Obliczanie ram przestrzennych za pomocą biegunów sprężystych

N r 15

ZESZYTY NAUKOW E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J

B U D O W N I C T W O Z .2 1957

Zbigniew Budzianowski

Obliczanie ram przestrzennych za pomocą biegunów sprężystych Wstęp

P ra ca niniejsza stanow i dalszy ciąg pracy 1 poświęconej analizie w ła ­ sności biegunów sprężystych. B ieguny te odniesiono w w ym ienionej pracy do p łaskich u stro jó w p rętow y ch w y stęp u jący ch w u k ładach płaskich i p rzestrzenny ch. P rzed staw io n o w niej rów nież m etodę rozw iązyw ania ty ch układów nazyw ając ją m etodą biegunów sprężystych. Z p rze p ra w a -

Rys. 1

dzonej an alizy w ynikło, że każdy p rę t u stro ju płaskiego posiada dw a, n a j­

częściej różne bieg uny B, i B n (rys. 1). B iegun B, służy do rozw iązyw ania układów płaskich, tj. u stro jó w p łaskich obciążonych w swej płaszczyźnie.

Zaczepione są w nim dw ie sprzężone siły X i Y oraz m om ent Z. Z kolei B iegun B n w raz z działającym i nań dwom a sprzężonym i m om entam i H i ©

1 Z bigniew B udzianow ski. Bie gun sp rę żysty ja ko r e d u k to r rów nań sprężystości.

W rocław skie T ow arzystw o N aukow e. S eria B, n r 72. P a ń stw o w e W ydaw nictw o N a ­ u kow e 1955.

C y tu ją c d alej pow yższą p rac ę a u to r używ a sym bolu [1],

oraz siłą S rozw iązuje te n u stró j w przy p ad k u obciążeń pro sto p ad le skie­

row anych. D zięki tem u, że żadna z w ym ienianych sił uogólnionych nie pow oduje przem ieszczeń pobocznych na k ie ru n k a c h sił pozostałych, m oż­

na sprow adzić rów n an ia sprężystości do fo rm zredukow anych.

R o zp atru jąc p rę t p rze strz e n n ie w ykształcony łatw o je st stw ierdzić, że w ogólnym przy p ad k u nie uda się ju ż zgrupow ać sił w ew nętrzn ych w je ­ dnym lub k ilk u n aw et p u n k tac h w sposób zapew niający elim inację w szy­

stkich przem ieszczeń pobocznych. M ożna b y było co najw yżej wyznaczyć p u n k ty d ające częściową elim inację przem ieszczeń pobocznych, co by ułatw iło w praw dzie rozw iązanie u stro ju m etodą sił, lecz nie odpow iada­

łoby jeszcze w a ru n k o m staw ian y m przez m etodę biegunów sprężystych.

R ozstajem y się więc w u stro jac h p rze strz e n n y ch z klasycznie pojętym biegunem sprężystym , k tó ry b y z uw agi na zgrupow ane w nim siły o k re­

ślić m ożna m ianem bieguna złożonego. Robim y to jed n a k bez żalu, po­

niew aż zdajem y sobie spraw ę, że gdyby n aw et tak ie bieguny istniały, to w yznaczenie ich w spółrzędnych oraz k ierunków sprzężonych byłoby niezm iernie uciążliw e i p rak ty c zn ie nieopłacalne.

O dstępując od pojęcia bieguna złożonego m ożna jed n a k z kolei w prow adzić b iegu n w now ej postaci określając go m ianem bieguna poje­

dynczego. Pozw oli on n am na u trzy m an ie w całej rozciągłości m etody biegunów sprężystych rów nież p rzy rozw iązyw aniu ustro jó w p rze strz e n ­ nych. A by nadać zam kniętą fo rm ę niniejszej pracy i m ożliw ie jak n a j­

bardziej uniezależnić ją od pierw szej [1], konieczne stanie się pow tórze­

nie w n iek tó ry ch ustępach pew nych zagadnień tam wyłożonych.

P ra c ę niniejszą w ykonano na zlecenie Z akładu M echaniki O środków Ciągłych PA N w 1953 r. i za jego zgodą w ydrukow ano. Poniew aż w 1955 r. w ydana została praca [1], więc konieczne stało się pew ne p rze ­ redagow anie pierw otnego tek stu do jego obecnej form y.

Podstawowe pojęcia m etody biegunów sprężystych w zastosowaniu do ram przestrzennych

Je śli w pew nym p rze k ro ju d w u stro n n ie utw ierdzonego i p rze strz e n ­ nie w ykształconego p rę ta założym y łożysko um ożliw iające ty lko jedno przem ieszczenie, to łożysko tak ie nazw iem y biegunem pojedynczym . Sło­

wem przem ieszczenie o kreślam y przesunięcie lub obrót dw u w ydzielo­

nych łożyskiem p rzekrojó w p ręta. G dybyśm y w ro zp atry w an y m p rzek ro ­ ju um ieścili sześć łożysk um ożliw iających w ykonanie sześciu ogółem mo­

żliw ych przem ieszczeń, a m ianow icie trzech przesunięć i trzech obrotów , to b yłoby to jednoznaczne z pełnym przecięciem p ręta. P rzecięty p rę t zo­

sta je wówczas zw olniony z działania sześciu wielkości statycznie niew y-

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 23 znaczalnych. O bliczenie ty c h sześciu niew iadom ych w sposób w zajem nie niezależny je s t niem ożliw e. J e s t to zrozum iałe wobec poprzedniego stw ierdzenia, że p rę t p rze strz e n n ie w ykształcony nie m a bieguna złożone­

go. M ożliwe je s t n ato m ia st b ezpośrednie obliczenie jednej niew iadom ej w p rzy p ad k u jednego ty lko łożyska. P rz y k ła d tego obliczenia p rze p ro w a ­ dzim y ze w zględów d y d ak ty czny ch n a jp ie rw dla u stro ju płaskiego, po­

sługując się p rzy ty m zasadą B ettiego-M axw ella. W tym celu zastąpim y badany u k ład rzeczyw isty (rys. 2a) układem zastępczym (rys. 2b). U kład zastępczy stw orzym y, zakład ając w odnośnym p rze k ro ju łożysko i zacze­

piając w nim siły w e w n ętrzn e X np. W p rzedstaw ion ym p rzykładzie łoży­

sko je s t biegunem w ałkow ym , zaś X " m om entem uniem ożliw iającym w zajem ny o b ró t końców p rę ta w przegubie, gdy ustrój obciążony jest siłam i P. O trzy m an y w te n sposób uk ład zastępczy je s t staty czn ie rów no­

w a rty układow i rzeczyw istem u. P osługując się zasadą w zajem ności p rze ­ m ieszczeń, odniesioną do układów p rzedstaw ionych na ry su n k a c h 2b i 2d, otrzy m am y rów n an ie

Z P -8;7 ' + x ; . 8»-i = i - o , z którego obliczym y Zredukow ane rów n an ie sprężystości

P • o""1

X» = ---— f - (1)

W skaźniki n i n-1 oznaczają stopień staty czn ej niew yznaczalności u s tro ­ ju. Siła X p je s t s i ł ą b i e g u n o w ą , w y stęp u jące zaś w m ianow niku przem ieszczenie jako niezależne od obciążenia określa się m ianem c e c h y s p r ę ż y s t e j bieguna.

P osłu g ując się w analogiczny sposób uk ładam i p rzedstaw ionym i na ry su n k a c h 2d i 2f obliczyć m ożna rów nież w artość biegunow ej siły X A, w yw ołanej przem ieszczeniem podpory

1 . 0 + % R* • Ar = X A . 0 - 1

r = l

Rx • A.

X A = + — (2)

3n~i_{X X}

W rów n aniu ty m R * oznacza składow ą rea k c ji w yw ołanej siłą X = 1, zaś Ar — składow ą przem ieszczenia, m ierzoną na k ieru n k u składow ej R* . Założone łożysko zgodnie z p rz y ję tą d efinicją je s t biegunem spręży ­ stym , poniew aż zaczepiona w nim w ielkość staty cznie niew yznaczalna, jako jed y n a, spełnia w a ru n e k niezależności przem ieszczeń pobocznych.

