21 8

ROCZNIKI POLSKIEGO TOW ARZYSTW A MATEMATYCZNEGO SERIA I: PRACE MATEMATYCZNE V (1961)

T. M. Ję d r y k a (Poznań)

O pewnym zagadnieniu granicznym dla równania przewodnictwa

i. Wstęp. №ech w przestrzeni euklidesowej n-wy miarowej będzie dana dziedzina {Q-\- S1-\- $ 2’, <0 , T>}, gdzie Q jest wnętrzem w-wymiaro- wego obszaru mierzalnego, ograniczonego powierzchniami 8 X i S2 takimi, że obejmuje S2, nie mając z nią punktów wspólnych i każda z powierzch­

ni i 82 spełnia warunki Lapunowa wymienione w pracy [4] w ustępie 2, z tym, że warunek Hóldera dla powierzchni 8 X ma postaó:

\A{Pl ,Q1)\ < constr£l0l (0 < X < 1), a dla powierzchni S2:

\A(P2, <?г)1 < constГра0а (0 < к < 1);

A(Pi,Qi) (i = 1 , 2) oznacza kąt między normalnymi w dwu dowolnych punktach Pi i Qt powierzchni 8 t; x, x są pewnymi stałymi.

Będziemy poszukiwali funkcji u (A, t) określonej w zbiorze { £ + ( $ !-f-$2);

<0, T>}, spełniającej w każdym punkcie {A,t), gdzie AeQ, /e (0 ,P > , równanie przewodnictwa

(1)

n

21

oraz następujące warunki graniczne: na powierzchni 8 X warunek brzegowy mieszany dla 0 < t < T w postaci

(2) duldnPl-\- g{Px, t)u{P l f t) = / 1(P 1, p ,

gdzie dujdnp oznacza pochodną w kierunku normalnej wewnętrznej do powierzchni 8 г w punkcie P x; na powierzchni 8 2 warunek brzegowy (3) u(P2, t) = f 2{P2, t) > 0 < « P 2

oraz warunek początkowy

(4) lim u {A , t) = f { A )

t-> o

Roczniki PTM - Prace Matematyczne V 1

2 T. М. J ędry k a

przy każdym A e Q. O funkcjach д(Рх, t) i Л (Pi, t) zakładamy, że są określo­

ne w dziedzinie (0 , T>}, będąc ciągłe i ograniczone w tej dziedzinie;

o funkcji / 2 (P2, t) zakładamy, że jest określona, ciągła i ograniczona w dzie­

dzinie {$ 2, (0, T}}, natomiast o funkcji f(A) zakładamy, że jest funkcją ograniczoną w Q i ciągłą wewnątrz obszaru Q.

Rozwiązania zagadnienia będziemy szukali za pomocą uogólnionych potencjałów cieplnych (patrz [2]).

Przyjmujemy, że w potencjale cieplnym warstwy pojedynczej

(5) U(A,t) = / / / ( * - т Г п* в х р | - - ^ ^ | и © 1,т)<ВД1<1т 0 $1

gęstośó <p{Qn t) jest określona w każdym punkcie Qx powierzchni 8 X i dla re(0 , Ty ciągła w dziedzinie {$ ,; (0 , T>}, a w potencjale cieplnym warstwy podwójnej

(6) V (A , i) = J J j TAS^ r p j .^ l ^ p { - ^ ^ T)| r№ ., T)d<lJ.T gęstość y>(Q2, т) jest określona w każdym punkcie Q2 powierzchni S2 i dla re(0 ,T>, ciągła w dziedzinie {$ 2; ( 0 ,T > }, gdzie {rQ2A, nQ2) oznacza kąt między wektorem rQlA a normalną wewnętrzną do powierzchni S2 w punkcie całkowania Q2. Przyjmujemy ponadto, że w całce Poissona-Weierstrassa (7) 3 ( ^ , b 0 ) = / / / r - e Xp j - 4 f ] ^ L dB

gęstość q(B) = f(B)j(2Vn)n, wobec przyjętych założeń o funkcji f ( A ), jest funkcją ograniczoną w Q i ciągłą wewnątrz obszaru Q dla 0 <Cr < T.

