MACIEJ KLAKLA MARIANNA KLAKLA JAN NAWROCKI BOGDAN J. NOWECKI Kraków
PEWNA KONCEPCJA BADANIA ROZUMIENIA POJĘĆ MATEMATYCZNYCH
I JEJ WERYFIKACJA NA PRZYKŁADZIE KWANTYFIKATORÓW
1. Wprowadzenie
Idea badań opisanych w niniejszym artykule zrodziła się w 1986 roku w Algerii, gdzie* autorzy prowadzili wykłady i ćwiczenia z matematyki w Institut National d *Enseignement Supérieur de Tiaret. Właściwa realizacja programu matematy ki na studiach technicznych, w czasie których przedmiot ten odgrywa podstawowa role, wymaga ze strony studentów pewnych wiadomości z dziedziny ‘logiki matematycznej. Zazwyczaj zakłada sie, że studenci wynieśli już taka wiedze ze szkoły średniej, co najmniej na poziomie intuicyjnym. W rzeczywis tości jednak studiujący popełniają wręcz nagminnie wiele błędów, a obserwacje ich pracy podczas pierwszego semestru, a także analiza prac pisemnych pokazują, że bardzo często jedna z przyczyn tych błędów i trudności w uczeniu sie mate matyki są elementarne braki z zakresu logiki matematycznej.
Zacytujemy tytułem przykładu kilka takich typowych błędów. Przykład 1. Aby zdefiniować ciąg "prawie stały” , studenci w miejsce warunku:
3n € K Vn e K: n>n„ * a =c
o o n
piszą
Vn € N 3nQe N: n>nQ * anÄ C »
gdzie c jest stała, nie zdajac sobie sprawy z różnych zna czeń obu zapisów.
Przykład 2. Bardzo często studenci rozumieją kwantyfikator egzystencjalny niepoprawnie, dorzucając niewypowiedziany warunek "i tylko jeden” . Np. rozwiązując
równanie ;
cos4x - sin4x = cos 2x,
którego pierwiastkami są wszystkie liczby rzeczywiste, niektórzy studenci odpowiadali przecząco na pytanie, czy prawdą jest, że:
3x e R : cos4x - sin4x = cos 2x, motywując to tym, że zachodzi
Vx e R : cos4x - sin4x = cos 2x.
; • .
Podobnie studenci bez trudności używają kwantyfikatora ogólnego do wyrażenia pewnych tożsamości, np:
Vn e R: (n+l)2= n2+ 2n + 1,
ale jednocześnie mają duże kłopoty z uznaniem za prawdziwe zdania:
3n e R : (n+1)2 = n2+2n+l.
Przykład 3. Student sądzi, że po to, aby wykazać, że 2
nie każda liczba naturalna postaci n +n+41 jest liczbą pierwszą, trzeba pokazać, iż dla żadnej liczby naturalnej
2
wzór n +n+41 nie przedstawia liczby pierwszej. Następnie
2
stwierdza, że dla n = 2 mamy 2 +2+41=47, a wiec liczbę pierwszą; nie Jest jednak w stanie wyjaśnić tej pozornej sprzeczności
Podobnych przykładów, pochodzących z obserwacji pracy studentów, można by cytować bardzo wiele. Nasuwa się więc pytanie, istotne z punktu widzenia dydaktyki:
Czy zasygnalizowane trudności sa przypadkowe, czy też przeciwnie, istnieją gZebsze powody ich pojawiania sie?
dobierając liczne i różnorodne przykłady i kontrprzyklady ilustrujące wprowadzane pojęcia.
Po wykonaniu tego zadania chcieliśmy skonfrontować nasze wyobrażenie o tym, czego powinni sie nauczyć studenci (przy założeniu, że maja odpowiednie doświadczenie ze szkoły średniej), z tym, czego sie rzeczywiście nauczyli. Stad idea konstrukcji sprawdzianu-testu (ściśle związanego z tym, czego uczyliśmy) mającego na celu ujawnienie, czy i jak studenci rozumieją niektóre z wprowadzanych pojęć. Z powodów, o których pisaliśmy na wsteple, wybór padł na kwan- tyfikatory.
Oczywiście nie należy sądzić, że ten sprawdzian-test miał na celu badanie pełnego rozumienia tych pojęć. Nie byłoby to możliwe, ponieważ w tym momencie proces opracowy wania kwantyfikatorów nie został zakończony. W tej fazie
nauczania zwróciliśmy uwagę tylko na pewne aspekty rozumie nia badanych pojęć. Badanie dotyczyło pewnego transferu wiedzy logicznej z sytuacji życiowych na matematyczne i miało być:
1) próbą ujawnienia trudności w posługiwaniu sie tymi elementami logiki, o których zakłada sie, że intuicyjnie i praktycznie są już racjonalnie wykorzystywane;
2) próbą weryfikacji skuteczności nauczania na tym etapie, ujawniając jego niedostatki i umożliwiając podjecie działań w celu poprawy sytuacji.
Mówiąc "aspekty” mamy na myśli pewne standardowe sytuacje, w których weryfikuje sie właściwe rozumienie pojęć. Szczegó łowe wyjaśnienie nastąpi w dalszej części artykułu.
dość szczegółowa, ponieważ prezentowany tutaj temat chcieli byśmy traktować jako paradygmat dotyczący koncepcji badania rozumienia wybranych aspektów pojęć wprowadzanych w ramach danej sekwencji nauczania.
Główna cześć artykułu stanowi przedstawienie rezulta tów badah przeprowadzonych wśród 240 studentów INES de Tia- ret (par. 4).
2. Zakres i treść nauczanych elementów logiki matema tycznej składających sie na realizowana sekwencje nauczania
Punktem wyjścia było wyodrębnienie spośród zdań grama tycznych — zdań logicznych, tzn. zdań podlegających jednej z dwóch ocen: prawda lub fałsz. Wychodząc od zdań logicznych (prawdziwych lub fałszywych), za pomocą tabel oceny wartości logicznej określano zdania złożone: koniunkcje, alternatywę, negacje, implikacje i równoważność. Analogicz nie wprowadzono pojecie negacji zdania. Rozważając liczne przykłady zdań złożonych, wyodrębniono i określono tautolo gie rachunku zdań. Omówiono także wszystkie standardowe tautologie oraz metody sprawdzania, czy dane zdanie logiczne jest tautologia.
Następnie wprowadzono pojecie formy zdaniowej jednej i wielu zmiennych, określonej w pewnej dziedzinie. Zostały omówione pojęcia: elementu z dziedziny spełniającego forme zdaniowa i zbioru wszystkich elementów z dziedziny D spełniających forme zdaniowa p(x) (symbol: {x e D : p(x)}).
Objaśniono przejście z formy zdaniowej do zdania przez specyfikacje. Wprowadzono złożone formy zdaniowe (koniunk cje, alternatywę, implikacje, równoważność i negacje) i ich własności oraz określono zbiory elementów spełniających te formy.
kwantyflkatora ogólnego i szczegółowego (symbole: ”Vx", "ax"), zmiennej wolnej i związanej, kwantyfikatorów o zakre sie ograniczonym przez funkcję zdaniowa. Objaśniono związek kwantyfikatora ogólnego z koniunkcja i szczegółowego z al ternatyw^ oraz prawdziwość i fałszywość zdart z kwantyfika- torami.
Studenci uzyskali dokładne wyjaśnienie, że zdanie: Vx e D: p(x)
Jest prawdziwe wtedy i tylko śrtedy, gdy (x € D: pCx)} s D| natomiast zdanie
3x e Di p(x) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy
(x e D: p(x)) # 0 .
Podobnie objaśniono przypadki, gdy omawiane zdania sa fałszywe.
Omówiono także ważniejsze tautologie rachunku kwanty- fikatorów, w szczególności prawa de.Morgana, czy też tauto logie dotyczące zdań z wieloma ktrantyf ikatorami.
Realizacja każdego z tych haseł, zgodnie z zasadami dydaktycznymi dotyczącymi wprowadzania pojęć, zawierała przykłady, kontrprzykładyj przypadki Szczególne itp: W pro cesie wprowadzania tych pojęć uwzględniano zwykle trzy eta py: predefinicyjny, etap definiowania i etap postdefinicyj- ny. N-łe przytaczamy tutaj ani ćwiczeń ani przykładów wprowa dzających Czy definicji formUŻówanzch na wykładzie lüb wyko rzystywanych w trakcie zajęć ze Studentami. Ma tautologiach rachunku kwantyfikatorów nie kończy sie też problematyka logiczna, w szczególności dotyczącą kwantyfikatorów, reali zowana w omawianym kursie matematyki, a pogłębiana i posze rzana w dalszym ciągu i wykorzystywana do precyzowania roz maitych Własności i pojęć (np. funkcji i ich wiasności, granicy ciągu; gräiticy funkcji iip^)* rtijpiékw W sytuacjach prostych* d później cötaz bardziej Skomplikowanych, decydu jemy si e jednakże omówienie ktirSU zakończyć na Wśkażanym tti
etapie, gdyż determinuje to wystarczająco omawiana uprzednio
sekwencje nauczania, dyktowana logika przedmiotu i zazwyczaj
stosowanym ujęciem podręcznikowym.
