z4− 3iz2+ 4 = 0,
(p) z2+ 3iz + 10 = 0, (q) 2z + ¯z = 6 − 5i,
(r) (1 + i)z + 3(z − i) = 0, (s) (i − 3)z = 5 + i − z, (t) 2z + (1 + i)¯z = 1 − 3i, (u) z4− z2− 2 = 0, (v) z4+ 10z2+ 9 = 0. (w) z4+ 5z2+ 4 = 0.
5. (Uzupeªnienie do zad. 9 i 10) Na pªaszczy¹nie zespolonej narysowa¢ zbiory liczb speªniaj¡cych podane warunki.
(a) Re(2z · ¯z) > 8,
(b) Re z 1 − z
= 1,
(c) Im
z 1 − z
= 1,
(d)
2z + 3 2iz + 5 > 1, (e)
3iz − 4 3z − 2 > 1, (f)
z2− i z2+ i > 1,
(g)
z2+ 4 z − 2i > 1, (h)
3i + 4 z − 2i > 5, (i)
4i − 3 3i − z > 5,