2. Rozwiązanie zagadnienia. Funkcji u{ A, t ) będącej rozwiązaniem zagadnienia granicznego {(1), (2), (3), (4)} będziemy szukali w postaci

t t 2 \

(8) u(A,t) = f

f f

o sx * T

t 2

+ j f f ^ - r r n,2~lrAQ2^ { r Q2A, Wę2)exp T)dQ2dT+

gdzie pierwsza całka po prawej stronie (8) jest potencjałem warstwy po­

jedynczej (5), druga całka potencjałem warstwy podwójnej (6), a trzecia całką Poissona-Weierstrassa (7).

Zagadnienie graniczne dla równania przewodnictwa 3

Aby rozwiązać zagadnienie graniczne {(1), (2), (3), (4)}, wykażemy, że nieokreślone funkcje <p(Qx, r) i y>(Q2, t) w równaniu ( 8 ) można tak dobrać, by funkcja u ( A, t) określona przez (8) spełniała warunki brzegowe (2) i (3).

Według twierdzenia 4 z pracy [2] pochodna potencjału (8) w kierunku noimalncj wewnętrznej do powierzchni 8 X w punkcie Px ma następującą własność graniczną:

(9) lim du(A, t)

a >p, dnP

I f f f TpiQi G0&VP\Q\

2 j J J _{o 8} ( t - r f 2 ft-e x p {— ^(Qir^dQidr- V . / i r f V f P n i

f f f l rPi°2COSVQ2P,rrl<)2<>mvP,<h

" ( Л * ) 9>(Л,«) + I I I I (<- T)”' 2+1

I

0 8,

X eXP{ ~ ~ 4 ( f - T ) } W^ 2’ T)dQ*dr +

i

I I r^ ^ ' B

gdzie rpl<3l oznacza kąt między normalną wewnętrzną w punkcie Px po­

wierzchni 8 X i wektorem VpxQx, łączącym punkty Р г i Qx powierzchni 8 lf podobnie vQ%Pl i vPlB, a (nQz, oznacza kąt między normalnymi w punk­

tach: Px powierzchni 8 X i Q2 powierzchni S2.

Żądając, aby funkcja u(A,t) spełniała warunek brzegowy (2), otrzymamy, po uporządkowaniu, związek funkcyjny postaci

(10) и л , ( ) = + j f x)<p(Qlt r)dQ1dx + 0 &U

+ 2jl J / J K (p it ti Q*>r)V>(Qn T)dQ2dT, o s2

będący równaniem całkowym liniowym ze względu na niewiadomą funk­

i e ?(-?!,<), gdzie

(11) F t ) = 2 /l(P1) t) - l / / / NP4 P ly t; B, 0)/<B)dB,

a

(12) =JVp»(P1,ł;Q „ T ) + 29(P1,»)3 fP4P i,< ;9i,T ),

(13) М ^ Р ^ ^ т ) = (t — i ) - “/2exp ( ---- T T ^ -r}i I 4(ż — т) I

(14) , < i t) = I _

( t - r f2+1 l 4(ż — r) j ’

4 T. М. Jędryka,

(15) К(Рх, и Q2, т) = <;Q>, т))4

] - g ( P 1, t ) N QH P 1, t ^ Q 2, r ) ,

(16) Я =

(гу'тг)*

Żądając, aby funkcja « (Л , /) spełniała warunek brzegowy (3), otrzy­

mamy w oparciu o twierdzenie 3 z pracy [2] związek funkcyjny postaci

(17) y>(P„ i) = APS( P „ ł ) - Я f f j МрЦР2, /; <?„ r)<p(Qu r ) < « ? , * -

«» «1

t

— Я | J J № 2{P2, f; <?2, T)ip{Q2, r)dQ2dr,

ó «2

będący równaniem całkowym liniowym ze względu na niewiadomą funkcję y (P 2,*), gdzie

(18) F2(P2, t) = / 8(P 8, « ) - * / / / ^ Pa(P*, <; P , 0)f(B)dB.

