Barbara Nawolska
Akademia Pedagogiczna, Kraków
Kształcenie stochastyczne i rozwijanie aktywności
matematycznych przez analizę błędów
i naiwnych intuicji
4Powszechne kształcenie matematyczne obejmuje aktualnie trzy aspekty matematycznego myślenia: aspekt geometryczny, aspekt arytmetyczny i w nie wielkim zakresie także aspekt stochastyczny5.
Dotychczasowe próby włączania idei stochastycznych do szkolnej matema tyki kładą nacisk na przyswojenie pewnej wiedzy teoretycznej (zestaw definicji i twierdzeń dotyczących skończonych przestrzeni probabilistycznych) oraz roz wijanie pewnych technik rachunkowych związanych z obliczaniem prawdopo dobieństwa (na ogół opartych na narzędziach kombinatorycznych). Nauczanie ukierunkowane zostaje tym samym na rachunki i w niewielkim zakresie na dedukcję.
Szkolne i akademickie ujęcia rachunku prawdopodobieństwa nie uwzględ niają na ogół (lub uwzględniają w niewielkim stopniu) tego, co stanowi istotę stochastycznego aspektu matematycznego myślenia. Chodzi tu m. in. o formu łowanie wiarygodnych ocen i wniosków, jakie z wielkości wyliczonego prawdo podobieństwa, z obliczonej w zadaniu wartości oczekiwanej, czy z udowod nionego faktu, że dwa zdarzenia są stochastycznie niezależne, wynikają bądź dla samej matematyki, bądź dla praktyki. Mowa tu o pewnej metodologii ra chunku prawdopodobieństwa, której nie obejmuje (bo nie musi) akademicki kurs rachunku prawdopodobieństwa jako teorii dedukcyjnej. Ważnym zagad nieniem dydaktyki matematyki jest wypracowanie takich form i treści kształ-4Tekst jest zmodyfikowaną wersją autoreferatu rozprawy doktorskiej, obronionej 12 stycz nia 2000 r. na Wydziale Matematyczno-Fizyczno-Technicznym Akademii Pedagogicznej w Krakowie. Promotorem pracy był dr hab. Adam Płocki, a jej recenzentami — prof, dr hab. Zdzisław Rychlik z UMCS, prof, dr hab. Bogdan Choczewski z AP i dr hab. Gustaw Treliński z WSP w Kielcach.
Ba r b a r a Na w o l s k a 1.86
cenią w zakresie rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, które uwzględniają wspomnianą metodologię.
Rachunek prawdopodobieństwa rozumiany jest w niniejszych
rozważaniach jako teoria przestrzeni probabilistycznych oraz szcze
gólnych metod ich konstruowania i badania, obejmująca także wnio
skowania, które stanowią wspomnianą metodologię.
Praca dotyczy pewnych aspektów kształcenia studenta sekcji nauczyciel skiej6 w zakresie tak rozumianego rachunku prawdopodobieństwa.
Osobliwością rachunku prawdopodobieństwa jest bogactwo paradoksów. Paradoksy towarzyszyły powstawaniu i rozwojowi tej dziedziny matematyki, kreowały spory i dyskusje nad ich źródłami, inspirowały i inspirują nadal szcze gólną problematykę zadań.
Przez paradoks rozumie się w tej pracy zadanie lub problem, w przypadku którego intuicja podsuwa rozwiązanie pozostające w wyraźnej sprzeczności z tym, co wynika z rachunków i dedukcji, a także (czasami) z danych statystycz nych (a więc tym, co potwierdza em piria). W takim sensie do paradoksów nie włączamy tzw. paradoksu Bertranda, którego natura jest zupełnie inna.
W pracy proponuje się wykorzystywanie tak rozumianych (i to raczej nie znanych w literaturze matematycznej) paradoksów rachunku prawdopodobień stwa do kształcenia stochastycznego, matematycznego i ogólnego, a w szcze gólności do matematycznej aktywizacji studentów sekcji nauczycielskiej.
