Dydaktyka matematyki
III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Wykład nr 9:
Geometria w szkole – geometria dynamiczna, miejsca geometryczne, przekształcenia
geometryczne
Semestr zimowy 2018/2019
DGS = Dynamic Geometry Software
DGS = Dynamic Geometry Software
DGS = Dynamic Geometry Software
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_interactive_geometry_software
Geometria dynamiczna – twierdzenia
Przykład 1: twierdzenie cosinusów tw_cosinusow_1.fig
C
A a B
b c
22.70 cm2
3.13 cm2
34.82 cm2
(a^2+b^2)-c^2=15.25 cm2
tw_cosinusow_2.fig
c
b a
Geometria dynamiczna – twierdzenia
Przykład 2: Zadanie o hodowcy krów
Hodowca krów mieszka nad rzeką (punkt A), natomiast swoje krowy wypasa w okolicach punktu P. Jadąc do wydojenia krów, zabiera wiadra, myje je w rzece i dojeżdża do pastwiska P.
Zaplanuj drogę hodowcy, tak aby była najkrótsza.
Równoważność twierdzeń
Twierdzenie cosinusów
Jeśli 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, miarą kąta naprzeciw boku długości 𝑐, to zachodzi równość 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛾 .
Twierdzenie sinusów
𝑎
sin 𝛼 = 𝑏
sin 𝛽 = 𝑐
sin 𝛾 = 2𝑅,
gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są długościami boków trójkąta, 𝛼, 𝛽, 𝛾 miarami jego kątów, 𝑅 jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie.
A B
C b a
c
A B
C b a
c
a b
Miej sce geom etr yczne
Miejsce geometryczne to zbiór wszystkich punktów spełniających dany warunek.
GEOGEBRA CABRI
Miejsce g eomet ry czne
Przykład 1
Dane są dwa punkty 𝐴, 𝐵. Znajdź miejsce
geometryczne środków okręgów, do których należą punkty 𝐴 i 𝐵. Rozpatrz dwa przypadki: płaszczyznę, przestrzeń.
Przykład 2
Znajdź miejsce geometryczne środków ciężkości
trójkątów prostokątnych o danej przeciwprostokątnej.
Miejsce geometryczne
Przykład 3
Znajdź miejsce geometryczne punktów jednakowo odległych od ustalonej prostej i ustalonego punktu.
Miejsce geometryczne
Przykład 4
Wpisz kwadrat w trójkąt.
Miejsce geometryczne
Przykład 5
Dane są dwa rozłączne odcinki 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 . Tworzymy zbiór wszystkich odcinków, których jeden koniec leży na odcinku 𝐴𝐵, a drugi koniec na odcinku 𝐶𝐷 . Co jest miejscem geometrycznym środków tych odcinków?
Przekształcenia geometryczne
PPM
IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zakres podstawowy. Uczeń:
• wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu
współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w środku układu współrzędnych).
To bardzo mała dawka przekształceń geometrycznych, ponadto nie traktuje się ich wprost jako funkcje.
Prz ek szt ałcenia geomet ry czne płas zcz yzn y
Przekształcenie geometryczne płaszczyzny to dowolna funkcja 𝑓: 𝐑2 → 𝐑2.
Symetria osiowa w układzie współrzędnych, np. względem osi 𝑂𝑋,
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 = 1 0 0 −1
Prz ek szt ałcenia geomet ry czne płas zcz yzn y
Symetria środkowa w układzie współrzędnych, np. względem osi (0,0),
𝑓 𝑥, 𝑦 = −𝑥, −𝑦 , 𝑀𝑓 = −1 0
0 −1
Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y
Translacja w układzie współrzędnych:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑎, 𝑦 + 𝑏
Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y
Obrót w układzie współrzędnych wokół punktu (0,0) o kąt a (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara):
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥cos𝛼 − 𝑦sin𝛼, 𝑥sin𝛼 + 𝑦cos𝛼
Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y
Jednokładność o środku w punkcie (0,0) i skali 𝑘 w układzie współrzędnych:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘𝑦 , 𝑀𝑓 = 𝑘 0 0 𝑘
Prz ek szt ałcen ia geom etry czne płas zcz yzn y
Inwersja
Niech 𝑂(𝑆, 𝑟) będzie okręgiem o środku 𝑆 i promieniu 𝑟. Inwersją przy danym okręgu 𝑂(𝑆, 𝑟) nazywamy takie przekształcenie, które każdemu punktowi 𝑋 płaszczyzny, gdzie
𝑋 ≠ 𝑆, przyporządkowuje punkt 𝑋’ taki, że:
• punkt 𝑋’ leży na półprostej 𝑆𝑋,
• 𝑆𝑋 ∙ 𝑆𝑋′ = 𝑟2.
Analityczny wzór na inwersję względem okręgu o środku w (0,0) i promieniu 𝑟:
𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2 , 𝑦 𝑟2
𝑥2 + 𝑦2)
1 1
(0.58, -1.18)
2.74 cm Result: 2.51 cm2
Result: -5.14 cm2
Prośba
Bardzo proszę o przyniesienie w środę (12-go) laptopów z wgranym programem GeoGebra.
Uwaga
W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.