Określenie "sekwencja nauczania” sugeruje pewna linio wość. V istocie, nauczanie, jakkolwiek byłoby prowadzone, jest w swojej naturze liniowe, ze względu na to, że dzieje
sie v czasie. Mówiąc wiec o sekwencji nauczania mamy tutaj
na myśli owo uporządkowanie w czasie, określone przez kolej ność następujących po sobie wydarzeń, w trakcie których pojawiają sie różne fazy procesów związanych z uczeniem sie. Porządek ten jest dyktowany zarówno względami merytory cznymi (np. najpierw pojawiają sie pojęcia prostsze, które następnie sa wykorzystywane do określania bardziej złożonych), jak i dydaktycznymi (np. w zależności od koncep cji dydaktycznej dana własność może być wprowadzana w formie definicji lub — w innym ujęciu - jako twierdzenie) .
Taka sekwencja wyznacza równocześnie te pojęcia i ich własności (np. w formie twierdzeń), które poprzedzają bada ne pojecie, w tym przypadku pojecie kwantyfikatorów. Nazwie my to umownie kontekstem poprzedzającym dane pojecie, nato
miast przez kontekst następujący po danym pojęciu, będziemy
rozumieli te pojęcia i ich własności, które występują po badanym pojęciu w danej sekwencji.
Badając rozumienie pojęć kwantyfikatora ogólnego i szczegółowego wprowadzonych w ramach opisanej tu sekwencji nauczania, wydzielimy tzw. kontekst badawczy, który obejmuje
badane pojecie oraz pewne części kontekstów poprzedzają cego i następującego. Znaczy to, że w badaniach decydujemy
sie uznać pewne pojęcia za znane, a badanie rozumienia kwantyfikatorów ograniczyć do niektórych tylko aspektów
(schemat 1).
k o n t e k s t b a d a w c z y * badane pojecie s e k w e n c j a n a u c z a n i a _______ i kont ekst nast epuj acy kont ekst
poprzedzaj acy
Schemat 1
3. Kontekst badawczy i konstrukcja sprawdzianu
3.1 Aspekty rozumienia pojęcia kwantyfikatorów Omówimy teraz bardziej szczegółowo zagadnienia wyboru kon tekstu badawczego. Szczególna uwagę zwrócimy nie tylko na materiał, jaki był omawiany ze studentami, ale także na sposób jego prezentacji. Drobiazgowa niekiedy analiza sytu acji, dla specjalisty oczywistych, ma na celu wyprecyzowanie wspomnianych wyżej aspektów rozumienia badanych tu pojęć - kwantyfikatora ogólnego i szczegółowego.
W prezentowanej tutaj sekwencji nauczania pojawiają sie one jako operatory przeprowadzające formy zdaniowe2) w zdania logiczne (prawdziwe lub fałszywe). Proces kwantyfika- cji form zdaniowych prowadzi wiec (podobnie jak specyfika cja) od formy zdaniowej do zdania.
Jest wiec oczywiste, że dobre rozumienie tego procesu wymaga uprzedniego dobrego rozumienia formy zdaniowej i ważnych pojęć z nia związanych: dziedziny tej formy, elemen tu spełniającego forme, zbioru wszystkich elementów z dzie dziny spełniających te forme. To z kolei wymaga rozumienia pojęcia zdania logicznego.
Określenia zdart z ogólnym i szczegółowym kwantyfikato- rem opierają sie wiec na określeniu ich prawdziwości w„pro cesie kwantyfikacji. I tak zdanie
Vx € D: p(x),
gdzie p(x) jest forma zdaniowa zmiennej określona w dzie dzinie D, uznamy za prawdziwe, ^wobec tego, co powiedzieliśmy powyżej, wtedy i tylko wtedy, gdy:
< x g D : p(x)> = D ,
co znaczy, że przy każdej specyfikacji w zbiorze D otrzymamy zdanie prawdziwe.
Natomiast zdanie:
3x € D: p( x ) ,
uznamy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy {x e D : p(x)) #
tzn. gdy istnieje specyfikacja w zbiorze D, dla której otrzymamy zdanie prawdziwe.
V przypadku, gdy dziedzina formy p(x) jest zbiorem skończonym, np. D = <o£,0,t), znaczy to, że zdanie:
Vx g D: p( x) ,
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy p(a) i piß) i p(y) są zdaniami prawdziwymi. Zgodnie z określeniem koniunkcji zdań znaczy to, że koniunkcja p(a) a piß) a p(y) jest wtedy zdaniem prawdziwym.
Natomiast zdanie:
3x g D : p ( x )
jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy, gdy można zna leźć taką specyfikacje, która jest zdaniem prawdziwym; może to być plot) lub piß) lub p(y). Z określenia alternatywy zdań wynika wiec, że alternatywa pla)vp(ß)vp( 7) jest wtedy też zdaniem prawdziwym.
Z określenia zdania z dużym kwantyfikatorem wynika, że zdanie:
Vx g D: p(xl, znaczy dokładnie to samo, co zdanie:
Vz g D: p( z) ,
obydwa bowiem uznamy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy kwantyfikowana forma zdaniowa przechodzi w zdanie prawdziwe przy każdej specyfikacji ze zbioru D. Zmienna x w formie zdaniowej p(x) nie jest zmienną istotną, jest zmienną pozorną. Podobnie zdania:
3x g p: p(x) ,
- 3y € D: ply) ,
znaczą to samo, gdyż obydwa uznamy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze D istnieje specyfikacja przepro wadzająca forme zdaniową występującą pod kwantyfikatorem w zdanie prawdziwe. O użytych tu zmiennych oznaczających elementy ze zbioru D, a wiec w tym przypadku x, y ,z, mówimy, że są to zmienne pozorne.
Ważnymi związkami łączącymi obydwa kwantyfikatory są prawa de Morgana, które wiążą negacje zdań z kwantyfikato- rami ze zdaniami, które są kwantyfikacjami negacji odpowied nich form zdaniowych:
~ IVx e D: p(x)) «-* 3x € D: ~ p(x) ~ (3x e D: p(x)) «-► Vx € D: ~ plx),
co w istocie pozwala, po zastosowaniu prawa podwójnego prze czenia, na definiowanie jednego z kwantyfikatorów przez drugi.
W ten sposób omówiliśmy pokrótce następujące pleć
aspektów rozumienia kwantyfikatórow, które będą Istotne w
przedstawianych tu badaniach:
1. Rozumienie kwantyfikatorów poprzez rozumienie związku kwantyfikacji formy zdaniowej ze zbiorem elementów spełniających te forme zdaniową.
2. Rozumienie kwantyfikatora popoprzez rozumienie związku specyfikacji formy zdaniowej z oceną logicz ną otrzymywanych zdań.
3. Rozumienie kwantyfikatorów poprzez rozumienie ich wzajemnych związków wyrażanych prawami de Morgana. 4. Rozumienie zmiennej pozornej w zdaniach z kwantyfi-
katorami.
5. Rozumienie związków dużego kwantyfikatora z koniunk- cją a małego z alternatywą w przypadku kwantyfikowa- nia formy zdaniowej określonej na skończonym zbiorze.
3.2 Poszukiwanie różnych typów zdań sprawdzianu Ponieważ kwantyfikacja prowadzi od formy zdaniowej do zdania logicznego, które może być prawdziwe lub fałszywe, spraw dzian winien badać rozumienie każdego z wymienionych aspektów w dwu sytuacjach: gdy zdanie z kwantyfikatorem jest prawdziwe oraz gdy jest fałszywe. Stad, sprawdzian użyty do badah wyróżnia cztery sytuacje wyjściowe, oznaczone symbolami A, B, C, D:
(A) gdy 3x e D: p( x) jest zdaniem prawdziwym, (B) gdy Vx € D: p (x ) jest zdaniem prawdziwym, (C) gdy 3x e D : p ( x ) jest zdaniem fałszywym, (D) gdy Vx e D: p(x) jest zdaniem fałszywym.
W świetle wyjaśnień podanych wyżej przytoczone stwierdzenia należy rozumieć jednoznacznie: np. w sytuacji (A) zdaniem jest
3x e D: p(x)
i o tym zdaniu orzeka się, że jest prawdziwe. Ściślej - należałoby użyć nawiasów, np. pisząc: ®[3x e D: p(x)3 jest zdaniem prawdziwym®, ale ze względu na koncepcje wykładu, wyraźnie odróżniająca zdania i formy zdaniowe, nie wydaje sie, aby to było konieczne.
