SYMULACJA PRZEPŁYWU KRWI W TĘTNICACH PRZY RÓŻNYCH PRĘDKOŚCIACH PRZEPŁYWU

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2018 nr 66, ISSN 1896-771X

SYMULACJA PRZEPŁYWU KRWI W TĘTNICACH PRZY RÓŻNYCH PRĘDKOŚCIACH PRZEPŁYWU

Marta Sobkowiak

^1a

, Wojciech Wolański

^1b

, Edyta Kawlewska

^1c

, Marek Gzik

^1d

, Kamil Joszko

^1e

, Mikołaj Zimny

^2f

, Wojciech Kaspera

^3g

1Katedra Biomechatroniki, Politechnika Śląska

2Katedra i Oddział Kliniczny Neurochirurgii, Śląski Uniwersytet Medyczny w Katowicach, Wojewódzki Szpital Specjalistyczny nr 5, Studenckie Koło Naukowe, Sosnowiec

3Katedra i Oddział Kliniczny Neurochirurgii, Śląski Uniwersytet Medyczny w Katowicach, Wojewódzki Szpital Specjalistyczny nr 5,Sosnowiec

amarta.sobkowiak@polsl.pl,^bwojciech.wolanski@polsl.pl, ^cedyta.kawlewska@polsl.pl,

dmarek.gzik@polsl.pl, ^ekamil.joszko@polsl.pl, ^fzimny.mikolaj@gmail.com, ^gwkaspera@sum.edu.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono wyniki symulacji przepływu krwi w modelach 3D tętnicy środkowej mózgu przy różnych prędkościach przepływu. Do przeprowadzenia analizy właściwości przepływu krwi w tętnicach wykorzystano obli- czeniową metodę mechaniki płynów CFD z zastosowaniem programu Ansys CFX. W symulacjach stosowano warunki brzegowe (prędkości przepływu) odpowiadające fizjologicznym warunkom przepływu danego pacjenta, które zmierzono metodą przezczaszkowej ultrasonografii dopplerowskiej z kolorowym kodowaniem przepływu krwi (TCCS). Uzyskane wyniki uwidoczniły zależność zmian lokalnych parametrów hemodynamicznych przepływu i wazomotoryki naczynia od zmian prędkości przepływu krwi, ale także od wahań częstości akcji serca oraz geome- trii naczynia. Na podstawie otrzymanych rezultatów obliczeń numerycznych można odnotować generalną tenden- cję wzrostu wartości naprężenia ścinającego ścian naczynia wraz ze wzrostem prędkości przepływu.

Słowa kluczowe: CFD, mechanika płynów, tętnica środkowa mózgu, prędkość przepływu

SIMULATION OF BLOOD FLOW IN ARTERIES FOR DIFFERENT FLOW RATES

Summary

The paper presents results of simulations of blood flow in 3D models of middle cerebral artery for different flow rates. To analyze the arterial blood flow properties an analytical calculation of CFD fluid mechanics using the Ansys CFX software was used. In the simulations, boundary conditions (flow velocities) corresponding to the physiological flow conditions of the patient were applied which were measured by transcranial color-coded duplex sonography (TCCS). The results revealed the dependence of changes in local haemodynamic parameters of blood flow and vessel vasculature on changes in blood flow velocity but also on fluctuations in heart rate and vascular geometry. On the basis of the results obtained for numerical calculations, the general tendency of the wall shear stress to grow with increasing low velocity can be noted.

Keywords: CFD, fluid mechanics, artery, flow rate

(2)

1. WSTĘP

W dzisiejszych czasach coraz większy procent osób zmaga się z chorobami układu krążenia. Badania epid miologiczne wskazują, że czynniki takie jak: stres, nadc śnienie tętnicze, nikotynizm, niska aktywność fizyczna sprzyjają wzrostowi zmian chorobowych w

krwionośnych. Dzięki wczesnej diagnozie oraz szybkiemu rozpoczęciu odpowiedniego leczenia, zw

szanse na wydłużenie życia pacjenta. Autorzy swoich badaniach, wykorzystując komputerowe model wanie dynamiki przepływów krwi (ang. computational fluid dynamics - CFD) w modelach naczyń krwion śnych, udowodnili wpływ wysokich wartości

ścinającego (ang. wall shear stress - WSS) zmian patologicznych w ścianach naczyń

również wielofazowe symulacje przepływu krwi przez aortę z koarktacją [10]. Autorzy przedstawili rozkład ciśnienia, prędkości dla dwóch charakterystycznych stałych czasowych rytmu serca – skurczu i rozkurczu.