Wartość dydaktyczna stochastycznych paradoksów polega na tym, że pro wokują do matematycznej refleksji, do wykrywania i uzasadniania luk oraz błędów w gotowych rozumowaniach (a więc do poszukiwania środków argu mentacji „za” i „przeciw”). Stanowią one ważny element procesu odkrywania i kształtowania pojęć oraz rozwoju intuicji stochastycznych. Odkrywanie i ana lizę paradoksów oraz matematyczną refleksję nad ich źródłami i ich naturą przedstawia się jako szczególną aktywność matematyczną.
Czekanie na serie orłów i reszek. Czasy tego czekania jako zmienna
losowa
Inspiracją dla problemów poruszanych w pracy były:
— problemy sformułowane przez Waltera Penneya, a dotyczące sprawiedliwo ści pewnej gry losowej7 oraz
6Studentów m atematyki wyższych szkół pedagogicznych i studentów sekcji nauczycielskiej uniwersytetów nazywamy krótko studentami sekcji nauczycielskiej.
— idee A rthura Engla ujęcia teorii jednorodnych łańcuchów Markowa jako błądzeń losowych po grafach stochastycznych.
Paradoksy, które wykorzystuje się w pracy, wiążą się ze szczególnymi do świadczeniami losowymi o losowej liczbie etapów. Są to tzw. czekania na serie
orłów i reszek.
• Wynik m-krotnego rzutu monetą przedstawiamy jako ra-wyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {o, r} i nazywamy serią orłów i reszek o długości m. • Niech a będzie serią orłów i reszek o długości m. Jeżeli w serii a zamienimy jednocześnie każdą literę o na r i każdą literą r na o, to uzyskamy nową serię
b o długości m. Takie serie a i b nazywamy dualnymi.
• Niech a będzie serią orłów i reszek o długości m. Jeżeli k < m , to :
— podciąg k kolejnych początkowych wyrazów serii a nazywamy początkiem
o długości k tej serii,
— podciąg m — k kolejnych końcowych wyrazów serii a nazywamy końcówką
o długości m — k tej serii.
• Mówimy, że seria a o długości m zawiera się w serii b o długości n, gdzie m < ny jeśli ciąg a jest zarazem podciągiem m kolejnych wyrazów w ciągu b. • Niech a będzie ustaloną serią orłów i reszek o długości m. Powtarzanie rzutu monetą tak długo, aż wyniki m ostatnich rzutów utworzą serię a, nazywamy
czekaniem na serię a i oznaczamy przez da.
• Załóżmy, że a i 6 są różnymi seriami orłów i reszek o długości m. Powtarzanie rzutu monetą tak długo, aż wyniki m ostatnich rzutów utworzą albo serię a albo serię b nazywamy czekaniem na jedną z dwu serii a i b i oznaczmy przez
da—b•
Wynik doświadczenia da_& (jako tzw. zdarzenie elementarne) jest ciągiem o wyrazach ze zbioru {o, r}, co najmniej m -wyrazowym i takim, że podciąg m ostatnich wyrazów tworzy albo serię a albo serię b i żaden podciąg m kolejnych wcześniejszych wyrazów nie tworzy żadnej z tych serii. Zbiór wszystkich takich ciągów oznaczmy przez Jest więc Cla-b zbiorem możliwych wyników (zdarzeń elementarnych) doświadczenia da_&.
Jeśli u G to przez |u>| oznaczmy długość ciągu u>, tj. liczbę jego wyrazów. Funkcja pa-b określona wzorem
Pa-b{u) = (^ )|u;| dla uj G fta-6
jest rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze £la-b-> zatem para (Q,a-b,Pa-b) jest ziarnistą (dyskretną) przestrzenią probabilistyczną. Uznajemy ją za model probabilistyczny doświadczenia losowego da_f>.