Zakładajac, że forma zdaniowa plx) jest określona w skończonym zbiorze D = {a,b,c,d), ujawnienie poprawnego rozumienia kwantyfikatorów w aspekcie 1. związane jest z umiejętnością poprawnej oceny logicznej zdań sformułowanych przy użyciu zbioru elementów spełniających forme p(x). W gre ^chodziłyby wiec następujące typy zdań:
a) (x € D: p(x)> = Q, d) Q c {x e D: p(xï), b) {x € D: p(x)) t Q, e) k e {x e D: p(x)), c) {x e D: p(x)) c Q, f) k i (x € D: p(x)>, \ gdzie Q jest zmienna przebiegająca rodzinę wszystkich poh zbiorów zbioru D, zaś k jest dowolnym elementem zbioru D.
nich zdań złożonych, a więc np. zdań:
p( a) , p( b) , p( a) a p{ b), p(a) «-► p(b), (p(a)Ap(b)) * p(c)
itp. Chcąc jednakże wyeliminować sytuacje, w których na ocene takich zdań istotny wpływ miałoby rozumienie określeń zdań*złożonych, do sprawdzianu wybraliśmy tylko zdania pros te, oraz te zbudowane jedynie jako koniunkcja lub jako
alternatywa zdań prostych. 1
Rozumienie zdań z kwantyfikatorami poprzez rozumienie ich wzajemnych związków wynikających z praw de Morgana (aspekt 4.) ujawniałoby sie poprzez poprawna ocene logiczna zdań typu:
a) Vx e D: p(x) , e) 3x e D: p(x) , b) ~ ( Vx e D : p ( x ) ), f ) ~(3x e D: p(x)) , c) Vx e D: ~ p( x) ,
g)
3x e D : ~ p (x ) , d) ~(Vx e D: ~ p(x)) , h) ~(3x e D: ~ p( x) )Ujawnienie rozumienia zmiennej pozornej (aspekt 4.) polegałoby na podaniu poprawnej oceny logicznej zdań otrzy manych przez zastąpienie zmiennej x inna zmienna pozorna w powyższych zdaniach, a także w zdaniach omawianych uprzed nio, w sformułowaniu których występuję (x e D: p(x)>.
Wreszcie ujawnienie poprawnego rozumienia ostatniego z omawianych tu aspektów (5.) wiązałoby sie z poprawna ocena logiczna zdań:
p( a)Ap( b)Ap(c)Ap(d) oraz p(a)vp(b)vp(c)vp(d) . Wyznaczyliśmy w ten sposób zakres zdań, które winny znaleźć sie w omawianym sprawdzianie. Oczywiście nie byłoby możliwe i celowe zamieszczenie w nim wszystkich postulowa
nych zdań; wybraliśmy spośród nich tylko dwadzieścia, tak, aby były reprezentowane wszystkie omawiane powyżej typy.
3.3 Zdania sprawdzianu a aspekty rozumienia pojęcia kwantyfikatorów
W tabeli I zebrano zdania wybrane do sprawdzianu w kolejności, w jakiej znalazły sie w teście, oraz numery aspektów rozumienia kwantyfikatora, których te zdania doty—
cza- V dalszym ciągu, majac na myśli zdanie t z tej tabeli, będziemy je oznaczali symbolem .
Lp. Z d a n i e A s p e k t 1. p( a) 2 2. 3 y e D: pł y) 3, 4 3. V x € D: ~ plx) 3 4. <x e D : p ( x ) ) = D 1 5. p ( a ) v p ( b ) v p ( c ) v p ( d ) 2, 5 6. 3 x e D: ~ p(x) 3 7. a € {x € D ; p( x) ) 1 8. V z € D: plz) 3, 4 9. < x € D : p ( x j ) c D 1 10. ~ ( 3 x e D: ~ p(x) ) 3 11. p( b) 2 12. { x e D: p( x ) } = { a, b) 1 13. ~ (V x € D: ~ p(xJ i 3 14. <y e D : p ( y ) > # 0 1 , 4 15. ~ (3 x e D: p( x) ) 3 16. <x € D : p ( x ) ) ï D 1 17. < c ,d) c {x e D : p l x ) } 1 18. - (Vx € D: p (x J ) 3 19. p ( a ) A p l b ) A p ( c ł A p ( d ) 2 , 5 20. ( x e D : pl x ) } = 0 1 Tabela I
Zestaw zdań sprawdzianu i aspekty rozumienia kwantyfikatorów
Tak wiec na poszczególne wybrane tu aspekty rozumienia kwantyfikatorów przypadają następujące ilości zdań w spraw dź i ani e :
Aspekt 1. 2. 3. 4. 5.
Liczba zdań 8 4 8 3 2
3.4. Związki logiczne miedzy zdaniami wykorzystanymi w- sprawdzianie
Nie wszystkie zdania wykorzystane w sprawdzianie są niezależne. Miedzy niektórymi z nich zachodzi równoważność, pewne wynikają z innych, co ilustruje schemat 2.
Schemat 2
Zależności logiczne miedzy zdaniami sprawdzianu
Stąd też konieczność wprowadzenia do sprawdzianu ko lumny z odpowiedzią ”dane niewystarczające, aby rozstrzygnąć, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe” , gdyż np. informacja o tym, że zdanie Pg jest prawdziwe, nie
wystarcza do rozstrzygnięcia o prawdziwości np. zdań p ^ czy Pig. Zwróćmy uwagę, źe zdania w dużym kole (na schemacie 2) sa równoważne zdaniu: Vx e D: p(x), zaś w małym - jego zaprzeczeniu. Podobnie, zdania w dużym prostokącie sa równoważne zdaniu: 3x e D: p(x), ' zaś w małym - jego zaprzeczeniu.
Tabela II (części A, B, C i D) zawiera pełny tekst sprawdzianu z zaznaczonymi poprawnymi odpowiedziami (Tab.II, S.12). Studenci otrzymali każda z części A, B, C i D na oddzielnym arkuszu.
Przeglądając tę tabele stwierdzamy, źe w częściach B i C sprawdzianu odpowiedź "dane sa niewystarczające do roz strzygnięcia, czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe* - w ogóle nie występuje. Jakie sa tego powody?
Zauważmy źe, w części B sprawdzianu zakładamy, że zdanie: Vx e D: p( x)
jest zdaniem prawdziwym, co znaczy, że: {x € D: p(x)) = D ,
a w części C sprawdzianu zakładamy, że zdanie: 3x e D : p ł x )
jest zdaniem fałszywym, co znaczy, że: {x e D: p(x)} = 0 .
W obu tych przypadkach zbiór elementów z dziedziny D spełniających formę p(x) jest więc precyzyjnie określony. V
konsekwencji, o zdaniach występujących w sprawdzianie można jednoznacznie rozstrzygnąć, czy sa prawdziwe czy fałszywe.
Natomiast w częściach A i D sprawdzianu zakładamy odpo wiednio, że zdanie
3x e D: p(x) jest prawdziwe, co znaczy* że:
{x € D: p( x)) # 0,
oraz że zdanie:
Vx e D: p(x)
jest fałszywe, co znaczy, że:
A B C 0 3xeD:p(x) Jest zd. prawdziwym Vx€D:p(x) Jest zd. prawdziwym 3x€D:p(x) Jest zd. fałszywym VxeD:p(x) Jest zd. fałszywym Hr Zdanie P F N P F N P F N P F N 1 p( a) X X X X 2 3yeD:p(y) X X X X 3 VxeD:~p(x) X X x X 4 {xeD:p(x))=D X X X X 5 p{ a)vpłb)vp(c)vp(d) X X X X 6 3x€D:~p(x) X X X X 7 ae(xeD:p(x) } X X X X 8 VzeD:p(z) X X X X 9 (xeD:p(x))cD X X X X 10 ~(3xeD:~płx)) X X X X 11 p(b) X X X X 12 {xeD:p(x))={a,b> X X X X 13 ~(VxeD:-plx)) X • X X X 14 ( y e D : p ( y ) } * 0 X X X X 15 -( 3xeD:p(x) ) X X X X 16 {xeD:p(x))*D X X X X 17 { c,d)c{xeD:p(x)) X X X X 18 VxcD:p(x>) X X X X 19 p(a)Ap(b)Ap(c)Ap(d) X X X X 20 ixeD:p(x))=0 X X X X
Czy zdania zamieszczone w tabeli sa prawdziwe (P), fałszywe (F), czy też dane nie sa wystarczające do rozstrzygnięcia tego problemu (M)? p(x) oz nacza forme zdaniowa określona na zbiorze D * {a,b,c,d>.
Tab. II
Tekst części A,B,C,D sprawdzianu wraz z odpowiedziami
sze wystarcza do rozstrzygnięcia, czy zdanie jest praw dziwe, czy fałszywe.
