Discrete analyse; syllabus bij het college a70 van prof. dr. H.J.A. Duparc

DISCRETE ANALYSE

syllabus bij het college a70

van prof. dr. H.J.Ä. Duparc

Peter Nooy

Jan Vons

Rob Eveleens

\ r

syllabus bij het college a70

van prof. dr. H.J.A Duparc

Peter Nooy

Jan Vons

Rob Eveleens

.

I

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1645 7232

1111111111111

C 479922

INHOUD

LIJSTVANSYMBOLEN EN NOTATIES 4

1. INLEIDING

1.1. Voorbeelden 5

1.2. Theorie en enkele definities 6

2. DIFFER ENTIES

2.1. De produktregel 9

2.2. w -functies 10

2.3. Pseudo-machten 10

2.4. Kettingregel 13

2.5. Differentie van enkele standaardfuncties 13

2.6 . Veeltermen IS

2.7. Opgaven 16

3. SOMREKENING

3.1. Onbepaalde sommen 17

3.2. Enkele eigenschappen van de onbepaalde som 17

3.3. Bepaalde sommen 20

4. REEKSEN

4.1. Reeksen 26

4.2. Pseudo-machtreeksen 26

5. DIFFER ENTIEVERGELIJKI NGEN

5.1. Inleiding 29

5.2. Over differen tievergelij kingen 29

5.3 . Existentie en eenduidigheid van oplossingen van

differen tievergelijkingen 31

5.4. Het oplossen van differentievergelijkingen 32

5.5. Oplossingsmethoden 34

5.6 . Methoden van de variatie van co-functies 36 5.7. Onafhankelijkheid van oplossingen van

diff erentievergelijkingen 39

5.8. Casorati toegepast op een homogene differentievergelijking

met constante coëfficiënten 41

5.9. St ru ctuur van de algemene oplossing 43

6. OPLOSSENVAN DIFFERENTIEVERGELIJKINGEN METTRANSFORMEREN

6.1. De Laplace-transformatie 44

6.2. Convolutie-eigenschapvan de Laplace-getransformeerde 46

6.3. De Z-transformatie 46

6.4. Convolutie-eigenschap van de Z-getransformeerde 50

LIJST VAN SYMBOLEN EN NOTATIES

XE A x~A IN 7l IR

«t

Yx 3x D /:;, E Ef M /:;,f(a) w e 1T L Z ff(x)dx b ff(x)dx a Sf(x)& b Sf(x)/:;,x a x behoort tot A x behoort niet tot A

de verzameling van natuurlijke getallen(in clusief0) de verzameling van gehele getallen

de verzameling van rationele getallen de verzameling van complexe getallen voor alle x

er is een x zó, dat differen tiaal- operator differen tie-opera tor verschuivings-operator de verschoven functie f de differentie van f de differentie van f in a periodieke functie (periode I) 2,71828182845905 . 3,14159265358979 . Laplace-operator Z-transformatie de primitieve van f

de integraal van f van a tot b de onbepaalde som van f de som van f van a tot b

HOOFDSTUK 1 : INLEIDING

Naast de conventionele analyse, die we in het vervolg aanduiden met 'conti-nue analyse', komt steeds meer de 'discrete analyse' naar voren.

De discrete analyse is het onderwerp in dit dictaat.

Het zal blijken dat we bij de opzet van dit vak, dankbaar gebruik kunnen maken van de opzet van het vak continue analyse.

In tegenstelling tot de continue analyse gebruikt de discrete analyse het be-grip limiet niet of nauwelijks. De consequenties van het ontbreken van het limiet begrip zullen uiteraard worden toegelicht.

De behoefte aan discrete analyse wordt steeds sterker gevoeld doordat er zich ook vanuit andere wetenschappen (dan wiskunde) discrete problemen aandienen. Oplossingen zoeken met behulp van de computer vereist vaak discretisering; denk aan de numerieke wiskunde.

Toepassingsgebieden waarvan enkele later in het bijzonder worden aangestipt zijn bijvoorbeeld de mechanica, schei- en natuurkunde, economie, statistiek,

marktanalyse en demografie, schakeltechniek en logica.

Daar bij de constructie van het vak discrete analyse de continue analyse als gids wordt gehanteerd, is regelmatig een summiere herhaling van de continue analyse als inleiding op een onderwerp geplaatst. Ter onderscheiding zijn deze gedeelten voorzien van een streep in de kantlijn.

De behandelde onderwerpen en hun 'continue-analyse analogon' zijn HS2:DIFFERENTIEREKENING (differentiaalrekening) HS3 : SOMREKENING (Integraalrekening) HS4: REEKSEN (Reeksen) HS5:DIFFERENTIEVERGELIJKINGEN (Differentiaalvergelijkingen) HS6 :Z-TRANSFORMATIE (Laplace-transforrnatie)

1.1.

Voorbeelden

I. Wanneer we van een fabriek op elk moment de omzet f(t) weten is vol-gens de continue analyse de jaaromzet gelijk aan

f

f(t) dt, waarbij geihtegreerd wordt over de periode I jaar.

In de praktijk kennen we alleen de omzet per maand en de jaaromzet is de sommatie van de maandomzetten.

In de bedrijven is men genoodzaakt per jaar, maand, week of dag te rekenen. De waarden van allerlei grootheden zijn alleen op bepaalde tijdstippen be-kend. Wanneer men geinteresseerd is in de aangroei van zo'n grootheid g over een periode volgt die uit g(t+ I) - g(t).Wanneer g de winst van het bedrijf is, streeft men (over het algemeen) de maximalisering na van

g(t+I) - g(t).

2. Uw baas heeft het voorstel uw loon te verhogen met

f

50,- per jaar of als u dit liever heeft f25,- per half jaar. Aan u de keuze! Dank zij uw

emi-nente kennis van de discrete wiskunde weet u uw keus te maken. Wilt u het meest verdienen, dan kiest u voor een verhoging van f25,- per half jaar.

Dat levert per half jaar

f

25,- extra op. s

3. We weten dat

f

f(x) dx numeriek benaderd kan worden bij stapgrootte

o 4 5

h = 1 met de ondersom ~ f(k) of met de bovensom ~ f(k) , als f een

k=O k=l

monotoon stijgende functie is.

De trapeziumregel geeft een middeling tussen deze twee namelijk

~f(O)+

kt

f(k)

+~f(5).

Dit zijn verschillende 'discretiseringen' van de integraal.

1.2. Theorie en enkele definities

In de continue analyse is van een differentieerbare functie f de waarde van

f"

in x een maat voor de verandering van f in x. De middelwaardestelling impliceert immers

f(x + h) - f(x) :::::::

r'

(x) . h als h klein is.

1.2.1. In de discrete analyse kunnen we h niet naar nul laten gaan, daarom nemen we als maat voor de verandering van f in x het verschil

f(x + 1) - f(x)

1.2.2. Definitie. We definiëren de differentie van f: 0 ~IR, 0 c IR in een punt x van 0 als

f(x +1) - f(x).

We noteren dit als Llf(x) en noemen Ll de differentie-operator.

De differentie-operator komt overeen met de differentiaal-operator 0 gedefi-nieerd door

Of=

r'

uit de continue analyse.

1.2.3. Definitie. We definiëren de verschovene van f: 0 ~IR, 0 c IR in een punt x van 0 als

f(x+l).

We noteren dit als Ef(x) en noemen E de verschuivings-operator. 1.2.4. Llf(x) wordt dan:

Llf(x) = f(x +1) - f(x) = Ef(x) - f(x) = (E - 1)f(x) waarbij 1 de eenheids-operator is.

We vinden dus de operatorrelatie

Ll=E-l. 1.2.5. 1.2.6. 1.2.7. 1.2.8. 1.2.9.

1.2.5. Definitie. We defini ëren En =E. En-1

I:::,n = 1:::,.l:::,n-l

n= 1,2, .

n

=

1,2, . 1.2.6. Hieruit volgt eenvoudig met volledige inductie

Enf(x) = f(x+n);n= 0,1 ,2, .. . 1.2.7. We bezien 1:::,2f (x ) 1:::,2f(x )= I:::,{I:::,f( x)} = I:::,{f( x + 1) - f(x )} = E{f( x + I) - f(x)} - {f( x + 1) - f(x)} = f(x

+

2) - f(x + 1) - f(x + 1)

+

f(x ) . In operatoren geformuleerd 1:::,2

=1:::,. I:::,

=

/:::,(E- 1)

=E(E-l)-I(E -I) == E2 - 2E+ 1. We beschouwen ook nog

1:::,3

=1:::,

.1:::,2 =/:::,(E2 - 2E

+

I) = E(E2 - 2E + I) - 1(E2 - 2E + I) = E3 - 3E2 + 3E - I =

c

g)

E3 - (f)E2 +

(

~)

E -

(

~)

. 1.2.8. Stelling.

I:::,nf(x) =

~

(n)( _ I )n- kEkf(x) =

~

(n)(_I)n-k_f(x+k).

k=O k k=O k

Het bewijs loopt via volledige inductie. 1.2.9. Voorbeelden.

1. Met misbruik van diverse methoden uit verscheidene disciplines volgt een afleiding van een wonderlijk resultaat.

Zij f: D+ IR, Dc IR. We definiëren

EYf(x) = f(x+y) voor alle y E IR.

Beschouw nu Df;voor alle x geldt:

Df(x) =

r'

(x) = lim f(x + h) - f(x) = lim (Eh - 1)f(x)

h+O h h+O h

De limiet werkt in essentie op het functiewaardeverschil. We verschuiven de essentie naar een operator-verschil als we noteren

( h h

I·irn E - hl)f(x )

=

{Iirn' ~h }f( )x .

h~O h~O

We bedenken lim a X

- I = Ina (a

>

0, aE IR) en passen dit op de ope rato r x-e-O x

E toe. Dan volgt Eh- I

[Ii m --h-}f(x)

=

In E.f(x). HO

Dit resultaat impliceert de operatoren gelijkheid D = InE

ofwel

x2 x3

Met reeksontwikkeling eX = I + x+

2!

+

3!

+ .. . kunnen we E schrijven als de "reeks"

I + D + Q.2+ D3+ 2! 3!

