25września2014 SławomirKost Przeliczalnastrukturaadekwatnadlafuzjisystemów

95  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

Sławomir Kost

Zakład Logiki Matematycznej

25 września 2014

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(2)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

(3)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(4)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna

(trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

(5)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(6)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

(7)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1

C1

C0 F1

F0

L2

C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(8)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana

Kracht Charakteryzowana

przez klasę

Wolter przez strukturę

L1 C1

C0 F1

F0

L2 C2

F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

(9)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht

Charakteryzowana

przez klasę Wolter

przez strukturę

L1 C1

C0

F1

F0

L2 C2

F2

L1⊗ L2

L1⊗ L2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(10)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1 C1

C0 F1

F0

L2 C2 F2

L1⊗ L2

L1⊗ L2

(11)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Wiele systemów jednodalnych posiada adekwatne rodziny struktur Kripkego, pojedynczą strukturę spójną np. S 5, Grz.3, S 4.3B2M, S 4GrzB2.

Jak znaleźć pojedynczą strukturę spójną adekwatną dla systemu dwumodalnego L1⊗ L2?

Struktura kanoniczna (trudna w opisie i zastosowaniu, Grz.3 nie jest systemem kanonicznym)

Grz.3 ⊗ Grz.3 nie jest systemem kanonicznym

Charakteryzowana Kracht Charakteryzowana przez klasę Wolter przez strukturę

L1 C1

C0 F1

F0

L2 C2 F2

L1⊗ L2 L1⊗ L2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(12)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

Język 2-modalny

Przez ML2 oznaczamy język 2-modalny. Jego alfabet składa się z:

nieskończonego, przeliczalnego zbioru zmiennych zdaniowych p, q, r , . . .;

stałych logicznych: >(prawda) oraz ⊥(fałsz);

spójników logicznych: ∧, ∨, → oraz ¬;

operatorów modalnych: i oraz ♦i dla i = 1, 2 symboli: ) oraz (.

(13)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

ML2-formuła

Pojęcie ML2-formuły definiujemy indukcyjnie w następujący sposób:

wszystkie zmienne zdaniowe i stałe logiczne są ML2-formułami;

jeśli ϕ oraz ψ są ML2-formułami, to również (ϕ ∧ ψ), (ϕ ∨ ψ), (ϕ → ψ), (¬ϕ), (iϕ) oraz (♦iϕ) (dla i = 1, 2) są ML2-formułami;

nie ma innych ML2-formuł;

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(14)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

|=hF ,v ,xi ϕ (ϕ jest prawdziwa w świecie x modelu hF , v i) Ustalmy strukturę F = hW , R1, R2i oraz bazujący na niej model hF , v i. Relację |= definiujemy indukcyjnie względem budowy formuły:

|=hF ,v ,xi p iff x ∈ v (p);

|=hF ,v ,xi >;

6|=hF ,v ,xi (nieprawda, że |=hF ,v ,xi ⊥);

|=hF ,v ,xi ψ ∧ ϕ iff |=hF ,v ,xi ψ oraz |=hF ,v ,xi ϕ;

|=hF ,v ,xi ψ ∨ ϕ iff |=hF ,v ,xi ψ lub |=hF ,v ,xi ϕ;

|=hF ,v ,xi ψ → ϕ iff |=hF ,v ,xi ψ ⇒ |=hF ,v ,xi ϕ;

|=hF ,v ,xi ¬ϕ iff 6|=hF ,v ,xi ϕ;

|=hF ,v ,xi iϕ iff |=hF ,v ,y iϕ dla wszystkich y ∈ W , xRiy ;

|=hF ,v ,xiiϕ iff |=hF ,v ,y iϕ dla pewnego y ∈ W , xRiy ;

(15)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

|=hF ,v iϕ (ϕ jest prawdziwa w modelu hF , v i) Niech hF , v i będzie modelem opartym na strukturze

F = hW , R1, R2i. Powiemy, że ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w modelu hF , v i (|=hF ,v iϕ), jeśli |=hF ,v ,xiϕ dla każdego x ∈ W .

|=F ϕ (ϕ jest prawdziwa w strukturze F )

Powiemy, że ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w strukturze F = hW , R1, R2i (|=F ϕ), jeśli |=hF ,v iϕ dla każdego modelu bazującego na F .