Symulacje uwidoczniły różnice w parametrach hemod namicznych składników krwi – osocza, czerwonych oraz białych krwinek. Inne badania obejmowały wpływ ciśnienia tętniczego na prędkość przepływu krwi w naczyniach [8]. Naukowcy dowiedli, że wraz ze wzrostem ciśnienia zwiększa się również prędkość

w tętnicy. Obecnie coraz częściej wykorzystuje się sym lacje numeryczne do procesu diagnostyki oraz planow nia przedoperacyjnego [5, 14]. Inne zespoły badawcze [ 9] przeprowadzili symulacje numeryczne, pozwalające określić rozkład dokonujących się naprężeń i odkształceń podczas przepływu krwi w aorcie, co może stanowić cenną informację dla lekarzy specjalistów.

wyższego za główny cel pracy przyjęto modelu numerycznego naczynia, który umożliwi nie wpływu prędkości krwi na wartości

hemodynamicznych przepływu krwi. Badania te pozwolą przyjmować odpowiednie warunki brzegowe

prędkości) do symulacji przepływu krwi.

2. METODYKA

Badania przeprowadzono na modelach geometrycznych tętnicy środkowej mózgu (ang. middle

MCA) pozyskanych z badania tomografii komputerowej (angio-TK). Do stworzenia modelu geometrycznego MCA wykorzystano oprogramowanie Mimics (

se, Belgia), w którym na bazie dwuwymiarowych zdjęć TK, otrzymano model trójwymiarowy (r

W dzisiejszych czasach coraz większy procent osób krążenia. Badania epide- miologiczne wskazują, że czynniki takie jak: stres, nadci- śnienie tętnicze, nikotynizm, niska aktywność fizyczna sprzyjają wzrostowi zmian chorobowych w naczyniach Dzięki wczesnej diagnozie oraz szybkiemu rozpoczęciu odpowiedniego leczenia, zwiększają się Autorzy [1, 4] w komputerowe modelowanie dynamiki przepływów krwi (ang. computational

naczyń krwiono- wysokich wartości naprężenia

WSS) na inicjowanie w ścianach naczyń. Pojawiają się również wielofazowe symulacje przepływu krwi przez przedstawili rozkład ciśnienia, prędkości dla dwóch charakterystycznych skurczu i rozkurczu.

parametrach hemody- osocza, czerwonych oraz

a obejmowały wpływ ciśnienia tętniczego na prędkość przepływu krwi w że wraz ze wzrostem zwiększa się również prędkość przepływu krwi Obecnie coraz częściej wykorzystuje się symulacje numeryczne do procesu diagnostyki oraz planowa- Inne zespoły badawcze [6,

meryczne, pozwalające dokonujących się naprężeń i odkształceń co może stanowić cenną informację dla lekarzy specjalistów. Wobec po-

cel pracy przyjęto opracowanie który umożliwi określe-

wartości parametrów Badania te pozwolą przyjmować odpowiednie warunki brzegowe (rodzaj

do symulacji przepływu krwi.

Badania przeprowadzono na modelach geometrycznych iddle cerebral artery - badania tomografii komputerowej Do stworzenia modelu geometrycznego Mimics (Materiali- w którym na bazie dwuwymiarowych zdjęć

rys.1).

a)

b)

Rys. 1. Model geometryczny tętnicy

wych obrazów TK w oprogramowaniu Mimics

MCA, b) przygotowany model do dalszej analizy

Kolejnym krokiem było dokonanie trycznych modelu naczynia, w tym

kątów podziału i krzywizn. Zastępcze średnice (najbardziej dopasowane) zostały obliczone pola powierzchni wyznaczonego w miejscu go przekroju. Następnie zdefiniowan (wlot i wyloty tętnic), a także linie

przygotowany model poddano dyskretyzacji niowano warstwę inflacyjną (rys.

cyjną składa się 6 powłok, z których pierwsza posiada wysokość 0,0075 mm. Następnie

programu Ansys CFX.