De functiewaarde f(x + I) kunnen we omzetten met bovenstaande notaties tot f(x + I) = Ef(x) = eDf(x) D2 D3 =(l +D+ 2! + 3! +.. ..)f(x)

D

2 = f(x) + Df(x) + 2! f(x) + ... , 12 11 = f(x) + I . f (x) +

2!

f (x) + .. . - f(n)(x)

=L _ _

·ln n=O n! .

Deze laatste uitdrukking 'rechtvaardigt' al het gerommel. Het is juist de Taylorontwikkeling van f(x + a) naar machten van a voor a = I.

2. Voor de operator 6. geldt

6.2x = 2X+I _ 2x = 2x(2- I)= 2x.

De 'differentievergelijking' 6.u=u heeft kennelijk een oplossing van de vorm u(x)=2x.

j

Vergelijk dit met de differentiaal vergelijking Df=Een functie die hieraan voldoet is e". f.

2.1. 1.

2.1.2.

2.1.3.

HOOFDSTUK 2: DIFFERENTIES

2.1. De productregel

We hebben kennis gemaakt met de operatoren E, 0 en /::" en enkele van hun verbanden.

De operatoren E en 0 werken lineair.

Ook de operator /::" werkt lineair, immers zij f: Dl ~ IR, Dl C IR en g : Dl ~ IR,D_l C IR dan geldt

2.1.1. de somregel /::"(f + g)= /::"f + /::"g ,

en /::"(c:f)

=

c/::"f , YCE

lt.

We onderzoeken nog enkele eigenschappen van de /::".

In de continue analyse geldt voor het differentiëren van produkten D(f·g)

=

Df·g + f· Dg.

De afleiding hiervan verliep als volgt

D(f. g) = lim f(x + h) g(x + h) - f(x) g(x)

h-s-G h

=

lim f(x~h) {g(x + h) - g(x) } + lim g(x) {f(x

-t

h) - f(x)}

HO h HO h

door het tussenvoegen van g(x)· f(x + h) - g(x)· f(x + hl. D(f·g)

=

lim f(x+h)·g'(x) + g(x).f'(x)

h~

Daar lim f(x + h)

=

f(x) volgt het gestelde . Deze limietovergang is essentieel.

h~

Bezie /::,,(f· g), met tussenvoegen van g. Ef - g-Ef /::,,(f· g)(x)= f(x + l)g(x + I) - f(x)g(x)

= f(x + I) {g(x + I) - g(x)} + g(x) {f(x + I) - f(x)}

=

f(x + I )/::"g(x) + g(x)/::"f(x). 2.1.2. We vinden dus voor de productregel

/::,,(f· g)

=

Ef'-/::"g + g .M .

Door tussenvoegen van f·Eg - f·Eg hadden we gevonden 2.1.3. /::,,(f·g) = f· /::"g + Eg-M.

Beide vormen van de productregel zijn equivalent, maar soms is de een wat handiger toepasbaar dan de ander.

2.1.4. De analogie met de continue analyse wordt verstoord door het optreden van de verschuivingsoperator E. Dit heeft gevolgen voor vele begrippen die uit de continue analyse worden overgenomen. Zo blijkt de rol van de constan-ten in de continue analyse overgenomen door functies die in de discrete analyse co-functies worden genoemd. Verder blijkt dat de machten uit de continue analyse vervangen 'moeten' worden door pseudo-machten. Maar eerst nu de co-functie.

2.2.

w -

functies

De differentiaalvergelijking: Df

=

0

heeft als oplossing de constante functies c en geen andere. Voor dergelijke constante functies geldt

Dc-f = c-Df .

Wanneer voldoet gaan /::"g=a? Als g(x) =g(x+1), Vx. 2.2.1. Definitie

We noemen functies met periode I w-functies;dat wil zeggen

w(x)= w(x f 1), Vx. We zullen deze functies vaak noteren met w. We hebben dus gevonden dat de differentievergelijking /::"g

=

0 als oplossing heeft de w-functies en (per definitie) geen andere. 2.2.2. Bovendien geldt

/::"wf

=

wt::.f. Want uitschrijven leert

/::"w(x)f(x)

=

w(x

+

I) f(x

+

1) - w(x)f(x)

=

w(x)f(x

+

I) - w(x)f(x) = w(x)M(x).

2.2.3 Conclusie

De w-functies (de functies met periode 1) vervullen in de discrete analyse de rol van de constante functies in de continue analyse.

Enkele w-functies zijn:

de constante functies (!), sin 21TX, cos 41TX, cot 601TX.

2.3. Pseudo-machten

In de continue analyse geldt Dxn= n xn-l VX E IN. Bijvoorbeeld Dx2 = Dl x-x)

=

Dx-x

+

x Dx=

= x+ x = 2x.

We gebruiken hierbij de productregel;hoe verloopt dit in de discrete analyse? 2.3.1. /::"x2

₌

_/::"x'x

₌

_x/::"x

₊

_Ex-Ax

₌

_x

₊

_x

₊

₁

₌

_2x

₊

_1.

We hebben één term te veel, dit komt door de verschuivingsoperator E. De differentie van x3 ontaardt nog meer:

/::"x3 = /::"(x'x2) = 3x2 + 3x + 1. Er geldt dusniet: /::"xn

=

n /::"xn-l .

Wanneer men toch een differentie-regel voor n-machten, of iets wat daar op lijkt, wil handhaven, biedt de volgende constructie enige bevrediging. Stel: {x(n) = x (x-I) (x-2) .. . (x-n+l) n= 1,2,3,.. . x(O) = 1 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5. 2.3.6. 2.3.7. 2.3.8.

2.3.2. Voorbeeld X(2) = X(x-I). Dan ~x(2)

=

(x+I )(x) - (x)(x- I)

=

'" {(x + I) - (x-I )} (x) = = 2x(1). 2.3.3 . Algemeen ~x(n)= (x + I )(n)_ (x )(n) = (x+ l)(x)(x-I) . . . (x+ I-n+I) - (x)(x - I).. . (x-n+I) = = {x+I-(x -n+I)}(x)(x-I) ... (x-n+2) = = nx(n-l).

~x(n)= nx(n-l) is het verlangde resultaat. We bekijken de constructie nog wat nader.

2.3.4. Er geldt x(S)= x'(x-l)'(x-2)'(x-3)

= x(2)·(x-2)(3).

Zonder bewijs geven we de algemene formule:

x(n) (x-n)(m) = x(n+m)

Merk op dat dus niet zoals bij de conti nue analyse we zoiets alsx(n)·.x(m)

=

= x(n+m) kunnen verwachten. Er geldt ook niet {x(n)}(m) = x(n. m) want {x(n)}(m)=1= x(n>'x(n) . . .x(n) =1= xm(n).

2.3.5. Tot nu toe is x(n) alleen geformuleerd voor positieve exponenten. De vraag

is: Hoe zit het met de negatieve exponenten ? We gaan daarvoor uit van

x(n) (x-n)(m) = x(n+m) met n = 3 en m= - 1: x(3) (x-3)( -I) = x(2) x (x-I) (x-2) (x-3)(-I) = x (x- I) (x-3)(-I) =_1_. x-2

Door de 'verschuiving' x+ X+3 toe te passen lever t dit x(- l) = _1_ op. x+ l

We hebben als het ware (x_3)(-I) opgelos t uit x(3) (x-3)(-I) = x(2).

2.3.6. Bezie nu ook nog x x (x- I) (x-2) = (x_3)(- 2)x(3) = (x- 3)(- 2). Ofwel 2.3.7. 2.3.8. X(-2) = _ _ 1 _ (x+ 1)( x+ 2Y Uiteindelijk blijkt de formule

x(-n) = 1 te voldoe n.

(x+I)(x+2) . . . (x+n) Het leuke is dat hiervoor ook geldt

~x(-n) = - n / -n -1) .

2.3.9. Voor r-functie's van Euler geldt, met xE IR

T(x

+

I) = x I'(x), 2.3.10. Definitie

We definieren de pseudomacht x(a) als (a)_ f(x+ I)

x - F(x+ I-a) voor x,a E IR.

2.3.11. We tonen aan dat voor aE 7l.deze definitie aansluit bij de eerder gegeven formule. Stel a

>

0 dan

x(a)= f(x+I) x'f(x) x(x-I) .. .(x-a+l)f(x-a+l )

f(x+l-a) f(x+l+a) f(x-a+l)

x(a) = x (x-I) (x-2) . . . (x-a+ I) x(-a) = f(x + I) f(x+ I +a) I'(x+I) (x + a) (x + a-I) . .. (x + I) I'(x+ I) x(-a) = 1 (x+ I) (x+2) . .. (x+a)

Tevens geldt nog steeds L1x(a) = a x(a-l)voor aE IR: de oorspronkelijke reden tot definieren van de pseudomacht.

2.3.12. We leiden nu af &(a) = a x(a-l) voor aE IR. &(a) = L1 f(x+ I) f(x+l-a) f(x+2) f(x+I) f(x+2-a) f(x+l-a) f(x+2) - (x+ I-a) f(x+ I) f(x+2-a) _ (x+l-x-l+a)f(x+l) _ - f(x+2-a) -= a r(x+l) = a x(a-l). f(x+2-a)

2.3.13. Als voorbeeld van een plezierige eigenschap de pseudo-machten geven we de formule van Vandermonde ofwel het Binomium van Newton voor pseudo-machten:

2.3.14. Bewijs

We maken gebruik van de regel van Leibnitz. Oeze luidt:

On(uv) =

~

(n) (On-k u) (D k v)

k=O k en nemen u = tb en v = t".

We krijgen dan

(a+b)(n) t(a+b)-n

=

~ (n) a(k) ta-k b(n-k) tb-(n-k).

k=O k

Na deling door t a+ b-n volgt de formule van Vandermonde

2.4. Kettingregel

We hebben nu al afgeleid de fo rmules voor de differentie van de som en het produkt van functies. Nu beschouwen we de kettingregel.

In de continue analyse werd de kettingregel als volgt afgeleid. Zij x

=

f(t),Y

=

g(x)

=

g(f(t».