Analogicznie określamy model probabilistyczny dla doświadczenia da oraz doświadczenia da-b gdy serie o i b są różnych długości, przy czym seria krótsza nie zawiera się w dłuższej, a także doświadczenia da_5_c, które jest czekaniem
188 Barbara Nawolska
na jedną z trzech serii orłów i reszek.
Przez {a^b} oznaczamy zdarzenie: { doświadczenie da zakończy się uzy skaniem serii a}, a jego prawdopodobieństwo przez P(a^b). Przez {b<a}
oznaczamy zdarzenie: {doświadczenie da-b zakończy się uzyskaniem serii 6}, a P (6 x a) oznacza jego prawdopodobieństwo.
Serię a nazywamy lepszą od serii b i zapisujemy a 6, jeśli P(a<b) > Jeżeli P(a^,b) = P(b -< a) = ^ to serie a ib nazywamy jednakowo dobrymi i zapisujemy a « 6,
Paradoksy, o których mowa w pracy, dotyczą własności relacji i « . • Niech a będzie serią orłów i reszek o długości m. Doświadczenie losowe
da, tj. czekanie na serię a, przebiega etapami. Liczbę jego etapów, tj. liczbę
wykonanych rzutów monetą w doświadczeniu losowym da, nazywamy czasem
czekania na serię a. Jeśli o tej liczbie mówić przed doświadczeniem, to jest ona
zmienną losową Ta w przestrzeni probabilistycznej (Oa,p a), będącej modelem doświadczenia da. Wartości zmiennej losowej Ta tworzą zbiór Qra — { m , m + l,m + 2 ,...} .
Niech {Ta= n} = {u;€fia: Ta(uj)=n}. Zbiór {Ta= n } jest zdarzeniem w prze strzeni probabilistycznej (f£a»Pa)- Jego prawdopodobieństwo oznaczamy przez
P(Ta=n). Funkcja pra ze zbioru Ta(Cla) w zbiór liczb rzeczywistych określona
wzorem
jest rozkładem zmiennej losowej Ta. Jest p r a{ n )= P (T a= n ).
Wartość oczekiwana zmiennej losowej Ta jest średnim czasem czekania na serię a. W pracy mowa jest o pewnych paradoksach związanych z tym średnim czasem.
Analogicznie określamy czas trwania doświadczenia losowego da-b jako zmien ną losową T a_b oraz jej rozkład.
W yróżniając stany, w jakich może znaleźć się czekanie po kolejnym rzu cie monetą, czekanie na serię, bądź na jedną z wielu serii orłów i reszek staje się jednorodnym łańcuchem Markowa o niepustym zbiorze stanów pochła niających. Czekanie interpretujemy w pracy jako błądzenie losowe po grafie stochastycznym tego łańcucha8
8Mowa tu o idei A rthura Engla prezentacji przebiegu jednorodnego łańcucha Markowa o niepustym zbiorze stanów pochłaniających jako błądzenia losowego po grafie stochastycznym z niepustym brzegiem (grafy Engla); por. A Engel, Stochastik, Ernst Klett Yerlag, Stuttgart
Ta(u>)=n
Kształcenie stochastyczne i rozw ijanie aktywności 189 Rysunek 1 prezentuje graf stochastyczny doświadczenia door.
Każdej krawędzi grafu przypisany jest wynik rzutu monetą, któremu od powiada przejście reprezentowane przez tę krawędź. W teorii grafów stocha stycznych w miejsce tych wyników wpisuje się ich prawdopodobieństwa.
o
| oor | rys. 1.
Rysunek 2 przedstawia graf stochastyczny doświadczenia dorr_rrr | orr |
r
Węzły każdego z grafów prezentują stany czekania, tj. ciągi już uzyskanych orłów i reszek, jako początki serii.
Graf stochastyczny ukazano w pracy jako wygodne narzędzie konstruowa nia (graf jako środek matematyzacji) i badania nieskończonych (przeliczal nych) przestrzeni probabilistycznych (graf jako środek argumentacji), a zara zem źródło matematycznego odkrycia (nowe metody rachunków odkrywane poprzez graf).