Si

Opierając się na ocenach funkcji podcałkowych potencjałów cieplnych warstwy pojedynczej i warstwy podwójnej (patrz [2]), łatwo otrzymujemy oszacowania

(19) |ЛГр»(Р2, « ; д 1,т)| < ---

( / - r ) 1- ! *

(20) |.¥‘* ( Pi, « ; < ? „t)| < ---~~~ h ~ . - . i , , - . ) . , (t -T )1" * Гр2<>2 (21) |iVp,(P ,,l;a ,,r )| < ---

(t-T)'~2* ^,«1

o osobliwościach rozdzielonych i słabych zarówno dla zmiennej przestrzen­

nej , jak i dla zmiennej t, gdzie 0 < 0 < 1, zaś x — inf (x , x), przy czym 0 < х < 1 jest stałą z warunku Hołdę ra

|cosvPlPl| < const rliQi,

jaki na powierzchni Sx spełnia cosinus kąta vplQi między normalną we­

wnętrzną w punkcie Px powierzchni Sx a wektorem rP Ql, a 0 < x < 1 jest stałą z warunku Hóldera

|pOSrp2ę2| < constr£2Q8,

Zagadnienie graniczne dla równania 'przewodnictwa 5

jaki na powierzchni S2 spełnia cosinus kąta vp2Q„ (patrz [4]), natomiast C1? C2, C3 określone stałe dodatnie.

d , q .

Wobec oszacowania składnika —--- [N4*(Pl ,t-,Q2, r)) w postaci dnf

nierówności

(22)

dni {мдНРи ц д г, т»

n 0

— -h 1 t- ~z *

2n 11 ^ “c o s r ^ cos v1>i(h I VplQ2 \ 2 • - ■ 2 I >piQ2

4 { t - r) )

2MfexCOS {Пд2, Прг) I rpxQ% \2 ‘Г2Л I

\ 4 ( ^ — r)

łi, 0

— + — *

exp ^{r 2*p l«2}

\ 4 ( « — r)

<

c i

0 r»H-0«

(■t - r ) l~ T* r?i(h

o osobliwości ze względu na £ słabej, O < 0 < 1 , gdyż powierzchnie Sxi S2 nie mają punktów wspólnych i rPię2 Ф 0, gdzie Px jest punktem powierzch­

ni $ x, a Q2 punktem powierzchni S2, i wobec oszacowania (23) |»w=(Pi,* ;Q 2,t)1 =

0

п+вх

\ 4 ( t — т)

< с,

ГГ&2 ____Гр1^2

в jn+Ox

rh v 2 1

4( < - т)1 ^<

{t— r)1~TM Гр1<?2

о osobliwości ze względu na t słabej, dla funkcji (15) ma miejsce nierów­

ność

(24) - (Ci+CiDW-l"*0*' к

\К{Рц Q21 r)\ < -1- —

(t— r)^{1 - 4 *} { t - r f ~ T x

o osobliwości słabej ze względu na zmienną t, przy czym D oznacza sup rP Q , * d = inf rP Q

fii-Sj+Sj а+^+йГз

Dla funkcji podcałkowej w całce objętościowej występującej w (11) otrzymujemy oszacowanie

(25) ^fci

/ 1 - — И » - ( l - 0 x )

6 2

б Т. М. J ę d r y k a

о osobliwościach rozdzielonych i słabych zarówno dla zmiennej prze­

strzennej, jak i dla zmiennej t, skąd wynika (26) \F1(P1, *)| < }х+ХкхУхГ 1+^ н

o słabej nieograniczoności na powierzchni Sx, gdy t -> 0, przy czym /1 = 2 sup

«1 ,<0,r>

a Vx oznacza kres górny całki

f(B)dB

0x)

na powierzchni 8 X.

Otóż

(27) \МрЦР2, Ц В , Щ <

c:

в П - 1 —(1 —e «)

tl-T* V*2B

i zgodnie z oceną całki Poissona-Weierstrassa (patrz [2]) dla (18) będzie (28)

gdzie

\F*( P2, t ) \ < f 2 + W ' V 2r l + T*,

/2 = sup |/2(P2,<)I,

«г2,<о,зг>

V9 = ^(On

oznacza kres górny całki

2 —0x a+sx+s2

f(B)dB

sup \f(B)\

J J J / р л»

na powierzchni $ 2*

Wobec (26) i (10) otrzymujemy

(1^-0^*)

(29) CL

\9(Pi,t)\<---J - , tl~T"

gdzie stała

Zagadnienie graniczne dla równania przewodnictwa 7

przy czym

t

tfu — sup I / J f ^ Pl(Pi,t’,Qi,r)(p{Q1,x)dQ1dr\,

Si,<o,t> 1i Ц 1

t

a12 = mp I 2 J JJ*-£(-Pn<; QiirfviQi, r)dQ2dx\, O S2

natomiast wobec (28) i (17) otrzymujemy (30) CL

gdzie stała

przy czym

\f(P2, t)\ <

i 0 ’

ji—£ 2

C, = A f/.+ eM + f f ^ T '-T ' + A'C; F „

(T21 — sup I Г J Г M. 2(P2j ^ j Фи t)dQ1d rI,

e1.<0.2’>15 ą '

t

a22= sup |( Г Г ^ 2(Р3,<; Q2, r)xp{Q2, r)dQ2dr\.

