Badanie Funkcji

Badanie Funkcji

Paweł Gosk i Konrad Topolski

ξ(x) = (x − 3 x)e^−2x

1. Dziedzina funkcji: x ∈ R\{0}

• Badanie funkcji ξ w punkcie x = 0 lim

x→0⁻(x −3

x)e^−2x = lim

x→0⁻(x −3 x) · lim

x→0⁻e^−2x = −∞ · (−∞) = ∞ (1)

lim

x→0⁺

(x−3

x)e^−x2 = lim

x→0⁺

x −_x³ e^2x

= limH x→0⁺

1 + _x³2

−2

x²e^2x = lim

x→0⁺

x²+ 3

−2e^x2 = 3

−∞ = 0 (2)

2. Punkty charakterystyczne:

• Miejsca zerowe ξ(x) = 0 ⇔ x =√

3 ∨ x = −√ 3

• Granice w ±∞

x→∞lim ξ(x) = ∞ (3)

x→−∞lim ξ(x) = −∞ (4)

3. Asymptoty

• Asymptota pionowa: x = 0

• Ponieważ granice w nieskończonościach są nieskończone, asymp- toty poziome nie istnieją.

• Asymptoty ukośne:

a = lim

x→∞

(x − ³_x)e^−x2

x = lim

x→∞

x²− 3

x² e^−2x = lim

x→∞(1 − 3

x²)e^−2x = 1 (5)

b = lim

x→±∞(x − 3

x)e^−x2 − x = lim

x→±∞

x²e^−2x − x² − 3e^−2x

x =

x→±∞lim

x²(e^−x2−1)

x − lim

x→±∞

(3e^−2x) → 1

x → ±∞ = lim

x→±∞x(e^−x2 − 1) =

x→±∞lim

e^−x2 − 1

1 x

=h0 0

i _H

= lim

x→±∞

(_x²2)e^−2x

−_x¹2

= lim

x→±∞−2e^−2x = −2 (6) Można skorzystać z reguły de l’Hospitala, ponieważ funkcje są

określone i mają ciągłe pochodne.

Istnieje obustronna asymptota ukośna:

y = x − 2

• Miejsce przecięcia się ξ(x) i asymptoty ukośnej

– Sprawdzamy, czy funkcja i asymptota przecinają się:

x²− 3

x e^−x2 = x − 2 x²− 3

x e^−x2 − x + 2 = 0

Rozwiązanie analityczne nie istnieje!

– Metoda stycznych Newtona Założenia:

∗ Funkcja jest ciągła.

∗ W przedziale [a, b] znajduje się dokładnie jeden pierwia- stek.

∗ Funkcja ma różne znaki na końcach przedziału.

∗ Pierwsza i druga pochodna mają stały znak w tym prze- dziale.

g(x) = x²− 3

x e^−2x − x + 2 = 0

Numerycznie: pierwsze ”zgadnięcie”→x₀ = 3 g(3) ∼= 0.02 g⁰(3) = −0.087

Kolejne przybliżenia metodą stycznych Newtona x_k+1 = x_k− ξ(x_k)

ξ⁰(x_k) x₁ = 3 − 0.02

−0.087 = 3 + 0.229 = 3.229 g(3.229) = 0.0089 . . .

g⁰(3.229) = −0, 6937

x₂ = 3.35 . . . x₃ = 3.36 . . . Miejsce przecięcia ξ(x) z y = x − 2 :

x ≈ 3.36

Rysunek 1: Punkt przecięcia ξ(x) z asymptotą

4. Pierwsza pochodna ξ(x) : Dξ⁰: x ∈ R\{0}

ξ⁰(x)= (x − 3

x)e^−2x0

= (x − 3

x)⁰e^−x2+ + (x − 3

x)(e^−2x)⁰ = (1 + 3

x²)e^−2x + 2

x²(x − 3

x)e^−2x = e^−2x(1 + 2

x + 3 x² − 6

x³) = e^−2x

x³ (x − 1)(x²+ 3x + 6)

(7)

Punkt podejrzany o ekstremum: ξ(x) = 0 ⇔ x = 1

Rysunek 2: ξ⁰(x)

ξ⁰(x) % ←→ x ∈] − ∞, 0[ ∪ [1, ∞[

ξ⁰(x)_const ←→ x ∈ Ø ξ⁰(x) & ←→ x ∈]0, 1]

ξ⁰(1) → (&%) więc ξ(1) = ⁻²_e2 ≈ −0.27) jest minimum funkcji.

5. Poszukiwanie punktów przegięcia. Druga pochodna ξ(x) : Dξ⁰⁰: x ∈ R\{0}

ξ⁰⁰(x)=h e^−x2

1 + 2 x + 3

x² − 6 x³

i

= e^−x2 1 + 2

x + 3 x² − 6

x³

0

+ + e^−x2 2

x²



1 + 2 x + 3

x² − 6 x³



= e^−2xh18 x⁴ − 6

x³ − 2 x²

i + + e^−x2h 2

x²



1 + 2 x + 3

x² − 6 x³

i

= −2e^−x2

x⁵ (x²− 12x + 6)

(8)

Punkty przegięcia:

ξ⁰⁰(x) = 0

−2e^−x2

x⁵ (x²− 12x + 6) = 0

− 2x⁵[x² − 12x + 6] = 0 x⁵(x − (6 +√

30)(x − (6 −√

30) = 0 x = 0 /∈D_ξ⁰⁰ x=6+√

30 x = 6 −√ 30

Rysunek 3: ξ⁰⁰(x)

ξ⁰⁰(x) % ←→ x ∈] − ∞, 0[ ∪ [6 −√

30, 6 +√

30[ → ξ(x)wypukła ξ⁰⁰(x) & ←→ x ∈]0, 6 −√

30[ ∪ [6 +√

30, ∞[ → ξ(x) wklęsła Obserwacja:

x→±∞lim ξ⁰⁰(x) = lim

x→±∞e^−x2x²(−2 + ²⁴_x − ¹²_x2)

x⁵ = 0

Co oznacza, że w nieskończoności funkcja nie zmienia swojej wypukłości

6. Funkcja ξ(x) i jej asymptota g(x)

Rysunek 4: ξ(x)