Dan dy= lim g(f(t+h» - g(f(t» dt h-s-û h

= lim g(f(t+h» - g(f(t» _ lim f(t+h) - f(t). h-s-O f(t+h) - f(t) h+O h

Waaruit door continuiteitvan f in t en van g in x

=

f(t) volgt

dy dg dx

- = _ . -

.

dt dx dt

In de discrete analyse ontbreekt de limietovergang en stokt de kettingregel. Voor x

=

f'(t),Y

=

g(x)

=

g(f(t» is

6 (f(t»

=

g(f(t+l» - g(f(t»_ f(t+l) - f(t)

g f(t+l) - f(t) t '

waar verder niets aan te doen is.

Gevolg is dat de regels, waarbij in de continue analyse gebruik is gemaakt van de kettingregel,geen overeenkomstige regels in de discrete wiskunde bezitten. Denk bijvoorbeeld aan de substitutie regel in de integraalrekening.

2.5. Differentie van enkele standaardfuncties

Om een differentie tabel samen te stellen van enkele standaardfuncties leiden we nog enkele differenties van functies af.

2.5.1. We bezien allereerst de differentievergelijking6ax

=

aX.

6ax = aX_{+ 1 _ a".}

We zien dat voor a= 2 geldt 62x = 2x.

Inderdaad zal 2x in de differentierekening een rol analoog aan die van eX in de continue analyse vervullen. Wat is de algemene oplossing van 6w

=

w ?

Naar analogie van y' = y met als oplossing y

=

c eX(c

=

constante) proberen we:

w = f(x) 2x

6w

=

6f- 2x + f(x+l) 62 x

=

w (productregel).

Maar w = f(x)-2x en 62x = 2x;

derhalve is 26f

=

0 en dus 6f

=

O.

We vinden de voorwaarde 6f= 0 als oplossing van de vorm f'(x)- 2\ f moet daarom een w-functie zijn.

2.5.2. Beschouw de rij: "x(-3) _ (-4) '-'(_3)-x (-2) f':,.x_ _ = x(-3) (-2) (-I) f':,.x_ _

=

x(-2) (-I) 2.5.4.

" =

I f(x+l) '-'w n f(x) . Er zou moeten gelden: Dit roept de vraag op:

Voor welke functie w(x) geldt f':,.w(x)

=

_1_

=

x(-I) ?

x

+

I

Naar analogie van het continue geval stellen we w(x)

=

In (f'(xj). Dan

1

f(x+ 1) _ i<+i"

----rw -

e

In deze richting komen we niet veel verder.

We gaan nu uit van de relatie: r(x+ I) = xl''(x) en vinden na logaritme nemen In r(x+l) = In x + In rex). Na differentiatie: r'(x+I) 1 f'(x) r(x+l)

=

~

+ rex) (x> 0) r'(x+l) f'(x) 1 f(x+l) - f(x) =~. Met andere woorden;

f':,.f'(x)

=.!..

en f':,.r'(X+I)

=

_1_ . rex) x I'(x-l ) x + I 2.5.3. De differentie van twee goniometrische functies:

1. sin x

f':,. sin x

=

s~n(x+ I) - sin(x)

=

2 sin ~(x+ I-x) cos t(x+ I+x)

=

= 2 sin(t) cos(t+x)

2. cos x

f':,. cos x

=

cos(x+l) - cost»)

=

-2 sin~(x+l-x) sin t(x+1+x)

=

= -2 sin(.!.) sin(!+x).

2 2

2.5.4. Tabel f(x) w(x ) 2x

r'

(x)

rex) x(a) sin x cos Jt tan x In [x] sinh x cosh x

2.6. Veeltermen

6 f(x)

1

x a x(a-I) a E IR 2 sin

t

cos(x+t) -2 sin!. sin(x+!.) 2 2 sin I cos x cos(x+I) In II+kl 2 sinh

t

cosh(x+t) 2 sinh ~ sinh(x+t)

We vragen ons af op welke manier gewone veeltermen van de n" graad p(x ) = a

o + al x +a2x 2

+ .. . + a_nx'' samenhangen met zogenaamde pseudo veeltermen:

rex) = b

o+ bI x(1) + b2x(2) + . . . + bnx(n). Een klein beetje lineaire-algebra is ons hierbijvandienst.

De verzameling Pn van alle polynomen van de graad ten hoogste n met reële coe fficienten is een vect o rr uimte over IR van de dimensie n + I. Een basis voor Po is het geordende (n+ I)-tal

Cl

,

x, x2, • ••, x") terwijl ook het geordende (n+I)-tal

Cl

,

x(l), x(2), . . . , x(n» een basis voor P is (beide

x

stelsels bevatten n + I polynomen die gezien de oplopende graden van de polynomen zeker onafhankelijk zijn).

Het polynoom p(x) heeft ten opzichte van de eerste basis de coördinaten (a_o' a I' . . . , a_n) 0· mdat (I, x(I),x(2), . . . , x(n) ook een baSIS. _{voor Pn} is zijn er (eenduidig bepaalde) getallen 'TT

_o'

'TTl ' . . . , 'TT_n ZÓ dat

p(x) =

~

'TT.x(i).

j=O I

Dat wil zeggen 2.6.1. Stelling

Elk e veelterm p(x) _{uit Pn is eenduidig te schrijven als een lineaire combinatie} van pseudomachten I, x(1), x(2), . . . , x(n).

2.7.

Opgaven

1 B. eWIJS.. u,,(y(n))- -

=

z(n)' /:'y(n) - y(nh~z(n)

z(n) ztn):z(n+ 1)

2. Bereken /:, (3E + 2)x2.

3. Bereken /:, tan x.

Vergelijk het gevonden antwoord met D tanx. 4. Bereken /:, arctan x en D arctan x.

Vergelijk de twee gevonden antwoorden met elkaar (voor grote x)! 5. Bereken /:, sinh x.

6. Schrijf een polynoom als pseudo veelterm.

3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3.

HOOFDSTUK 3: SOMREKENING

3.1. Onbepaalde sommen

Als invers proces van de differentiaalrekening kennen we de integraalrekening. In de continue analyse schrijft men een oplossing van de differentiaalvergelijking:

Df

=

g, als f(x)

=

fg(x)dx.

fg(x)dx noemen we de onbepaalde integraal van g. f(x) noemen we een primitieve van g.

3.1.1. Nu voeren we in de discrete analyse een nieuw symbool in: het sommatie-teken

S.

3.1.2. Analoog aan het bovenstaande noteren we een oplossing van de differentie-vergelijking:

6.f

=

g, met f(x)

=

S

g(x) fu.

3.1.3. Opmerking

Een functie f, die voldoet aan: 6.f

=

g, noemen we de stamfunctie of onbepaalde som van g.

Als f1 en f₂ beide_stamfuncties van g zijn, dan is f1 - f

2 een w-functie.

3.2. Enkele eigenschappen van de onbepaalde som

We zullen nu-een specifiek discrete manier beschouwen, om een stamfunctie te bepalen, namelijk met behulp van:

3.2.1. Convergente reeksen

Beschouw de differentievergelijking: 6.f(x) = g(x). Deze vergelijking gaat met 6.

=

E - lover in

(E-l) f(x)

=

g(x).

Definieer nu een functie G in 2 gevallen als volgt:

~ ~

I. G(x) = - ~ g(x+n) als de reeks ~ g(x+n) convergeert.

n=O n=O

~ ~

2. G(x) = ~ g(x-n) als de reeks ~ g(x-n) convergeert.

n=l n=O

3.2.2. Opmerking

De convergentie van een reeks kan soms gemakkelijk bepaald worden met de bekend veronderstelde convergentiekriteria (zie o.a, Almering). 3.2.3. We gaan nu verder in op geval I en laten geval 2 over aan de lezer.

Voor functie G geld t: ~

(E- I) G(x) = (E-I) {- ~ g(x+n)}

n=O

~ ~

= ~ g(x+n) - E ~ g(x+n)

ce L g(x+n) - L g(x+n+ I) n=O n=O N N = lim {L g(x+n) - L g(x+n+ I)} N~~ n=O n=O N = lim L [g(x+n) - g(x+n+ I)

1

N+~ n=O = lim {g( x ) - g(x+ I) + g(x+ I) -'-. . . + g(x+N) - g(x+N+I)} N+~ = g(x) - lim g(x+N+I) N+-= g(x), ~

want nodig opdat L g(x+n) convergeert, is dat lim g(x+N) = O.

n=O N+~

Nu blijkt dat L'lG(x)= g(x) en Geen stamfunctie is van g. ~

Anders geformuleerd:

S

g(x) Isx. = - L g(x+n). n=O

Met behulp van opmerking (3.1.3) komen we tot de algemene oplossing van de differentievergelijking L'I f(x)

=

g(x).

~

Oplossing:f(x) = - L g(x+n) + w(x). n=O

3.2.4. Het is raadzaam bovenstaande 'methode' te onthouden en te zien als extra hulp bij het oplossen van differentievergelijkingen van de vorm L'If = g. 3.2.5. Voorbeelden

I. Bereken

S

e- 3x l:Ix Beschouw -

i:

e- 3(x+n).

n=O

Met het kenmerk van d'Alembert (zie Almering (9.22)): -3(x+n+l)

limle_3(x+n)

1=

lim le-3

1 =

e-3

<

1=9

n~ooe n~(l()

~

i:

e- 3(x+n) is absoluut convergent. n=O

De oplossing wordt nu (met 3.2.3)I

S

e- 3x l:Ix= -

i:

e- 3(x+n) + w(x) n=O

=

_e- 3x

i:

e- 3n + w(x) n=O e- 3x

=

---3 +w(x). I - e 3.2.6. 3.2.7. 3.2.8. 3.2.9.

2. Bereken S e3x tsx.

Beschouw ~ e 3(x-n). n=J

Evenals in vo o rbeeld I volgt met het kenmerk van d' Alernbert de absolute convergentie van de reeks

~e3(x- n). n=J De oplossing wordt: ee ~ e3(x-n) ₊w(x) n=J = e3x {~ e-3(n+J)} + w(x) n=O e-3 = e3x {---=3} +w(x) I-e e3x = e3 _ I + w(x). 3.2.6. Opgave

Bereken: Sex

tsx,

Sax !:1x,S 2x Isx,

3.2.7 . Vergelijking met stellingen betreffende integraalrekening

We gaan nu na, of de bekende stellingen voor de integraalrekening al dan niet gelden voor de somrekening.