Do analizy przepływu zastosowano wartości parametrów krwi podanych w literaturze [9]: masa molowa

kg/kmol, gęstość – 1050 kg/m³

4181,7 J/kg*K, lepkość – 0,0035 Pa*s. Krew została potraktowana jako ciecz nienewtonowska, a w symulacjach przyjęto model Bird Carreau.

gdzie: v – prędkość cieczy, l – wymiar liniowy naczynia prostopadły do prędkości v, µ

gęstość cieczy.

uzyskany z dwuwymiarowych obrazów TK w oprogramowaniu Mimics: a) położenie MCA, b) przygotowany model do dalszej analizy

dokonanie pomiarów morfome- modelu naczynia, w tym pomiaru średnic,

Zastępcze średnice naczyń zostały obliczone na podstawie wyznaczonego w miejscu analizowane-

zdefiniowano warunki brzegowe i wyloty tętnic), a także linie środkowe tętnic. Tak dyskretyzacji oraz zdefi- ys. 2). Na warstwę infla- których pierwsza posiada

model eksportowano do

analizy przepływu zastosowano wartości parametrów ]: masa molowa – 18,02

3, pojemność cieplna – 0,0035 Pa*s. Krew została potraktowana jako ciecz nienewtonowska,

symulacjach przyjęto model Bird Carreau.

(1)

wymiar liniowy naczynia - lepkość cieczy, ρ –

(3)

Marta Sobkowiak, Wojciech Wolański, Edyta Kawlewska, Marek Gzik, Kamil Joszko, Mikołaj Zimny, Wojciech Kaspera a)

b)

Rys. 2. Model dyskretny MCA: a) siatka wolumetryczna, b) warstwa przyścienna - inflacyjna

Średnice tętnic, współczynnik lepkości oraz prędkość przepływu krwi przez MCA wskazują na wartość liczby Reynoldsa nieprzekraczającą 1000 (1). Wobec tego przyjęto typ przepływu laminarny. Na rys. 3 przedstawiono sformułowany model naczynia z zaznaczonymi warunkami brzegowymi.

Rys. 3. Model tętnicy wraz z warunkami brzegowymi

Wartość prędkości krwi uzyskano z badania ultrasonografii dopplerowskiej (rys. 4), którą zadano do powierzchni wlotowej modelu naczynia.

Rys. 4. Badanie TCCS tętnicy środkowej mózgu danego pacjenta

W symulacjach zastosowano dwie stałe wartości prędko- ści krwi (niezależne od czasu symulacji): Vs = 0,45 m/s i maksymalną wartość Vps otrzymaną z profilu prędkości danego pacjenta, a także cały profil prędkości Vt otrzy- many z badania dopplerowskiego danego pacjenta (rys.

5). Przyjęte warunki brzegowe, zadane na wejściu tętni- cy, umożliwiły przeprowadzenie analizy przepływu krwi w temperaturze 37^oC i przy ciśnieniu referencyjnym wynoszącym 0 bara. Dla prędkości Vs oraz Vps zakres iteracji w danym kroku czasowym wynosił od 1 do 25 iteracji.

Rys. 5. Przykładowy profil prędkości krwi danego pacjenta

3. WYNIKI

Rys. 6 przedstawia przykładowy rozkład WSS przy różnych prędkościach na wejściu - wlocie pnia głównego MCA - r0. Z analizy rysunku wynika, że największe maksymalne wartości naprężeń występowały wtedy, gdy w symulacji posłużono się całym profilem prędkości krwi Vt (rys. 6c).

Rys. 7 przedstawia przykładowy rozkład ciśnienia w modelu numerycznym MCA. W tym przypadku największe wartości ciśnienia generowanego na ścianie

Vps

(4)

tętnicy występują przy prędkości przepływu krwi Vps

odczytanej z wyniku badania dopplerowskiego (rys. 7b).