«2,<0.Г> 0 S2 '

Wobec (29) i (30) funkcja 9?(Р1? i) dla punktów PxeSx oraz funkcja y.i(P2,t) dla punktów P 2eS2 mają nieograniczoność słabą, gdy t -> 0.

Po wprowadzeniu oznaczeń (31)

(32)

(33)

(pi (P1, i) — <pi.Pi > 0 > УгСP 2 j — уЧ-Р2 г 5 i -^11 (Pu ^5 Ф1 j T) = X(-Pu ^ j Ф ит)?

!

-^22(-P2j ^5 $ 2j T) — N®2(P2, £; Q21 T)j -^12 (-Pu t ’l Q n x) = 2-^(Pi j ^ j Ф2 j T) j

^ 2 l ( - P 2 J Ql) X) ~ ^ ( - P 2 J ^ j $ 1 J T) J

układ równań ((10), (17)) przyjmie postać (34) Й (Р<5*) = ( - l ) <AFł (P4, t ) + .

t 2

+ Я J J Ц Qj, t)£,(Q„ x)dQjdr (i = 1,2), 0 / = 1 Sy

a jądra (32), (33) na mocy (19), (20), (21), (24) będą miały wspólne osza­

cowanie

(35) |Wyy(Py,£;(?y,T)| < C0

r(M

Л 1 - 2 Ж

(< - т)-1+1

8 T. М. J ędryk a

przy czym

(36) C0 — max{Ox; C2; Cz; 2k},

(37) ax — n—l — ( l —6)x,

natomiast

1 > i = j i Ф j

(symbol Kroneckera).

Zakładając istnienie rozwiązań <pi(Pj, t) (i — 1 ,2 ) układu (34), z po­

mocą indukcji matematycznej otrzymujemy, że poszukiwane rozwiąza­

nia spełniać będą równania ^-krotnie iterowane postaci (38) & (P 4> t) = ( ~ 1 У Щ ( Р {, t) +

t 2 n

0 j —1 Sj m—o

t 2

+ ' * /2 7 / U "+1^ +I№ , <;« /, T)f?f (Q,, r)dQt dr;

0 j=1 Sj

i = l , 2 , n = 1 , 2 ,3 ,

skoro tylko będą istniały kolejne jądra iterowane, określone równością rekurencyjną

t 2

N?i*4Pi, <; Qi, r) = J £ J f * U P i , Ц n „ O K A H , Cr, Qf, r)dn,dc,

(39) ^{*=1 S„}

N\j(Pi, ty Qj, r) — Nij(Piy t; Qjf r), m — 0 , 1 , 2 , . . . »

Dowiedziemy istnienia jąder iterowanych (39).

Otóż, korzystając ze wspólnego oszacowania (36), otrzymamy z (39) dla m = 0

(40) Wl j iP ^t iQ j, r)| <

<

cl

Л - * ) .

4 ' '2^ ( t - r ) - 1+4 Ą c 12+ c t 4 - C A + ~ ^ \ ,

Л 2 - * 1 TpiQ’ ]

gdzie

V = 1 S, Sj rri}Qj

Zagadnienie graniczne dla równania przewodnictwa 9

oraz ,r a 2

rPiQi

jest oszacowaniom całek

V

f

J J

i’- l S v 1 г 11*

a Ul = n-—1 — (1—0)x > 0 , a2 = ft—1 — 2 (1 —0)k > 0. Stąd wniosku­

jemy, że istnieją jądra iterowrane Ж],(Рг-, r) i mają oszacowanie następujące:

(41) ^5Qj ? 7 )l ^ o

x

/ ' i - . , *

- ( < - r ) - 1+JT “ 2 2 - J + — v u2

gdzie

^i — max((70; C'12; C p jf j1’, <5^-Сг?), г — 1, 2, j = 1, 2, o osobliwościach rozdzielonych i słabych.