We kennen de volgende stellingen:

1. Voor alle X, IJ.E IR is J(X f(x) +Jlg(x»)dx

=

X Jf(x)dx + IJ. Jg(x)dx. 2. De substitutieregel:Jf(x)dx = Jf(!P(t » D'P(t )d t

als x= 'P(t) en 'P een differentieerbare functie met afgeleide D'Pis.

3. De partiële integratie:Jf(x) dG(x)= f(x)G(x) - JG(x)Df(x)dx

alsf differentieerbaar is met de afgeleide Df en G een primitieve van gis.

3.2.8. ad 1.Definieer K = {t ] t is een co-functie].

Neem X,IJ. E K.Dan geldt

!:1(Xf)(x)

=

X(x+ I) f(x+ I) - X(x) f(x)

1

=9

XE K=9 À(x+l) = X(x)

=9!:1(Xf)

=

(X !:1f). Omdat !:1lineair is volgt voor:

!:1(Xf + Jlg)

=

!:1( Xf) + !:1(IJ.g)

=

(Mf) + (IJ.!:1g). Voor X, IJ. E K geldt dus:

3.2.9 . Stelling

3.2.10. ad 2. Dankzij de kettingregel gaat in de integraalrekening de substitutieregel op. Doordat de kettingregel niet voor differentie /:, geldt, is er géén substitutieregel voor de sommatie.

3.2.11. ad 3. Stel U is een stamfunctie van u, dus /:'U= u. De productregel (2.1.2) levert:

/:'(Uv) = /:'U'v + E U'/:'v

=

u-v + EU·/:'v. Zodat u-v= /:'(Uv) - EU' /:'v. Dit leidt

3.2.12. De partiële sommatieregel

Als U een stamfunctie van u is dan geldt: 5 uv6.x= Uvv - 5(EU)/:'v

tsx.

3.2.13. Voorbeeld

Met behulp van de partiële som regel vinden we voor:

eX eX+1

5

xe"Isx.

=

x - - -

5 [ - - . IJ

6.x e - I e - I X

=

x_e e _ 5 eX Isx e - I e - I eX e eX

=

x - - - I[ - - I

+

w(x)J(met opgave 3.2.6.). e - I e - e

-3.2.14. Evenals bij de onbepaalde integralen kunnen we een tabel maken van stam-functies in de sommatierekening. 3.3.2. 3.3.3. 3.3.4. (I)

5

x(n) /:'x (3)

51-

6.x x x(n+1) met n

*

-I en nE IR. n+ I aX - - Imet a

*

1. a -= r'(x) . rex) 3.2.15. Opgaven I. Bereken: 2. Bereken: (1 ) a)

5

x ~ /:'x; b)

5

xE!-) îsx, a)5x-2/:,x; b)

5

X (-2 )

Isx

.

3.3.

BEPAALDE SOMMEN

3.3.1. We hebben de som 5 f(x) Isx: als oplossing van een differentievergelijking beschouwd. Tevens is gebleken dat deze som als een sommatie kan worden bezien. We onderzoeken nu een aantal sommaties van een begrensde functie op een iriterval en definiëren daarna de bepaalde som 5.

3.3.2. Zij f een begrensde functie op een interval I, I cIR.

Zija, bEI, a, b, E IN en b

>

a.

We bezien de volgende sommaties. 3.3.3. 'De Rechtersom'

b

[ R

SI f(x) ~x

=

f(a+l) + f(a+2) + . ..+ f(b-I) + feb)

a b ~ fen). n=a+1 3.3.4. 'De Linkersom' b

[LSlf(x) ~x = f(a) + f(a+l) + ... + f(b-I)

a

b-I

=

~ fen)

3.3.5. 'Trapeziumsom' b

[ T

~[f(x)

Isx

=

t

f(a}

+

f(a+l}

+

.

. . +

f(b- I)

+

t

feb}.

a.

Q.,

Qi'&.

b-z,

-t

Il

3.3.6. We kiezen nu de linkersom-constructie in de definitie van de bepaalde som, omdat dit een resultaat geeft dat het beste aansluit bij de continue analyse.

3.3.7. Definitie

De bepaalde som van a naar b,a.b E Z, a

<

b, van een begrensde functie f: I ~ IR,I cIR is

b-l ~ fen}.

n=a

We schrijven deze som als

b

S

f(x} 6.x. a Verder definiëren we a

S

f(x} 6.x

=

0, a b a $ f(x} 6.x

=

-$ f(x}Isx. a b

3.3.8. Door uitschrijven kan men verifieren dat voor a.b ,cE Z en voor de

co-functiesÀ. en Jlgeldt: c b b

S

f(x} 6.x+$ f(x} fu. = $ f(x} 6.x • a c a b b b $ (À.f+Jlg)(x) 6.x

=

À.$ f(x} fu. +Jl$ g(x}fu.. a a a

3.3.9. We konstrueren nu enkele stellingen analoog aan die van de continue analyse . De overeenkomst in de resultaten is zo sterk door (o.a.) de keu ze voor linkso m in definitie 3.3.7 .

Zij f integreerbaar over [a,b

1

cIR en f continu in cE (a.b). Zij F: [a.b]~ IR gedefinieerd als 3.3.H 3.3.1: 3.3.1: 3.3.1 3.3.1

'i

x

F(x) =

J

f(t) dt.

a

Dan is F differentieerbaar in c en geldt F'(c)

=

f(c ).

3.3.10. Stel lis een reëel interval en aE I. Onder het 'discrete interval' Ia verstaan we de verzameling

Ia= I n {xE

m.

1

x= a + n, nE Z}.

Als g een op I begrensde functie is dan is g altijd 'sommeerbaar' op Ia' Dat wil zeggen de bepaalde som

x

S

g(t)~t a

bestaat voor alle xE Ia'

In 3.3.11 t/m 3.3 .17 is I steeds een reëel interval en aE I.

3.3.11. Stelling

Zij g: I~

m.

een op I begrensde functie, zij G: Ia~

m.

gedefinieerd als

x

G(x) =

S

g(t)~t.

a

Dan geldt: tlG(x) bestaat en tlG(x )= g(x). 3.3.12. Bewijs tlG(x) = G(x+I) - G(x) x+1 x =

S

g(t) tlt -

S

g(t) tlt a a x x-I = L gen)- L gen) n=a n=a

=

g(x). 3.3.13. Opmerking

Met de rechtersom als definitie voor de bepaalde som was het resultaat geweest dat stelling 3.3.11 had moeten luiden;

tlG(x)

=

g(x+ I)

Zij f continu op I en F de primitieve van f op I.

Dan geldt voor alle a.b.e I; b

J

f(t) dt = F(b) - F(a)

a

3.3.14. Stelling

Zij f: I~ IR,begrensd op I:en zij F: Ia ~IRgedefinieerd als

x

F(x)=

S

f(t) tlt, cE Ia'

b b

f

f(x) g(x) dx

=

f(b)G(b) - f(a)G(a) -

f

G(x) f(x) dx.

a a

x=a,

Dan geldt vooralle b,c E Ia

c

S

f'(t) dt = F(c) - F(b). b 3.3.1 S. Bewijs Stelling 3.3.11 levert f(x) = F(x+ I) - F(x). N~is c

S

f'(t) 6t = f(b)+ f(btl) + . . . + f(c-2 ) + f(c-I ). b Ofwel c

S

f'(t) 6t= F(b+l) - F(b) + F(b+2) - F(b+I) + . . . + F(c-l) + b - F(c-2)+ Ffc ) - F(c-I). En zo volgt c

S

f(t) 6t= F(c) - F(b). b

Als f differentieerbaar is met afgeleide

r'

en als G een primitieve is van g dan is

3.3.16. Stelling

Als 6U(x) = u(x) (u begrensd op Ia)en bE Ia dan:

b b

S

u(x)v(x) 6x = U(b)v(b) - U(a)v(a) -

S

U(x+l) b.V(x)"fu.

a a

3.3.17. Bewijs

De produktregel voor differenties levert

u(x)v(x)= 6(U(x)v(x» - U(x+ I) 6v(x) Hieruit volgt

b b b

S

u(x)v(x)

Isx.

=

S

6(U(x)v(x» fu -

S

U(x+ I) 6v(x)" fu

a a a

b-l b

= L [U(x+l)v(x+l) - U(x)v(xH,-

S

U(x+l) 6v(x)"fu

a b

= U(b)v(b) - U(a)v(a) -

S

U(x+l) 6v(x)"fu.

a

3.3.18. Stelling van Abel Als lim v(x)

=

v~ x-+-~ en lim U(x) = U x~- 00 en 6v(x) = v(x) 3.3.19. 3.3.20.

~

en de reeks ~U(x) I:::.v(x ) is convergentdan geldt:

n=O ~ ~ u( x)vïx) isconvergent.en x= O ~ ~ u(x ) v(x )

=

U~ v~- U(O) v(O) x=O

-~ U(x+ I) I:::.v(x ). x= O 3.3.19. Bewijs

Dit bewijs volgt direct uit stelling3.3.16. 3.3.20. Notatie

Een gebruikelijke notatie voor u(x) met xE IN is un' Stelling3.3.16 luidt dan

b b

S

u v !:::.n= Ubv

b - U v -

S

U +,I:::.v -!:::.n.

a nn aa a n n

HOOFDSTUK 4

REEKSEN

4.1. Reeksen

Onderzocht moet worden de differentievan een reeks.

Zij f_{n een reële ri}j,_{fn: D}~ IR, Dc IR. Zij SN derij van partië le sommen :

N SN(x)= _{L fn}(x) n=O en absoluut convergent. Stel. lim SN(x)

=

Sex). N+OO Dan is N N L Mn(x) = L (fn(x

+

1) - fn(x)) n=O n=O N N = L f_{n (x}+ 1) - L f_{n (x}) n=O n=O Waaruit volgt

-L Mn(x) = Sex

+

1)- sex) =t,s(x). n=O

4.2. Pseudo-machtreeksen

4.2.4. 4.2.5. 4.2.6. 4.2.7. 4.2.1. Definitie.

Een rij an(x - xo)(n) met an, x, X_o E

et,

wordt een pseudomachtrij genoemd.