Linie obrazujące prędkości przepływu krwi w tętnicy przedstawiono na rys. 8. Największą wartość prędkości krwi zaobserwowano w przypadku profilu prędkości Vt

(rys. 8c).

a)

b)

c)

Rys. 6. Uzyskane pole naprężęnia ścinającego WSS przy prędkości krwi: a) Vs, b) Vps, c) Vt

a)

b)

c)

Rys. 7. Uzyskane pole ciśnienia przy prędkości krwi: a) Vs, b) Vps, c) Vt

(5)

Marta Sobkowiak, Wojciech Wolański, Edyta Kawlewska, Marek Gzik, Kamil Joszko, Mikołaj Zimny, Wojciech Kaspera a)

b)

c)

Rys. 8.Linie prędkości przepływu krwi dla: a) Vs, b) Vps, c) Vt

Zestawienie wyników dla lewej i prawej MCA przedstawiono poniżej (tab.1).

Tab. 1. Zestawienie wyników dla lewej i prawej MCA pacjenta MCA lewa

Prędkość

wejściowa Vps = 0,98 m/s Vt

Naprężenia ścinające WSSMAX

[Pa]

330 265

Prędkość przepływu

VMAX [m/s]

2,13 1,92

Ciśnienie PMAX

[Pa]

3672

3191 Ciśnienie PMIN

[Pa] -684 -497

Tętno (HR)

[ud./min.] 60,00 60,00

MCA prawa Prędkość

wejściowa Vps = 1,04 m/s Vt

Naprężenia ścinające WSSMAX

[Pa]

348,5 332,8

Prędkość przepływu

VMAX [m/s]

1,9 1,71

Ciśnienie PMAX

[Pa] 4043 3976

Ciśnienie PMIN

[Pa] -5,8 0

Tętno (HR)

[ud./min.] 60,00 60,00

Na podstawie otrzymanych wyników można zauważyć istnienie zależności między wartością WSS i ciśnienia, a wartością prędkości wejściowej krwi. Wraz ze wzrostem prędkości wejściowej krwi, wartość naprężenia ścinającego oraz ciśnienia zwiększa się.

W tab. 2 przedstawiono wyniki analizy morfometrycznej podziału MCA w grupie 6 osób.

(6)

Tab. 2. Zestawienie wyników dla grupy badanej (r0 – pień główny, r1, r2 – gałęzie MCA po podziale, n – wartość wykładnika potęgowego w równaniu (2)).

Pacjent Strona Kąt bifur- kacji [O] r0 [mm] r1 [mm] r2 [mm] Współ- czynnik n Tętno [ud./min.]

P 1

L 66,61 1,81 1,26 1,38 2,2 60 P 87,6 1,63 1,14 1,40 2,9 60 P

2

L 101,63 1,58 1,04 1,09 1,8 60 P 95,79 1,38 0,95 1,04 2,1 75 P

3

L 64,76 1,55 0,63 1,15 1,3 86 P 68,52 1,52 0,95 1,11 1,8 75 P

4

L 88,85 1,45 0,77 1,31 2,4 60 P 65,62 1,37 0,99 1,12 2,7 60 P

5

L 71,54 1,32 0,77 1,01 1,8 60 P 115,99 1,29 0,87 1,25 4,9 60 P

6

L 145,66 1,14 0,77 0,94 2,5 85 P 91,48 1,02 0,80 0,82 3,0 85

4. ANALIZA WYNIKÓW

Analiza wyników została ukierunkowana na określenie wpływu prędkości przepływu krwi na parametry hemodynamiczne. Na podstawie otrzymanych wyników można zauważyć, że jest to czynnik wpływający na wartości zarówno ciśnienia, jak i WSS. Niemniej jednak trudno jednoznacznie stwierdzić, czy jest to jedyny i decydujący czynnik, dlatego do dalszej analizy wzięto również pod uwagę wpływ parametrów morfometrycznych: kąta bifurkacji oraz promienie pnia głównego i jego gałęzi (tab.2). Wpływ kąta bifurkacji oraz promienia pnia głównego (r0) na ciśnienie powstające na ścianie tętnicy otrzymane dla prędkości krwi Vs przedstawiono na rys. 9 i 10.