W analogiczny sposób tra k tu je m y pozostałe biegu ny w p rzek ro ju oraz p rzy n ależn e do nich niew iadom e. N ad er k o rzy stn e w bieg un ie p o jed y n ­

czym je s t to, że jego w spółrzędne oraz k ieru n ek działania w nim jedy nej siły są z góry określone w spółrzędnym i łożyska i um ożliw ionym przez nie przem ieszczeniem .

Z biegunów pojedynczych korzy stan o już częściowo w [1] p rzy obli­

czaniu belek ciągłych, ram y piętro w ej, k rato w n icy o w ęzłach sztyw nych

i belki V ierendella, z tą jed n ak różnicą, że identyfikow ano je tam w y ­ łącznie z łożyskiem w ałkow ym . Łożyska te rozm ieszczono w u stro ju w ten sposób, że p rzy rów noczesnym działaniu zapew niały m u one statyczną w yznaczalność. P rz y takim podejściu do zagadnienia siły biegunow e sprow adzały się w yłącznie do m om entów w ęzłowych, co było jed nak k o ­ rzy stn e tylk o dla ustro jó w płaskich, a niecelow e je s t w przyp ad ku u s tro ­ jów p rzestrzennych.

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 25 Za pom ocą zredukow anego rów nania sprężystości (1) m ożna obliczyć każdą siłę biegunow ą X " w ro zp a try w a n y m p rze k ro ju n -k ro tn ie staty cz­

nie niew yznaczalnego uk ładu , gdy znane je s t dla układu przygotow anego, otrzym anego przez założenie jednego łożyska, tj. dla układu n -l- k ro t- nie staty czn ie niew yznaczalnego, przem ieszczenie &„*■ D la rozw iązania zagadnienia zestaw im y n -k ro tn ie staty czn ie niew yznaczalny uk ład za­

stępczy (rys. 2b) z n - l- k ro tn ie statyczn ie niew yznaczalnym układem przygotow anym , o trz y m an y m przez założenie łożyska w ałkow ego (rys. 2c). W u kładzie p rzyg o tow an y m p rzy jm iem y jako obciążenie siłę Q = 1, działającą w punk cie i k ieru n k u interesu jącego nas w układzie zastępczym przem ieszczenia 8qP .

P od w pływ em obciążenia siłą Q końce p rętó w połączonych łożyskiem dokonają w zajem nego obrotu o k ą t 8 P u n k ty zaczepienia sił P p rz e ­ niesione na u k ład przygotow any do znają w k ieru n k u działania ty ch sił przesunięć 8J - 1 . K o rzy stając dla obu układów z zasady w zajem ności przem ieszczeń otrzy m am y

W analogiczny sposób ułożym y ró w n anie dla układów przedstaw ion ych na ry su n k u 2c i e.

U w zględniając z kolei, że Sję1 = o ^ j1 oraz zgodnie z rów naniem (1)

R ów nanie to je s t ró w nan iem biegunow ym odniesionym do bieguna p o je­

dynczego. J e s t ono rów naniem red u k cy jn y m , poniew aż podaje, że p rze­

m ieszczenie 8^p m ierzone w dow olnym punkcie u k ładu n -k ro tn ie s ta ty ­ cznie niew yznaczalnego je s t ró w n e analogicznie m ierzonem u przem iesz­

czeniu 8 w układzie n - l- k ro tn ie n iew yznaczalnym , zm niejszonem u o ilo­

czyn biegunow ych sił X " i Xqx oraz odpow iadającej założonem u łoży­

sku cechy sprężystej 8"“ 1. B iegunow e siły X" i X nQ są w ew n ętrzn y m i si­

łam i w yw ołan y m i przez siły P i Q 1 w układzie rzeczyw istym n -k ro t­

nie staty czn ie niew yznaczalnym .

Posługując się rów naniem biegunow ym (3) obliczym y rów nież p rz e ­ m ieszczenia w układ ach o niższym stopniu staty czn ej niew yznaczalności.

1 D la b ie g u n a złożonego ogólna postać ró w n a n ia biegunow ego p rze d sta w ia się n astęp u jąco :

n

= — Xq • onxx 1 o trzy m am y ostatecznie

(3)'

1 • 8

1 . »71—1 1 . »71—2 V71—1 . V71—1 . »77—2

1 °QP - 1 QP A p X Q °xx

i - o v = i - o v - x r 2 - x ^ . 3 « - 3

1 - 3 1Q P = 1 - S° QP - X P - X Q - SL

W staw iając w artości ty ch przem ieszczeń do rów nania biegunow ego (3) dostaniem y rów n an ie biegunow e odniesione do u stro ju statyczn ie w yzna-

czalnego

»71 — 1 . » o W Y" . Y ’> . »71—1

°QP 1 ° QP 2 j p Q X X 71=1

(4) gdzie § qP oznacza przem ieszczenie w układzie statycznie w yznaczalnym .

R ów nanie biegunow e pozw ala n a obliczenie każdego przem ieszczenia w u stro ju n -k ro tn ie niew yznaczalnym . P osługując się rów naniem (1)

’ 5vx Y71+1 ⁼ ______________

P 6"

p o trafim y zatem obliczyć w artość siły biegunow ej w układzie n + 1-k ro t- nie niew yznaczalnym .

W yprow adzone w pow yższy sposób dla układów płaskich rów nanie biegunow e zachow uje w całej rozciągłości sw ą w ażność rów nież w odnie­

sieniu do układów przestrzen n y ch .

P o zo staje jeszcze do w yjaśn ien ia kw estia w y stępu jących w rów naniu biegunow ym przem ieszczeń 5q(/)A|. Przem ieszczenia te m ierzone w m iej scu i k ie ru n k u zaczepienia siły <3 = 1, a w yw ołane siłam i P i przem ieszcze­

niem A podpory, oblicza się za pomocą rów nania pracy. Dla p rę ta p rze­

strzen n ie obciążonego rów nanie p racy p rzy b iera postać X \ • X « ds f X f • X f

®q(p,i) + £ r q • A J yn ę p + J ds +

r x ? ■x ? , , r x s ■ , r x s • , f x s ■x ?

+ j ' ’-‘ - G i ^ d s + j - m r d s + ) - G i r d s + J ~ E i r ds <s|

W rów n aniu ty m w prow adzono w g ry su n k u 3 następ u jące oznaczenia:

X \—6 — w ielkości sił i m om entów w pręcie,

J i (3) — m om enty bezw ładności w zględem osi 1(13),

Rq — składow e reak cji p ręta w spornikow ego obciążonego siłą Q = 1, m ierzone na podporze, k tó ra doznała przem ieszczenia.

A — składow e przem ieszczenia podpory, m ierzone w k ieru n k u sk ła­

dow ych R 0 .

W n ajogólniejszym p rzy p ad k u istn ie je sześć składow ych reak cji pod­

porow ej (3 siły i 3 m om enty) oraz sześć składow ych przem ieszczeń pod­

pory (3 przesunięcia i 3 obroty).

O bliczanie ra m p rze strze n n y c h 27 W przy p ad k u p rętó w o p rze k ro ju p ro sto k ą tn y m m ożna ró w nan ie (5) bardziej ujednolicić przez w prow adzenie następ u jący ch w artości:

i , - * * - * 12

t hb3 b2 t r

L, = --- = — • J = n J

12 h2

F 4

J0¥ ¥ = 42,34 1 1

G = 0,385 E

GIZ

1

EJ (6)

gdzie C = 0,764 ( l + £

P rzy b ierze ono w ted y postać następującą:

i r x f • r x f ■ x f

l ' S« ™ + r R « • A = 0 ^ 8 5 J — E i ^ d S + J - E f ^ dS + m i r x p • r x f • x ? r x p • x « i r x ? • ;

M 8 5 J *» T dS + J + CJ - V dS + n J ^ E T X®d s^.

P rz y obliczaniu przem ieszczeń w u k ład ach płaskich rów n an ie pracy uprości się. Dla obciążeń siłam i zew n ętrzn ym i działającym i w płaszczyźnie

u stro ju 2,3 w y stę p u ją ty lk o w ielkości X 2, X 3, X 4, w p rzy p ad k u zaś obcią­

żeń p ro sto p ad le skierow an y ch do tej płaszczyzny, tj. leżących w 1, 2 w y ­ stąp ią w ielkości X 4, X 5, X 6 (rys. 3).