4.2.2. Definitie.

De rij partiële sommen SN gedefinieerd door

N

SN(x) = _{L an(x -} X_o)(n)

n=O

noemen we een pseudo-machtreeks. Notatie:

~

an(x - xo)(n).

n=O

4.2.3. Als lim SN(x_N+OO I ) bestaat noemen we de pseudo-machtreeks convergent in xl'

De verzameling [x]

~

_{an(x - xo)(n) is convergent}}heet het convergentiegebied .

n=O

(

4.2.4. Stelling.

Zij de pseudo-machtreeks

~

an(x - xo)(n) convergent in x = xl met n=O

ReXl

ti-

Z dan geldt:

1.

~

an(x - xo)(n) convergeert absoluut voor Yx: _{Rex> Rexl} + 1. n=O

2.

Ï;

an(x - xo)(n)convergeert voor Y.x: Rex> Rext" n=O

4.2.5.

4.2.6.

Opmerking:Het bewijs wordt hier achterwege gelaten.

Opmerking: Als convergentiegebied treden geen convergentie-eirkels maar convergentie-halfvlakken op. convergent absoluut convergent

o

Rexl+ I Re

-(

4.2.7. 4.2.8. Opmerking.

Als de pseudo-machtreeks

Ï;

_{an(x - xo)(n) absoluut convergent i}sin xl' n=O

is

Ï;

n'an(x - xo)(n-l) convergentin xl . Immers als n=O

S(x)

=

Ï;

_an(X - xo)(n) bestaatinxl' bestaatt,_{S(x l ) ook}. n=O Voorbeeld. We kennen de binomiaalreeks: ~ X (l +a)X= ~ ( )an , n=O n voor aE (-1, 1), XE IR.

x ( ) is gedefinieerd als n x (0 )

=

1, (x) = (x)(x - l)(x - 2~.. . (x - n+ 1) ,als nE IN'\ {O }, n n. ofwel

We kunnen de binomiaalreeks herformuleren door

"" an

(l + a)X

=

~

-

•

x(n).

n=O n!

HOOFDSTUK 5

DIFFERENTIEVERGELIJKINGEN

5.1. Inleiding

Alvorens de differentievergelijkingen te bespreken willen we eerst de theorie van de differentiaalvergelijkingen recapituleren.

De'gewone' differentiaalvergelijkingis een betrekking tussen de reële onaf-hankelijke variabele x en een daarvan afonaf-hankelijke reële veranderlijke y en de afgeleide(n)van y naar x:

F(x, y, yl, . . .,y(n» )

=

O.

Een oplossing van een gewone differentiaalvergelijking is een functie y

=

f(x) die bij substitutie een identiteit oplevert.

Is bij een differentiaalvergelijking de nodeafgeleide de hoogste afgeleide die optreedt, dan heet de differentiaalvergelijking van de node orde.

De oplossingsmethoden van de volgende types differentiaalvergelijkingen wor-den bekend verondersteld:

(I) de differentiaalvergelijking met gescheiden variabelen;

(11) de exacte differentiaalvergelijking (eventueel met behulp van een inte-grerende factor).

Bovendien hopen we dat de lezer bekend is met het vinden van een oplossing met behulp van

(111) variatie van constanten, (IV) de karakteristieke vergelijking.

De laatste methode wordt vaak gebruikt om node orde lineaire differentiaal-vergelijkingen op te lossen. Hierbij speelt de determinant van Wronski een belangrijke rol voor het bepalen van het onderling onafhankelijk zijn van de oplossingen.

We kunnen nu al opmerken dat het analogon van de oplossingsmethode van differentiaalvergelijkingen met gescheiden variabelen niet bestaat. Dit omdat, zoals al eerder opgemerkt, de substitutieregel bij differenties niet geldt en deze regel de basis is van het vinden van een oplossing bij dit type differen

-tiaalvergelijkingen.

Zoals we zullen laten zien gaan andere methoden wel op en zal de pendant van de Stelling van Wronski (Stelling van Casoratie) zelfs een eenvoudiger bewijs blijken te hebben.

5.2.

Over differentievergelijkingen

Een differentievergelijking geformuleerd naar analogie met de differentiaal-vergelijking impliceert een notatie in b.-stijl. Immers

y' - y = 0

En dit is verwant met f::,y - y = o.

Daarf::,

=

E - I is dit gelijkwaardig met Ey - 2y= O.

5.2.1. Definitie.

Een differentievergelijkingis een betrekking tussen de reële onafhankelijke

veranderlijke x en een van x afhankelijke reële veranderlijke u en de v erscho-ven(en)van u:

F(x, u, Eu,. . . ,Enu) = O.

Effiu(x) moet gedefinieerd zijn voor alle waarden van x,voor m = 0, 1,. . .,n . 5.2.2. Als EnU de 'grootste' verschuiving is die optreedt,heet de

differentieverge-lijking van de node orde. 5.2.3. Definitie.

Een lineaire differentievergelijking is een differentievergelijking F(x, u, Eu, , En) = 0,

die lineair is in u, Eu, ,Enu.

5.2.4. De algemene vorm van een node orde lineaire differentievergelijkingis

+

al (x)Eu(x)

+

ao(x )u(x)= b(x).

Hierin zijn aj(x), i= 0, I, ...•n begrensde functies van x. De vergelijking (met b(x)

=

0):

+al (x)Eu(x) +ao(x)u(x)

=

0

noemt men de bijbehorende 'homogene' of 'gereduceerde' vergelijking. 5.2.5. Definitie.

Een differentievergelijking van de vorm Enu =",(x,u, Eu, .. . ,En - l u) heet expliciet.

Is de differentievergelijking niet van die vorm dan heet zij impliciet.

5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. 5.3.5. 5.3.6.

5.3. Existentie en eenduidigheid van oplossingen van

differen tievergelijkingen

Dit probleem is voo r differentievergelijk ingen vrij eenvoudig. De existentie van een oplossing volgt vrijwel direct uit de voorwaarden opgelegd aan een differentievergelijking.

5.3.1. Stel gegeven de differentievergelijking

l,O(x, u(x), Eu(x ), .. .,En-Iu(x)) = Pu(x),

en l,O : IRn~IR.

Stel dat de waarden van de oplossing voorgeschreven zijn op een verzameling V:

V

=

{a, a+ I,. . . ,a + n - I} , aE IR, n E IN.

5.3.2. Dan volgt door substitutie van deze waarden in l,O direct de waarde van de oplossing in a+ n.

5.3.3. We vinden de waarde van de oplossing in a+ n+ 1 uit

l,O(x+ 1,u(x + 1), Eu(x + 1), . . . En-Iu(x + 1)) = Enu(x+ 1).

We zien dat de differentievergelijking voor x

=

a

+

n,nE IN,een oplossing heeft, welke tevens eenduidig bepaald is door het voorschrift van l,O.

5.3.4. Evenzo is in te zien dat, als de voorwaarden van de oplossing op een inter-val [a,a

+

n] bekend zijn, hieruit een éénduidig bepaalde oplossing voor Yx ~a

+

n volgt (xE IR).

5.3.5. Indien bij een n-de orde differentievergelijking, de waarde van de oplossing is voorgeschreven op een interval met 'lengten' volgt hieruit éénduidig een oplossing. 5.3.6. Voorbeelden. 1. Eu(x)

=

x-uïx ), XE IR. u(l)

=

1. u(l) = I is u(2)

=

Eu(l)

=

lruf l )

=

1'1

=

I u(3)

=

Eu(2)

=

2'u(2)

=

2'1

=

2. u(4)

=

Eu(3)

=

3'u(3)

=

3'2

=

6.

Met 5.3.3 vinden we dat de oplossing bestaat en eenduidig is bepaald op IN.

Als

en Evenzo

Indien men slechts belangstellingheeft voor u(x) met xE IN schrijft men meestal u(n ) = _un. Dit voorbeeld luidt dan

r

32 = nun,

=L

=1·ui=I.

=

2'u₂

=

2,

=

3'u₃

=

6. 5.4.1.

Dit doet ons vermoeden dat

un = (n - I)! = ren), voor n E IR.

2. Eu(x) = x-uïx ), XE IR.

u(a) = b.

Met 5.3.3. vinden we dat de oplossing bestaat en eenduidig is bepaald op x

=

a +n, n E IN. We kunnen iets van de vorm van de oplossing verm

oe-den als we naar het vorige voorbeeld kijken.We proberen daarom

u(x)

=

k-rex), k is een constante. Substitutie in de differentievergelijking levert

u(x

+

I)= k-F(x

+

I) k- x f'( x) x-kf'(x)

x·u(x).

u(a) k- Fïa)= b.

Waaruit volgt dat u(x) = k- rex)voldoet aan de differen tie vergelijking en voor

b

k = r(a)

voldoet de oplossing aan de voorwaarde u(a)= b.

Deoplossing van de differentievergelijking met voorwaarde u(a )= b,is b

u(x)

=

r(a) •rex), voor x

=

a

+

n, n E IN.

5.4. Het oplossen van differentievergelijkingen

Allereerst enkele voorbeelden zonder bepaalde methode die in volgorde een aanwijzing geven over de structuur van oplossingen van homogene lineaire differentievergelijkingen van de I e orde.

5.4.2.

5.4.1. Voorbeeld. u: D-+- IR, De IR.

Eu{x) = 3u{x), x E IN. u{x_O) = p

u{x+ I) = 3u{x) u{x +2) = 32u{x)

u{x +n) = 3nu{x), n E IN. Met gebruik van de voorwaarde volgt

u{X_O +n) = 3~'P, nE IN.

5.4.2. Voorbeeld.

u: D-+-IR, Dc IR.

Eu{x) = (l - 2x)uïx), X E IN. u{x_o) = q u{x

+

1) = -2{x - 1.)u{x) 2 u{x+ 2)= (-2)2{X + 1 - t){x -iiu{x) u{x+n)= {-2)n{x +(n - 1) - t){x+(n - 2) -

t) ...

(x - t)u{x), nE IN Fïx+ n _.!.)

u{x+n) = (-2)n 1 2 U{X), nE IN. F(x - '2)

Met gebruik van de voorwaarde volgt

f'(x + n _.1)

u{xo + n)

= (-

2)n 0 1 2 q, n E IN.

f'(x o -2) 5.4.3. Voorbeeld.

u: D-+-IR, D c IR, a: D-+-IR.