Rys. 9. Wykres zależności wartości ciśnienia w punkcie bifurkacji od kąta bifurkacji

Rys. 10. Wykres wpływu promienia tętnicy r0 na ciśnienie Według Murraya [11] energia wydatkowana na utrzy- manie krążenia jest minimalna, gdy wartości promieni pnia głównego oraz gałęzi podziału spełniają równanie:

+ (2)

gdzie:

r0 – promień wlotowej gałęzi naczynia, r1, r2 – promienie wylotowych gałęzi naczynia,

oraz wartości kątów α1 i α2, jakie tworzą po podziale gałęzie z osią pnia, wynoszą odpowiednio [3, 11]:

+ −

2 (3)

− +

2 (4)

Kąt α, na który składają się kąty naczynia po podziale ( + ), jest nazywany kątem bifurkacji. Czysto teoretyczne rozważania wykazały, że najbardziej opty- malnym kątem bifurkacji jest kąt ok. 70^o. Miarą dopa- sowania układu naczyniowego do energetycznego opti- mum jest wartość wykładnika potęgowego (n) w równa- niu (2). Optymalna wartość wykładnika n dla idealnego pod względem energetycznym podziału jest zależna od wielkości naczyń krwionośnych [7, 14]. Dla dużych naczyń krwionośnych wykładnik potęgowy w ww. rów- naniu wynosi około 2,33. Mniejsze naczynia krwionośne, tworzące gęstą sieć naczyniową, charakteryzują się wykładnikiem potęgowym około 3 [13]. Odnosząc wyniki badań numerycznych przepływów krwi do wyników badań morfometrycznych w analizowanej grupie 6 chorych, stwierdzono, że najmniejsze wartości ciśnień, przy założeniu stałej prędkości przepływu krwi Vs, wystąpiły na podziale prawej MCA u chorego P3, które- go podział MCA charakteryzował się wartością wykład- nika n=1,8 (rys. 10).

Rys. 11-13 przedstawiają wpływ rodzaju zadanej pręd- kości krwi na wlocie naczynia na wartości WSS, ciśnień oraz prędkości krwi generowane w naczyniu. Najniższe wartości ciśnień i WSS na podziale MCA obserwowano u

(7)

Marta Sobkowiak, Wojciech Wolański, Edyta Kawlewska, Marek Gzik, Kamil Joszko, Mikołaj Zimny, Wojciech Kaspera

chorego P4, którego podział charakteryzował się warto- ścią n=2,4 dla lewej MCA i 2,7 dla prawej MCA.

Rys. 11. Wykres wpływu zadanej prędkości krwi na powstające naprężenie ścinające WSS na ścianie tętnicy

Rys. 12. Wykres wpływu zadanej prędkości krwi na powstające ciśnienie na ścianie tętnicy

Rys. 13. Wykres wpływu rodzaju zadanej prędkości na wartości prędkości krwi w tętnicy w trakcie trwania symulacji

U dwóch chorych (P5 i P6) najwyższe wartości WSS odnotowano przy prędkości krwi fizjologicznej Vps, u reszty pacjentów najwyższą wartość odczytano dla profilu prędkości krwi Vt (rys. 11). Wartości WSS uzyskane dla prędkości krwi Vs były na poziomie 56±5,7 Pa, dla prędkości Vps -180±68 Pa, natomiast dla prędko- ści Vt - 203±96 Pa.

Największe wartości ciśnień zaobserwowano u dwóch pacjentów (P5 i P6) dla Vps, natomiast u reszty chorych największe wartości odnotowano dla Vt (rys.12).

Największe wartości prędkości krwi u czterech pacjentów zaobserwowano dla Vt. U dwóch pacjentów wartości prędkości dla przepływu fizjologicznego krwi Vps oraz profilu prędkości Vt były równe (rys. 13). Maksymalne wartości prędkości dla warunku brzegowego Vs odnoto- wane w tętnicach były na poziomie 1±0,13 m/s. Średnie prędkości dla warunku brzegowego Vps wyniosły

2,2±0,60 m/s, natomiast dla warunku brzegowego Vt – 2,5±0,86 m/s.

W pracy [8] autorzy uwidocznili wpływ tętna na pręd- kość przepływu. Otrzymane rezultaty przeprowadzonych symulacji również pokazują korelację wyników z tętnem serca. Przedstawiony poniżej wykres (rys. 14) pokazuje, że parametry hemodynamiczne, takie jak ciśnienie, były najmniejsze przy tętnie 75 ud./min. dla prawej MCA u chorego P3.