Z pomocą zasady indukcji matematycznej otrzymujemy, że dla m < m0, gdzie

(42) m n Г " ~ : i |

istuieją jądra iterowane (39) i mają oszacowanie m \N%(Pi,f,Qh x)\ <

c Qc kr i ° *]]

< ---7--- ---Г)-1v(k+lĄ * \ z k+l _p У .}

l гр\Ы 1

o0r((fc+i)^ *)

gdzie

Ck = max(CV_1; С'-к\ д.ц ,

zaś rr (Ufj б/: 1

Ł ; ~ I f ~ M ° raZ r °*-M j eSt C!Vlek

&,• ' я/О/ /»*«'■ -

V i r r ó^d/7„

2

J J

y = l £L

10 T. М. J ę d r y k a

а ак+1 = п—1 — (& +1) (4—0) х > 0, przy czym dla т = т0 istnieje jądro (39) i ma oszacowanie

(44) \Nli>l()(Pi , t)| <

o \YmoH t n - A

2 C 011|(™0+ i ) ~

__-7O~1 + (m0 + 1)ir,<

(t— T

gdzie

СШ0 = max(C^0_ i; C > o ; ^ C 4> +1euPr ^ ) ; e»»0 = —(w —1 — (wo + l ) ( l - 0)x);

g = 2 Ć 0Ć,V

Dalej, z pomocą indukcji matematycznej otrzymujemy, że istnieją (w0+ m )-te (m = 1 , 2 , 3 , . . . ) jądra iterowane ograniczone, gdzie

(45; m0 — max

i mają oszacowanie

(46) |JV;j»+"*(Pi,« ;(? ; ,r)| <

< - — - — - —

. — 14 -f 1) — X 2С0Г j {т0~\~ к

2*, m = 1 , 2 , 3 , . . .

Z kolei ocenimy występującą w równaniu тг-krotnie iterowanym (38), gdzie n > m 0, całkę

t 2

(47) K‘n+,(lJi, *) = * / 2 7 / Iя” ' f, Qi, T)fn (Qf , T)dQ,dr.

0 7 = 1 S,j

Uwzględniając (35) i (46) oraz (29) i (30) otrzymamy

(48) I K +1(P^, t)\ <

gdzie

-

( w + 4 ) ^ - ^

j a \ в \,l + 1 t*

(.'5 = m a x O ? . (j = 1 , 2), stałe z (29) i (30).

Zagadnienie graniczne dla równania przewodnictwa 11

Z oszacowania Bll+1(Pi ,t) wynika natychmiast, ż© ostatnia całka 22J+i {Pu i) w równaniu n-krotnie iterowanym dąży do zera, gdy n oo, a z uzyskanych oszacowań o postaci (43) i (46) dla kolejnych jąder itero- wanych wynika, że szeregi jąder iterowanych У

oo

(49) Nit{Pt,t-,Q„i) +

m= i

są bezwzględnie i jednostajnie zbieżne dla wszelkich X i 0 < t < T, gdzie T — dowolnie wielka liczba rzeczywista, i że funkcje cpi {Pi, t) określa jednoznacznie wzór

(50) q>i(Pt,t) = { - l ) iXFi{Piyt) +

l 2

+ * / 2 7 / *; Qi, r ) ) ( - i 1 w , ( Q „ т)Щйт,

0 i = 1 S j

gdzie 9lij(Pi, t-, Qj, t) są sumami szeregów (49):

(51)

Ц Qh T) = t; Ol, *) + У Г Щ ( Р „ t; Q„ г), 1г ~ ’ 2)

»tTi 0' = 1 .2 ) .

Określone przez (50) funkcje <Pi{Pj, t) (i — 1 ,2 ) spełniają dany układ równań (34).

Otóż podstawiając funkcje , ż) określone przez (50) do obu stron równań (34), otrzymamy po lewej stronie:

t 2

(52) ( - 1 ) ‘ ЯР4(Р( , <) + A / 2 ’

J f

0 y = l S y-

a po prawej stronie:

t 2

(53) ( - 1 Г т ( , Р ( , <) + Д / У f f N if(Pi, t; Qj, r ) { ( - l )’ №,(<?,', r) +

o 7 = 1 S j

t 2

+ Д / 2 Я 19г;-№ , Ц r i „ f)|(-l)'lP ,№ ,{)<U 7.d fj dftdr.