Gry Penneya — mało znane źródło stochastycznych problemów
W grze z udziałem dwu graczy przeprowadza się doświadczenie da-b- Zwy cięża gracz Ga, gdy zakończy się ono serią o, zwycięża zaś Gb, jeśli zakończy się ono serią 6. Taką grę losową oznaczamy przez g a - b i nazywamy grą Penneya. Gra losowa g a - b jest sprawiedliwa, jeśli P(a -< b) = P(b -< a), czyli gdy a « 6. Zauważmy, że graf stochastyczny doświadczenia da-b jest zarazem planszą do gry
Mathema-tics, 2(4), October 1969 (s. 241). Zaproponował ją Walter Penney. We wspo mnianej publikacji Penney rozważa grę g 000-oro i stwierdza, że z faktu, iż każdy z ośmiu wyników trzykrotnego rzutu monetą jest jednakowo prawdopodobny, zdaje się w oczywisty sposób wynikać, iż dla każdych dwu serii a i b długości 3, gra ga-b jest sprawiedliwa. Wykazuje zarazem w ciekawy sposób, że gra 9ooo-oro nie jest sprawiedliwa.
Prezentowane w pracy doktorskiej zagadnienia są uogólnieniami wyjścio wego problemu sprawiedliwości gry Penneya ze względu na liczbę graczy oraz długości serii orłów i reszek.
W. Penney bada jedynie prawdopodobieństwo w przypadku doświadcze nia d000—0r0. W pracy doktorskiej tworzy się i bada całą rodzinę przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych jako modeli czekania na jedną lub na jedną z wielu serii orłów i reszek (i to niekoniecznie równych długości). Oprócz praw dopodobieństwa, w zakres tego badania włącza się rozkłady zmiennych lo sowych, które są czasami czekania (tj. czasami trw ania pewnych procesów stochastycznych), ich wartości oczekiwane i różne związki pomiędzy tymi po jęciami. Dzięki temu zakresowi badań możliwe jest odkrywanie nowych, para doksalnych faktów natury stochastycznej.
Przedmiotem pracy
są:• pewne przeliczalne przestrzenie probabilistyczne (jako modele czekania na serie orłów i reszek);
• rodzaje argumentacji, zarówno poprawnych, jak i błędnych, odnoszących się do tych przestrzeni;
• paradoksy ujawniane w procesie tworzenia i badania wspomnianych prze liczalnych przestrzeni probabilistycznych;
• aktywności matematyczne kreowane zarówno przez proces konstruowa nia tych przestrzeni (związane z matematyzacją), jak i ich badania (zwią zane z fazą dedukcji i rachunków);
• aktywności matematyczne wywoływane ujawnianiem błędów i paradok sów powstałych na tle gier Penneya oraz analizą ich przyczyn;
• błędy popełniane przez studentów przy:
— konstruowaniu przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych (błędy związane z matematyzacją),
— badaniu tych przestrzeni (błędy związane z fazą dedukcji i rachun ków),
— formułowaniu wniosków (błędy związane z organizacją fazy inter pretacji).
Cele pracy:
• próba adaptacji teorii jednorodnych łańcuchów Markowa do potrzeb po wszechnego kształcenia matematycznego i kształcenia przez matema tykę;
• propozycja elementarnych środków badania nieskończonych przestrzeni probabilistycznych (graf stochastyczny, analogie, symetrie i izomorfizmy, jako narzędzia tych badań);
• tworzenie problemów i konstrukcja (dobór) zestawów zadań dotyczą cych pojęcia prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej, inspirowanych grami Penneya, rozwiązywanie których:
— ujawnia paradoksalne relacje między pojęciem prawdopodobień stwa i wartości oczekiwanej,
— wyzwala i rozwija aktywności matematyczne, — ujawnia błędy sugerowane przez intuicje,
— sprawdza rozumienie pojęć stochastycznych przez studentów mate matyki,
— rozwija intuicje stochastyczne;
• przegląd możliwych argumentacji, zarówno poprawnych jak i błędnych, związanych z problemami powstałymi na tle gier Penneya;
• tworzenie kolekcji paradoksów powstałych na tle rozważanych proble mów;
• próba wykorzystania zgromadzonych problemów, zadań i paradoksów do kształcenia stochastycznego i do aktywizacji matematycznej studentów. Badaniami objęci zostali studenci III i IV roku matematyki krakowskiej WSP w latach 1995-1999.