Rys. 14. Wykres zależności wartości ciśnienia w punkcie bifurkacji od tętna

5. WNIOSKI

W niniejszym artykule przedstawiono proces modelowa- nia przepływu krwi w tętnicy środkowej mózgu. Przed- stawione w artykule symulacje przeprowadzone dla nielicznej grupy badawczej miały na celu wskazanie doboru najlepszych warunków brzegowych, Ważnym aspektem badań było zbadanie wpływu prędkości krwi na czynniki hemodynamiczne, takie jak: WSS, ciśnienie oraz prędkość przepływu. Pod uwagę brano średnią Vs

oraz maksymalną prędkość Vps, a także profil prędkości Vt, które odzwierciedlały rzeczywiste, fizjologiczne warunki. Wyniki pokazały, iż największe wartości WSS, ciśnienia oraz prędkości są generowane w przypadku profilu prędkości krwi. Najmniejsze wartości zaobserwowano dla stałej średniej prędkości krwi Vs. Otrzymane wyniki symulacji uwidoczniły, że najbardziej odpowied- nim warunkiem brzegowym jest profil prędkość krwi Vt. Zastosowanie takiego warunku brzegowego w pełni koresponduje z parametrami fizjologicznymi i obrazuje zachowanie się krwi w MCA.

Przeprowadzone badania są wstępnym etapem do badań nad etiopatogenezą tętniaków mózgu. Jednak, by były one poprawnie przeprowadzone, należało zidentyfikować prawidłowe warunki brzegowe. Na podstawie otrzymanych wyników można stwierdzić, że przeprowadzone symulacje z profilem prędkości są najbardziej zbliżone do warunków fizjologicznych, na co zwracają również uwagę inni autorzy [12]. Autorzy niniejszego doniesienia planu- ją w przyszłości przeprowadzić symulacje z uwzględnie-

(8)

niem wzajemnego oddziaływania tkanek naczynia i krwi.

Takie podejście przedstawiono w pracach [2, 15] opar- tych na modelu FSI (ang. fluid structure interaction).

Obliczenia z uwzględnieniem FSI pozwolą na określenie faktycznego zachowania się tkanek. Dopiero wtedy na podstawie uzyskanych wyników będą uogólniane wnioski i formułowane wytyczne dotyczące ewentualnego zasto- sowania w praktyce lekarskiej.

Dalsze prace będą prowadzone na większej grupie osób, a pod uwagę będą brane zarówno parametry morfome- tryczne, jak i hemodynamiczne. Pomimo niewielkiej liczby przeanalizowanych przypadków zauważalne jest, że kąt bifurkacji oraz promienie naczyń wpływają na wyniki symulacji. Większa grupa badawcza pozwoli skorelować te parametry z czynnikami uważanymi za szczególnie istotne w etiopatogenezie tętniaków mózgu.

Uzyskane wyniki pokazały, że kąt bifurkacji czy promienie gałęzi naczynia mogą być uznane za czynniki prowa- dzące do powstawania tętniaków. Powodują one wzrost WSS oraz ciśnienia krwi w tętnicy. Duże wartości WSS oraz ciśnienia mogą prowadzić do uszkodzenia ściany tętnicy i w konsekwencji do powstawania tętniaka. Mogą one być pomocne w określeniu miejsc, w których istnieje duże prawdopodobieństwo utworzenia się tętniaka.

Czynniki hemodynamiczne uznawane za przyczyny powstawania tętniaków są powiązane także z parametrami przepływu krwi. Zauważono, że tętno, ciśnienie oraz prędkość wpływają na wartości ciśnienia i napręże- nia WSS. W przyszłości przewiduje się przeprowadzenie pełnej analizy wrażliwości, która pozwoli na określenie zależności powstawania tętniaków od parametrów morfometrycznych i hemodynamicznych.

Badania zostały zrealizowane ze środków strategicznego programu badań naukowych i prac rozwojowych STRATEGMED 2/269760/1/NCBR/2015 sfinansowanego przez NCBR - Narodowe Centrum Badań i Rozwoju.