Nr. Zdanie Cześć testu
A B C D 1. p( a) 0 1 - 1 0 2. 3y e D: p(y) 1 1 - 1 0 3. Vx e D: ~ p(x) - 1 - 1 1 0 4. < x e D : p ( x ) ) = D 0 1 - 1 - 1 5. p(a)vp(b)vp(c)vp(d) 1 1 - 1 0 6. 3x e D: ~ p(x) 0 - 1 1 1 7. a e {x e D: p(x)) 0 1 - 1 0 8. Vz e D: p (z ) 0 1 - 1 - 1 9. (x e D: p(a)} c D 1 1 1 1, 1 0. ~ (3x e D: ~ p(x)) 0 1 - 1 - 1 1 1. p( b) 0 1 - 1 0 1 2. {x e D: p(x)) = < a , b> 0 - 1 - 1 0 13. ~ ( V x e D: ~ p( x) ) 1 1 - 1 0 14. (y e D: p(y)) * 0 1 1 - 1 0 15. ~ I3x e D: p( x ) ) - 1 - 1 1 0 16. (x e D: p(x)) t D 0 - 1 1 1 17. {c,d) c (x e D: p(x)} 0 1 - 1 0 18. - (Vx e D: p( x ) ) 0 - 1 1 1 19. p(a)Ap(b)Ap(c)Ap(d) 0 1 - 1 - 1 2 0. <x € D: p(x)) = 0 -1 1 0 Tabela III
Tabela III ilustruje rozkład poprawnych ocen każdego zdania we wszystkich czterech częściach według następującej konwencj i :
”1” oznacza, że poprawna odpowiedzią jest: "zdanie jest prawdziwe” ,
”-l” oznacza, że poprawna odpowiedzią winno być: "zda nie jest fałszywe” ,
”0” oznacza, że poprawna odpowiedzią ma być: ”dane sa niewystarczające do rozstrzygnięcia, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe” .
V ten sposób każdemu ze zdań p^ , p2 , ... ,p2Q przypi saliśmy ciąg czteroelementowy o wartościach w zbiorze <1,
-1,0).
Schemat 3
Klasyfikacja zbioru zdań według poprawnych odpowiedzi we wszystkich częściach A,B,C,D sprawdzianu.
Tabela ,p 20
ta pozwala wiec poklasyfikować zdania pt , p2 , według poprawnych odpowiedzi we wszystkich
czterech częściach sprawdzianu. Istotnie, rozważmy w zbiorze ai = P2 ,..., P20) relację J określona następująco: p t jest w relacji z p^ , gdzie i, j € (1, 2,..., 2 0) wtedy i tylko wtedy, gdy ocena zdania p^ we wszystkich czterech częściach sprawdzianu jest taka sama jak zdania p ^ , tzn. ciągi reprezentujące oceny tych zdań w tab. III sa takie same. Jest to oczywiście relacja równoważnościowa. Jej klasy równoważności przedstawia schemat 3, który różni się znacznie od schematu 2 ilustrującego zależności logiczne między zdaniami pt ,p2 , ... , p2 Q .
V celu wygodniejszego komentowania uzyskanych wyników wprowadzimy następujące oznaczenia dla poszczególnych klas równoważności : K 1 = » P7 * Pll* p17 >, K 2 = <P2 , P5 ’ P13 ’ p14 >, K3 = <P4 . P 8 * P1 0’ P19 ), K4 = < P 3 , P15 ’ P 2 0 >, KS < P 6 . P16 * P18 ), K 6 = <P9 ) * K7 = <P1 2} * 4. Analiza wyników
4.1. Kierunki analizy rezultatów badań
Zarówno analiza struktury sprawdzianu, jak i wcześniejsze rozważania związane z aspektami rozumienia pojęcia kwantyfi- katora kierunkują w pewien sposób analizę wyników badań, jakie można prowadzić za pomocą tego sprawdzianu. V szczególności, wprowadzona relacja równoważnościowa w zbio rze zdań wykorzystanych w sprawdzianie (schemat 3) skłania do porównania z jednej strony rezultatów dotyczących zdań wchodzących w skład tej samej klasy równoważności, a z drugiej strony, do porównania wyników globalnych dotyczących zdań należących do poszczególnych klas.
*zda-nie jest prawdziwe” , "zda*zda-nie Jest fałszywe” i "dane sa *zda-nie wystarczające do rozstrzygnięcia, czy zdanie jest prawdziwe
czy fałszywe” mogą być podstawa do analizowania rezultatów w oparciu o te kategorie.
Wprowadzone uprzednio aspekty rozumienia kwantyfika- torów sugerują zarówno porównanie odpowiedzi dotyczących zdań związanych z tym samym aspektem, jak i całościowe porównanie odpowiedzi dotyczących różnych aspektów. Wreszcie fakt, że sprawdzian składa sie z czterech części A, B, C, D powoduje konieczność analizy rezultatów w każdej z tych części oddzielnie oraz porównanie globalne wyników w posz czególnych częściach między sobą.
Nie są to, oczywiście, wszystkie możliwe kierunki analizy rezultatów badań Interesujące np. mogłoby być anali zowanie wyników pod kątem studentów biorących udział w bada niach, próba kategoryzacji odpowiedzi ze względu na rodzaje trudności czy popełniane błędy itp.
Trzeba jeszcze zastrzec, że celem analizy wyników nie Jest ich statystyczne opracowanie, a przytaczane histogramy,
tabele czy zestawienia procentowe mają jedynie ilustrować wnioski wysuwane w postaci hipotez, wymagających dalszych badań w celu ich potwierdzenia.
Sondaż, obejmujący grupę 240 studentów Wydziału Tech nologicznego INES de Tiaret został przeprowadzony równocześnie wśród wszystkich badanych. Studenci wypełniali kwestionariusze A, B, C, D w łącznym czasie nie przekra czającym 90 minut. Motywacją do poważnego potraktowania tego sprawdzianu przez studentów była możliwość uzyskania — w wyniku podania poprawnych odpowiedzi — dodatkowych punktów wchodzących w ocenę egzaminacyjną z matematyki.
Całość wyników uzyskanych w rezultacie przeprowadzenia opisanych badań znajduje się w posiadaniu autorów w postaci wydruków z komputera. W artykule przytaczamy tylko te tabe le, zestawienia czy histogramy, które stanowią podstawę do formułowania wniosków czy hipotez.
4.2. Ogólne wyniki badań
Rozpoczniemy od omówienia globalnych rezultatów uzyskanych przez studentów we wszystkich czterech częściach A, B, C, D sprawdzianu łącznie. Histogram H pokazuje liczebności studentów, dla których liczba poprawnych odpowiedzi w czterech częściach A, B, C, D sprawdzianu łącznie należy do przedziału (5i,5i+5> dla i e {0,1,2, ... ,15), oraz procent liczebności tych studentów w stosunku do liczby badanych. Dla zwiększenia przejrzystości tekstu, podawane wyniki
Histogram H
zaokrągliliśmy do części całkowitych, podając na ogół tylko dane procentowe odnoszące sie do ogólnej liczby 240 badanych student ó w .
Z histogramu można odczytać, że 60% badanych podało
więcej niż połowę (a więc więcej niż 40) poprawnych odpo wiedzi. Średnia liczba poprawnych odpowiedzi uzyskanych przez jednego studenta wynosi 44, a rezultaty powyżej średniej uzyskało 45% badanych. Najgorszy wynik (27 odpowiedzi na 80 możliwych) jest udziałem 3 studentów i również tylu studen tów uzyskało najlepszy rezultat (76 odpowiedzi poprawnych). Dla ponad połowy badanych (127 studentów)- 1 iczba poprawnych odpowiedzi zawiera się w przedziale (40,55>.
Jakie wnioski, względnie hipotezy, można sformułować na podstawie tego globalnego spojrzenia na uzyskane wyniki badać, jakie przedstawia powyższy histogram H?
Gdyby chodziło o ocenę wiedzy studentów w zakresie ob jętym testem, to można by stwierdzić, że:
1° Wyniki nie sa najgorsze, ponieważ cały histogram jest przesunięty w prawo - odpowiednia krzywa nie byłaby normalna.
2° Przyjmując jednak, jak to zwykle się robi, że ocenę niedostateczna otrzymuje badany, który uzyskał nie więcej niż połowę możliwych punktów (a więc *40), widzimy, że w naszych badaniach 40% badanych uzys kało taka ocenę.
3° Zdecydowana większość studentów mieści się w grani cach przeciętności. Świadczy o tym wspomniana wyżej liczba 127 badanych, którzy uzyskali oceny punk towe z przedziału (40,55>. Kierując się ogólnie przyjęta zasada przeliczania punktów na stopnie należałoby za dostatecznych uznać studentów, których oceny mieszczą się w przedziale (40,60>, co zwiększyłoby liczbę przeciętnych ze 127 do 132.