W badaniach studentów zastosowano dwie metody:
— obserwację (ciągłą) pracy studentów podczas ćwiczeń z rachunku prawdo podobieństwa (ćwiczenia rejestrowane były kamerą wideo);
— analizę wytworów studentów: sprawdzianów pisemnych oraz prac egzami nacyjnych.
Na ćwiczeniach studenci dostawali do rozwiązania różne problemy zwią zane z grami Penneya. Zadaniem studentów było stawianie hipotez, prognozo wanie wyników liczbowych oraz uzasadnianie formułowanych sądów, konfron towanie ocen i hipotez z rezultatami dedukcji i rachunków a także z danymi statystycznymi. Ta forma zajęć prowadziła na ogół do konstatacji: „znów się pomyliliśmy” („znowu intuicja podsunęła nam złą odpowiedź”) i pozwalała odkrywać nowe, niespodziewane problemy, nowe sposoby i narzędzia ich roz wiązywania. Dzięki takiej problematyce i formie zajęć możliwe było odkrywa nie przez studentów nowych, nieznanych w literaturze matematycznej sposo bów obliczania prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej w nieskończonych przestrzeniach probabilistycznych.
Zadania na pisemne sprawdziany były tak dobierane, aby w trakcie ich rozwiązywania ujawniły się różnorodne aktywności matematyczne, pojawiły się błędy sugerowane przez intuicje i paradoksalne relacje między pojęciem prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej, a także by zadania te sprawdzały rozumienie pojęć stochastycznych i rozwijały intuicje stochastyczne.
W momencie rozpoczęcia badań dysponowałam ubogimi informacjami do tyczącymi problemów rozważanych w pracy. Literatura dotycząca tych zagad nień była uboga, stąd też początkowy stan wiedzy na tem at wspomnianych przestrzeni probabilistycznych był niewielki.
Na tym początkowym etapie badań obserwacje studentów były spora dyczne. Obserwowałam wówczas sytuacje, w których błędy studentów poja wiały się okazjonalnie. Obserwacja pracy studentów (ich reakcje, argum enta cje, błędy) rozwiązujących pierwsze problemy zaczerpnięte z literatury była inspiracją do tworzenia nowych problemów i zadań. Równolegle prowadziłam własne badania nad problemami inspirowanymi grami Penneya. W ten sposób powstawały kolejne problemy i zadania, które następnie rozwiązywali studenci na ćwiczeniach. Taki sposób pracy przyczyniał się do stopniowego wzbogacania wiedzy i wzbogacania kolekcji problemów, typów argumentacji i paradoksów.
Paradoksy dotyczące przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych odkryte w trakcie analizy różnych problemów związanych z grami Penneya zostały użyte w teście, który dano do rozwiązania studentom IV roku matematyki w trakcie trwania drugiego semestru kursu rachunku prawdopodobieństwa. Ba dani studenci mieli ocenić prawdziwość zamieszczonych w teście twierdzeń9 i ewentualnie podać kontrprzykład w sytuacji, gdy twierdzenie uznali za fał szywe. Studenci wpisywali „TAK”, gdy uznali twierdzenie za prawdziwe, zaś „NIE” , gdy twierdzenie uznali za fałszywe. Celem prowadzonego badania było sprawdzenie, jak wiele osób uznaje te fałszywe twierdzenia za prawdziwe, a
9Mowa tu o weryfikacji prawdziwości implikacji.
więc jak błędne są intuicje badanych studentów. Terminologia użyta w teście i problematyka związana z grami Penneya była znana studentom. Studenci w trakcie zajęć z rachunku prawdopodobieństwa (w trakcie wykładów i ćwiczeń) rozważali wiele problemów związanych z czekaniem na serię lub czekaniem na jedną z wielu serii orłów i reszek.