Eu{x) = a{x)u{x), x E IR. u{xo)

=

r.

u{x

+

1) = a{x)u{x) u{x+ 2) = a{x + 1)a{x)u{x)

n-I

u{x +n) =

n

a{x +k)u(x), n E IN. k=O

Met de voorwaarde u{xo) = r volgt A-I

u{x o + n) = r-

n

a{x +k).

5.5. Oplossingsmethoden

5.5.1. De methode bekend onder de naam "scheiding van veranderlijken" kent in de discrete analyse geen analogen. Immers de substitutieregel ontbreekt in de discrete analyse. De oplossingsmethode voor de "exacte differentiaalver-gelijking" heeft wel een analogon, de "exacte differentieverdifferentiaalver-gelijking". In het algemeen zal een differentievergelijking niet exact zijn. Soms is dit op te lossen door een vermenigvuldiging van een factor met de oorspronkelijke differentievergelijking, waardoor deze differentievergelijking overgaat in een exacte differentievergelijking.

Deze factor wordt de sommerende factor genoemd.

We gaan hier echter niet verder in op de theorie van de exacte differentie-vergelijkingen.

De methode waarbij eerst de oplossing van de homogene differentiaalverge-lijking, en vervolgens een particuliere oplossing van de inhomogene differen-tiaalvergelijking worden gezocht, om hiermee de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking te construeren, is ook in de discrete analyse toe te passen.

5.5.2. Lineaire differentievergelijkingen

Onder een lineaire differentievergelijking verstaat men een differentieverge-lijking van de vorm:

5.5.3. Enu+an_l(x)En-l u+ ... +al(x)Eu +ao(x)u

=

b(x). De onbekende functie u en zijn 'verschoven' functies komen in 5.5.3 lineair voor. De functies ajÜ= 0,1, . . . ,n - 1) heten de coëfficiënten.

Als b identiek nul dan heet 5.5.3 een homogene differentievergelijking. 5.5.4. Lineaire differentievergelijkingen met constante coëfficiënten

Dit zijn differentievergelijkingen van de vorm

Enu +_{an- l En-lu}+ .. .+al Eu +aOu= b(x), met ~ E IR(i = 0,1, .. . ,n - 1). 5.5.5. We introduceren de operator L gedefinieerd door

L

=

En +an_IEn-1 + ... +alE +_ao'

Ga na dat L lineair werkt op een verzameling functies.

We kunnen de bovenstaande differentievergelijking herschrijven tot: 5.5.6. Lu

=

b.

Wanneer we L beschouwen als een polynoom in E, en de nulpunten bereke-nen, blijkt dat deze nulpunten direkt verwijzen naar de oplossing van de homogene differentievergelijking Lu= O.

5.5.7. Voorbeelden

1. Beschouw Eu(x) - au(x)

=

0

L

=

E - a, heeft een nulpunt voor E

=

a.

met

u(x + I) . .

u(x ) = a ===? oplossing IS: u(x) = w(x )"aX.

2. Beschouw nu de 2-de orde differentievergelijk ing. E2u(x) - (a + b) Eu(x) +abu( x) = 0, a=1=b; a.b E IR.

L = E2- (a + b)E + ab =(E - a)(E - b).

Analoog aan I. doen we nu de suggestie om als oplossing u(x) =

=wl(x )aX _+w

2(x )"bx te nemen.

Controle door middel van invulling in de differentievergelijking leert dat deze oplossing voldoet (ga na!).

3. Beschouw voorbeeld 2. met a = b =a.

Er ontstaat nu voor L een dubbele wortel L = (E - a)2 .

Stel (E - a)u(x) = v(x). (I)

De oorspronkelijke differentievergelijking wordt nu:

(E - a)v(x) =

°

Uit I. weten we dat de algemene oplossing v(x) =w(x)"ax is.

Voor(1) kunnen we nu schrijven:

(E - a)u(x) =w(x)"ax. (2)

Vooruitlopend op stelling (5.5 .11) en (5.6) roepen we nu de methode

van variatie van coëfficiënten te hulp.

De oplossing van de homogene vergelijking van (2) is uh(x) =wl(x)"ax.

We proberen: y(x) = !p(x)"U_h(x). Er volgt (zie (5.6)):

EU_h(x)l':.«,O(x) =w(x)"ax.

w(x)

w_2(x) ( ) vinden we l':.!p(x) =w₂(x).

w_l x "a

Een oplossing van (2) is nu:y(x) =w/ x) "xa".

De algemene oplossing van Lu =

°

is nu:

u(x) = w₁(x)"ax + w_3(x)"xax.

De navolgende stelling vermelden we zonder bewijs.

5.5.8. Stelling

Zij Enu + an-I En -I U +.. . + al E+_ao =0, met aiE IR,(i =0,1,....n - I)

en zij L(E) =En +a_{n _1}En-I + + ao' dan geldt:

a. Als L(E) = (E - al)(E - _a2) (E - _an) met ai =1=a_j voor alle i=1=j (ij = I, .. ..n), is de algemene oplossing van de differentievergelijking

u(x )=wl(x)a1(x) _+w2(x)a2(x) + .. .+wn(x)an(x).

(1) (2) (i

=

1, ... ,n) dan is de algemene oplossingvan de differenti evergelijki ng u(x)

=

w

1(x ) aX ₊

_w

2

(

xjxrz"

+ .. .+

w

n

(

xjx"

- Ia

X • 5.5.9. Opmerking

De andere mogelijkheden, dan die zij n aangegeven in a. en b. kunt u gemak-kelijk zelf bepalen! (Vergelijk voorbeeld 3 uit (5.S.? )) .

5.5.10. We introducer en opnieuw de operator L,nu gedefinieerd door L = En +an_l(x) En-1 + ... +al(x)E +ao(x ).

5.5.11. Stelling

Zij gegeven een differentievergelijk ing L(u) = b(x )met de bijb eho rend e homogene vergelijking L(u) =

o.

Stel Y_p is een gegeven particuliere oplossing van de differentievergelijk ing en stel Yh is de algemene oplossing van de bijbehorende homogene vergelijking dan geldt:

1. Y=Y_p+Yh is de 'algemene oplossing' van de differentievergelijking L(u)

=

b(x).

2. Y - Y_p voldoet aan de differentievergelijking L(u )

=

O. 5.5.12. Opgave

Bewijs deze stelling(maak gebruik van de lineariteit van L). 5.5.13. Gevolg stelling (5.5.11)

Gegeven: L(u) = b(x) L(u) = O.

Stel Yp is een gegeven oplossing van de differentievergelijking (1).

Als Y ook een oplossing is van (1) dan bestaat er een oplossing Yh van (2) zo dat Y= Yp +Yh'

Andersom is vooriedere oplossing Yh van (2) de som Y_p

+

Yh een oplossing van (1). Dit geeft aan hoe we alle oplossingen van (1) kunnen construeren. Namelijk: a. Vind één oplossing van (1), de particuliere oplossing van (1).

b. Vind alle oplossingen van (2).

Alle oplossingen van (1) vindt men door de particuliere oplossing uit a. op te tellen bij de in b. gevonden oplossingen. Deze som noemt men de alge-mene oplossing.

In de volgende paragraaf geven we een methode aan om de particuliere op-lossing van een differentievergelijking te vinden als we de opop-lossing van de homogene differentievergelijking hebben.

5.6. Methode van de variatie van w-functies

5.6.1. We beschouwen de algemene lineaire differentievergelijking van de eerste orde: a(x)lm(x) +b(x)u(x) = c(x), waarbij xE IR.

5.6.2. Oplossen van de homogene differentievergelijking

a(x) Lluh(x)

+

b(x)uh(x)

=

0, is de homogene vergelijking van (S.6.1)

a(x )uh (x + 1)+ {b( x) - a(x)} uh( X)

=

O. Uh(X

+

1) a(x) - b(x )

=

,

met a(x ) =1=O. uh(x ) a(x) In uh(x+ 1) - In uh(x) = In

I

a(x) - b(x )

I'

als a(x )=1=b(x ). a(x )

I

a(x) - b(x) \ In uh(x) =Sin a(x) tsx. +w1(x).

De oplossing van de homogene vergelijking wordt

I

a(x) - b(x)

I

''

uh (x) =W2(x). exp [S In a(x) ~x

J

.

5.6.3. .Variatie van de oplossing van de homogene vergelijking

We bespreken nu een oplossingsmethode van de in (5.6.1) gegeven differen

-tievergelijking met behulp van het in (5.6.2) gevonden resultaat. Probeer nu of u(x)

=

IPCx)"Uh(x) een oplossing is van (5.6. 1). Dan volgt:

Substitutie in (5.6. 1) levert:

immers

a(x)"~l,O'(X)"EUh (X)

+

lp(x){a(x)"~uh(x)

+

b(x)"uh(x)}= c(x)

a(x)"~lp(x)"Euh(x)

=

c(x), a(x)"~uh(x)+b(x)"uh(x) = O. ~ (x) = c(x) lp a(x)"Euh(x) (x) = S c(x) fu + () lp a(x)"Euh(x) w3 x .

5.6.4. Voorbeeld

Zij gegeven de differentievergelijking:

6u(x) +x-u/x) = x2 met x E IN.

De homogene vergelijking luidt: 6u(x)

+

x-uïx)

=

O. Waaruit volgt:

u(x + I)

u(x) = -(x - 1).

De vergelijking doet ons denken aan de differentievergelijking die de gamma-functie I'als oplossing heeft.

Als u(x) = rex),

geldt er: u(x + 1)

=

xf'(x)

=

xu(x). u(x + 1)

= x.

u(x)

Teneinde het minteken in ons geval het hoofd te bieden proberen we:

v(x)

=

y(x)r(x - 1). 5.7.1. v(x + 1) v(x) y(x

+

l)rex) y(x)r(x - I)

y(x + I)(x - l)rex - I) y(x)r(x - I) = (x _ I) y(x

+

I) y(x) 5.7.2. Hieruit volgt: y(x

+

1) = -1. y(x) Een oplossing is:

y(x)

=

(_I)X, X E INdus is dit gedefinieerd. De oplossing van de homogene vergelijking is:

v(x) =w(x)(-l)x rex - I).