1 W a rto ści ił> dla p rz e k ro jó w p ro sto k ątn y ch o w y m ia ra c h b /h = 0,5 do 1,5 w a ­ h a ją się w g ran icach od 42 do 42,68 — M. H u b er, S le reo m e ch a n ik a techniczna, t. 1, 1947.

R ów nania p rac y (5) i (7) pozw alają na uw zględnienie w szystkich w p ły ­ wów w pręcie. N ajczęściej jed n a k p rzy zagadnieniach prętow y ch opusz­

czam y w pływ sił poprzecznych i osiowych. P rz y tak im uproszczeniu rów ­ nanie p racy dla dow olnie w ykształconego p rę ta płaskiego o nieprzesuw - ny ch podporach obciążonego w swej płaszczyźnie 2, 3 p rzy bierze znaną postać

1 _{°QP =} XP₄

El ds (7a)

Dla tego samego p ręta , obciążonego siłam i skierow anym i p ro sto padle do jego płaszczyzny, dow olne przem ieszczenie obliczyć m ożna uw zględnia­

jąc ty lk o m om ent zginający X 6 i sk ręcający X s .

1 _°QP Xp₆ X ?

EJ ds + C

f

b

W u stro jac h k rato w y ch lub kom binow anych z p ręta m i osiowo p rac u ­ jącym i m usi się uw zględniać po­

nadto siłę osiową X 2.

Za pom ocą rów nania pracy m ożem y rów nież obliczać p rze ­ m ieszczenia w u stro ju statycznie niew yznaczalnym , pod w aru n kiem jedn ak, że znane są w y k resy m o­

m entów i sił działających w p rę ­ tach tego ustro ju . Obliczenie po­

szczególnych całek rów nania p ra ­ cy przeprow adza się dla p rętó w krzyw ych m etodą anality czn ą lub graficzno-analityczną. Bardzo n a ­ tom iast upraszcza .się to oblicze­

nie w p rzy p ad k u u stro ju o p rę ta c h prostych. Można bow iem łatw o udo­

wodnić, że jeśli choć jed n a z w ielkości X Q, X v m a zm ienność liniow ą, to dla p ręta prostego o. stałej sztyw ności El

b

f

El ds = F„ Sq ' El

(8)

przy czym w prow adzono oznaczenia:

X Q — siła uogólniona posiadająca na całej długości p rę ta zmienność liniow ą,

Fp — pow ierzchnia krzyw oliniow ego w y kresu X p,

Sq — rzędna liniowo zm iennej w ielkości X Q, m ierzona pod środkiem ciężkości pow ierzchni Fp (rys. 4).

O bliczanie ram p rze strze n n yc h 29 Jeśli obie w ielkości X Q i X'p m ają zm ienność liniow ą, to sposób ich w za­

jem nego p o trak to w an ia w ró w n an iu (8) je s t obojętny.

R ów nanie (8) pozw ala n am zatem na bardzo p ro ste obliczenie p rz e ­ m ieszczeń za pom ocą jed y n ie elem en tarn y ch działań. Zauw aża się, że całki w y stęp u jące p rzy rozw iązyw aniu ustrojó w o p ręta ch p ro sty c h po­

siadają p rzy n ajm n iej jed n ą z w ielkości zm iennych liniowo w każdym z ty ch prętów .

P od an e na ry su n k u 5 p rzy k ła d y obliczeń ilu s tru ją te m ożliwości. Odno­

szą się one do belek obciążonych działający m na podporze m om entem X \ , obciążeniem jed n o sta jn y m q i/m b oraz siłą skupioną P. Dla ty ch obciążeń znaleziono k ą ty ugięcia oraz przesunięcie 8*p. W identyczny sposób oblicza się rów nież w ielkości przem ieszczeń w yw ołanych siłam i poprzecznym i i osiow ym i oraz m om entam i skręcającym i. P rzem ieszcze­

nie p u n k tu p rę ta łam anego złożonego z członów p ro sty ch określa się do­

dając całki, obliczone podanym sposobem dla w szystkich prętów . Całki m ają znak dodatn i, gdy w ielkości podcałkow e są tego samego znaku, ujem ne zaś, gdy te w ielkości m ają znaki przeciw ne. Z nak u jem n y w sk a­

zuje na to, że rzeczyw isty k ieru n e k przem ieszczenia je s t przeciw ny kie­

runkow i p rzy ję te j przez nas siły jednostkow ej.

Sposób obliczania

R ozw iązując p rze strz e n n e u stro je p ręto w e m etodą biegunów sp ręży ­ sty ch p o słu gujem y się pojęciam i przed staw ionym i w poprzednim u stę ­ pie. Z achow ujem y p rzy ty m n a stęp u jącą kolejność postępow ania:

1. p rzy jęcie u stro ju przygotow anego,

2. obliczenie cech sp ręży sty ch u stro ju w jego kolejn ych etapach, 3. obliczenie etapow ych sił biegunow ych,

4. obliczenie rzeczyw istych sił biegunow ych,

5. w yznaczenie rozkładu m om entów i sił w poszczególnych prętach ustro ju .

Tok obliczeń zilu stro w an y zostanie na p rzy k ład ach bezprzegubow ych ram p rzestrzen n y ch , d w u - i sześciosłupow ych, z k tó ry ch pierw sza jest 6, zaś d ru g a 36-krotnie staty czn ie niew yznaczalna (rys. 9 i 15). Pierw sza ram a je s t obciążona siłą pionow ą P, druga zaś sym etrycznie działającym i na u stró j siłam i poziom ym i W.

1. Ustrój przygotowany

S taty czn ie w yznaczalne u stro je przy go to w ane uzy sk u je się przez p rze ­ cięcie rozpór. Przecięcia te re a liz u je się zakład ając w odnośnym p rzek ro ­ ju sześć łożysk, z k tó ry c h k ażde um ożliw i jedno z sześciu przem ieszczeń

U:

l>S

CL.'S

^1 CN CS i«mL .

u?

CScs

Cl'

u?

• ^ u esi| c-j

CM .

^ I ^{^}

«$1^

li

-CS I cm -CSCf) CL.

<s

CL.cs C\J I ij

O)

U?

£ CNI

CM

luj

•c<, I \ j

^ 100 ^ J CM | «v>, ||

cy

>»

«

*"** 1

- Uj II

luj

* r ^ 1 «*>

n ^ 1••* CSJ

*1 11

Cm

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 31 przedstaw ion y ch na ry su n k u 6. K olejność zakładania ty c h łożysk w p rze­

k ro ju oraz kolejność przecin an ia p rzek ro jó w należy u stalić na w stępie, po czym k o n sek w entn ie jej przestrzegać. K olejność tę uw idacznia się przez n u m era cję sił w e w n ętrzn y ch w yzw alanych łożyskam i oraz przez n u m era cję przekrojów . W p rzy k ład zie pierw szym w y stę p u ją siły X , _ 6, w przyk ład zie d ru g im zaś siły X i_ 6, Y i- 6, W i_6, Z i_ 6. K ażdy przekró j posia­

da zatem sześć łożysk. D la uniknięcia pom yłek należy p rzy każdym do­

kon any m przecięciu uw idocznić p rz y ję te przez nas k ie ru n k i sił w e w n ętrz ­ nych w łożyskach (rys. 10, 16). O b ran e k ieru n k i tra k tu je się w dalszym obliczeniu jako dodatnie.

Po p rzyjęciu u s tro ju przygotow anego w yznacza się m o m en ty zgina­

jące i skręcające, w y w ołane w ty m u stro ju przez jednostk ow e siły w ew nę­

trz n e (rys. 11, 17). Je śli zachodzi potrzeb a, w yznacza się rów nież siły osiowe ew en tu aln ie poprzeczne.

