• Nie Znaleziono Wyników

Wprowadzenie do równań różniczkowych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wprowadzenie do równań różniczkowych"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Metody komputerowe w równaniach różniczkowych – laboratorium

Laboratorium #1:

Wprowadzenie do równań różniczkowych

Należy w każdym zadaniu wykonać jedynie podpunkt zgodny z numerem na liście obecności na zajęciach (osoby nieobecne proszone są o kontakt mailowy w celu ustalenia numeru).

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

z1. (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d) (a) (b) (c) (d)

z2. (b) (a) (d) (c) (a) (b) (c) (d) (c) (d) (a) (b)

z3. (a) (b) (c) (d) (b) (a) (d) (c) (d) (c) (b) (a)

z4. (b) (a) (d) (c) (d) (c) (b) (a) (c) (d) (a) (b)

Sprawozdanie należy napisać w formie sformatowanego notatnika w Mathematice.

Za każde zadanie można otrzymać maksymalnie 1 punkt, za odpowiednie sformatowanie notatnika można otrzymać maksymalnie 2 punkty. Ostatnie zadanie jest (nieobowiązkowym) zadaniem dodatkowym i można za nie otrzymać dodatkowy 1 punkt.

Termin oddania: 17 października, godz. 9:59.

Przydatne funkcje: DSolve, NDSolve, ContourPlot, VectorPlot, StreamPlot (i inne).

Zadanie 1. Wyznacz równanie różniczkowe pierwszego rzędu opisujące rodzinę linii x3y − B · Cy2 = C, C ∈ R,

gdzie

(a) B = 1, (b) B = −1, (c) B = 2, (d) B = −2.

Narysuj te krzywe (dla kilku wartości stałej C). Czy rozwiązanie równania dla dowolnego warunku początkowego jest jednoznaczne?

Uwaga: należy znaleźć jedno równanie (niezależne od stałej C), które opisuje całą rodzinę linii.

(2)

Metody komputerowe w równaniach różniczkowych – laboratorium

Zadanie 2. Narysuj pole wektorowe związane z podanym równaniem różniczkowym. Na- stępnie rozwiąż (analitycznie lub numerycznie) zagadnienia z odpowiednimi warunkami po- czątkowymi i nanieś rozwiązania na otrzymany wykres:

(a) 2(x + x0) = t + 3, x(0) = 0, x(0) = 1, x(0) = 2, (b) xx0+ t = 0, x(0) = −10, x(0) = 1, x(0) = 10,

(c) (x2+ 1)x0 = x − t, x(0) = −1, x(0) = 0, x(0) = 1, (d) x0+ 1 = 12(x2+ t2), x(0) = −1, x(0) = 0, x(0) = 1.

Zadanie 3. Wykaż, że podane równanie różniczkowe jest zupełne, a następnie wyznacz funkcję potencjału. Narysuj pole wektorowe związane z tym równaniem i nanieś na nie kilka krzywych całkowych tego równania.

(a) (3t2+ y2) dt + (2ty + 1) dy = 0, (b) yet(t + 1) dt + tetdy = 0,

(c) (2ty + 1) dt + (t2 − 2y) dy = 0,

(d) (y cos(ty) + 1) dt + (t cos(ty) − 2y) dy = 0.

Zadanie 4. Znajdź rozwiązanie ogólne podanego równania drugiego rzędu. Otrzymany wynik jest warstwą dwuwymiarowej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na dwóch wektorach bazowych (dlaczego?), tzn. x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) + xs(t). Narysuj (na jednym wykresie) rozwiązania dla różnych wartości C1 i C2 = 0 oraz (na drugim wykresie) dla różnych wartości C2 i C1 = 0.

(a) x00+ x = 2(1 − t),

(b) x00− 6x0 + 9x = 9t2− 12t + 2, (c) x00+ 6x0+ 9x = 10 sin t, (d) x00+ x0 = e−t.

Zadanie dodatkowe. Wyznacz wartości parametru m ∈ R, dla których podana funkcja będzie rozwiązaniem wskazanego równania, a następnie rozwiąż te równania:

(a) funkcja: ϕ(t) = emt, równanie: (2t + 1)x00+ 2(2t − 1)x0− 8x = 0, (b) funkcja: ϕ(t) = tm, równanie: t2x00− 3tx0+ 4x = 0.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W przypadku zespo- lonych pierwiastków równania charakterystycznego układu równań, układ rozwiązujemy w dziedzinie zespolonej i jako rozwiązanie rzeczywiste bierzemy pod

Na liście nie znajdują się osoby, które uzyskały już ocenę na potrzeby egzaminu przedterminowego., jak również studenci zobowiązani do poprawy

Brak poprawnej odpowiedzi na zadane pytania podczas drugiego dyżuru konsultacyjnego, jest równoznaczny z koniecznością trzeciego stawiennictwa się na dyżurze

Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego.

Czy zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a jest dobrze postawione w obszarach nieograniczonych?.

Podać przykład zewnętrznego zagadnienia Neumanna dla równania hiperbolicznego w przypadku n=2.. Opisać interpretację (fizyczną, chemiczną, lub dowolną inną) dla

Znajdź macierz fundamentalną podanego układu równań różniczkowych, a na- stępnie (używając tej macierzy i rozwiązując odpowiedni układ równań) znajdź rozwiązania

Nale»y przyj¡¢ parametry zgodne z numerem na li±cie obecno±ci na zaj¦ciach (osoby nieobec- ne proszone s¡ o kontakt mailowy w celu ustalenia numeru). Termin oddania: 16