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(16)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

|=hF ,v iϕ (ϕ jest prawdziwa w modelu hF , v i) Niech hF , v i będzie modelem opartym na strukturze

F = hW , R1, R2i. Powiemy, że ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w modelu hF , v i (|=hF ,v iϕ), jeśli |=hF ,v ,xiϕ dla każdego x ∈ W .

|=F ϕ (ϕ jest prawdziwa w strukturze F )

Powiemy, że ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w strukturze F = hW , R1, R2i (|=F ϕ), jeśli |=hF ,v iϕ dla każdego modelu bazującego na F .

(17)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

|=C ϕ (ϕ jest prawdziwa w rodzinie struktur C) ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w rodzinie struktur C = {Fj; j ∈ J} (|=Cϕ), jeśli |=Fi ϕ dla każdego j ∈ J.

Rodzina struktur C charakteryzuje system L (C jest adekwatna dla systemu L), gdy dla każdej formuły ϕ prawdziwa jest

równoważność:

|=C ϕ ⇔ `Lϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(18)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

|=C ϕ (ϕ jest prawdziwa w rodzinie struktur C) ML2-formuła ϕ jest prawdziwa w rodzinie struktur C = {Fj; j ∈ J} (|=Cϕ), jeśli |=Fi ϕ dla każdego j ∈ J.

Rodzina struktur C charakteryzuje system L (C jest adekwatna dla systemu L), gdy dla każdej formuły ϕ prawdziwa jest

równoważność:

|=C ϕ ⇔ `Lϕ

(19)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

Struktura spójna

Strukturę F = hW , R1, R2i nazwiemy spójną, gdy dla różnych x , y ∈ W , istnieje taki ciąg (x1, ..., xk−1) ∈ Wk−1, że

xS1x1, x1S2x2, . . . , xk−2Sk−1xk−1, xk−1Sky , gdzie Sj ∈ {R1, R2, R1−1, R2−1} dla j ∈ {1, . . . , k}.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(20)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

Struktura spójna

Strukturę F = hW , R1, R2i nazwiemy spójną, gdy dla różnych x , y ∈ W , istnieje taki ciąg (x1, ..., xk−1) ∈ Wk−1, że

xS1x1, x1S2x2, . . . , xk−2Sk−1xk−1, xk−1Sky , gdzie Sj ∈ {R1, R2, R1−1, R2−1} dla j ∈ {1, . . . , k}.

(21)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

Niech Fi, dla i ∈ I , będzie spójną składową struktury F . Jeśli formula 6|=F ϕ wówczas 6|=Fi0 ϕ dla pewnego i0 ∈ I . Pozostałe składowe nie mają wpływu na odrzucenie ϕ w Fi0.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(22)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

Niech Fi, dla i ∈ I , będzie spójną składową struktury F . Jeśli formula 6|=F ϕ wówczas 6|=Fi0 ϕ dla pewnego i0 ∈ I . Pozostałe składowe nie mają wpływu na odrzucenie ϕ w Fi0.

(23)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

p-morfizm

Niech hA, S1, S2i oraz hB, R1, R2i będą strukturami. Odwzorowanie surjektywne f : A → B nazwiemy p-morfizmem, gdy spełnia ono następujące warunki:

1) jeśli sSit, to f (s)Rif (t)

2) jeśli f (s)Riu, to ∃t(sSit ∧ f (t) = u) dla i = 1, 2.

