UOGÓNIONE KRZYWE POŚCIGOWE

29

UOGÓNIONE KRZYWE POŚCIGOWE

Andrzej Icha

1Instytut Matematyki, Akademia Pomorska w Słupsku

amajorana38@gmail.com, ^bandrzej.icha@apsl.edu.pl

Streszczenie

Praca dotyczy wybranych zagadnień krzywych przestępnych pojawiających się przy analizie problemów pościgo- wych. Krótko omówiono klasyczne zagadnienie pogoni oraz zaprezentowano rezultaty modelowania uogólnionych problemów pościgowych przy wykorzystaniu języka programowania MetaPost i systemu obliczeń symbolicznych Maple. Otrzymano i przedstawiono realizacje krzywych pogoni dla wybranych, zadanych krzywych ucieczki obej- mujących: prostą (test), okrąg, parabolę, asteroidę, krzywą Talbota, bikorn oraz trzy krzywe autorskie.

Słowa kluczowe: krzywe, zagadnienia pościgowe, MetaPost, Maple

GENERALIZED PURSUIT CURVES

Summary

The paper deals with selected problems concerning the transcendental curves that arise when analyzing pursuit problems. The classical chase problem is described briefly, and the results of modelling the generalized pursuit problems are presented, using the MetaPost and the Maple software. The following chase curves are obtained for the prescribed escape curves, namely, the line (for the test),the circle, the parabola, the asteroid, the Talbot curve, the bicorn, and the three own curves.

Keywords: pursuit problems, Metapost, Maple

1. WSTĘP

Pojęcie krzywej będącej jednym z kluczowych obiektów w geometrii, przewija się w matematyce i jej zastosowa- niach od starożytności. W każdym okresie rozwoju wie- dzy wnoszono pewien konstruktywny wkład do tej kon- cepcji, ale zasadniczą rolę w tym procesie odegrała me- toda współrzędnych René Descartesa (1596–1650) (Kar- tezjusza), która ugruntowała mechanistyczno- analityczny obraz opisu natury aż do końca XIX wieku.

W swoim dziele La Géométrie z 1637 r. Kartezjusz dzieli wszystkie krzywe na mechaniczne i geometryczne (we współczesnej terminologii – transcendentalne (przestęp- ne) i algebraiczne). Krzywe mechaniczne wymienione w Geometrii to spirala Archimedesa i kwadratrysa. Krzywe geometryczne – to stożkowe, konchoida Nikomedesa, parabola sześcienna (parabola Kartezjusza) oraz krzywe kreślone przez mezolabium; do tej grupy należą też linia prosta i koło [1].

Dominujący współcześnie informatyczny paradygmat postrzegania rzeczywistości wyniósł krzywe do roli waż- nego narzędzia w kinematycznych zagadnieniach mecha- niki teoretycznej (trajektorie ruchów); automatyce i

robotyce (teoria sterowania); grafice naukowej (wykresy, prezentacje, animacje); grafice artystycznej (tzw. krzywe estetyczne); typografii komputerowej (projektowanie i realizacja czcionek komputerowych), czy w problemie opracowania wyników eksperymentów. Tematyka pracy koncentruje się w kręgu wybranych zagadnień obejmują- cych problematykę krzywych przestępnych. Krótko omówiono klasyczną krzywą pogoni oraz uogólnione zagadnienia pościgowe prowadzące do krzywych este- tycznych – pościg w kwadracie, trójkącie (wraz z anima- cjami) oraz w wielokątach foremnych o n = 5,...,8 bo- kach. Wykorzystano w tym celu język programowania MetaPost. Przedstawiono również krzywe przestępne uzyskane w przypadku, gdy trajektoria ściganego obiek- tu jest pewną, z góry zadaną, krzywą. Wykorzystując system obliczeń symbolicznych Maple, rozwiązano nu- merycznie zagadnienie pościgu dla 9 wybranych krzy- wych, w tym trzech autorskich.

których pojawiają się krzywe przestępne [4].

Rozważano następujący, płaski problem kinematyczny (p. rys. 1). Punkt materialny P znajdujący się w chwili początkowej w punkcie P0 porusza się ze stałą prędko- ścią v1 wzdłuż osi Ox, w kierunku wyznaczonym przez dodatni zwrot osi Ox. Gdy punkt materialny znajduje się w punkcie O, inny punkt materialny M, znajdujący się w chwili początkowej w punkcie M0(0,a), a > 0, zaczyna poruszać się po płaszczyźnie Oxy, ze stałą pręd- kością v2 tak, aby w punkcie M(x,y) płaszczyzny wektor prędkości v2 był stale skierowany do punktu P [5].

Rys. 1. Krzywa pogoni – geometria problemu Definicja 1. Trajektorię K punktu materialnego M nazywa się krzywą pogoni (lub krzywą pościgu).

31

Rys. 2. Krzywe pogoni (5) i (6) dla k ∈ {1/2, 2, 1}, a = 8

3. KRZYWE POŚCIGU UOGÓLNIENIA

Zagadnienie prowadzące do otrzymania krzywej pogoni doczekało się bardzo wielu uogólnień, z których tylko nieliczne dopuszczają ścisłe rozwiązania. Najprostsze z nich dotyczy odrzucenia założenia, że obiekt ścigany (punkt materialny) porusza się po linii prostej. Znane są w literaturze rozwiązania problemu, w którym taki obiekt porusza się po zadanej krzywej (np. okręgu [4]).

Inne uogólnienia dotyczą analizy trajektorii kilku obiek- tów ścigających, umieszczonych w zadanej geometrii (np. w wierzchołkach trójkąta, kwadratu, wielokąta itp.). Rozważano kilka takich problemów, posługując się metodami geometryczno-programistycznymi. Niech

będzie dany kwadrat, w którego każdym wierzchołku umieszczony jest punkt materialny (obiekt ścigający). W pewnej chwili punkty zaczynają się poruszać ze stałymi, równymi co do wartości prędkościami, skierowanymi stale w kierunku sąsiadującego obiektu. W ustalonych momentach czasu, wyznaczając styczne i prostopadłe do toru i łącząc osiągnięte punkty, uzyskuje się kolejne kwadraty, obrócone w stosunku do wyjściowego o pewne kąty. W rezultacie trajektorie tych obiektów utworzą spiralne ścieżki, które połączą się w jednym punkcie (środku kwadratu). Algorytm, ilustrujący opisany pro- blem, został napisany w języku programowania Meta- Post, który prezentowany jest poniżej wraz z graficzną realizacją.

Kod źródłowy 1. Pościg w kwadracie

Rys. 3. Pościg w kwadracie przy n = 1, 5,7 i n = 100 W analogiczny sposób rozważa się problem pościgu, w

którym obiekty umieszczone są w wierzchołkach trójkąta (np. równobocznego [8]). Bardziej złożona jest realiza- cja zagadnień pościgowych w wielokątach foremnych [7].

Odpowiednie kody źródłowe, napisane w programie

MetaPost, dostępne są u autora pod adresem an- drzej.icha@apsl.edu.pl. Poniżej przedstawione są rezulta- ty graficzne pościgu w trójkącie i wielokątach foremnych o n = 5, 6, 7 i n = 8 bokach.

33

Rys. 5. Pościg w wielokątach dla n ∈ {5, 7, 6, 8}

4. KRZYWE POŚCIGU DLA ZADANYCH TRAJEKTORII

Zagadnienie kinematyczne, opisane w rozdziale 2., sta- nowi klasyczny problem pościgowy, w którym rozważa się dwuwymiarowy ruch dwóch obiektów, przy czym pierwszy obiekt porusza się w kierunku równoległym do osi x ze stałą prędkością (trajektorią jest linia prosta).

W ogólnym przypadku trajektoria ściganego obiektu może być dowolną, z góry zadaną krzywą i uogólniony problem pościgowy sprowadza się do znalezienia trajek- torii obiektu ścigającego, przy założeniu, że drugi obiekt startuje w chwili początkowej z zadanego, znanego poło- żenia i porusza się ze stałą co do modułu prędkością skierowaną zawsze w stronę aktualnego położenia obiek- tu pierwszego. Tak postawione zagadnienie prowadzi do analizy układu dwóch, nieliniowych na ogół, równań różniczkowych rzędu pierwszego, możliwego do rozwią- zania jedynie metodami numerycznymi [4].

Wykorzystując system obliczeń symbolicznych Maple, można sformułować problem pościgowy i przedstawić wybrane rozwiązania dla zadanych trajektorii obiektu uciekającego. Nich A = (x1(t),y1(t)) i B = (x2(t),y2(t)) oznaczają – odpowiednio – współrzędne obiektu ścigane- go i obiektu ścigającego. Wektory wodzące tych punk- tów są równe OA i OB (zob. rys. 6).

Rys. 6. Szkic do problemu pościgu

W dalszym ciągu przyjmuje się, że prędkości obu obiek- tów są stałe co do modułu i oznacza się je – odpowied- nio – przez vA, |vA| = const i vB , |vB| = const, przy czym zakłada się, że |vA| = k|vB|, gdzie k ∈ O⁺. W ukła- dzie współrzędnych kartezjańskich trajektorie opisywane są zatem przez układ równań

W celu rozwiązania tego układu należy określić (zadać) trajektorię oddalającego się obiektu A. Wykorzystując sys- tem obliczeń symbolicznych Maple, znaleziono (numerycznie) rozwiązania układu (7) w kilku wybranych przypad- kach.

Kod źródłowy 2. Obliczenia w Maple

Poniżej, na kolejnych rysunkach, przedstawiono rezultaty obliczeń.

35

Rys. 8. Krzywe pościgu dla zadanych trajektorii: asteroidy (k = 0.5), krzywej Talbota (k = 0.5) i bikorn (k = 0.5)

Rys. 9. Krzywe pościgu dla nieklasyfikowanych, trzech krzywych autorskich (k = 0.25, k = 0.45, k = 045) Wykorzystując zaprezentowane algorytmy, można również uzyskać spektakularne, artystyczne grafiki, w których pojawiają się krzywe pościgowe. Poniżej zaprezentowany jest autorski projekt (bez kodu źródłowego), w którym krzywe pościgowe w trójkątach są umieszczone w siedmiokącie foremnym.

Rys. 10. Artystyczna wizja krzywych pościgowych

cie i trójkątach wykorzystując zestaw makr napisanych

Rys 11. Przykładowe pliki animacji w kwadracie

Literatura

1. Błaszczyk P., Mrówka K.: Metafizyka ruchu w

2. Lawrence J.D.: A catalog of special plane curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972.

3. Lockwood E. H.: A book of curves. Cambridge: Cambridge at the University Press, 1961.

4. Nahin P. J.: Chases and escapes: the mathematics of pursuit and evasion. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2007.

5. Niczyporowicz E.: Krzywe płaskie: wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. Warszawa:

PWN, 1991.

6. Poulain Ch: http://melusine.eu.org/syracuse/poulecl/geometriesyr16/

7. Sarlat J.M.: http://melusine.eu.org/syracuse/metap 8. Zetel S. I.: Geometria trójkąta. Warszawa: PZWS, 1964.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl cie i trójkątach wykorzystując zestaw makr napisanych

Rys 11. Przykładowe pliki animacji w kwadracie – iteracje 26 i 39

Błaszczyk P., Mrówka K.: Metafizyka ruchu w „Geometrii” Kartezjusza. „Argument” 2014, Vol. 4, s. 1 Lawrence J.D.: A catalog of special plane curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972.

Lockwood E. H.: A book of curves. Cambridge: Cambridge at the University Press, 1961.

P. J.: Chases and escapes: the mathematics of pursuit and evasion. Princeton and Oxford: Princeton

Niczyporowicz E.: Krzywe płaskie: wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. Warszawa:

http://melusine.eu.org/syracuse/poulecl/geometriesyr16/. Dostęp 28.05.2016.

http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/vrac. Dostęp 28.05.2016.

Zetel S. I.: Geometria trójkąta. Warszawa: PZWS, 1964.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl

014, Vol. 4, s. 1–44.

Lawrence J.D.: A catalog of special plane curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972.

P. J.: Chases and escapes: the mathematics of pursuit and evasion. Princeton and Oxford: Princeton

Niczyporowicz E.: Krzywe płaskie: wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej. Warszawa:

. Dostęp 28.05.2016.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.