Wrocław, 30 maja 2017 CAŁKI OZNACZONE
1. Oblicz z definicji, jako granic˛e sum Riemmana, nast˛epuj ˛ace całki:
Z 2
1 (x2+ 1) d x, Z 1
0
x3d x,
(∗) Z π/2
0
sin(x) d x.
Wskazówki: 14+ 24+ 34+ ... + n4=n2(n+1)4 2; znajd´z wzór na sin(x) + sin(2x) + ... + sin(nx).
2. Uzasadnij, u˙zywaj ˛ac definicji całki, ˙ze całka z funkcji
f (x) =
(0 dla x ∈ Q x dla x 6∈ Q na odcinku [0, 1] nie istnieje.
3. Dwie cz ˛astki A i B poło˙zone w odległo´sci d = 36 zbli˙zaj ˛a si˛e do siebie z pr˛edko´sciami vA(t ) = 10t + t3i vB(t ) = 6t (t ≥ 0). Po jakim czasie cz ˛astki te zderz ˛a si˛e?
4. Oblicz pole ograniczone przez wykresy równa ´n:
y = x2, y =p3 x,
y = x + 2, y = −3x + 6, y = (2 − x)/3,
y = x2− 2x, y = 4 − x2,
y = 2x2− 6x + 9, y = 6x − 9, y = 0, x = 0.
5. Udowodnij oszacowania:
1 5<
Z 2 1
1
1 + x2d x <1 2, Z 2
1
1 xd x.
6. Korzystaj ˛ac z metody przybli˙zania przez sumy Riemmana oblicz obj˛eto´s´c:
• sto˙zka o wysoko´sci H i promieniu podstawy R,
• kuli o promieniu R.
• Pojemnik w kształcie odwróconego sto˙zka o wysoko´sci 4 m i promieniu 1 m jest wypeł- niony wod ˛a. Obliczy´c prac˛e potrzebn ˛a do wypompowania wody przez odpływ znaj- duj ˛acy si˛e 1 m nad powierzchni ˛a wody. Obliczy´c prac˛e potrzebn ˛a do wypompowania połowy wody.
1