2. Cechy sprężyste

M ianem ty m o kreślam y m ianow niki 6XX w y stęp u jące w zredu ko w a­

ny ch ró w n an iach sprężystości [1]. W in te rp re ta c ji kinetycznej cecha sp rę ­ żysta je s t składow ą przem ieszczenia m ierzoną na k ieru n k u siły w yw o łu­

jącej to przem ieszczenie. Tego rod zaju składow e przem ieszczenia o k reśla­

m y rów nież jak o przem ieszczenie w łasne. Je śli założone łożyska będzie­

m y w u stalo nej poprzednio kolejności sprzęgać, to znaczy uniem ożliw iać w ykonanie w łaściw ych im ruchów , to b ad an y ustrój p rzejd zie przez sze­

reg etapów . W etap ie ostatn im , tj. w etapie, w k tó ry m sprzęgnięto w szy­

stk ie łożyska, b ad an y u stró j sta je się u stro jem rzeczyw istym . Obliczenie cech sp ręży sty ch przeprow adza się kolejno w poszczególnych etap ach b a ­ danego u stro ju . B adany ustró j z n a jd u je się na r-ty m etapie, gdy w szy­

stkie łożyska o n u m era cji niższej zostały poprzednio sprzęgnięte, tzn.

gdy sp rzęgn ięty ch zostało r -1 łożysk. Cecha sprężysta na r -ty m etapie określona jest przem ieszczeniem §xrxr, k tó re dokona się w r-ty m łoży­

sku pod w pływ em zaczepionej w nim dw ójki sił X r = 1. W u stro ju , na k tó ry d ziałają siły X r, r-1 łożysk zostało już sprzęgniętych. Obliczenie cech sp ręży sty ch u stro ju przep ro w adzam y dla każdego etapu rozpoczyna­

jąc od etapu pierw szego, tzn. od u stro ju statyczn ie w yznaczalnego i p rze ­ chodząc w u stalo n ej kolejności przez w szystkie etap y następn e. P rzy obliczaniu cech sp ręży sty ch p osługujem y się rów naniem biegunow ym (3) i (4). O bliczenie cechy spręży stej łożyska uw aża się za rów noznaczne z jego sprzęgnięciem . P oniew aż w rów nan iu biegunow ym w y stę p u ją siły biegunow e X p i Xq, więc m usim y po obliczeniu każdej cechy sprężystej obliczyć siły biegunow e w y w ołane w łożysku przez jednostkow e siły bie-

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 33 gunowe, odpow iednio zaczepione w łożyskach jeszcze nie sprzęgniętych.

P rzykładow o podano dla p rze k ro ju posiadającego sześć łożysk sposób obliczenia cechy sprężystej na czw arty m etapie.

Sx4x4 = ... ró w n. pracy (5)

8x4*4 = 8^ - • X ? • 8^ - ^ • X** • 8^ - X f 4 • X *4 • 8^

X 5 = 1 w yw ołuje

o °x = ... rów n. pracy (5)

5 4

g ^{x 5x 4} = £° ₀V < ^{x #.} VX5 . VX4 . S — x s • X 4 • 8 1 1 * , X , VX5 . v xi . &— X 5 • X 4 • 8 2 2 V , — X x* • X 1* • 83 3 °x.

X 6 = 1 w yw ołuje

1 1 2 2 3 3

= — ^X*XS

8x4x4

s“6x4 = ... ró w n - Pr acy (5)

5 = 5° — Xf° • X x. • 8 — X 16 • X *4 • 8 — X Xfi • X x< • 8

X6X4 X6X4 1 1 Xl * l 2 2 X2X2 3 3 X3X,3

= — 8 x5x4

4 8 x4x4

Zauw ażyć tu ta j należy, że iloczyny w y stęp u jące w rów naniu biegunow ym m ożna zredukow ać do dw u w yrazów . Na p rzy k ład

X 2 6 • X 2 * • S x x = “* JC2X2 X 2 6 • ^Z Ox X ‘ 8 x x 2 2 = - X 2 6 • S x xŁ X4X2

2 2

Z a w a rte w ty ch iloczynach czynniki należy w staw iać z uw zględnieniem znaków.

3. Etapowe siły biegunowe

P od tą nazw ą rozum iem y siły biegunow e w yw oływ ane w u stro ju przez obciążenia zew n ętrzn e, p rzy jego k olejn y ch etapach sprzęgania. In ­ ny m i słow y, etapow a siła biegunow a na r- etap ie je s t w yw ołana przez siły z e w n ętrzn e w r - łożysku u stro ju , w k tó ry m pop rzednich r -1 łożysk zostało sprzęgniętych. P rz e d p rzy stąp ien iem do obliczenia sił etapow ych należy w yznaczyć m o m enty i siły w ew n ętrzn e w yw ołane w u s tro ju p rz y ­ gotow anym przez obciążenia zew n ętrzn e (rys. 12 i 18). O bliczenie etapo­

w ych sił biegunow ych przepro w ad za się podobnie ja k obliczenie cech sprężystych począw szy od łożyska pierw szego z zacnow aniem ustalonej kolejności. O bliczenie etapow ej siły biegunow ej na danym etapie tra k ­ tu je się rów nocześnie jak o sprzęgnięcie odnośnego łożyska. P rz y oblicza­

niu etapow ej siły biegunow ej k o rzy sta m y z poprzednio obliczonych cech

B u d o w n i c t w o 2 3

sprężystych. Dla podanego p rzy k ład u obliczenie etatow ej siły biegunow ej X 4 przedstaw iać się będzie następująco:

spx4 = ...ró w n - Pracy (5) Sr *4 = V 4 - ^ ‘ X i 4 1 V , - X , • X 24 ' - ^{X 3} • ^

^ °Pxi

4 *

W podanych powyżej oraz w d alszym ciągu p rzykładach obliczeń sym ­ bol X™ oznacza uogólnioną siłę w biegunie m, w yw ołaną działaniem

uogólnionej siły X n = 1 zaczepionej w biegunie n. K resk a nad znakiem siły oznacza, że je st to siła etatow a. W szystkie w artości w y stępu jące w obliczeniu zostały już poprzednio w yznaczone bądź to przy obliczaniu cech sp rężystych, bądź też p rzy obliczaniu etapow ych sił biegunow ych w etap ach w cześniejszych. P odana poprzednio uw aga dotycząca red u k cji w yrazów w iloczynach zachow uje tu nadal sw oją ważność.

4 Rzeczywiste siły biegunowe

Obliczenie o statn iej siły etapow ej jest zarazem sprzęgnięciem o sta t­

niego łożyska w ostatn im p rzek roju . W ten sposób ustrój został sprow a­

dzony do stan u rzeczyw istego. O statnia siła etapow a jest więc rów nocze­

śnie pierw szą znalezioną rzeczyw istą siłą w ew nętrzną. W przyk ładach przedstaw ion ych na ry su n k ach 10 i 16 siłam i ty m i są Xt, i Z6. N astępne rzeczyw iste siły biegunow e obliczać należy w kolejności odw rotnej, tzn.

rozpoczynając od łożyska ostatniego, a kończąc na łożysku pierw szym . R zeczyw ista siła biegunow a w r- łożysku jest więc rów na sum ie etapow ej siły biegunow ej tego łożyska oraz w pływ ów w yw ołanych w tym łożysku przez w yznaczone już poprzednio rzeczyw iste siły biegunow e. W naszym przykładzie otrzy m am y

X , = X , + X** • X 5 + X ? • X 6

O dpow iednie w artości sił należy w staw iać z uw zględnieniem znaków.

Je śli dla danej siły rzeczyw istej w ypadnie znak u jem ny, tzn. że siła ma k ieru n e k przeciw ny niż k ieru n e k p rzy jęty .

5. Momenty i siły ustrojowe

U stalenie w ykresów m om entów i sił sprow adza się do rozw iązania u stro ju staty cznie w yznaczalnego obciążonego odnośnym i w pływ am i ze­

w n ętrzn y m i oraz znalezionym i w ielkościam i rzeczyw istych sił bieguno­

O bliczanie ram p rze strze n n yc h 35 w ych. Po w yznaczeniu m om entów należy skontrolow ać w yniki. K on trolę przepro w adza się n a dow olnie w y cięty m z u stro ju , zam knięty m ciągu p rę ­ tów. U stró j p rzed staw io n y na ry su n k u 7 jest ty pow ym przykładem tak ie ­ go ciągu.

•s»

Z u s tro ju przedstaw ionego na ry su n k u 8 m ożem y w yciąć kilka takich ciągów prętó w . M ogą n im być rozpory odcięte od słupów i tw orzące w ie­

niec zam k nięty a, b, c, d, e, f, a bądź też p rzedstaw iona na ry su n k u kom ­ binacja k ilk u rozp ó r i dw u słupów np. A, a, b, c, d, D. T ak pom yślany

ciąg p rętó w m a tę właściwość, że jeżeli p rzetn iem y go w dow olnym p rze ­ k ro ju , a n a stę p n ie spow odujem y w nim odkształcenia w łaściw e m om en­

tom i siłom p an u jący m w układzie rzeczyw istym , to o trz y m an e przez przecięcie korespon d ujące p rze k ro je nie d oznają żadn ych w zajem nych przem ieszczeń. In n y m i słow y 8*1P = oX2P = SX3P = 8X4P = 8XSP = 8xep = 0.