0 v = l -Sv

Jeżeli zastosujemy przekształcenie Dirichleta do składnika zawiera­

jącego rezolwentę, wyrażenie (53) po przemianowaniu zmiennych przyjmie postaó

t 2 oo

(-1)*ЯР4(Л, <) + л/ 2 1 U Qi, T ) + V r+lJV« +1(Ą , t;Qi, *)} x

0 7 = 1 S j ?/t=0

X ( —1)J Ai'V (Ф/, t) dQj d r,

12 T. М. J ę d r y k a

ale wobec

СО

ЛГ*,.(Р„(;0;,т)+ £ Г > ' Щ ‘ + , (Р,,Ц<1и т) = 9 l#(Ą , (; « „ г)

т—О

otrzymujemy, żo wyrażenie (53) jest równe

t 2

i - i y i F i i P i , 0 + Я / ^ / / % i(P it t;Qi, T ) ( - l YFAQi, r)dQ,dT,

0 7 = 1 Sj

czyli równa się lewym stronom układu równań (34).

Łatwo wnioskujemy, że ę>;(P<j,<) określone przez (50) są jedynymi rozwiązaniami układu (34).

Podstawiając uzyskane rozwiązania (50) do (8) otrzymamy funkcję u ( A, t) = u (A, t).

Funkcja u {A, t) — u(A, t) jest rozwiązaniem zagadnienia granicz­

nego {(1), (2), (3), (4)}.

Otóż z postaci (8) funkcji u(A,t), wobec równoważności równań układu (34) i ((2), (3)), uwzględniając twierdzenie 4 i twierdzenie 3 z pracy [2], otrzymujemy, że funkcja u (A, t) = u(A, t) spełnia warunki brzegowe (2) i (3) w dziedzinie {A eQ] te(0, T}}.

Na mocy własności potencjałów cieplnych warstwy pojedynczej i warstwy podwójnej i całki Poissona-Weierstrassa (patrz [2]) otrzymu­

jemy, że u{A,t) spełnia równanie (1) w dziedzinie {AeD; te(0, T}}.

Z kolei, ponieważ funkcje ^(P*, i) = 1, 2), jako jedyne rozwiązania układu (34), zgodnie z (29) i (30), spełniają nierówności

\Vi(Pi,t) | < - % - (* = 1 ,2 ) tl-T*

o osobliwości słabej, gdy t -> 0, przeto wobec

t

' 0 St T1 2 *

(54)

|N(4, t, y>)| < I f ( f N{A,t-,Q2, r)—% - dQ2dr ,

Ч Ц т ‘ - Т *

otrzymujemy M( A, t, ćp) -> 0, N ( A , t , yj)~> 0, gdy 0, funkcje podcał­

kowe bowiem po prawej stronie nierówności (54) dążą do zera, gdy AeQ, jednostajnie względem punktu (i = 1 ,2 ) i punktu Ae Q.

Uwzględniając nadto twierdzenie 6 z pracy [2], otrzymujemy, że funkcja u(A, t) — u(A, t) spełniająca (8), spełnia warunek początkowy (4), gdy t-> 0 i Ae Q.

Zagadnienie graniczne dla równania przewodnictwa 13

Tym samym dowiedliśmy następującego twierdzenia:

Twierdzenie. Jeżeli funkcje /i(P i,< ) i g{Px,t) w warunku (2) są określone w dziedzinie {Pi oSfi ; / e<0,T>}, będąc w niej ciągle i ograniczone, funkcja / 2(P2,/) w warunku (3) jest określona w dziedzinie |$2; <0,T>}, będąc w niej ciągła i ograniczona, przy czym powierzchnie 8 X i S2 ograniczają dany obszar n-wymiarowy Q (8X obejmuje S2) spełniając warunki Lapu- nowa, i jeżeli funkcja f(A) w warunku (4) jest określona w obszarze Q, będąc ograniczoną w Q i ciągłą wewnątrz Q, to zagadnienie graniczne {(1), (2), (3), (4)} ma w dziedzinie {A e Q-, t e( 0, T}} rozwiązanie określone równością (8), gdzie funkcje <f>{Px,t) i xp{P2,t) określone są za'pomocą wzoru (50).

Panu Prof. W. Pogorzelskiemu, który postawił wyżej rozwiązane zagadnienie, składam serdeczne podziękowanie za życzliwe uwagi, jakich mi udzielał podczas pisania tej pracy.

Prace cytowane

[1] W. P o g o r z e ls k i, Sur le prohleme de Fourier generalise, Ann. Polon. Math.

3 (1956), str. 126-141.