4° Pozostała więc tylko znikoma liczba 14 badanych, którym można by dać ocenę dobra lub bardzo dobra-5° Ostatnie trzy stwierdzenia osłabiają znacznie wnio
sek 1°. Należy go osłabić jeszcze bardziej uwaga, że badania dotyczyły materiału, którego znajomość
jest konieczna do owocnego uczenia sie matematyki. Można wiec postawić hipotezę, że z badanej próby
1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D A+B+C+D A+B+C+D % 4 pl i S376 0 1$067 +1 22 - 1 AaeSSKDL35 0 479 120 50 p2 189 +1 163 +1 163 - 1 .... 4? 0 542 136 56 79 64 64 20 P3 184 - 1 204 - 1 168 +1 33 0 579 145 60 77 85 66 14 P4 è? 0 186 +1 I6O - 1 154 - 1 531 133 55 26 77 63 56 P5 166 +1 141 _ +1 86 - 1 W 0 440 110 46 65 59 36 24 P6 46 0 19l - 1 149 +1 164 +1 550 138 57 19 80 62 68 P7 109 0 187 +i 35 - 1 5Ô 0 441 110 46 45 78 40 21 P8 68 0 203 +1 139 - 1 169 - 1 579 145 60 28 85 58 70 P9 166 +1 188 +1 136 +1 1Ô3 +1 593 148 62 69 78 57 43 P1 0 42 0 224 +1 158 - 1 ~ T 7 T ~ - 1 597 149 62 18 93 66 7 2 P11 185 0 162 +1 56 - 1 89 0 192 123 51 77 68 23 37 P12 109 0 163 - 1 130 - 1 75 0 477 119 50 45 68 54 31 P13 Ż2Ó +1 151 +1 159 - 1 26 0 556 139 58 92 63 66 11 P14 16970 +1 169 “66 +1 9038 - 1 5523 0 473 118 49 P15 201 - 1 200 - 1 161 +1 33 0 595 149 62 84 83 67 14 P16 4619 0 17774 - 1 13155 +1 11448 +1 468 116 48 P17 109 0 176 +1 98 - 1 55 0 438 110 46 45 73 11 23 00 T“* a. 47 0 202 - 1 147 +1 ~ T T T ~ +1 573 143 60 20 84 61 74 P19 79 0 1Ż2 - 1 130 - 1 159 - 1 520 130 54 33 72 54 58 P20 197 - 1 ŻOi - 1 90 +1 4Ô 0 528 132 55 82 82 38 17 Z 1 a 1 2567 3599 2468 1817 10451 128 128 123 91 131 54 % 53 75 51 38 54 Tab. IV
Podstawowe dane dotyczące liczb poprawnych odpowiedzi na wszystkie pytania sprawdzianu w każdej
jego części, uzyskanych przez wszystkich badanych
nie wiecej jak 80 osób ma szanse ze zrozumieniem studiować matematykę (potowa owych dostatecznych, tj. 6 6, oraz 14 dobrych). Hipoteza ta potwierdziła sie w czasie egzaminów końcowych.
Wszystkie te spostrzeżenia dotyczą tylko wiedzy
ogólnej czy, ściślej mówiąc, wiadomości studentów na
określony temat i nic nie mówią o daleko subtelniejszych problemach, których badanie byto naszym celem. Dlatego trak tujemy je tu raczej marginesowo, zaś caty histogram H jako pewien sygnał tendencji ogólnych, pokazujący także istotna siłę różnicującą testu.
Musimy zatem przejść do zestawień, tabel i histogramów szczegółowych, odpowiadających choćby w zarysie na posta wione wcześniej pytania.
4.3. Analiza tabeli IV
4.3.1. Tabela IV podaje liczbę poprawnych odpowiedzi na pytania dotyczące poszczególnych zdań p^, ... »P2 0 w częściach A, B, C, D sprawdzianu (górna część kratki w kolumnach 2 , 3, 4 , 5 ) oraz procent (dolna część kratki w tych samych kolumnach), jaki stanowi ta liczba w stosunku do liczby możliwych poprawnych odpowiedzi na pytania dotyczące jednego zdania w jednej z części sprawdzianu (240). Zazna czono w niej również odpowiednimi symbolami (—1, + 1 lub 0 w prawej części odnośnej kratki), jaka powinna być poprawna odpowiedź na pytania opisywane w danej kratce, posługując się konwencja przyjęta dla tabeli III. s. 196
Tabela IV zawiera także globalne liczby odpowiedzi poprawnych na pytania związane z poszczególnymi zdaniami (kolumna 6) oraz średnie wartości liczby poprawnych odpowiedzi (na pytania dotyczące poszczególnych zdań pt ,
,P2Q) udzielonych przez 240 studentów w całym sprawdzianie (kolumna 7), a także procent (kolumna 8), jaki stanowi ta średnia liczba poprawnych odpowiedzi (z kolumny
7) w stosunku do liczby możliwych poprawnych odpowiedzi na pytanie dotyczące jednego zdania w całej badanej populacji (240 studentów).
Z tabeli tej odczytujemy też globalne liczby popraw nych odpowiedzi na wszystkie pytania dla poszczególnych
20
części A, B, C, D omawianego sprawdzianu (linia: T x., i as1 * kolumny 2, 3, 4, 5) oraz liczbę łączna (kolumna 6) a także średnia liczbę poprawnych odpowiedzi przypadających na jedno zdanie w poszczególnych częściach A, B, C, D sprawdzianu
2 0 y x
. ^ i oraz w całym sprawdzianie
(linia:-^g-- , kolumny 2,3,4, 5)
(kolumna 7). Ostatnia linia tabeli podaje procent, jaki stanowią dane z linii poprzedniej w stosunku do 240.
4.3.2. Przeglądając te tabele widzimy, że biorąc pod uwagę średnią ze wszystkich części A, B, C, D sprawdzianu łącznie (kolumna 7), najwięcej poprawnych odpowiedzi udzie lili studenci na pytania dotyczące zdań: pg , pg , pg , p^Q i p^ 5 (co najmniej 60% poprawnych odpowiedzi na pytania doty czące poszczególnych zdań, w stosunku do 240 możliwych pop rawnych odpowiedzi), a najmniej na pytania dotyczące zdań: P5 , p7 i p1 7 (co najwyżej 46% poprawnych odpowiedzi). Zwraca uwagę stosunkowo niewielka rozpiętość pomiędzy najmniejszą średnią liczbą poprawnych odpowiedzi (na pytania dotyczące zdania p.^), a największą (na pytania dotyczące zdania P^q) we wszystkich czterech częściach sprawdzianu łącznie.
Średnia liczba poprawnych odpowiedzi na pytania doty czące -jednego zdania we wszystkich częściach sprawdzianu łącznie wynosi 131, co stanowi 54% w stosunku do liczby wszystkich możliwych odpowiedzi na jedno pytanie (240).
75%), nieco gorsze w częściach A i C (odpowiednio 53% i 51%), a najgorsze w części D (średnio 38%, tj. prawie dwu krotnie mniej niż w części B).
Uzasadnia to postawienie hipotezy, że stosunkowo najłatwiej przychodzi studentom wnioskowanie z faktu, źe prawdziwe jest zdanie z dużym kwantyflkatorem, a najtrudniej wnioskowanie z fałszywego zdania z dużym kwantyflkatorem.
4.4. Analiza wyników ze względu na wyróżnione katego rie odpowiedzi
V części A sprawdzianu jest 5 zdań zaliczonych do kategorii ”+1” , 1 2 zdań w kategorii B0B i 3 zdania w kategorii ”-1” (patrz kolumna 2 tabeli IV, prawa cześć krat ki - symbole kategorii). Podobnie w częściach B, C i D sprawdzianu. Sumując liczby poprawnych odpowiedzi w kolumnie 2 (dla części A sprawdzianu) w kategorii ”+1” otrzymamy liczbę 900, dla kategorii ”0” liczbę 1085, a dla kategorii ”-lD liczba ta wynosi 582 (razem 2567). Biorąc pod uwagę fakt, że na pytanie dotyczące każdego zdania odpowiadało 240 studentów, wnosimy, że poprawnych odpowiedzi w kategorii ”+1” w części A sprawdzianu mogło być 5-240 = 1200. Ponieważ w rzeczywistości jest ich 900, wiec procent poprawnych odpowiedzi w kategorii ”+1” w części A sprawdzianu wynosi: ll o o" 1 0 0 = Podobnle możemy policzyć pozostałe liczby poprawnych odpowiedzi w poszczególnych kategoriach, dla poszczególnych części A, B, C, D sprawdzianu i dla ułatwienia porównań, wyrazić w procentach stosunek uzyska nych odpowiedzi poprawnych do wszystkich możliwych. W ten sposób powstała tabela V.