Literatura

1. Stemper B.D., Yoganandan N., Stineman M.R., Gennarelli T.A., Baisden J.L., Pintar F.A.: Mechanics of fresh, refrigerated and frozen arterial tissue. “Journal of Surgica lResearch” 2007, vol. 139, p. 236–242.

2. Cho S.W., Kim S.W., Sung M.H., Ro K.C., Ryou H.S.: Fluid-structure interaction analysis on the effects of vessel material properties on blood flow characteristics in stenosed arteries under axial rotation. “Korea- Australia Rheology Journal” 2011, vol. 23, p. 7-16.

3. Cieślicki K.: Hydrodynamiczne uwarunkowania krążenia mózgowego. Warszawa: AOW EXIT, 2001.

4. Ferruzzi J., Vorp D.A., Humphrey J.D.: On constitutive descriptors of the biaxial mechanical behavior of human abdominal aorta and aneurysms. “J. R. Soc. Interface” 2011, No. 8, p. 435–450.

5. Gzik-Zroska B., Joszko K., Wolański W., Gzik M.: Development of new testing method of mechanical properties of porcine coronary arteries. In: “Information Technologies in Medicine. 5th International Conference, ITIB 2016”. Kamień Śląski. Springer, 2016, vol. 1, p. 289-297.

6. Humphrey J.D., Holzapfel G.A.: Mechanics, mechanobiology, and modeling of human abdominal aorta and aneurysms. “Journal of Biomechanics” 2012, vol. 45, p. 805–814.

7. Ingebrigsten T., Morgan M.K., Faulder K., Ingebrigsten L., Sparr T., Schirmer H.: Bifurcation geometry and the presence of cerebral artery aneurysms. “Journal of neurosurgery” 2004, vol. 101, p. 108-113.

8. Jiang J., Strother C.: Computational Fluid Dynamics Simulations of Intracranial Aneurysms at Varying Heart Rates: A “Patient-Specific” Study. “Journal of Biomechanical Engineering” 2009, vol. 131.

9. Lasheras J.C.: The Biomechanics of Arterial Aneurysms. “Annual Review of Fluid Mechanics” 2007, vol. 39, p.

293–319.

10. Melka B., Gracka M., Adamczyk W., Rojczyk M., Golda A., Nowak A.J., Białecki R.A., Ostrowski Z.: Multi- phase simulation of blood flow within main thoracic arteries of 8-year-old child with coarctation of the aor- ta. “Heat and Mass Transfer” 2017, doi:10.1007/s00231-017-2136-y.

11. Murray C.D.: The physiological principle of minimum work. I. The vascular system and the cost of blood vol- ume. Department of Biology, Bryn Mawr College, 1926.

12. Sun Q., Groth A., Aach T.: Comprehensive validation of computational fluid dynamics simulations of in-vivo blood flow in patient-specific cerebral aneurysms. “Medical Physics” 2012, vol. 39, p. 742-754.

(9)

13. Uylings H.: Optimization of diameters and bifurcation angles in lung and vascular tree structures Biol” 1977, No. 39, p. 509-520.

14. Wolański W., Gzik-Zroska B., Joszko K., Gzik M., Sołtan D.

with elastic wall of vessel. In: “Innovations in Biomedical Engineering 193-200.

15. Valencia A., Burdiles P., Ignat M., Mura J., Bravo E., Rivera R., Sordo cerebral aneurysm using their own wall mechanical properties

and Mathematical Methods in Medicine

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Optimization of diameters and bifurcation angles in lung and vascular tree structures

Zroska B., Joszko K., Gzik M., Sołtan D.: Numerical analysis of blood flow through artery Innovations in Biomedical Engineering, IiBE 2016”. Zabrze:

Valencia A., Burdiles P., Ignat M., Mura J., Bravo E., Rivera R., Sordo J.: Fluid structural analysis of human cerebral aneurysm using their own wall mechanical properties. “Hindawi Publishing Corporation, Computational and Mathematical Methods in Medicine” 2013, vol. 2013, DOI: 10.1155/2013/293128.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

Optimization of diameters and bifurcation angles in lung and vascular tree structures. “Bull Math

Numerical analysis of blood flow through artery

”. Zabrze: Springer 2017, p.

tural analysis of human Hindawi Publishing Corporation, Computational