Chcąc na p rzy k ła d spraw dzić w arto ść bxip, w yznaczam y m o m enty zgi­

nające i skręcające w yw ołane w p rzecięty m ciągu przez d w ójkę sił X 4 = 1, po czym całk ujem y zgodnie z rów naniem p rac y (5) iloczyny ty ch m om entów oraz m om entów rzeczyw istych. Sum a całek obliczonych dla poszczególnych p rętó w m usi być w ro zp a try w a n y m ciągu rów n a zeru. Dla u stro ju przedstaw ionego na ry su n k u 10 przeprow adzono k o n tro lę w od­

niesieniu do przem ieszczeń 8vp i bmp (rys. 14).

Z akończenie

P ra ca niniejsza pośw ięcona je s t om ów ieniu zagadnienia sta ty k i p rze­

strzen n y ch u stro jó w p ręto w y ch w układzie C lapeyrona. R ozw iązanie ty ch u stro jó w przeprow adzono p rzy zastosow aniu pojedynczych biegunów

3*

sprężystych. Nazw a ta przy obliczaniu ram przestrzen n y ch m oże b u ­ dzić pew ne zastrzeżenia z uw agi na to, że w ystępujący tu biegun po­

jedynczy m a fo rm ę szczątkow ą i m ało podobną do swego p ro to ty p u k la ­ sycznego bieguna złożonego. Z astrzeżenia te m ogłyby się zdawać ty m słuszniejsze, że w teo rii b ad ań m odelow ych k o rzysta się rów nież z ło­

żysk w yzw alających jed n ą niew iadom ą, nie określając ich jed n a k m ia­

nem bieguna sprężystego. Pom im o to nazw a biegunów sp ręży stych zo­

stała tu n adal u trzy m an a. U pow ażnia do tego fakt, że biegun pojedynczy stanow i n a tu ra ln ą i logicznie uzasadnioną form ę ew olucyjną bieguna zło­

żonego oraz to, że sform ułow ana dla biegunów złożonych m etoda zasadni­

czo niczym się nie różni od m etody podanej dla biegunów pojedynczych.

Podkreślić należy p rzy tym , że sposób obliczenia przedstaw iony dla p rę ­ tow ych układów p rzestrzen n y ch zn ajd u je w pełnym swoim brzm ieniu rów nież zastosow anie p rzy rozw iązyw aniu układów płaskich. U kłady p łaskie bow iem stanow ią szczególny p rzy p ad ek układów przestrzennych.

Za pom ocą biegunów pojedynczych m ożna więc rozw iązać w sposób wyżej przedstaw io ny każdy statyczn ie niew yznaczainy u k ład prętow y ty p u Cla- peyrona.

C h ara k te ry z u ją c przedstaw io n y sposób obliczenia ram przestrzen n y ch m ożnaby podkreślić n a stęp u jące jego zalety:

1) w szechstronność zastosow ania oraz całkow ite zm echanizow anie p rac y p rzy rozw iązyw aniu dow olnych u stro jó w pręto w y ch spoty ­ kan ych w p ra k ty c e inżynierskiej, bez w zględu na ich kształt, cha­

ra k te r, stopień statycznej niew yznaczalności i rodzaj obciążenia.

W ynika to z w alorów m eto d y sił, na k tórej opiera się m etoda b ie­

gunów sprężystych;

2) m ożliwość bezpośredniego obliczenia wielkości hip er sta tycznych i co za ty m idzie zw olnienie z obow iązku tw orzenia i rozw iązyw a­

nia układów rów nań;

3) duże u łatw ienia p rzy rozw iązyw aniu u stro jó w poddanych działa­

niu w iększej ilości schem atów obciążeń. U zyskuje się je dzięki w y ­ raźnem u podziałow i obliczenia na dw ie części, a to na badanie sprężystości u stro ju oraz b adan ie w pływ u obciążeń. W yk orzy stu­

je się m ianow icie p rzy rozw iązyw aniu u stro ju obciążonego now ym układem sił w y nik i przeprow adzonego już poprzednio badania sprężystości. Czas p o trzeb n y do rozw iązania u stro ju obciążonego now ym schem atem sił stanow i około 30% czasu potrżebnego przy pierw szy m obliczeniu.

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 37 P r z y k ł a d 1. O bliczenie ra m y p rzestrzen n ej w uk ład zie p rze d sta ­ w ionym na rys. 9.

M om enty bezw ładności

0,3 • 0,63 dl = dli =

d n i =

d I V =

T = 7' =_{J I I}

III

div

12 0,3 • 0,53

12

0,3 O OO co

12 0,6 • 0,33

12 0,5 • 0,33

12 1,8 • 0,33

12

= 0,0054 m 4 . . . (1,000)

= 0,003125 m 4. .(0,579)

= 0,0128 m 4.. (2,370)

= 0,00135 m 4.. (0,250)

= 0,001125 m 4. .(0,2083)

= 0,0018 m 4. .(0,333) P = f t

Układ rzeczywisty

Rys. 9

W artość C (równ. 6)

Ci = Cn = 0,764 ( l + = 3,820, Cm = 0,764 ( l + = 2,886

\ 0,3 / \ 0,32

I O 8 2 \

Civ = 0,764 + ~Qgaj = 6,197 K olejność sprzęgania łożysk: X* do X 6 (rys. 10)

I. Cechy sprężyste

(X,) SX1X1 = 4,0 • -4’0 • - • 4,0

11 1 1 2 3 0,250

1 8,0 • 8,0 _ 2 8,0 + 3 0,250 , n « o „ n „ 1 , 4,0 • 4,0 2 4,0

-)- 8,0 • 3,0 • 8,0 -77777 d--- 7---• — • __ ■(- + 8,0 • 4,0 • 8,0

0,2083 2

6,197 2,37

3 2,37

= 2368.127 X 2 = 1 w yw ołuje

JX2X1 3,0 • 3,0

8,0 1

0,2083

+

+

+ 8,0 • 4,0 • 3,0 • 6,^ 7- = + 423,839 2,370

423,839

2368,127 " 0,1790

O bliczanie ra m p rze strze n n y c h 39

es

C2 Ci

05' -4'

Rys.lla. Momenty odjednostkowychsił biegunowychXi=

X s = 1 w yw ołuje

8, 3*! = 0 + 0 + 0 - 4,0 1 4,0 • = - 10,127

X*3 =

2

10,127 2368,127

2,370

= + 0.004276

X \ = 1 w yw ołuje

8,4, t = 0 X "‘ = 0 X& = 1 w yw ołuje

4,0 • 4,0 1,0 4,0 • 4,0 1,0

8, 5,4 —

0,25 2,370 = - 35,376

x i 5 = + = + 0,014938 2368,127

Xq = 1 w yw ołuje

i m - o + . _ Ł ! L + 8,0 • 3,0 • - M _ +

2 0,250 0,2083

+ 8,0 • 4,0 • 1,0 • W L = + 326, 2,370

O bliczanie ra m p rze strze n n y c h 41 Tr* 326,888 ...