Studenci otrzymali następujący test:
O dwu seriach a i b mówimy dalej na ogół w kontekście doświadczenia da-b, a ściślej w kontekście gry Penneya g a - b - Jeśli te serie rozważamy w innym kontekście (np. doświadczeń da, d& lub da_6_c), to wyraźnie to zaznaczamy. Poniżej użyte symbole oznaczają odpowiednio:
|a| — długość serii o, a « b — serie a i 6 są jednakowo dobre, a b — seria a
jest lepsza od serii b
Ks z t a ł c e n ie s t o c h a s t y c z n e i r o z w ij a n ie a k t y w n o ś c i 193
1. Jeżeli |a| = |6|, to a m b
2. Jeżeli |a| ^ |6|, to ~ (a « b)
3. Jeżeli a « b, to |a| = |6|
4. Jeżeli a « b, to serie a i b są dualne
5. Jeżeli a w 6, to grafy dla doświadczeń d a
i db są izomorficzne
6. Jeżeli modele probabilistyczne doświad czeń d a i db są izomorficzne, to a w b
194 Ba r b a r a Na w o l s k a
8. Jeżeli a « 6 i 6 « c, to a « c (relacja «
je st przechodnia)
9. Jeżeli a^>b i 6^>c, to a^>c (relacja jest przechodnia)
10. Jeśli w grze g a - b jest a w 6, to w grze
g a - b - c je st również a w 6
11. Jeżeli |a| < |6|, to
12. Jeśli w grze z udziałem dwu graczy w śród serii a, b i c nie m a najlepszej, to nie m a również najlepszej w śród tych serii, gdy w grze bierze udział trzech graczy 13. Jeżeli a « b i serie a\ i b\ p o w stają odpow iednio z serii a i 6 przez dopisanie n a p o czątk u każdej z nich litery o, to, a\ «
14. Jeżeli dwie serie a i b długości m m a ją w spólny początek o długości k (k < m),
końcówki zaś są seriam i jednakow o do brym i, to a w b
15. Jeśli serie a i b tej samej długości różnią się tylko początkiem o długości 1, to a w b
16. Jeśli graf stochastyczny dla gry Pen- neya g a - b je st sym etryczny, to serie a i b
są dualne
17. Jeżeli a « b, to E ( T a ) = E { T b )
Ks z t a ł c e n ie s t o c h a s t y c z n e i r o z w ij a n ie a k t y w n o ś c i 195
19. Jeżeli E{Ta) ^ E(Tb), to ~ (a « b)
20. Jeżeli E ( T a) < E(Tb), to a^ >6 2 1. Jeśli a > t , t o E ( T a) < E{Tb) 22. Jeżeli E ( T a) = E(Tb) = e, to E( Ta_ b) = e 23. Jeżeli E ( T a) = E ( T b) = E ( T C), to E ( T a_ b) = E ( T a- c) = E ( T b-c)
24. Jeżeli E ( T a) = ea < e*, = E(Tb), to
ea < E ( T a- b) < eb
Test rozwiązywało 61 studentów. W poniższej tabli zawarto zbiorcze zeta- wienie wyników testu.
Z zebranych danych wynikają następujące wnioski:
— Tylko twierdzenie 1. wszyscy studenci poprawnie uznali za fałszywe. Takiego wyniku można się było spodziewać, gdyż w trakcie zajęć studenci rozważali grę grrr-orr • Serie r rr i orr są tej samej długości i nie są jednakowo dobre.