Stel u(x)

=

Ip(x)'v(x) dan volgt met (5.6.3)

Ev(x)~<p(x) = X2,

dat

De algemene oplossing van ~u(x) + x-u/x) = x2 is nu:

u(x)

=

<p(x)'v(x)

=

(-I)xf'(x - I)

[s

(

-I):~(X)

~x]

+w(x)(-l)xr(x - I).

5.7.

Onafhankelijkheid van oplossingen van differentievergelijkingen

Als een homogene differentievergelijking oplossingen heeft onderzoeken we

op deze oplossingen onafhankelijk zijn.

Daartoe voeren we eerst het begrip 'w-afhankelijk' in en daarna gebruiken we het criterium van Casorati (te vergelijken met de methode van Wronski

uit de continue analyse) om te controleren of oplossingen van een differen

-tievergelijking al dan niet w-afhankelijk zijn.

5.7.1. Definitie

Zij I een open interval van IR; laat uI ' ...'U_n metUj: I+ IR,

waarbij i= I, ....n.

Men noemt n-functies uI' .. 'U_nw-afhankelijk (op I) als er nw-functies

w_l(x) . . . w_n(x) (niet alle identiek nul) zijn, zodanig dat voor alle x E I

geldt:

Als uI' . . . ,u_n niet w-afhankelijk zijn heten ze co-onafhankelijk.

5.7.2. Stelling

Zij YI 'Y2' ... 'Yn n-functiesgedefinieerd op I en zij

Y_I . . . Y_n

Ey•. . . .. EY_n C(x)=

E

n- l Y.

Dan zijn YI 'Y2' ... 'Yn w-afhankelijk dan en slechts dan als c(x) = 0 op I.

5.7.3. Om een en ander te 'bewijzen' gaan we voor de duidelijkheid uit van n

=

3

Bewijsc

Neem nu een xE I, dan wordt

C(x)

=

_{EYI EY2 EY3 = mil YI +ml2Y2 +m13Y3} E2Y_I E2Y2 E2Y₃

waarbij mij minoren zijn (met ij

=

1,2,3). Uit C(x)= 0 volgt:

Delen door mil' aangenomen dat m_{l l} -=1=0 is, geeft

(de lezer wordt verzocht het geval m_{l l} = 0 zelf na te gaan) m l 2 m l 3

Yj + - -Y2 + - Y3 =

o.

mil mil 5.7.4.

evenzo vinden we dat

}----O)

Uit de lineaire algebra weten we dat bij een determinant die nul is geldt:

Combinatie van0) en (2) geeft:

~ A_{na oog}I _IS. _{a te el en}f leid d_at m13 -_E m13

mil mil

m l2 _en m l3 _{zijn periodiek, dus w-functies.} mil ml1

Uit C(x)

=

0 volgt dan dat er co-functies zijn (niet alle identiek nul) zodanig dat

ofwel y I' yz en Y3 zijnco-afhankelijk . Omgekeerd:

WI(x)YI (x )+wz(x)Yz(x) _+w3(x)Y3( x)

=

0 met X E 1.

In gebied I levert vervanging van x door x + 1 omdat w(x) = w(x + 1):

evenzo

De zo verkregen 3 homogene lineaire relaties in wl (x),Wz(x) en w3 (x) hebben een oplossing die van de nul-oplossing verschilt, dan moet de co-efficiëntendeterminant C(x) in gebied I wel nul zijn.

5.7.4. Wij vermelden nog de volgende stelling: Als u I(x), . . . ,u n(x) oplossingen zijn van

geldt voor de determinant van Casorati de formule van Heymann:

n bo(x) C( )

C(x + I) = (-I) - - x.

b (x)

n 5.7.5. Opgave.

Bewijs zelf de formule van Heymann.

(aanwijzing: denk aan de afleiding van de corresponderende formule voor W(x) en zijn afgeleide W'(x) in de continue analyse).

5.8. Casorati toegepast op een homogene differentievergelijking

met constante coëfficiënten

Zij u(x) gedefinieerd van Z + IR.

We gaan uit van de differentievergelijking

an Enu(x) + an_₁En-1u(x) . . . + al Eu(x) + a_ou(x) = 0 met

Ofwel

aiE IR, i

=

I, ... ,n.

gu = 0 waarbij g(E) = _{anEn +} .. _{. + bi E + bo}'

Wanneer we g beschouwen als een polynoom in E dan verwijzen de wortels van de vergelijking g(E) = 0 naar de oplossingen van de differentievergelijking.

Als de nulpunten al,_{a 2,} . . . ,a_n met ai E IRen i= I, . . . ,nverschillend zij n, dan zijn de fu nc ti es ui = aix w- onafhankelijk.

Dit is te zien door C(x) te bepa len .

I I

a_lx a_nx al a_n

aIx+n -I. . .anx+n-I aln-I .. . .ann-I

Met behulp van Vandermonde:

b

C(x) = {(_I )n~}Xn (ai - aj) =1= O. b_n i>j

Daardoor wordt de algemene oplossing van de differentievergelijking gevon-den:

5.8.1. Toepassing

Stel dat a een wortel is van g(E)u(x)= 0 met multipliciteit vier.

Westellen nu dat aX, xa", x2aX en x3aX oplossingen zijn die een

w-onafhankelijk stelsel vormen.

We tonen met behulp van Casorat i aan dat deze oplossing en w-onafhankelijk zijn. Immers

aX xax x2ax x3aX ax +1 _{(x+ l)a}X₊1 _(x + ₁₎₂ aX+I (x + 1)3_ax + 1 C(x) = ax +2 _{(x+ 2)aX+}2 _{(x+ 2)2 a}x + 2 tx + 3)3 aX+2 ax +3 (x + 3)aX+3 (x +3)2 ax + 2 (x+ 3)3 aX+ 3 x x2 x3 (x + I) (x + 1)2 (x + 1)3 a4x₊6₌ (x +2) (x +2)2 (x + 2)3 (x +3) (x +3)2 (x + 3)3 - 3 ! 2! I! a4x+6 (volgens Vandermonde).

Hieruit blijkt dat C(x) =1=0,dus zijn de oplossingen w-onafhankelijk.

5.8.2. Toepassing 5.8. 1is uit te breiden door wortel a multipli cit eit k (kE IN) te

Men kan aantonen dat aX_,xax_,x2_aX

, • • • Xk-IaX co-onafhankelijke

oplossin-gen zijn van (E - a)ku(x) = O.

5.9. Structuur van de algemene oplossing

Tot slot laten we zien dat men bij een homogene differentievergelijking van de n" orde

L(u) = _{ao(x) En u(x) + ... + an(x) u(x)} = 0

elke oplossing als w-combinatie van n co-onafhankelijke functies kan schrijven.

Zij namelijk u(x) een willekeurige oplossing en onderstel dat de functies UI (x), ... ,un(x) een stelsel co-onafhankelijke functies is, dan heeft men

L(u)

=

0, L(u_l)

=

0, ... , L(u n)

=

O.

Door deze n+ 1 relaties op te vatten als lineaire homogene relaties in de n+ 1 functies ao(x), ._{. . ,an(x), die niet alle nul zijn, ziet men in dat de} coëfficiëntendeterminant van dit stelsel (en dat is de determinant van Casorati van deze n+ 1 functies) gelijk isaan O. Dus zijn deze n+ 1 functies w-onafhankelijk, dat wil zeggen er zijn n+! co-functies w(x), w_l(x),... , wn(x) (niet alle nul) met

w(x) u(x) + w_l(x) UI (x) + ... + wn(x) un(x) = O.

Omdat de functies uI (x), ... ,un(x) onderling co-onafhankelijkzijn moet gelden w(x) =1=O. Dus

HOOFDSTUK 6 : OPLOSSEN VAN

DIFFERENTIE-VERGELIJKINGEN MET TRANSFORMEREN

Een uitstekend hulpmiddel bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, in het bijzonder van lineair inhomogene differentiaalvergelijkingen met con-stante coëfficiënten, is de Laplace-transformatie.

In dit hoofdstuk zal blijken dat er ook voor het oplossen van lineaire inho-mogene differentievergelijkingen met constante coëfficiënten zo een analy-tisch hulpmiddel is, namelijk de Z-transformatie.

Alvorens de Z-transformatie te bespreken, belichten we eerst in het kort de Laplace-transformatie.

6.1. De Laplace-transformatie

6.1.1. Definitie

De Laplace-getransforrneerde van een op [0,00) gedefinieerde functie f is een functie F: [0,00)+

<t

met als voorschrift:

F(s) =

j

e-stf(t)dt. o

6.1.5.

We noteren F vaak door L{f}.

Functiewaarde F(s) bestaat in het convergentiegebied G van de integraal, 6.1.2. In het bijzonder geldt in G: lim F(s)

=

0,

s+-als de functie f voldoet aan de volgende eisen:

a. f heeft op een eindig interval slechts een eindig aantal discontinui'teiten. b. f is van 'exponentiële groei', dat wil zeggen: Er bestaan constantenK en

a

zodanig dat

If(t)1

<

Keat.

6.1.3. Een belangrijke eigenschap van de Laplace-operator L is, dat deze operator lineair is, dat wil zeggen:

met al ,a_{2 E} IR en f en g bezitten Laplace-getransformeerden.

6.1.4. Het vinden van de oplossing van een differentiaalvergelijking vraagt een 'terugtransforrnatie' van F naar f. Deze inverse Laplace-transformatie is gege-ven door het volgende voorschrift:

I a+i-f(t) = - .

J

estF(s)ds, 21Tl a-i-met aE IR en i2

=

-I. 6.1.6. 6.1.7.

6.1.5. Meestal maken we gebruik van een transformatie-tabel. F(s) = L{f} Convergentiegebied I Res

>

0 s I Res> 0

?

n! Res> 0 So+1 Res > a s - a n! Res> a (s _ a)o+1 a Res > 0 S2 _+a2 s Res > 0 S2 +a2 tOe3 t , nE IN cos at sin at tO,n EIN f'(t)

=

L- I{F(s)}

Deze tabel kan men gemakkelijk zelf verifiëren (doen! ),

6.1.6. Om een node orde differentiaalvergelijking op te lossen is er behoefte aan de Laplace-getransforrneerde van de node afgeleide van een functie f.

