• Nie Znaleziono Wyników

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)"

Copied!
21
0
0

Pełen tekst

(1)

Dydaktyka matematyki

III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Wykład nr 9:

Geometria w szkole – geometria dynamiczna, miejsca geometryczne, przekształcenia

geometryczne

Semestr zimowy 2018/2019

(2)

DGS = Dynamic Geometry Software

(3)

DGS = Dynamic Geometry Software

(4)

DGS = Dynamic Geometry Software

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_interactive_geometry_software

(5)

Geometria dynamiczna – twierdzenia

Przykład 1: twierdzenie cosinusów tw_cosinusow_1.fig

C

A a B

b c

22.70 cm2

3.13 cm2

34.82 cm2

(a^2+b^2)-c^2=15.25 cm2

tw_cosinusow_2.fig

c

b a

(6)

Geometria dynamiczna – twierdzenia

Przykład 2: Zadanie o hodowcy krów

Hodowca krów mieszka nad rzeką (punkt A), natomiast swoje krowy wypasa w okolicach punktu P. Jadąc do wydojenia krów, zabiera wiadra, myje je w rzece i dojeżdża do pastwiska P.

Zaplanuj drogę hodowcy, tak aby była najkrótsza.

(7)

Równoważność twierdzeń

Twierdzenie cosinusów

Jeśli 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta,  miarą kąta naprzeciw boku długości 𝑐, to zachodzi równość 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 .

Twierdzenie sinusów

𝑎

sin 𝛼 = 𝑏

sin 𝛽 = 𝑐

sin 𝛾 = 2𝑅,

gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, 𝛼, 𝛽, 𝛾 miarami jego kątów, 𝑅 jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.

A B

C b a

c

A B

C b a

c

a b

(8)

Miej sce geom etr yczne

Miejsce geometryczne to zbiór wszystkich punktów spełniających dany warunek.

GEOGEBRA CABRI

(9)

Miejsce g eomet ry czne

Przykład 1

Dane są dwa punkty 𝐴, 𝐵. Znajdź miejsce

geometryczne środków okręgów, do których należą punkty 𝐴 i 𝐵. Rozpatrz dwa przypadki: płaszczyznę, przestrzeń.

Przykład 2

Znajdź miejsce geometryczne środków ciężkości

trójkątów prostokątnych o danej przeciwprostokątnej.

(10)

Miejsce geometryczne

Przykład 3

Znajdź miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od ustalonej prostej i ustalonego punktu.

(11)

Miejsce geometryczne

Przykład 4

Wpisz kwadrat w trójkąt.

(12)

Miejsce geometryczne

Przykład 5

Dane są dwa rozłączne odcinki 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 . Tworzymy zbiór wszystkich odcinków, których jeden koniec leży na odcinku 𝐴𝐵, a drugi koniec na odcinku 𝐶𝐷 . Co jest miejscem geometrycznym środków tych odcinków?

(13)

Przekształcenia geometryczne

PPM

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Zakres podstawowy. Uczeń:

• wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu

współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w środku układu współrzędnych).

To bardzo mała dawka przekształceń geometrycznych, ponadto nie traktuje się ich wprost jako funkcje.

(14)

Prz ek szt ałcenia geomet ry czne płas zcz yzn y

Przekształcenie geometryczne płaszczyzny to dowolna funkcja 𝑓: 𝐑2 → 𝐑2.

Symetria osiowa w układzie współrzędnych, np. względem osi 𝑂𝑋,

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 = 1 0 0 −1

(15)

Prz ek szt ałcenia geomet ry czne płas zcz yzn y

Symetria środkowa w układzie współrzędnych, np. względem osi (0,0),

𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 = −1 0

0 −1

(16)

Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y

Translacja w układzie współrzędnych:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏

(17)

Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y

Obrót w układzie współrzędnych wokół punktu (0,0) o kąt a (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara):

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥cos𝛼 − 𝑦sin𝛼, 𝑥sin𝛼 + 𝑦cos𝛼

(18)

Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y

Jednokładność o środku w punkcie (0,0) i skali 𝑘 w układzie współrzędnych:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 , 𝑀𝑓 = 𝑘 0 0 𝑘

(19)

Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y

Inwersja

Niech 𝑂(𝑆, 𝑟) będzie okręgiem o środku 𝑆 i promieniu 𝑟. Inwersją przy danym okręgu 𝑂(𝑆, 𝑟) nazywamy takie przekształcenie, które każdemu punktowi 𝑋 płaszczyzny, gdzie

𝑋 ≠ 𝑆, przyporządkowuje punkt 𝑋’ taki, że:

• punkt 𝑋’ leży na półprostej 𝑆𝑋,

• 𝑆𝑋 ∙ 𝑆𝑋 = 𝑟2.

Analityczny wzór na inwersję względem okręgu o środku w (0,0) i promieniu 𝑟:

𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2 , 𝑦 𝑟2

𝑥2 + 𝑦2)

1 1

(0.58, -1.18)

2.74 cm Result: 2.51 cm2

Result: -5.14 cm2

(20)

Prośba

Bardzo proszę o przyniesienie w środę (12-go) laptopów z wgranym programem GeoGebra.

(21)

Uwaga

W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.

Cytaty

Powiązane dokumenty

8. Wyniki pomiaru zanotujcie w tabeli.. Wpisujemy dane do arkusza MS Excel, który wykonuje odpowiednie obliczenia. Uzyskane wyniki czasów zaokrąglamy do 0,1 s. Wnioski zapisujemy

Fizyka, III etap edukacyjny, 7.5: uczeń opisuje (jakościowo) bieg promieni przy przejściu światła z ośrodka rzadszego do ośrodka gęstszego optycznie i odwrotnie.. Dodatkowe

Ciepło właściwe lodu, co ciekawe, jest mniej więcej połową ciepła właściwego wody ciekłej. Z kolei ciepło właściwe pary wodnej jest nieznacznie mniejsze od ciepła

Fizyka, III etap edukacyjny, 9.4: uczeń wyznacza masę ciała za pomocą dźwigni dwustronnej, innego ciała o znanej masie i linijki.. Dodatkowe wymagania szczegółowe

Fizyka, III etap edukacyjny, 9.3: uczeń dokonuje pomiaru siły wyporu za pomocą siłomierza (dla ciała wykonanego jednorodnej substancji o gęstości większej od gęstości

Fizyka, III etap edukacyjny, 9.1: uczeń wyznacza gęstość substancji, z jakiej wykonano przedmiot w kształcie prostopadłościanu, walca lub kuli za pomocą wagi i linijki..

 Fizyka, IV etap edukacyjny, 1.1: uczeń opisuje ruch jednostajny po okręgu, posługując się pojęciem okresu i częstotliwości..

Od czego zależy okres i częstotliwość drgań wahadła matematycznego oraz ciężarka zawieszonego na sprężynie?.. Zestaw potrzebnych do doświadczenia narzędzi i