— W przypadku każdego z pozostałych twierdzeń (wszystkie są fałszywe) było co najmniej kilka osób, które uznawały twierdzenie za prawdziwe.
— W przypadku dwunastu twierdzeń (twierdzenia: 5., 6., 7., 12., 13., 14., 16., 17., 18., 19., 20. i 21.) co najmniej jedna trzecia studentów uznała je za prawdziwe, a w przypadku twierdzeń: 6., 7., 13., 14., 16. i 17. ponad połowa badanych studentów uznaje je za prawdziwe.
Podsumowując uzyskane wyniki testu, należy zauważyć, że studenci o sto sunkowo dużej wiedzy dotyczącej rozważanych problemów popełniali błędy przy ocenie prawdziwości twierdzeń. Te fakty uzasadniają decyzję o zaliczeniu wspomnianych twierdzeń do paradoksów rachunku prawdopodobieństwa.
Rezultaty pracy (uzyskane wyniki):
• Przedstawiono propozycję adaptacji teorii jednorodnych łańcuchów Mar kowa dla potrzeb kształcenia matematycznego i kształcenia poprzez m atem a tykę, zdefiniowano tu wiele pojęć (np. pojęcie serii orłów i reszek, serii jed norodnych, serii dualnych, serii jednakowo dobrych, serii lepszych i gorszych, serii symetrycznych, doświadczeń będących czekaniem na serię bądź jedną z wielu serii, czasu trw ania tych doświadczeń), uogólniono pojęcie gry Penneya i zdefiniowano relacje « oraz ^>, sformułowano i udowodniono szereg własno ści przeliczalnych przestrzeni probabilistycznych jako modeli czekania na serie orłów i reszek.
• Zaproponowano wykorzystanie takich elementarnych środków badania nie skończonych przestrzeni probabilistycznych jak graf, symetrie, analogie i izo morfizmy, dzięki którym:
— zaprezentowano nowe metody obliczania prawdopodobieństwa zdarze nia w przeliczalnej przestrzeni probabilistycznej oparte na interpretacji prze biegu łańcucha Markowa jako błądzenia losowego po grafie stochastycznym (redukcje grafu, „sklejanie” węzłów grafu, wyróżnianie węzłów osobliwych, sy metrie grafu, izomorfizmy grafów, algorytm pochłaniania i jego modyfikacje), — zaprezentowano nowe metody obliczania wartości oczekiwanej oparte na takich procedurach związanych z grafem stochastycznym, jak: interpreta cja czasu trwania łańcucha Markowa jako czasu błądzenia losowego po grafie stochastycznym, „sklejanie” węzłów grafu, rozbicie grafu na podgrafy (chodzi tu o efektywne wykorzystanie addytywności wartości oczekiwanej), algorytm średniego czasu błądzenia po grafie stochastycznym.
• Odkryto i sformułowano szereg paradoksalnych własności serii orłów i reszek sugerowanych przez naiwne wyobrażenia dotyczące pojęcia prawdopodobień stwa i wartości oczekiwanej.
Paradoksy dotyczą m. in.:
— relacji między długością serii a sprawiedliwością gry Penneya, — relacji między pewnymi symetriami i równością prawdopodobieństw, — własności serii orłów i reszek w przypadku gry Penneya z udziałem dwu graczy i tych własności w przypadku gry z udziałem trzech lub więcej graczy,
— relacji między średnimi czasami czekania na każdą z serii oddzielnie a sprawiedliwością gry Penneya,
— relacji między średnimi czasami czekania na każdą z serii oddzielnie a średnim czasem trwania gry Penneya,
— interpretacji przebiegu czekania na jedną lub jedną z wielu serii orłów i reszek (tj. jednorodnego łańcucha Markowa) jako błądzenia losowego po grafie stochastycznym i wniosków na tem at sprawiedliwości gry Penneya wynikają cych z tej interpretacji,
— ‘wniosków, jakie na tem at średnich czasów czekania sugeruje graf sto chastyczny (np. jego rozmiary).