LEMAT

Niech hA, S1, S2i oraz hB, R1, R2i będą strukturami, między którymi istnieje p-morfizm f : A → B. Wówczas dla każdej ML2-formuły ϕ prawdziwa jest implikacja:

|=hA,S1,S2iϕ ⇒ |=hB,R1,R2iϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(24)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Informacje wstępne

p-morfizm

Niech hA, S1, S2i oraz hB, R1, R2i będą strukturami. Odwzorowanie surjektywne f : A → B nazwiemy p-morfizmem, gdy spełnia ono następujące warunki:

1) jeśli sSit, to f (s)Rif (t)

2) jeśli f (s)Riu, to ∃t(sSit ∧ f (t) = u) dla i = 1, 2.

LEMAT

Niech hA, S1, S2i oraz hB, R1, R2i będą strukturami, między którymi istnieje p-morfizm f : A → B. Wówczas dla każdej ML2-formuły ϕ prawdziwa jest implikacja:

|=hA,S1,S2iϕ ⇒ |=hB,R1,R2iϕ

(25)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5 ⊗ S 5

Grz.3 ⊗ Grz.3

S 4GrzB2⊗ S4GrzB2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(26)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5 ⊗ S 5

Grz.3 ⊗ Grz.3

S 4GrzB2⊗ S4GrzB2

(27)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5 ⊗ S 5

Grz.3 ⊗ Grz.3

S 4GrzB2⊗ S4GrzB2

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(28)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 C.I.Lewis, C.H.Langford, 1932

K  (ϕ → ψ) → ( ϕ →  ψ)

agent zna wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy

T  ϕ → ϕ

wszystko, co wie agent jest prawdą

4  ϕ →   ϕ

jeśli agent coś wie, to wie, że o tym wie (agent jest świadomy swojej wiedzy)

5 ¬ϕ → ¬ϕ

jeśli agent czegoś nie wie, to wie, że o tym nie wie (agent ma świadomość swojej niewiedzy)

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

(29)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 C.I.Lewis, C.H.Langford, 1932

K  (ϕ → ψ) → ( ϕ →  ψ)

agent zna wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy T  ϕ → ϕ

wszystko, co wie agent jest prawdą

4  ϕ →   ϕ

jeśli agent coś wie, to wie, że o tym wie (agent jest świadomy swojej wiedzy)

5 ¬ϕ → ¬ϕ

jeśli agent czegoś nie wie, to wie, że o tym nie wie (agent ma świadomość swojej niewiedzy)

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(30)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 C.I.Lewis, C.H.Langford, 1932

K  (ϕ → ψ) → ( ϕ →  ψ)

agent zna wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy T  ϕ → ϕ

wszystko, co wie agent jest prawdą 4  ϕ →   ϕ

jeśli agent coś wie, to wie, że o tym wie (agent jest świadomy swojej wiedzy)

5 ¬ϕ → ¬ϕ

jeśli agent czegoś nie wie, to wie, że o tym nie wie (agent ma świadomość swojej niewiedzy)

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

(31)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 C.I.Lewis, C.H.Langford, 1932

K  (ϕ → ψ) → ( ϕ →  ψ)

agent zna wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy T  ϕ → ϕ

wszystko, co wie agent jest prawdą 4  ϕ →   ϕ

jeśli agent coś wie, to wie, że o tym wie (agent jest świadomy swojej wiedzy)

5 ¬ϕ → ¬ϕ

jeśli agent czegoś nie wie, to wie, że o tym nie wie (agent ma świadomość swojej niewiedzy)

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(32)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 C.I.Lewis, C.H.Langford, 1932

K  (ϕ → ψ) → ( ϕ →  ψ)

agent zna wszystkie logiczne konsekwencje swojej wiedzy T  ϕ → ϕ

wszystko, co wie agent jest prawdą 4  ϕ →   ϕ

jeśli agent coś wie, to wie, że o tym wie (agent jest świadomy swojej wiedzy)

5 ¬ϕ → ¬ϕ

jeśli agent czegoś nie wie, to wie, że o tym nie wie (agent ma świadomość swojej niewiedzy)

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

(33)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5

CS5 = {h{1, . . . , n}, {1, . . . , n} × {1, . . . , n}i; n ∈ N}

hω, Ri ,R jest relacją pełną.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(34)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5

CS5 = {h{1, . . . , n}, {1, . . . , n} × {1, . . . , n}i; n ∈ N}

hω, Ri ,R jest relacją pełną.