Zauważmy, że procent poprawnych odpowiedzi w kategorii ”0” jest ponad dwukrotnie mniejszy niż w każdej z pozostałych kategorii ”+1" i ”-1", i to zarówno globalnie, jak i w częściach A i D sprawdzianu, gdzie występuje ta kategoria odpowiedzi.
trudności związanych z podaniem poprawnej odpowiedzi w przy padku, gdy dane sa niewystarczające do rozstrzygnięcia, czy badane zdanie Jest prawdziwe czy fałszywe.
Kategorie poprawnej odpowiedzi
+ 1 0 - 1 A 5 900 75% 1 2 1085 38% 3 582 81% ' 1 2 0 0 2880 72Ö' B 13 2261 72% 7 1338 80% 3120 1680 C 7 972 58% 13 1496 48% 1680 3120 D 4 557 58% 1 2 644 2 2% 4 615 64% 960 2880 960 R: 29 4691 67% 24 1729 30% 27 4031 62% 6960 5760 648 Tab.V.
Liczba odpowiedzi poprawnych w poszczególnych kategoriach odpowiedzi i w poszczególnych częściach sprawdzianu oraz procent tych odpowiedzi w stosunku do wszystkich możliwych
Dla wyjaśnienia tych trudności zauważmy, że student, ctóry decyduje sie dać taka właśnie odpowiedź, np. w części \ sprawdzianu, musi być świadom tego, że mimo informacji zawartej w założeniu, iż zdanie 3x € D: p(x) jest prawdzi we - zdanie, którego ocene logiczna bada, niekoniecznie jest
prawdziwe, ani też niekoniecznie fałszywe. Wymaga to wyobrażenia sobie dwóch sytuacji: jednej, w której spełnione jest założenie i badane zdanie jest prawdziwe, oraz drugiej, w której również założenie jest spełnione, ale badane zdanie jest fałszywe.
możliwych koniunkcji warunków; np. student widzi taka możliwość, że zachodzi założenie i zarazem badane zdanie jest prawdziwe, i na tym poprzestaje. Jest to dość często spotykany błąd szkolny. Przytoczone rozważania uzasadniaja przyjęcie hipotezy o istnieniu specyficznych trudności związanych z oceną logiczną zdań występujących w sprawdzianie w przypadku ”0” .
4.5. Analiza odpowiedzi pod kątem najlepszych i najgorszych rezultatów
Powróćmy jeszcze raz do omówienia tych zdań zamiesz czonych w sprawdzianie, przy ocenie logicznej których uzys kano największą, a także najmniejsza liczbę poprawnych odpo wiedzi.
Tabela VI podaje (w oparciu o tabele IV) zdania, przy ocenie logicznej których badani studenci uzyskali co naj mniej p = 75% poprawnych odpowiedzi w grupie 240 studen tów w poszczególnych częściach A, B, C, D sprawdzianu, oraz te, przy ocenie logicznej których ten procent byl co najwyżej q = 25. Z tabeli tej odczytujemy, że zdania p3 , p1 5
i P2 0 można zaliczyć do tej samej grupy zdań; charakteryzuje ją bardzo wysoki procent poprawnych odpowiedzi w częściach A i B sprawdzianu i bardzo niski w części D. Równocześnie spostrzegamy, że zdania te należą do tej samej klasy równoważności , wyczerpując te klasę (schemat 3, s. 197). Zdania p2 i p1 3 również charakteryzuje bardzo wysoki procent poprawnych odpowiedzi w części A i bardzo niski w części D sprawdzianu. Wynik w części B nie jest jednak dla tych zdań bardzo wysoki.
Rozpatrzmy teraz tebele VII, analogiczną do tabeli VI, dla p = 60% i q s 30%. Przeglądając te tabele stwierdza my, że do grupy, którą charakteryzuje teraz wysoki procent poprawnych odpowiedzi w częściach A i B sprawdzianu oraz niski w części D (tj. odp. wiecej niż 60% i mniej niż 30%), należą w dalszym ciągu zdania p3 , P|g i P2q wyczerpujące
A B C D p>75% q<25% p>75% q<2"% p>75% q<25% p>75% q<25% pl X X P 2 X X p3 X X X P4 X P5 X P 6 X X P7 X X P 8 X P9 X P 1 0 X X PU X X p 1 2 P13 X X p14 X p15 X X X p16 X p17 X P18 X X P19 p 2 0 X X X Tab.VI.
Zestawienie zdań, które uzyskały w badaniach stosunkowo bardzo wysoki procent poprawnych odpowiedzi
A B c • D p>60% q<30% p>60% q<30% p>60% q<30% p>60% q<30% Pl X X P2 X X X X P3 X X X X P4 X X X PS X X p6 X X X X p7 X X p8 X X X p9 X X P10 X X X P11 X X X P12 X P13 X X X X P14 X X X P15 X X X X P16 X P17 X X P18 X X X X p19 X 0 CM a X X X Tab.VII
Zestawienie zdań, które uzyskały w badaniach stosunkowo wysoki procent poprawnych odpowiedzi
(większy niż p * 60%), oraz tych, dla których ten procent jest stosunkowo niski,
(tj. mniejszy niż q = 30%)
klasę K4 oraz zdania Pg, p^g, Pi4* ^e ostatnie też należą do jednej klasy równoważności Kg (schemat 3, s.197), do której należy oprócz nich także zdanie pg (p(a) v p(b) v p(c) v p(d)).
Jak wynika z tabeli VII, zdanie to odróżnia sie od pozostałych zdań należących do klasy Kg jedynie brakiem wysokiego procentu poprawnych odpowiedzi- w części B spraw dzianu. Powrót do tabeli IV ujawnia, że w przypadku zdania Pg procent poprawnych odpowiedzi w części B sprawdzianu wynosi 59, a wiec bardzo niewiele mniej, niż postulowane minimum, pozwalające na zaliczenie go do omawianej grupy zdań. Być może, że dodatkowe trudności w rozumieniu tego zdania powodowała występująca w sformułowaniu alternatywa.
Powyższa analiza wskazuje, że zdania należące do klas równoważności Kg i K4 są dla studentów stosunkowo łatwe do oceny logicznej w częściach A i B sprawdzianu, natomiast stosunkowo trudne w części D. Przypomnijmy, że do klasy Kg należą zdania równoważne logicznie zdaniu 3x e D: p(x), a do klasy K4 zdania równoważne logicznie zaprzeczeniu tego zdania. Możemy wiec sformułować następującą hipotezę:
Trudności przy wnioskowaniu z prawdziwych zdań z kwan- tyflkatoraml o zdaniach z małym kwantyfikatorem lub ich zaprzeczeniach, sa dużo mniejsze niż przy wnioskowaniu o takich zdaniach z fałszywego zdania z dużym kwantyflkatorem.
Tabele VI i VII ujawniają także inne prawidłowości. Np. na pytania dotyczące zdań p^ i p^^ należących do klasy K^ uzyskano bardzo wysoki procent poprawnych odpowiedzi w części A sprawdzianu, wysoki w części B oraz bardzo niski w części C. Zdania te należą do klasy K ^ , ale nie są równoważne logicznie. Jeżeli chodzi o pozostałe dwa zdania należące do klasy K^ ( p7 i Pjy), również nie równoważne logicznie, to w odpowiedzi na pytania dotyczące tych zdań uzyskano wysoki procent poprawnych odpowiedzi w części B, natomiast bardzo niski w części D. Zwróćmy uwagę, że zdania P| i Py są logicznie równoważne:
p( a) ++ a € {x e D: p( x)}.
Nasuwa to wniosek, że struktura zdań pj i p ^ (taka sama dla obu tych zdań) ingeruje tu o wiele mocniej niż ich związki logiczne.
4.6. Analiza wyników ze względu na wyróżnione klasy równoważności
Wszystkie te obserwacje sklaniaja do bardziej szczegółowej analizy wyników ze wzglądu na wyróżnione w artykule klasy równoważności *4 » K2 ’ K3* K4' K 5 > K 6 1 K7'
K i K 2 K3 K4 K5 * 6 K7 A 61 80 26 81 19 69 45 B 71 63 82 63 59 78 6 8 C 31 51 60 57 59 57 54 D 29 19 64 15 63 43 31 Średnia 48 53 58 54 50 62 50 Tab.VIII
Procent poprawnych odpowiedzi przypadających średnio na jedno zdanie należące do poszczególnch klas K^ , ... , Ky.