• Zaproponowano szereg sytuacji problemowych jako źródła problemów i za dań, których formułowanie, atakowanie i rozwiązywanie przedstawiono zara zem jako szeroko rozumianą działalność matematyczną. Proponowane w pracy zadania i problemy związane z grami Penneya, zostały tak sformułowane, aby ich rozwiązywanie nie tylko sprawdzało rozumienie pojęć stochastycznych, ale także wyzwalało aktywności matematyczne, rozwijało intuicje stochastyczne i ujawniało błędy sugerowane przez intuicje oraz by ujawnione w ten sposób błędy motywowały do matematycznej działalności i matematycznej aktywiza cji.
• Wyróżniono różnego typu argumentacje specyficzne dla rachunku prawdo podobieństwa, ukazując, jak rozmaite formy matematycznej aktywności może kreować problematyka stochastyczna i jak ważny udział może mieć ona w kształceniu stochastycznym i ogólnomatematycznym studenta matematyki sekcji nauczycielskiej.
• W pracy ukazano, że w przypadku zagadnień stochastycznych intuicja sto sunkowo często podsuwa fałszywe tezy i błędne rozwiązania. Praca zawiera też propozycje i przykłady wykorzystania na ćwiczeniach z rachunku prawdo podobieństwa tak powstałych błędów do matematycznej aktywizacji studenta sekcji nauczycielskiej.
Większość rezultatów pracy została opublikowana w książce
cja, rachunki, dedukcja i interpretacja w zadaniach stochastycznych10, która
była załącznikiem do rozprawy doktorskiej.
Sformułowane w pracy problemy i zadania ujawniają błędne intuicje. Te niewłaściwe intuicje są przyczyną błędów popełnianych przez studentów w ocenach prawdopodobieństwa i wartości oczekiwanej. W spomniane błędy są w pracy źródłem wielu aktywności matematycznych, (poszukiwanie innych ar gumentacji, odkrywanie nowych metod, poszukiwanie kontrprzykładów, kon struowanie dowodów, odwoływanie się do pojęcia przestrzeni probabilistycznej jako środka argumentacji przy wyjaśnianiu paradoksu nieprzechodniości pew nych relacji itp.), w wyniku których możliwe jest głębsze zrozumienie istoty pojęcia przestrzeni probabilistycznej, prawdopodobieństwa i wartości oczeki wanej oraz związków między nimi.
Źródeł większości popełnianych błędów, o jakich mowa jest w pracy, można upatrywać w stosowaniu strategii heurystycznych Kahnemana-Tverskyego. Kurs rachunku prawdopodobieństwa na sekcji nauczycielskiej oraz w szkole może i powinien likwidować błędy związane ze stosowaniem wspomnianych strategii przez ich ujawnianie w trakcie rozwiązywania odpowiednich proble mów i zadań. Badania, które są treścią niniejszej rozprawy, pozwoliły wyłonić nowe, nieznane problemy, których rozwiązywanie ilustruje posługiwanie się we wnioskowaniach stochastycznych strategiami heurystycznymi. Przykłady ilu strujące stosowanie tych strategii w pracach Kahnemana-Tverskyego bardziej dotyczą kombinatoryki i intuicji kombinatorycznych. Przykłady w omawianej pracy doktorskiej m ają wyraźną naturę stochastyczną.
Wzorowany na akademickim wykładzie sformalizowany kurs rachunku pra wdopodobieństwa nie usuwa „błędnych wyobrażeń” . Aby wyeliminować opi sane błędne wnioskowania o charakterze intuicyjnym, wydaje się konieczne wzbogacenie treści i form nauczania rachunku prawdopodobieństwa o nowe problemy i zadania ujawniające błędne intuicje. Praca zawiera propozycje ta kich zmian.
198 Barbara Nawolska