(35)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5

CS5 = {h{1, . . . , n}, {1, . . . , n} × {1, . . . , n}i; n ∈ N}

hω, Ri ,R jest relacją pełną.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(36)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5

K

1



1

(ϕ → ψ) → (

1

ϕ → 

1

ψ) T

1



1

ϕ → ϕ 4

1



1

ϕ → 

1



1

ϕ 5

1

¬

1

ϕ → 

1

¬

1

ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) T2 2ϕ → ϕ

42 2ϕ → 22ϕ 52 ¬2ϕ → 2¬2ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN

1

: ϕ



1

ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

(37)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 ⊗ S 5

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) T1 1ϕ → ϕ

41 1ϕ → 11ϕ 51 ¬1ϕ → 1¬1ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) T2 2ϕ → ϕ

42 2ϕ → 22ϕ 52 ¬2ϕ → 2¬2ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN

1

: ϕ



1

ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(38)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 ⊗ S 5

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) T1 1ϕ → ϕ

41 1ϕ → 11ϕ 51 ¬1ϕ → 1¬1ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) T2 2ϕ → ϕ

42 2ϕ → 22ϕ 52 ¬2ϕ → 2¬2ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN1: ϕ

1ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

(39)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu S 5 ⊗ S 5

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) T1 1ϕ → ϕ

41 1ϕ → 11ϕ 51 ¬1ϕ → 1¬1ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) T2 2ϕ → ϕ

42 2ϕ → 22ϕ 52 ¬2ϕ → 2¬2ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN1: ϕ

1ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(40)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5 ⊗ S 5

Niech FS5⊗S5= hW , R, Bi będzie strukturą, w której

W = {(a1, . . . , an−1, 1); n ­ 2, a1 ∈ N, a2, . . . , an−1 ∈ N \ {1}}.

R, B ⊂ W × W działają w sposób następujący:

(a1, . . . , an−1, 1)R(b1, . . . , bm−1, 1) gdy zachodzi jeden z warunków:

n = m = 2

2 | m = n > 2 oraz ai = bi dla i ¬ n − 2 2 - m = n oraz ai = bi dla i ¬ n − 1

2 - k = min{n, m}, |n − m| = 1 oraz ai = bi dla i ¬ k − 1.

(a1, . . . , an−1)B(b1, . . . , bm−1) gdy zachodzi jeden z warunków:

2 | m = n oraz ai = bi dla i ¬ n − 1 2 - m = n oraz ai = bi dla i ¬ n − 2

2 | k = min{n, m}, |n − m| = 1 oraz ai = bi dla i ¬ k − 1.

(41)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

S 5 S 5 ⊗ S 5

R0

B1

B2 B3

R1,1 R1,2

R1,3

R2,1 R2,2

R2,3 R3,1

R3,2 R3,3

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(42)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu Grz.3

Grz.3 jest najmniejszym systemem zawierającym następujące aksjomaty (uzupełniające aksjomatykę KRZ):

K (ϕ → ψ) → (ϕ → ψ) D1 (ϕ → ψ) ∨ (ψ → ϕ) Grz ((ϕ → ϕ) → ϕ) → ϕ

i jest domknięty na regułę odrywania (MP: ϕ→ψ,ϕψ ) oraz regułę generalizacji (RN: ϕ

).

(43)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Grz.3

CGrz.3= {h{1, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

hN, ­i

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(44)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Grz.3

CGrz.3= {h{1, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

hN, ­i

(45)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Grz.3

CGrz.3= {h{1, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

hN, ­i

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(46)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu Grz.3

K

1



1

(ϕ → ψ) → (

1

ϕ → 

1

ψ) D1

1



1

(

1

ϕ → ψ) ∨ 

1

(

1

ψ → ϕ) Grz

1



1

(

1

(ϕ → 

1

ϕ) → ϕ) → ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) D12 2(2ϕ → ψ) ∨ 2(2ψ → ϕ) Grz2 2(2(ϕ → 2ϕ) → ϕ) → ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN

1

: ϕ



1

ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

(47)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu Grz.3 ⊗ Grz.3

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) D11 1(1ϕ → ψ) ∨ 1(1ψ → ϕ) Grz1 1(1(ϕ → 1ϕ) → ϕ) → ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) D12 2(2ϕ → ψ) ∨ 2(2ψ → ϕ) Grz2 2(2(ϕ → 2ϕ) → ϕ) → ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN

1

: ϕ



1

ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(48)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu Grz.3 ⊗ Grz.3

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) D11 1(1ϕ → ψ) ∨ 1(1ψ → ϕ) Grz1 1(1(ϕ → 1ϕ) → ϕ) → ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) D12 2(2ϕ → ψ) ∨ 2(2ψ → ϕ) Grz2 2(2(ϕ → 2ϕ) → ϕ) → ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN1: ϕ

1ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

(49)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Aksjomaty i reguły systemu Grz.3 ⊗ Grz.3

K1 1(ϕ → ψ) → (1ϕ → 1ψ) D11 1(1ϕ → ψ) ∨ 1(1ψ → ϕ) Grz1 1(1(ϕ → 1ϕ) → ϕ) → ϕ

K2 2(ϕ → ψ) → (2ϕ → 2ψ) D12 2(2ϕ → ψ) ∨ 2(2ψ → ϕ) Grz2 2(2(ϕ → 2ϕ) → ϕ) → ϕ

MP: ϕ→ψ,ϕψ RN1: ϕ

1ϕ

RN2: ϕ

2ϕ

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(50)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Grz.3 ⊗ Grz.3

Niech FGrz.3⊗Grz.3 = hW , R1, R2i będzie strukturą, w której W = {(c1p1, . . . , cn−1pn−1, cn0); n ∈ N, ck ∈ {r , b}, ck 6=

ck+1, pk ∈ {−n+1n ; n ∈ N} ∪ {1n; n ∈ N} ∪ {−1}}. (r 0) oraz (b0) jest tym samym elementem. R1 oraz R2 są relacjami określonymi na zbiorze U i działają w sposób następujący:

(c11p1, . . . , cn−11 pn−1, cn10)R1(c12q1, . . . , cm−12 qm−1, cm20) , gdy spełniony jest jeden z warunków:

n = m, c11= c12, ps = qs dla s ¬ n − 2, cn−11 = r , pn−1¬ qm−1

n = m − 1, c11 = c12, ps = qs dla s ¬ n − 1, cn1 = r , 0 < qm−1

n − 1 = m, c11 = c12, ps = qs dla s ¬ n − 2, cm2 = r , pn−1 < 0.

(51)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Grz.3 1

2

Grz.3 ⊗ Grz.3

(b0) (r0)

(r1,b0) (b1,r0)

(r12,b0) (r13,b0)

(b12,r0) (b13,r0)

(r-12,b0)

(r-23,b0)

(r-1,b0) (b-12,r0)

(b-23,r0) (b-1,r0)

(b12,r1,b0) (b1,r1,b0)

(b1,r-1,b0)

(r-23,b12,r0)

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(52)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Fuzja systemów jednomodalnych

Niech L1 oraz L2 będą systemami jednomodalnymi opisanymi w językach L1 oraz L2. Niech L1⊗ L2 będzie sumą języków L1 oraz L2. Wówczas fuzją systemów L1 oraz L2 jest najmniejszy

dwumodalny system opisany w języku L1⊗ L2 zawierający L1 oraz L2. Oznaczamy go L1⊗ L2.

Fuzja rodzin struktur Kripkego

Rozważmy rodziny struktur Kripkego C1 oraz C2 domknięte na sumy rozłączne i izomorficzne kopie. Fuzją C1⊗ C2 klas C1 oraz C2 nazwiemy klasę struktur postaci

hW , R1, R2i, gdzie hW , R1i ∈ C1 oraz hW , R2i ∈ C2.