Г21 — Własności potencjałów cieplnych w teorii równania przewodnictwa, Biuletyn

W. A. T. 29 (1957).

[3] — Sur la solution de Vequation integrate dans le prohleme de Fourier, Ann.

Soc. Polon. Math. 24 (1951), str. 5 6 -7 4 .

[4] — Les proprićtćs d'une fonction de Green et ses applications aux equations elliptiques. Ann. Polon. Math. 3 (1956), str. 4 6 -7 5 .

M. Ендрыка (Познань)

О Н ЕК О ТО РО Й ГР А Н И Ч Н О Й З А Д А Ч Е ДЛЯ У Р А В Н Е Н И Я ТЕП ЛО П РО ВО ДН О СТИ

РЕЗ ЮМЕ

В настоящей работе разыскивается функция и {Л , t) определенная в области {Q-\- S x + S2; <0, Т>} и удовлетворяющая в каждой точке ( A, t ) , где A e Q , a t e (0 ,T >

— уравнению (1), а в каждой точке 1\ поверхности S1 для 0 < Т краевому условию (2), в каждой же точке Р 2 поверхности S2 условию (3) и начальному усло­

вию (4) при A e Q .

Q является внутренностью н-мерной области, ограниченной поверхностями Sx и S2, такими, что обнимает S2, не имея в то же время с ней общих точек, а каж ­ дая из поверхностей 8 Х и S2 удовлетворяет условиям Ляпунова-

Предполагается, что функции g { P x, t ) и f 1( P1, t) определенные в области { S j ; (0, У > }, являются непрерывными и ограниченными в этой области, функция же / 2(P2,t ) определенная, непрерывная и ограниченная в области { $ 2; (О, У ) } , а функция f ( A) ограниченная в Q и непрерывная внутри области Q.

Решения и (Л , t) разыскивается в виде (8).

14 T. М. J ę d r y k a

Требуя выполнения условий (2) и (3), получим систему интегральных урав­

нений Вольтерра ((Ю), (17)), этой системе должны удовлетворять неизвестные функции <p(Px , t ) и у>(_Р2, t).

С помощью метода итерации доказываем, что система уравнений ((10), (17)) имеет единственное решение, определённое (50), вслед за этим доказываем, что функция u ( A , t ) , определённая (8) (плотности q>(Px , t) и y ( P 2, t ) даны (50)), — является решением краевой задачи {(1), (2), (3), (4)}.

Т. М. Ję d r y k a (Poznań)

SU R U N p r o b lEm e a u x l i m i t e s p o u r l i q u a t i o n D E L A C O N D U C TIB IL IT E

RTS S U M fi

Dans ce travail on clierche une fonction u ( A , t ) , definie dans le domaine {£ ?+ $ ! + S 2; <0, T ) } verifiant:

1° l’equation (1) en tout point ( A, t ) , ou A e Q , t e ( Q , T>;

2° la condition limite (2) en tout point P x de la surface 8 X pour 0 < t T;

3° la condition (3) en tout point P 2 de la surface 8 2;

4° la condition initiale (4) pour A e Q .

Q est l’interieur du domaine mesurable de l’espace к n dimensions, limite par les surfaces 8 X et S2 de meme, que 8 X embrasse 82, non ayant avec elle des points communs et chacune des surfaces 8 X et 8 2 verifie les conditions de Liapounoff.

On suppose que les fonctions g ( P x, t) et f x( Px,t) sont definies dans le domaine { ( ^ ( O , ! 1)»}, continues et bornees dans ce domaine, la fonction f 2 (P2, t) est definie, continue et bornee dans le domaine { $ 2; (0, T >}, alors que la fo n ctio n /(A ) est bornee dans Q et continue ń l ’interieur du domaine Q.

On cherclie la solution u ( A , t ) de la forme (8).

En exigeant que les conditions (2) et (3) soient satisfaites, on obtient un systńme d’equations integrales de Volterra ((10, (17)), auxquelles doivent satisfaire les fonctions inconnues <p(Px, t ) et y>(P2,t).

On demontre par la methode de l ’iteration que le systbme d’equations ((10, (17)) admet une solution unique, determinee par (50), et enfin on montre que la fonction и ( A, t) е х р п тё е par (8), ofi les densites y>(P1, t) et y>(P2, t) sont determinees par (50), est la solution du ргоЫ ёте limite {(1), (2), (3), (4)}.