= ^ = — 0,1380

1 2368,127

W « U = 4- ^ . M + 0 . i , _ w _ +

2 3 1,0 2 3 0,2083

4,0 • 4,0 _ 2^ _ 4,0 + 3 _ 4 > 3 _ JU 97^ = 222 66g

2 3 0,333 2,370

8*2*2 = 222,669 - 0,1790 • 423,839 = 146,802 X 3 = 1 w y w ołu je

6*3*2 = 0 + 0 + 0 + ^ ° • _ M _ = i9 2 ;0

2 0,333

8*3*2 = 192,0 - 0,1790 • 10,127 = + 193,813 z *3 = _ 193,813 = _

2 146,802

X i — 1 w yw ołuje

a ^ 4^ . ^ + 0 + 0 + 1^ . - ^ = 3 2 , 0

4 2 2 1,0 2 0,333

oXiX2 = 32,0 - 0,1790 • 0 = + 32,0

r 32,0

X ** = --- ’ = - 0,2180

2 146,802

X5 = 1 w y w ołu je

a*5*2 = 0 8*5*2 = 0 - 0,1790 • 35,376 = 6,332 x *s = ---- M 3 2 _ = _ o,04313

2 146,802

Xg — 1 w yw ołuje

6*6 *2 = 0 + 0 + 3,0 ' 3,0 • 1 , 0 --- — + 3,0 • 4.0 • 1,0 • = + 52,979

2 0,2083 2,370

8*g*2= + 52,979 - 0,1790 • 326,888 = - 5,534 X x = + 5’534 = + 0,0377

2 146,802

, v , .o n , 8,0 • 8,0 2 8,0 , 3,0 • 3,0 2 3,0

(,X3) o*3*3 — UH--- • — • --- --- • — • --- r

2 3 1,0 2 3 0,579

9 ooc o n o n

+ 8,0 • 3,0 • 8,0 • — + 3,0 • 4,0 • — — + 8,0 • 4,0 • = 1926,417

0,579 2,370 0,333

8*3*3 = 1926,417 - 0,004276 • 10,127 - 1,320,193,813 = 1670,541

X 4 = 1 w yw ołuje

ę . = 0 + M _ M . ^ + M . 3,0 . + 8,0 • 4,0 • 1,0 = + 247,627

0,333

= + 247,627 - 0 + 1,320 • 32,0 = + 205,387

= - 205,387 = - 0,12295

3 1670,541

X 5 = 1 w yw ołuje

8® . = 0 + 0 + 3,0 ' 3 ’0 • + 3,0 • 4,0 • 1 , 0 --- -— = 12,835

5 3 2 0,579 2,370

_J_ _J_ _ _

o*6*3 = + 12,835 — 0,004276 • 35,376 — 1,320 • 6,332 = + 4,3255 X * s = --- 4 ’3 2 5 — = - 0,002589

3 1670,541

X§ ~ 1 w yw ołuje

0°*6*3 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

+ — — +

8*6*3 = 0 - 0,004276 • 326,888 - 1,320 • 5,534 = + 8,703 X*« = --- 8,703 _"3 = - 0,005210

1670,541

(X J S°*4*4 = 1,0 . 4,0. ^ + 1,0 • 8,0 • ^ + 1,0 . 3,0 • 1,0 • -2^ 8- +

1,0 1,0 0,579

+ 1,0 • 4,0 • 1,0 • — — = 38,953 0,333

8*4*4 = 38,953 - 0 - 0,2180 • 32,0 - 0,12295 • 205,387 = 6,725 X 5 = 1 w yw ołuje

8°.vg*4 = 0

8*5*4 = o - 0 - 0,2180 • 6,332 - 0,12295 • 4,3255 = — 1,9122

X fi = 0 w yw ołuje

X x5 = + 1,9122 = -f 0,2813

4 6,725

0 *5*4 — U= 0

8*6*4 = 0 - 0 - 0,2180 • 5,534 - 0,12295 • 8,703 = + 0,1364 X x6 = _ 0,1364 = - 0,02028

4 6,725

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 43

1 3 ^{89 0}

(X5) S V -5 = 1>0 • 4,0 . 1,0 • + 1,0 • 8,0 • 1,0 • + + 1,0 • 3,0 • + 1,0 • 4 , 0 - ^ - = 53,429

0,579 2,370

SX-X5 = 53,429 - 0,014938 • 35,376 - 0,04313 • 6,332 - 0,002589 • 4,3255 - - 0,2843 • 1,9122 = 52,073

Xq — 1 w yw ołuje

s°*6*b = o + o + o + o = o

oX6x6 = 0 — 0,014938 • 326,888 - 0,04313 • 5,534 — 0,002589 • 8,703 -

+ —

- 0,2843 • 0,1364 = + 5,1381 X * _ _ 5, 1381 = „ 0,09867

5 52,073

(X) o \ xs = 1,0 • 4.0 • 1,0 • + 1,0 • 8,0 • + 1,0 • 3,0 • — +

1,0 0,250 0,2083

+ 1,0 • 4,0 ■ 1,0 • 6’1— = 72,141 2,370

SX6X6 = 72,141 - 0,138 • 326,888 - 0,0377 • 5,534 - 0,00521 • 8,703 - - 0,02028 • 0,1364 - 0,09867 • 5,1381 = 26,267

II. E tato w e siły biegunow e

- 4 0 - 4 0 1

(X!) S*1P = 0 + .... ’ • 3 , 0 --- + 10,126

2 2,370

X = ---10,126... = - 0,004276 2368,127

(X2) S°X2P = 0 + 0 + 0 + 4,0 • 3,0 - — i— = 72,0

2 0,333

oX2P = + 72,0 - 004276 • 423,889 = + 70,188

~ = _ _ 7 0 O 8 8 _ = _ 0 146,802

(X 3) 6°^3p = 0 + 0 - + 8 0 - 3,0 • 3,0 • +

2 3 0,579 0,579

+ 8,0 • 4,0 • 3,0 • — 1---3,0 • 4,0 • 3 , 0 — = 616,154

0,333 2,370

SX3P = + 616,154 - 0,00427 • 10,127 - 0,4781 • 193,813 = 523,535

X3 = 523,535

1670,541 = - 0,3124 (X4) S°X4P = 0 + 0 + 1,0 • 3,0 • 3,0 ^2,886

0,579 1,0 • 4,0 • 3,0

0,333 + 80,860 6*4P = + 80,860 - 0,004276 • 0 - 0,4781 • 32,0 - 0,3134 • 205,387 = + 1,193

X4 = — _ o,1774 6,725

(X5) 6°*5p = 0 + 0 - 1,0 • 3,0 3/) ____

2 0,5791 - 1,0 - 4 , 0- 3, 0 - ^ ^ = - 1 2 ,8 3 5 2,376

Momenty od sił zewnętrznych

Rys. 12

o*5P = — 12,835 — 0,004276 • 35,376 — 0,4781 • 6,332 —

— 0,3134 • 4,3255 — 0,1774 • 1,91^22 = - 16,728

- 16/728 = 2

52,073

(Xs) 50v6P = 0 + 0- f - 0 + 0 = 0

oX6P = 0 - 0,004276 • 326,888 — 0,4781 • 5,534 — 0,3134 ■ 8,703 - 0,1774 • 0,1364 - 0,3212 • 5,1381 = + 0,147

“ O 147

X e = --- ’ = - 0,005596 26,267

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 45 III. Rzeczyw iste siły biegunow e

X 6 = — 0,005596 tm

X 5 = + 0,3212 + 0,005596 • 0,09867 = + 0,3217 tm

- — 4- 4-

X , = — 0,1774 + 0,005596 • 0,02028 + 0,3217 • 0,2843 = - 0,0859 tm X 3 = — 0,3134 + 0,005596 • 0,00521 + 0,3217 • 0,002589 + 0,0859 •

• 0,12295 = - 0,3037 t

X 2 = — 0,4781 + 0,005596-0,03770 + 0,3217-0,04313 + 0,0859 ■ 0,2180 + + 0,3037 • 1,320 = - 0,07257 t

— — 4- 4-

X, = - 0,004276 + 0,005596 ■ 0,1380 + 0,3217 • 0,014938 + 0 + + 0,3037 • 0,004276 + 0,07257 • 0,1790 = + 0,013 t IV. M om enty ustro jo w e (rys. 13)

(2) — + — +

Ma = + 0,07257 ■ 4,0 + 0,0859 • 1,0 = — 0,3762 tm

( ! ) 4" — 4“ 4"

Ma = 0,013 • 4,0 + 0,3217 • 1,0 = + 0,2697 tm

(2) - +

Mba = 0,0859 • 1,0 = — 0,0859 tm

ui +

M b a = 0,3217 • 1,0 = + 0,3217 tm

(3) — +

M a b = + 0,0056 • 1,0 = — 0,0056 tm

(2) + (3) +

Mec = - 0,0859 • 1,0 = - 0,0859 tm M Bc = — 0,005596 • 1,0 =

= — 0,005596 tm

(2) — + — +

M c b = 0,3037 • 8,0 + 0,0859 • 1,0 = - 2,5155 tm

(3) + + + —

M c b = 0,013 • 8,0 + 0,005596 • 1,0 = + 0,0984 tm u)

Mbc = + 0,3217 • 1,0 = + 0,3217 tm

u) +

Mcd = + 0,3217 • 1,0 = + 0,3217 tm

(3)