Voor de eerste afgeleide van f in t geldt (als de Laplace-getransformeerde van f gelijk is aan F(s)):

df - df

-L{ -} =

J

e-st-(t)dt =

J

e-stdf(t)=sF(s) - f(O),

dt 0 dt 0

met behulp van partiële integratie.

Zo verder gaande vinden we voor de node afgeleide van f:

L

{~:~}

=

SO F(s) - sO-1 f(O) . . . - sf(0-2)(0) - f(o-l)(O). 6.1.7. Voorbeeld

Los op:

d2f(t)

+

4f(t)= 0

dt2 _,

met de beginvoorwaarden f(O)

=

a en

f'

(0)

=

b. Laplace-transforrneren levert:

L

{

d:~~t)

+ 4f(t )}= 0

L

{ d:~~t)

}+

L{4f(t )} = O. Met 6.1.6 volgt: s2 F(s) - sf(O) -

r'

(0) +4F(s) = 0, s b 2 F(s)

=

ao_{- -}

+-0---.

S2 +4 2 S2 + 4

Met tabel 6.1.5 vinden we de oplossing f(t) = a cos 2t + b sin 2t.

6.2. Convolutie-eigenschap van de Laplace

-getransformeerde

6.2.1. Definitie

Zijn fen g twee functies gedefinieerd op [0,00) dan is de convolutie f ... g,

de functie gedefinieerd door: x (f

*

g)(x)=

f

f(t)og(x - t)dt. o 6.3.2. 6.3.3. 6.2.2. Opmerking

Wanneer men de Laplace-transforrnatie op de convolutie f

*

gloslaat, blijkt

de operator

*

over te gaan in een gewone vermenigvuldiging op de volgende manier:

L{f

*

g} = L{f}oL {g}.

Dit kan men eenvoudig zelf nagaan.

6.3. De Z-transformatie

De pendant van de Laplace-transformatie in de discretean alyse, is de Z-transformatie.

6.3.1. Definitie

Zij f:IN~ IRen laat Cc

<t

,

het convergentiegebied zijn van de reeks

- f ~~

0=1 ZO

Dan heet de functie X: C~

<t

gedefinieerd door

- f

X(z) = ~ 2...

0=1 ZO

de Z-getransformeerdevan de functie f. Vaak schrijven we voor X(z) ook wel Z{f}.

6.3.2. Een voldoende voorwaarde voor het bestaan van de Z-getransformeerde van f, is dat f van 'geometrische groei' is. Dat wil zeggen:er is een NE IR zo, dat er reële positieve constanten M en a bestaan, met de eigenschap:

voor alle nE IN met n ~ N. 6.3.3. Stelling

De Z-transformatie is een lineaire operatie. Bewijs:

Aan te tonen is dat:

met al,a2E IR en de Z-getransformeerden van de functies f en g bestaan.

~ ~

~ alfnz-n + ~ a2~z-n

n=1 n=1

al~ fnz- n +a2~ gnz-n

n=1 n=1

6.3.4. Ook hier maken we gebruik van een transformatie-tabel.

f

=

Z-I{X(z)} Z{f}

=

X(z) Convergentiege bied

[z]

>

1 z -an a [z]

>

a z - a ann(k), k =1=0 k! ak·z (z - a)k+1 [z]

>

a n(k), k=1=0 k! z (z- l)k+1 [z]'> 1

6.3.5. Voorbeelden

Weverifiëren nu enkele onderdelen van de tabel.

l. f(n)= I, met n E IN. Z-transformatie levert : 6.3.8. 1-Z{f} =

~

zin = z_! n=1 I I =- - I ' met [z]

>

I. z -2. f(n )= n, met nE IN. z I z (l _1.) 2 =(z _ 1)2' met [z]

>

l. z 6.3.6. Opmerking

Metvolledige inductie is eenvoudig te bewijzen dat

Ga zelf de rest van de tabel na.

Z{f} = Z{g} 6.3.9. 6.3.10.

-

~ ~

-n=1z" - f ~ ~ n=1 zn - (f - g ) ~ n n

=

0 n=1 z" k! z Z{n(k)}= , met [z]

>

l. (z_ l )k+1 - f g ~ (~ -~ )

=

0 n=1 z" z'' 6.3.7 . Stelling De Z-transformatie is één-éénduidig. Bewijs:

Aan te tonen isdat, als f en g functies zijn waarvan de Z-getransformeerde n bestaan, geldt: f = g dan en slechts dan als Z{f} = Z{g}.

'dan' is triviaal. 'slechts dan':

z

~ f = g,met identiteitstelling voor machtreeksen. ~ f f(l) ~ ~ ---n=1 z''

=

z ~ (f - g) ~ n = 0 n=l Zn zX(z) - f( 1). Z{Ek f}

=

zkX(z) - zk-lf(l). . . - zf(k - 1) - f(k). 6.3.9. Stelling

Als f een Laplace-getransformeerde bezit geldt:

6.3.8. Voor het oplossen van lineaire node orde differentievergelijkingen met con-stante coëfficiënten zijn de Z-getransformeerde verschuivingsoperatoren Ek

met k = 1,2, . . . ,n van belang.

Met Z{f} = X(z ) geldt:

~ Ef

Z{Ef} ~_n n= 1 z"

Bewijs deze stelling zelf (met behulp van de lineariteit van de Z-operator). 6.3.10. Voorbeeld

Los op:

Ef(t)

=

2f(t)+ 3,

met tE IN en beginvoorwaarde f( 1)= 3.

Stelling 6.3.9 levert na Z-transformatie voor de bovenstaande differentiever

-gelijking: 1 zX(z) - f(l)

=

2X(z)

+

3·

z=1

(gebruik tabel 6.3.4.) 3 3 X(z)

=

z _ 2 +(z - 2)(z - 1) 2 3·- -z - 2 3

-

_z

- -

-1

differentievergelijking f(t)

=

3(21- I).

6.4. Convolutie-eigenschap van de Z-getransformeerde

6.4.1. Definitie

Zij fen g twee functies gedefinieerd op IN. Dan isdeconvolu tie f * g als volgt gedefinieerd.

k-I

(f * g)(k ) =L _{fn ·gk-n}. n=1

6.4.2. Stelling

Zij f en g functies gedefinieerd op IN,waarvan de Z-getransformeer den be -staan dan geldt de volgende relatie:

Z{f * g}= Z{f}·Z {g}. =Z{f*g}. ee f ~ g Z{f}·Z {g}=(L....!!.)(L ~). n=IZn m=I Zm Bewijs : E2f_{- 3 Ef -4f=n,} ~ k-I fng k-_n

=

L L - - k - ' met k = n +m k=2n =1 Z met de beginvoorwaarden f(l) = 4 en f(2 ) = 4. ~ ee fng m Z{f}'Z {g} =L L + n=1 m=1 z" m

Dit geldt binnen het convergentiegebied van beide reeksen .Dat wil zeggen dat

beide reeksen absoluut convergeren op dit geb ied en de term en van de

reek-sen onderling verwisseld mogen worden. Er geldt dus:

6.4.3. Opgaven

2. Bepaal de oplossing van: 6J= 1 met de beginvoorwaarde f( 1)= 1. 3. Los op: met f(l)

=

0 en f(2)

=

O. 4. Bewijs: dZ{fo} = - .!. Z{ n f} . dz z 0 S. Bereken Z{f}voor 1 fo = n + 1" Ook voor 1 f = -o n

6. Als Z{f} = _{X(z) de voortbrengende functie is van de rij fo' dan is va}n de rij f₂₀ de voortbrengende functie gelijk aan:

~-X(y'z) + ~X(-y'z). Bewijs dit.

I

N DEX

Casorati convolutie-integraal convolutiesom differentie differentieta bel ~ E Euler exacte differentievergelijking exponentiële groei geometrische groei homogene vergelijking ketti ngregel

Laplacc-transfor rnat ie

Laplace-transform atieta bel Leib niz

lineaire differentievergelijkingen

Newton-binomium onbepaaldesom wfuncties particuliere oplossing partiële sommatie productregel pseudo-macht somregel substi tu tieregel Vandermonde variatie van constanten veeltermen

verschuivings-operator Wronski

z-transformatie z-transforma tieta bel

5.7.2 6.2.1 6.4.1 1.2.2 .2.5 .4 1.2.2 1.2.3 1.3.9 5.5.1 6.1.2 6.3.2 5.6.2 2.4 6.1 6.1.5 2.3.14 5.5.2 2.3.13 3.1 2.2.1 5.5.5 3.2.12 2.1.2 2.3.10 2.1.1 3.2.10 2.3.13 5.6.10 2.6 1.2.3 5.7 6.3.1 6.3.4

hoeve van de Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft (VSSD) uitge-geven door de Delftse Uitgevers

Maatschap-pij.

De VSSD is een vereniging van studenten aan de Technische Hogeschool Delft, die zich ten doel stelt de belangen van de stu-denten te behartigen.

Deze belangenbehartiging heeft vele, overigens samenhangende, kanten. De ver-dediging van de kwaliteit van het onder-wijs, bezinning op de beroepspraktijk en het bevorderen van de toegankelijkheid van het wetenschappelijk onderwijs voor alle lagen van de bevolking zijn de hoofd-zaken van wat de "ideële" ka~tvan de be-langenbehartiging genoemd zou kunnen worden.

De "materiële" kant betreft de strijd voor een aanvaardbaar inkomen voor de student en voor goede leefomstandigheden (huisvesting, voedsel), goedkoop studie-materiaal e.d.

Bij het verzorgen en doen uitgeven van studiehandleidingen zoals deze zijn de bei-de aspecten vertegenwoordigd: bei-de beschik-baarheid van goede en handzame dictaten vergroot de kwaliteit van het onderwijs en verbeten de studieresultaten, anderzijds worden de boekwerkjes tegen kostprijs

(dus zo goedkoop mogelijk; het zetwerk ge-schiedt in eigen beheer) aan de leden van de

VSSD beschikbaar gesteld. Daarbij kunnen ook anderen tegen een, zij het (vanwege de verkoopkosten) hogere, doch zeer accepta-bele prijs deze werkjes kopen.