Tabela VIII podaje procent poprawnych odpowiedzi przy padających średnio na jedno zdanie należące do danej klasy równoważności w całej grupie 240 badanych, w poszczególnych częściach A, B, C, D sprawdzianu oraz łącznie. Procent umieszczony w kratce o współrzędnych (A.K^) tabeli VIII otrzymujemy z tabeli IV dodając liczby poprawnych odpowie dzi dla wszystkich zdań z klasy (p^— 183, p^— 109, p ^ - 1 8 5 i P17-109; 183+109+185+109=586) i wyrażając stosunek tej sumy do liczby wszystkich możliwych poprawnych odpowiedzi dla 4 zdań tworzących klasę K^ (4-240=960) w procentach. Podobnie obliczamy dane dla całej tabeli. Omawianie wyników rozpoczniemy od ich porównania dla klas Kg, Kg, K4 i Kg.
Przypomnijmy, że zdania należące do klasy Kg sa równoważne logicznie zdaniu 3x e D: p(x), a zdania należące do klasy K4 jego zaprzeczeniu. Do klasy Kg naleźa zdania równoważne logicznie zdaniu: Vx € D: p(x), a do klasy Kg równoważne jego zaprzeczeniu. Globalnie, wyniki w poszczególnych kla sach K g , K g ,K^ i Kg sa niskie i niewiele różnią sie miedzy sobą.
W części A sprawdzianu zwracaja uwagę stosunkowo wyso kie wyniki średnie w klasach Kg i K4 (około 80% poprawnych odpowiedzi przypadających na jedno zdanie) i niskie w kla sach K0 i Kc . Natomiast w części D sprawdzianu średnie
O O
rezultaty ukladaja sie odwrotnie: dobry wynik w klasach Kg i Kc (około 64% poprawnych odpowiedzi) i jeszcze niższe wyniki
b
w klasach Kg i K4 . Te negatywne rezultaty w obu częściach A i D sprawdzianu dobrze korespondują z omawianym poprzednio podziałem zbioru zdań według rodzaju poprawnej odpowiedzi (kategorie: +1, -1, 0), bowiem przypadki, w których uzyskane rezultaty sa bardzo niskie, dotyczą właśnie kategorii ”0” . Widać to wyraźnie, przeglądając histogramy
V V Hc
1V
które przedstawiają procent poprawnych odpowiedzi na pytania dotyczące poszczególnych zdań, zgrupowanych według klas równoważności K ^ , ... , K^. Nad każdym słupkiem ilustru jącym procent poprawnych odpowiedzi na pytanie dotyczące danego zdania zaznaczono symbol kategorii poprawnej odpowie dzi (+1, -1 lub 0) według tej samej umowy, co w tabeli III.
(Histogramy: H^, Hß , Hc> Hp, s. 213', 214.)
Pozwala to na wzmocnienie i uszczegółowienie sfor mułowanej uprzednio hipotezy, że największe trudności spra wia studentom wnioskowanie z fałszywego zdania z dużym kwantyfikatorem o zdaniach z małym kwantyfikatorem lub Ich zaprzeczeniach. Trudności te dotyczą w równej mierze także wnioskowania z prawdziwego zdania z małym kwantyfikatorem o zdaniach z dużym kwantyfIkatorem lub ich zaprzeczeniach. Natomiast naJłatwiejsze dla studentów sa sytuacje, w których bądź z prawdziwego zdania z dużym kwantyfIkatorem
p1. K1 p11. ______BIZ. ... . .. J ;.v : : : ! ... I 0 ... :•... -U p2 K2 P*-p13 p14 ... :... •... ' ' ... M — ... ... i p4 K3 P®. p10 p19 ... ' ... i — p - j ... :...:... . J P3. K4 p15 P20 ! ... ... ... ... I P®_ K5 p16 p18 - ...j o K6 p9 ... ... ... J +1 K7 d12 _ *"Mi ... f ... ... i— d— i---
1---O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Procent poprawnych odpowiedzi •Histogram Pi K1 P11 j i i D17~ — — — -- --- l , 1 -... :-...-...-...-...j t I ...•... ... i P2, K2 ^ p13 p14 .. ... .. i ... , „ m ..(MI)r -,... 1 . , . . . . , ... i + i P4J K3 P?- p10 p19 1 1 1 i t1 ..I.II...I..I1 ...i ii i | ... i P3 K4 p i 5 p20 ... i ... ... ... ... ...i -i ' . , ll " . ... : ... ...p i P®. K5 p16 p18 ■“ j -1 n 1 111 ... 1 K6 p9 1 +1 K7 d12 ' " ' l ■ - ...) T
■ ■ ■ r r . i ■ ■ ( . i i i-ri r l iif-i-. ii1-i i ■ ■ ■!»■■ ■ î |i ■ ■ | ... ... i---
1---o 10 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 100
Procent poprawnych odpowiedzi
Histogram H„ O p1. K1 P11. P17 ...i 0 i p2 i ...1 K2 <*- p13 p14 T 0 P4. I K P®. .. . .ililiiii:,,...J 143 p10 • 1 '* p19 ' ii-iii r-l;-;:-! " : V{ P3. 1 K4 p15 O P20 P®. ... ...1 K5 p16 ... ^ +1 D1B K6 p9 ... :l +1 K7 d12... ! .'■■■■I“■ ‘if... i'» i --- !---- 1---- f I-- -0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Procent poprawnych odpowiedzi
dza sie wnioski dotyczące zdań tego samego typu (tzn. równoważnych zdaniu z drży» kwantyflkatorem), co wydaje sie
naturalne, bądź z prawdziwego zdania z wały» kwantyfikatore» wyprowadza sio wnioski dotyczące zdań z małym kwantyfikato- rem lub ich zaprzeczeń. Również względnie łatwe sa dla
studentów te sytuacje, w których z fałszywego zdania z dużym kwantyflkatorem wyprowadza sio wnioski dotyczące takich zdań
(tzn. równoważnych zdaniu z dużym kwantyfikatorem), bądź ich zaprzeczeń.
4.7. Aspekty rozumienia pojęcia kwantyfikatorów w wynikach sprawdzianu
Kolejnym przedmiotem analizy jest problem związków wyników sprawdzianu z podanymi wcześniej aspektami rozumie nia kwantyfikatorów. Przypomnijmy, że w punkcie 3.1 wy mieniliśmy 5 aspektów rozumienia pojęcia kwantyfikatora, a w punkcie 3.2 dokonaliśmy podziału zdań sprawdzianu ze względu na kształtowane przez nie aspekty tego pojęcia.
W tabeli IX zestawiono liczby i procenty poprawnych odpowiedzi na pytania sprawdzianu związane z poszczególnymi aspektami rozumienia kwantyfikatora. Z tabeli tej odczytuje my, że pierwszy aspekt rozumienia pojęcia kwantyfikatora badaliśmy przez zdania pĄ , p? , pg , p12> P1 5 , Plß , p1 7 i P2Q (kolumna 1); podobne informacje daja nam następne kolumny (1, 3, 4 i 5), co jest zgodne z tabela I. V analizie global nej tej tabeli zauważmy, że rezultaty końcowe, jakie można związać z poszczególnymi aspektami, wyrażone w procentach (ostatni wiersz tabeli), różnią się minimalnie i nieznacz nie przekraczają wskaźnik 50%. Znaczyć to może, że rozumie nie kwantyfikatorów w każdym z wymienionych aspektów jest prawie takie samo i, niestety, bardzo słabe.
Głębsza analiza tego problemu w oparciu o tabele X— XIV, pokazujące uzyskane wyniki dla poszczególnych aspektów w rozbiciu także na części sprawdzianów (A, B, C i D), wpro wadza tu pewne korekty.