Mcd = + 0,0984 tm

u) — + + +

Mdc = - 3,0 + 0,3037 • 3,0 + 0,3217 • 1,0 = - 3,5894 tm

(3) + + + +

Mdc = 0,013 • 8,0 + 0,07257 • 3,0 + 0,005596 • 1,0 = — 0,1193 tm

(2) + — + — 4-

Mcd = 3,0 + 0,3037 ■ 8,0 + 0,0859 • 1,0 = + 0,4845 tm

(1) — 4 - 4 - 4 -

M d e = ~ 3,0 + 0,3037 • 3,0 + 0,3217 ■ 1,0 = - 3,5894 tm

(2)

Mde = + 0,4845 tm

= 11 A ^894 Rys. 13

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 47

(1) + — — + + +

Med = - 3,0 + 0,013 • 4,0 + 0,3037 • 3,0 + 0,3217 - 1,0 = — 3,6414 tm

(2) — + — + — +

M e d = + 3,0 + 0,07257 ■ 4,0 + 0,3037 • 8,0 + 0,0859 • 1,0 = + 0,1942 tm

(3) + — + — +

M e d = 0,013 • 8,0 + 0,07257 • 3,0 + 0,005596 • 1,0 = — 0,1193 tm K o n tro la w yników (rys. 14)

0,3762 + 0,0859

Jvp 4,0 • 8,0 ^ + 0,2697 + ° ’3 2 1 7 . 4 ,0 .3 ,0 . 1

1,0 0,250

_ 0,0859 • 8,0 _ 2 g Q > J 2,5155 • 8,0 . i . g Q . +

2 3 ’ 1,0 2 3 ’ 1,0

+ 0,3217 • 8,0 • 3,0 • ^ ? 2 0 + , 1 . 3|0 . - A —

1,00 2 3 0,579

3,5894 • 3,0 3,0

3 0,579 = — 45,356 + 4 5 ,3 5 3 8 ^ 0

Momenly od jednostkowych s/ł podporowych

Rys. 14

. 0,3762 + 0,0859 . n 1,0 , 0,0859 + 2,5155 „ n 1,0

Omp — H • 4,(J • —— H --- • 8,0 • — —

- 0,4845 • 3,0 . 1 , 0 . ^ 6 - ^ 2. + M 8 4 5 . 4,0 . 1,0 • - ± - =

0,579 2 0,333

= + 11,3298 - 11,3171 = 0

W analogiczny sposób m ożna przeprow adzić kontrolę czterech pozosta­

łych w arunk ó w podporow ych.

P r z y k ł a d 2. O bliczanie podstaw y chłodni- kom inow ej jako ram y p rzestrzen n ej w układzie p rzedstaw ionym na rys. 15.

r r “ 't i

i i

Z W ' R o t '

O , I

I 1 I

I

Układ rzeczywisty

i

i l

t

j r

J s

l J

3 \-* -4 ,8 5 — , 4

szczegół,, a ”

W *7 0 r — ^{w -}

i

70

ł

IV

IV w

- 9 ,70

V!

_ L

4 0 -

ł A

- 7tf \

Rys. 15

M om enty bezw ładności

J , = — = 213333 cm 4 404 . .

1 ¿i O) 70 . 4 0 3

Js = — ^2 = 373333 cm4

(0,186) (0,326)

<2> 40 • 703

J s = — ^ — = 1143333 cm 4 ... (1,0)

O bliczanie ram p rze strze n n yc h 49 Z rów nania (6) obliczam y:

Csjupa = 0,764 | l + = 3,1 Crozp. = 0,764 | l + = 1,528 K olejność sprzęgania łożysk X i_ 6, W i_6, Yi—e, Zi_6 (rys. 16).

I. C echy spręży ste

(XJ _ 2 . / J M * » + « Ł W . i . 3,0 +

\3 • 0,186 2 - 1 , 0 3 2 • 0,326 3 , 2,425- • 6,0 • WA _ 488i294

1.0

X2 = 1 w yw ołuje

0*2 * 1

X3 = 1 w yw ołuje

x T ■= o

W r = i 2’1 0 2 ' 6’0- • ^ ~ 1’2 1 2 - 6’° • • 2 = 78,274

3 1 1 0,326 2 1,0

= - 78,274 = — 0,1603 488.294

Xą — 1 w y w ołu je

3*i*i = 0 Xf* = 0 X5 = 1 w yw ołuje

8« = 2 • (° ’5 * 6’° • - ° ’866 --M - 5 ^ = 54,606

\ 0,326 2 1,0 2

Xi> = - - 54’6-0 -- = - 0,1118 488.294

X6= 1 w yw ołuje

0 * 6 * 1 = 0

X

= 0

Y i = 1 w yw o łu je

O y i * i = 0 X v1 i = 0

Y2 ⁼ 1 w yw ołuje

^ 2 * 1 = ^{0 x y > = 0}

Y 3 ⁼ 1 w yw ołuje

6 ^ 3 * 1 = 0 x y1 > = 0

Y 4 ⁼ 1 w y w o łuje

^¡/4*l == ⁰ X"‘ = ⁰ Y 5 = 1 w y w o łuje

6 y 5 * i = ^{0 x \ *} = ⁰

Y e = 1 w yw ołuje ♦

= 0 XV*1 = ⁰

Układzastępczy

O bliczanie ra m p rze strze n n yc h 51

(X2) 8°X2X2 = 2 • ( 5,196 ' • - • 5,196 + 3,0 ' 6,0 • - • 3,0) = 367,288 1 2' 2 2 \ 2 ■ 0,326 3 2 - 1 , 0 3 /

0x2X2 = 367,288 - 0 = 367,288 X3 = 1 w yw o łu je

§ ,2*3 = 0 x p = 0

Mo/n en fy odjednosfkowyc/j s/ł ¿//egunowycZ x,- 6 (analog, od s/ł }',.6 , Z,_6t W, ^'

