sin x, d) f (x) = 2 −|x|

Lista nr 9 TRiL, sem.I, studia niestacjonarne I stopnia, 2011/12.

Podstawowe w lasno´ sci funkcji

1. Okre´ sli´ c dziedziny naturalne oraz zbiory warto´ sci podanych funkcji:

a) f (x) = log(x ² − 1), b) f (x) = ctg πx, c) f (x) = 1 + 2 √

sin x, d) f (x) = 2 ^−|x|

2. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a okresowe oraz znale´ _, z´ c ich okresy podstawowe:

a) f (x) = | sin 2x|, b) g(k) = (−1) ^k , k ∈ Z, c) h(x) = tg x 3 3. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a parzyste: _,

a) f (x) = x ⁴ − 3x ² + 1, b) g(x) = 2 ^x + 2 ^−x , c) h(x) = | sin x|, d) p(x) = sin x x ³ 4. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a nieparzyste: _,

a) f (x) = 2 + x ²

x ⁵ , b) g(x) = sin ³ x, c) h(x) = 3 ^x − 3 ^−x , d) p(x) = x|x|

5. Zbada´ c, czy podane funkcje s a ograniczone na wskazanych zbiorach: _, a) g(x) = 1

x , x ∈ (1; 3i, b) h(x) = log ₂ x, x ∈ (0; 1), c) p(x) = x ² − 1

x ² + 1 , x ∈ R;

d) q(x) = x ² + 1

x + 1 , x ∈ h0; ∞)

6. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a rosn _, ace na wskazanych zbiorach: _, a) f (x) = x ² , x ∈ h0; ∞), b) g(x) = 1

x ⁴ + 1 , x ∈ (−∞; 0i, c) h(x) = √

x, x ∈ (∞; 0i;

d) p(x) = √

x + 1, x ∈ h−1; ∞)

7. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a malej _, ace na wskazanych zbiorach: _,

a) f (x) = 3 − 4x, x ∈ R, b) g(x) = x ² − 2x, x ∈ (−∞; 1i, c) h(x) = 1

1 + x ² , x ∈ h0; ∞);

d) p(x) = 1

1 + x , x ∈ (−∞; −1)

8. Okre´ sli´ c funkcje z lo˙zone f ◦ f , f ◦ g, g ◦ f , g ◦ g oraz ich dziedziny, je˙zeli:

a) f (x) = x ² , g(x) = √

x, b) f (x) = 2 ^x , g(x) = cos x, c) f (x) = x ³ , g(x) = 1

√

x ; d) f (x) = x

1 + x ² , g(x) = 1 x

9. Znale´ z´ c funkcje f i g takie, ˙ze h = g ◦ f , je˙zeli:

a) h(x) = 2 − |x|

2 + |x| , b) h(x) = sin ² x, c) h(x) = log(x ² + 1), d) h(x) = √ x + 2 10. Uzasadni´ c, ˙ze podane funkcje s a r´ _, o˙znowarto´ sciowe na wskazanych zbiorach:

a) f (x) = x ³ + 1, x ∈ R, b) g(x) = 1

x ² , x ∈ (−∞; 0), c) h(x) = √

x + 1, x ∈ h0; ∞) 11. Znale´ z´ c funkcje odwrotne do podanych:

a) f (x) = x ² − 2x, x ∈ h1; ∞), b) g(x) = 2 − √

x + 1, x ∈ R, c) h(x) = x ³ |x|, x ∈ R;

d) p(x) =

 3 ^x dla x < 0

5 ^x dla x > 0 , x ∈ R