Aspekt Zdacie 1 2 3 4 5 Pi ~ w ~ Pl 54256 m 56 P 3 ê i L60 Pt E S55 P5 440 46 440 46 p6 M Û 57 p7 lii46 p8 -579 ~ 60 579 60 P9 5ŚŚ 62 PlO M 262 P u I M51 p12 477 50 p13 556 58 P14 473 49 468 49 P15 5 H 62 P16 I M49 P17 438 46 P18 573 60 i P19 M 254 520 54 P20 E U55 2 *, 3944 1931 4571 1589 960 i », n 494 483 569 530 480 % 51 50 59 55 , 50 Tab. ÏX
Globalne zestawienie liczb i procentów poprawnych odpowiedzi na pytania dotyczące poszczególnych zdart
w całym sprawdzianie z rozbiciem na aspekty
Otóż rozumienie kwantyf ikatorów poprzez rozumienie związku kwantyfikacji formy zdaniowej ze zbiorem elementów spełniających te forme zdaniową (aspekt 1., tab.X), zależy wyraźnie od ćześci sprawdzianu. Różnice są tu znaczne, od 76% poprawnych odpowiedzi na pytania związane z wszystkimi ośmioma zdaniami badającymi ten aspekt.rozumienia kwantyfi- katora w części B sprawdzianu do 33% takich odpowiedzi w części D. Prawie identyczną sytuacje mamy przy badaniu aspektu 4. (tab.XIII - zmienna pozorna) i podobną w przypad ku aspektów 3. (tab. XII prawa de Morgana) oraz 2. (tab. XI - specyfikacja a ocena logiczna). Jest to niewątpliwie związane z ogólnymi trudnościami, jakie stwarzały studentom pytania dotyczące poszczególnych części sprawdzianu, co sygnalizowaliśmy w hipotezie na s. 205. Nieco inaczej kształtują sie te wskaźniki dla aspektu 5. (tab. XIV - duży kwantyfikator a koniunkcja oraz mały kwantyfikator a alter natywa). Wyniki w poszczególnych częściach sprawdzianu są raczej niskie. P4 p7 P9 P12 p14 p16 p17 P20 Razem Średnio X A 62 109 166 109 169 46 109 197 967 120,87 50 B 185 187 188 163 159 177 176 201 1436 179,5 76 C 150 95 136 130 90 131 98 90 920 115,0 48 D 134 50 103 75 56 114 55 40 626 78,25 33 531 441 593 477 473 468 438 528 3949 Sr?3275 dnia 110 148 119 118 117 109 132 X 65 46 62 50 49 49 46 55 Tab. X
Rozumienie kwantyfikatorów poprzez rozumienie związku kwantyfikacji formy zdaniowej ze zbiorem
elementów spełniających te forme Aspekt 1
wieloaspektowe podejście do rozumienia pojęć, w pcłączeńlu z różnymi zadaniami badającymi owo rozumienie, jest uzasadnio ne. Jednocześnie potwierdza sie trafność doboru zadań do wyróżnionych aspektów, o czym świadczą zbliżone wyniki glo balne z tabeli IX.
pl P5 P11 P19 Razem Średnia % A 183 156 185 79 603 150,75 63 B 160 141 162 172 635 158,75 66 C 52 86 56 130 324 81 34 D 84 57 89 139 369 92,25 38 Razem 479 440 492 520 1931 Śred nia 120 110 123 130 % 50 '46 51 54 Tab. XI
Specyfikacja a ocena logiczna Aspekt 2
C
M
Q
.
P3 P6 ■o 00 P10 p13 p15 P18 Razem Średnia %
A 189 184 46 68 42 220 201 47 997 124,62 52 B 153 204 191 203 224 151 200 202 1528 191 80 C 153 158 149 139 158 159 161 147 1224 153 68 D 47 33 164 169 173 26 33 177 822 102,75 43 Razem 542 579 550 579 597 556 595 573 4571 Średnia 136 145 138 145 149 139 149 143 % 56 60 57 60 62 58 62 60 Tab. XII
Rozumienie kwantyfikatorów poprzez rozumienie ich wzajemnych związków wyrażonych prawami da Morgana
Aspekt 3
p 2 P 8 P14 Razem Sredni a % A 189 6 8 169 426 142 59 B 153 203 159 515 172 72 C 153 139 90 382 127 53 D 47 169 50 266 89 37 Razem 542 579 468 1589 Śred nia 136 145 l'l7 % 56 1 60 49 Tab. XIII Zmienna pozorna Aspekt 4 P5 P19 Razem Średnia % A 156 79 235 116 33 B 141 172 313 104 43 C 8 6 130 216 108 30 D 57 139 196 98 27 Razem 440 520 960 Średnia 1 1 0 130 % 46 54 Tab. XIV
Duży kwantyfikator a koniunkcja oraz mały kwantyfikator a alternatywa
Aspekt 5
5. Podsumowanie
W krótkim podsumowaniu opisanej tu koncepcji badali i jej wykorzystania w konkretnym przypadku badania rozumienia pojęcia kwantyfikatorów zwrócimy uwagę na następujące problemy:
1) Badanie rozumienia pojęć matematycznych nie mo2e odbywać sie w izolacji od procesu naucznia - uczenia sie matematyki. Stad konieczność uwzględniania w takich bada niach owej sekwencji nauczania, która ma co najmniej dwojakie znaczenie. Z jednej strony pozwala na pełniejsze wnikniecie w trudności związane z rozumieniem odpowiednich pojęć w związku z ich opracowywaniem z osobami badanymi, z drugiej umożliwia stała korektę sposobów wprowadzania i kształtowania tych pojęć.
2) Z tym wiąże sie problem rozumienia danego pojęcia w różnych jego aspektach. Wie można bowiem w kształtowaniu pojęcia, a wiec także w badaniu jego rozumienia, ograniczyć sie tylko do definicji i ewentualnych objaśnień tej defini cji. Przeciwnie, konieczne jest ukazywanie funkcjonowania pojęcia w różnych sytuacjach, w różnych uwarunkowaniach, a co za tym idzie pokazywanie jego różnych aspektów.
3) Przeprowadzone badania pozwoliły na sformułowanie pewnych hipotez, które sygnalizowaliśmy w tekście. Niektóre z nich uważamy za szczególnie ważne, np.*
a) istnieją specyficzne trudności związane z ocena logiczna zdań z kwantyfikatorami w przypadku, gdy dane sa niewystarczjace do rozstrzygnięcia, czy badane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe;
b) największe trudności sprawia studentom wnioskowanie z fałszywego zdania z dużym kwantyfikatorem o zdaniach z małym kwantyfikatorem lub ich zaprzeczeniach, a także wnios kowanie z prawdziwego zdania z małym kwantyfikatorem o zda niach z dużym kwantyfikatorem lub ich zaprzeczeniem.
4) Zarówno teoretyczna konstrukcja sprawdzianu Jak i analiza jego wyników pokazuje, źe dla uzyskania w miarę obiektywnych rezultatów badania konieczny jest dość szeroki dobór zadań dostatecznie zróżnicowanych. Tej konieczności nie oslabiaja występujące w sprawdzianie zdania logicznie równoważne. Zdawałoby sie, że w tym przypadku wystarczy uwzględnić z klasy zdań równoważnych tylko jedno zdanie (jednego reprezentanta); okazało sie jednak, że taki zabieg zniekształciłby obraz badanej próby.
5) Uważamy za konieczne znaczniejsze podkreślenie bardzo ograniczonej wiedzy studentów w zakresie badanej problematyki oraz korelacji braku tej wiedzy z możliwościami owocnego studiowania matematyki. Ujawnia to, że pewne przesłanki przyjmowane w procesie nauczania za oczywiste, takimi nie sa. Taka przesłanka jest często założenie, że problematyka logiczna jest na tyle opanowana przez rozpoczy nających naukę studentów, źe można sie do niej tylko odwoływać, bez jej poszerzania i pogłębiania. Reżultaty naszych badań pokazują aie tylko, że założenie to jest fałszywe, ale także że należy z duża troska i odpowiedzial nością podchodzić do opracowywania tej problematyki w cza sie zajęć ze studentami. Informacyjne jej potraktowanie nie tylko nie wystarcza, ale może być nawet szkodliwe.
6) W świetle przeprowadzonych badań można zasugero wać pewne kierunki dalszych poszukiwań. Mp. byłoby intere sujące zastosowanie zaproponowanej koncepcji badań do in nych pojęć, w tym ściśle matematycznych.
Innym problemem jest zagadnienie transferu sformułowanych tu wniosków dotyczących trudności związanych z wnioskowaniem z przesłanek,z dużym lub małym kwantyfikato- rem na sytuacje analogiczne co do struktury logicznej ale o treści matematycznej. Pozostaje oczywiście problemem ot wartym pełniejsza weryfikacja sformułowanych tu hipotez, w szczególności w uczelniach technicznych w Polsce, gdzie przyjmuje sie na ogół podobne założenia dotyczące
nicznej wiedzy logicznej studentów, a także wzbogacanie tej wiedzy na zajęciach z matematyki.
Przypisy
lł Mówiąc "aspekty” mamy na myśli pewne standardowe sytu acje, w których weryfikuje się właściwe rozumienie tych pojęć. Szczegółowe wyjaśnienie nastąpi w dalszej części artykułu.
2) Tutaj i w dalszym ciągu chodzi o formy zdaniowe jednej zmiennej, o ile nie zostanie to wyraźnie sprecyzowane i naczej.
A RESEARCH SCHEME INTO THE UNDERSTANDING OF MATHEMATICAL CONCEPTS
TECHNICAL UNIVERSITY STUDENTS'UNDERSTANDING OF QUATIFIERS Summary
The paper presents a ^paradigmatic description of a certain conception of research into the understanding of mathematical concepts, in close connection with the teaching sequence observed in the course where those concepts were introduced. The conception is based on the study of under standing the concepts of quantifiers "for all" and "there exist” , carried out in the technical department of Institut National d 'Enseignement Supérieur de Tiaret, Algers.
of logical concepts were revealed, which may be the cause of troubles in further studying mathematics.In particular it was found that
- there are specific difficulties in the case when the truth or falsity of a quant ified statement cannot be deter mined;