Rys. 17

X 4 = 1 w yw ołuje

s° —

J X4X2 — 5 ,196 6 ,0 0)8 6 6 _ . 0>5

2 • 0,326 2 • 1,0

oXiX2 = — 91,822 — 0 = — 91,822 X** = + - 91»822- = + 0,25

2 367,288

X5 — 1 w yw ołuje

0°X5X2 = 9

Ox5X2 = 0 — 0 = 0 X * 5 = 0 Xq — 1 w yw ołuje

5°V6*2 = 9

Sx6, 2 = 0 - 0 = 0 X*« - 0

Y i = 1 w y w o łuje

8 .,,,, _ 2 Z5' 196 • 6'° . 1 . 3,0 + 5’196 ' 6'°- . 1 . 3 ,

\ 2 - 1 , 0 3 2 • 0,326 3 6j,,x2 = 253,614 — 0 = + 253,614

253,614 367,288 Y 2 = 1 w yw ołuje

= 2 1 • 3,0 - . 1 . 5>196

' 2 - 1 , 0 3 2 ■ 0,326 3 Sy2.v2 = — 295,268 - 0 = - 295,268

295,268

x 2‘ = = - 0,6905

X y* = + = + 0,8040

2 367,288

Y3 = 1 w yw ołuje

3V , - 2 ( _ 3 ^ . li212 + W L M . 2,102\

\ 2.1,0 2 • 0,326 I

o°y3X2 = + 179,202 - 0 = + 179,202 179,202

X,3 = ---= — 0,488

2 367,288

Y 4 = 1 w y w ołuje

/3,0 - 6 , 0 n E , 5,196 • 6,0 --- • 0,5 H---

2 - 1 , 0 2 • 0,326

oyiX2 = + 73,816 - 0 = + 73,816 x y = _ , '73,816 Q 2Q1

2 367,288

= 2 ■ 0,5 + • 0,866) =

= - 91,822

= 253,614

= - 295,268

= + 179,202

+ 73,816

O bliczanie ram p rze strze n n yc h 53 Y 5 =

Y 6 =

( x 3) s°,

x 4 =

Xg = O

X 6 =

Y i =

Y2 =

y 3 = y 4 =

Ys =

Y6 =

1 w yw ołuje

oy5x 2 = 2 3,0 • 6,0

0,866

+

= + 63,404

*5*2 = + 63,404 - 0 = + 63,404 63,404

0,5 =

* ; 5 = 1 w yw ołuje

367,288 X ? = 0

= - 0,1726

3, 3 = 2 - I2’425 ' 2’425 • 2 - 2 425 + 2>1° r ' 6’° + 12122 ' 6’°

2 • 0,186 3 0,326

= 231,376

8*3*3 = 231,376 - 0,1603 • 78,274 - 0 = 218,829 1 w yw ołuje

S°*4*3 = 0

8*4x3 = 0 - 0 - 0 = 0 X ;7 = 0 1 w yw ołuje

1,0

0■*5*3 — ^— 2 0,866 • 6,0 • 1,212 0,5 ■ 6,0 • 2,102

1,0 0,326

8*0*3 = + 25,986 - 0,1603 • 547606 — 0 = + 17,233

= + 25,986

1 w yw ołuje

17,233

218,829 = - 0,07875

S°*fi*3 = 0 8*6, 3 = 0 - 0 - 0 = 0 X*e = 0 1 w y w ołu je

8°i/i*3 = 9 1 w yw ołuje

8°*2*3 = 0

1 w yw ołuje

° * 3 * 3

1 w yw ołuje 8°y4*3 = 9 1 w yw ołuje

8°*5*3 = 9

1 w yw ołuje

8*2*3 = 0 - 0 - 9 = 0 X 7 = 0

8 *2 * 3 = 9 — 0 — 9 = 0 X 7 = 0 S°„«3 = 0 8*3*3 = 0 - 0 - 0 = 0 X^3 = 0

Jy 4x3 ^{0 — 0 — 0 = 0} x y* = o

y s * 3 0

8 * 5 * 3 = 0 - 0 - 0 = 0 Xjf' = 0

8 * 6*3 = 0 - 0 - 0 = 0 X " « = 0

(X.) J \ 4X, = 2 • (-1' 0-- 2'425 • 1 0 + + 0.86P • 6,Oj = 5

\ 0,186 1,0 0,326 /

S.v4x4 = 56,682 - 0 - 0,250 • 91,822 - 0 = + 33,727 X 5 = 1 w yw ołuje

S°*5,4 = 0 6x5x4 = o - o - o - o = o x*> = o X 6 = 1 w yw ołuje

S°x6x4 = 0 Sx6x4 = 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X*° = 0 Y i = 1 w yw ołuje

= 21 ■ 6'° ■ 5' 196 _ <M>S6 - 6, 0- 3, 0\ = - 63,404

\ 2 - 1 , 0 2 • 0,326 /

+ — y

0yix4 = — 63,404 - 0 — 0,250 • 253,614 — 0 = 0 X 4' = 0 Y2 = 1 w yw ołuje

-3,0 • 6,0 0 5 + .5,196 • 6,0 _ 0 866| = 73)816 2 - 1 , 0 2 • 0,326

+ + y 2

Sy2X4 = + 73,816 - 0 - 0,250 • 295,268 - 0 = 0 X 4 = 0 Y 3 = 1 w yw ołuje

/ ^ 2 1 2 ^ 6,0 . 0 , 5 _ 2,120 • 6,0 ■ 0,8661 = _

\ 1,0 0,326 /

_ f _ —

oy3*4 = - 59,734 — 0 - 0,250 • 179,202 — 0 = — 14,934 X v* = -14’9-3— = 0,4428

4 33,727 Y 4 = 1 w yw ołuje

2.0 _ 0 /0,52 - 6,0 0,8662 • 6,0

O «4x4 ■— ^

\ 1,0 0,326

+ -

ow*4 = - 24,606 - 0 — 0,250 • 73,816 — 0 = — 6,152 6,152

33,727 Y 5 = 1 w yw ołuje

0,866 - 6,0 ■ 0,5 _ 0,5 - 6,0 • 0,866

1,0 0,326

+ —

o95, 4 = - 21,134 — 0 — 0,250 • 63,404 — 0 = — 5,283 rys . 5,283

= - 24,606

X i i = + J = + 0,1824

;0!/5*4 = 2 I — y — | = _ 21,134

X*5 = H = + 0,1566

4 33,727

O bliczanie ram p rze strze n n yc h 55 Y e = 1 w yw ołuje

S% 6*4 = 0 SV6Xi = 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X * = 0

(X .) 6V . - 1’° • 4 ' 8 5 • l l 0 • 1,528 + Z0' 86-6’- ^ + . 2 = 58,045

0,186 \ 1,0 0,326 I

8 * 5* 5= 58,045 — 0,1118 • 54,606 - 0 - 0,07875 • 17,233 - 0 = 50,576 Xq — 1 w yw ołuje

S°X6XB = 0 S* c* 5 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X?* = 0 Y i = 1 w yw ołuje

8 ° ,4*5 = 0 8,4*5= 0 — 0 — 0 — 0 — 0 = 0 X y > = 0

Y 2 = 1 w yw ołuje

S ° y 2 X 5 = 0 8¡,2*5 ^{= 0 - 0 - 0 0 - 0 = 0 X g2 = 0}

Y 3 = 1 w yw ołuje

S°ynX5 = 0 Sj,3*6 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X^8 = 0 Y4 = 1 w y w o łuje

6°,4*5 = 0 8,4*5 = 0 — 0 — 0 — 0 — 0 = 0 X ^ = 0 Y5 = 1 w y w o łuje

8°»5*5 = 0 S, 5* 5 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 x y5> = 0

Ye = 1 w yw ołuje

= 0 ^ 0*5 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X^8 = 0 (X 6) S° * 6*6 = 1 , 0 ' 4 , 8 5 ' 1,Q- + 1 , 0 ' 6 , 0 ' 1 , 0 • 3,1 • 2 = 63,275

0,186 1 , 0

S* 6*6 = 63,275 — 0 — 0 — 0 - 0 — 0 = 63,275 Y i = 1 w y w o łu je

6° ,4*6 = 2 • 2 , 4 2 5 ' 6 ’°i ‘ 1 , 0 ~ 3 , 1 | = - 90,210

8,4*6 = — 90,210 — 0 — 0 — 0 - 0 - 0 = - 90,210 X g ‘ = + 9 0 ,2 1° - = + 1,4257

6 63,275

Y2 — 1 w yw ołuje

3°, 2*6 = o 3,2*6 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X ^2 = 0 Y 3 — 1 w yw ołuje

S%3X6 = 0 8,3*6 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X^8 = 0 Y 4 = 1 w y w o łuje

= 0 5,4*6 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X"* = 0

Y5 = 1 w yw ołuje

8°mx« = 0 = 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 = 0 X 6y= = 0

Y6 = 1 w yw ołuje

o0« = - 1 • 6,0 • 1,0 • 2 • 3,1 = - 37,20

= — 37,20 — 0 - 0 — 0 — 0 — 0 = — 37,20

x vt = + _ 3 M 0 _ = 63,275

A nalogiczne w yniki dla biegunów W x do W6

(Y i) 8V i = 2 i 0*!« = 2 • 488,294 = 976,588

suwi = 976,588 — 0 — 0,6905 • 253,614 — 0 —0 —0 - 1,4257 • 90,210 = 672,856 Y2 = 1 w yw ołuje

~ 2 S^jti = 0

+ --

8*201 = 0 —0 —0,8040 • 253,614 — 0 — 0 — 0 — 0 = +203,906

TrV 203,906

Y f2 = --- 5--- = - 0,303 672,856

Ys = 1 w yw ołuje

= 2 SX3X1 = 2 • 78,274 = + 156,548

8</syi = + 156,548 — 0 — 0,6905 • 179,202 — 0 — 0 — 0 — 0 = + 32,809 32,809

z r = —

Y 4 = 1 w yw ołuje

Y j3 = - = - 0,04876 672,856

°°!/4!/i — 2 • 8X£Xj — 0

8} «i = 0 — 0 - 0,201 • 253,614 - 0 - 0 - 0 - 0 = — 50,9764 yV = 50,9764 = o,07576

1 672,856

Y 5 = 1 w yw ołuje

8%5yi = 2 8X5X1 = 2 • 54,606 = 109,212

Sjwi = + 109,212 - 0 - 0,1726 • 253,614 - 0 - 0 - 0 - 0 = + 65,438

Y6 = 1 w yw ołuje

Y f5 + - 65,438 = - 0,09725 672,856

— 2 8XI1X1 — 0

+ +

= 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - 1,4257 • 37,20 = - 53,036 Y y _ + _53,036 = + o,07882

672,856