(53)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Fuzja systemów jednomodalnych

Niech L1 oraz L2 będą systemami jednomodalnymi opisanymi w językach L1 oraz L2. Niech L1⊗ L2 będzie sumą języków L1 oraz L2. Wówczas fuzją systemów L1 oraz L2 jest najmniejszy

dwumodalny system opisany w języku L1⊗ L2 zawierający L1 oraz L2. Oznaczamy go L1⊗ L2.

Fuzja rodzin struktur Kripkego

Rozważmy rodziny struktur Kripkego C1 oraz C2 domknięte na sumy rozłączne i izomorficzne kopie. Fuzją C1⊗ C2 klas C1 oraz C2 nazwiemy klasę struktur postaci

hW , R1, R2i, gdzie hW , R1i ∈ C1 oraz hW , R2i ∈ C2.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(54)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Twierdzenie [Kracht,Wolter 1991]

Niech L1 oraz L2 będą systemami jednomodalnymi charakteryzowanymi przez rodziny struktur C1 oraz C2,

odpowiednio. Przypuśćmy, że C1 oraz C2 są domknięte na sumy rozłączne i izomorficzne kopie. Wówczas dwumodalny system L1⊗ L2 jest charakteryzowany przez rodzinę struktur C1⊗ C2.

Rozważając rodziny struktur skończonych, wystarczy założyć domknięcie na skończone sumy rozłączne.

(55)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Twierdzenie [Kracht,Wolter 1991]

Niech L1 oraz L2 będą systemami jednomodalnymi charakteryzowanymi przez rodziny struktur C1 oraz C2,

odpowiednio. Przypuśćmy, że C1 oraz C2 są domknięte na sumy rozłączne i izomorficzne kopie. Wówczas dwumodalny system L1⊗ L2 jest charakteryzowany przez rodzinę struktur C1⊗ C2. Rozważając rodziny struktur skończonych, wystarczy założyć domknięcie na skończone sumy rozłączne.

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(56)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Punkt C-startowy

Niech C = {Fi; i ∈ I } będzie rodziną struktur spójnych oran niech Fbędzie strukturą spójną. Punkt x0 struktury F nazwiemy punktem C-startowym, jeśli każde odwzorowanie f : {x0} → Fi można rozszerzyć do p-morfizmu f : F → Fi, dla każdego i ∈ I .

Przykład:

CGrz.3 = {h{1, 2, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

FGrz.3= h{−n+1n ; n ∈ N} ∪ {n1; n ∈ N} ∪ {−1, 0}, ¬i

(57)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Punkt C-startowy

Niech C = {Fi; i ∈ I } będzie rodziną struktur spójnych oran niech Fbędzie strukturą spójną. Punkt x0 struktury F nazwiemy punktem C-startowym, jeśli każde odwzorowanie f : {x0} → Fi można rozszerzyć do p-morfizmu f : F → Fi, dla każdego i ∈ I . Przykład:

CGrz.3 = {h{1, 2, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

FGrz.3= h{−n+1n ; n ∈ N} ∪ {n1; n ∈ N} ∪ {−1, 0}, ¬i

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(58)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

Punkt C-startowy

Niech C = {Fi; i ∈ I } będzie rodziną struktur spójnych oran niech Fbędzie strukturą spójną. Punkt x0 struktury F nazwiemy punktem C-startowym, jeśli każde odwzorowanie f : {x0} → Fi można rozszerzyć do p-morfizmu f : F → Fi, dla każdego i ∈ I . Przykład:

CGrz.3 = {h{1, 2, . . . , n}, ­i; n ∈ N}

FGrz.3= h{−n+1n ; n ∈ N} ∪ {n1; n ∈ N} ∪ {−1, 0}, ¬i

(59)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

1

-1 0

13 1 2

-12 -2 3

Sławomir Kost Przeliczalna struktura adekwatna dla fuzji systemów

(60)

Informacje wstępne S5 ⊗ S5 oraz Grz.3 ⊗ Grz.3 Fuzja systemów jednomodalnych L1oraz L2

1

-1 0

13 1 2

-12 -2

3 6

5 4 3 2 1

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :