Trendanalyse en storingspredictie voor dieselmotoren

TU Delft

Technische Universiteit Delft

Trendanalyse en storingspredictie

voor dieselmotoren

Rapport OEMO 92101

Februari 1992

Jaap Jan van Nielen

Faculteit der Werktuigbouwkunde en Maritieme Techniek

Trendanalyse en storingspredictie

voor dieselmotoren

Rapport OEMO 92/01

Jaap Jan van Nielen

Den Haag, februari 1992

Technische Universiteit Delft

Faculteit der Werktuigbouwkunde en Maritieme Techniek

Vakgroep Werktuigkundige Installaties

Nevesbu-Logos

Voorwoord

In dit afstudeerverslag wordt een overzicht gegeven van het onderzoek naar technieken voor trendanalyse en storingspredictie, als onderdelen van een bewakings- en besturingssysteem voor scheepsmachinelcamerinstallaties. Dit onderzoek vindt plaats in het ICMOS-project (Intelligent Control and MOnitoring System), een samenwerkingsverband van de vakgroep Werktuigkundige Installades van de faculteit Werktuigbouwkunde en Maritieme Techniek van de Teclinische Universiteit Delft, Stork Wartsila diesel en Nevesbu-Logos. Het werk is verricht bij Nevesbu-Logos, als afstudeeropdracht aan de TU Delft.

De uitvoering van dit werk zou onmogelijk zijn geweest zonder de

ondersteuning bij zowel de the,oretische aspecten als de verslaglegging door een aantal personen. De begeleiding bij zowel de TU door prof.J.Klein Woud en ir.J.L.van Herwerden als bij Logos door ir.E.B.M.van den Berg was naar prima in orde, doordat veelvuldig overleg heeft plaatsgevonden en door de vele aanwijzingen bij de samenstelling van de verslagen. Ook de raad en adviezen van de medewerkers van Logos zijn zeer nuttig geweest bij het verrichten van het afstudeerwerk. Daarnaast gaat mijn dank uit naar de firma SWD en met name naar dhr.J.Leeflang voor het verstrelcken van de meetgegevens van een verrichte dieselmotorproef, zonder welke de toepassing van de theorie aanzienlijk minder interessant zou zijn geweest. In de examencommissie hebben naast de heren Klein Woud, van

Herwerden en van den Berg zitting dr.S.Dijkstra en drs.J.A.M.van der Weide.

lk hoop dat dit werk een zinvolle bijdrage is aan het ICMOS-project en wens de lezer veel leesplezier toe.

Jaap Jan van Nielen, Den Haag, 5 februari 1992.

_Tee/mice/2e Universiteit Delft

Opdracht

Faculteit der Maritieme Tedardek

belekelweg 2 2628 CD Delft Postbus 5035 2600 GA Delft Telefoon 015-789111 Telefax 015-785602

De heer J J. van Nielen

Korvezeestraat 348

2628, DR DELFT

rOns ikeemerk 'Doorkiestmmmer- Datum

KW/Ik/10 015-781,556 20 stptember 199

Onderwerp Ingenieursopdracbt,,

Geachte heer Van Melen,

In aansluiting op uw vierdejaars-scriptie, welke een onder2oek heeft ingehouden naar de

toepasbaarheid van de vector-analyse-methodiek voor het diagnostiseren van machinestoringefi, houdt uw ingenieursopdracht het volgende in:

het

uitvoeren van een literatuurstudie naar methodieken voor trendanalyse en

trendpredictie van gemeten procesvariabelen en afgeleide parameters. Evaluatie van deze

methodieken en opstellen van een gemotiveerd voorstel voor het toepassen van een of

enIcele van deze methodieken, wellicht in een door u aangepaste vorm.

De methodieken dienen geschikt te zijn voor installaties, welke varierende bedrijfs- en omgevingstoestanden hebben.

Het toepassen van de geselecteerde methodieken op een systeem_ Hiervoor Icon bij

voorbeeld gebruik gemaalct worden van een serie meetprotocollen van een dieselmotor van SWD.

Anderajds kunt u de geselecteerde methodieken toepassen op het koelwatersysteem van

een dieselmotor. Voor dit systeem is een simulatiemodel ontwilckeld door ft. LL. van

Herwerden, welk model hiervoor door u gebruik-t kan worden.

Aan de hand van de toepassingsvoorbeelden dient u conclusies _{en -iaanbevelingen op te} stellen.

Deze opdracht is aangevangen op 15 augustus 1991. Het rapport van uw werlaaamheden dient u in zesvoud, ingebonden in TUD-band onder nummer OEMO 92/01 omstreeks 15 januari 1992 in te leveren.

Het onderzoek wordt uitgevoerd in samenwerking met NeveSbu/Logos, waar,ir.,E.B.M., van den Berg als uw begeleider zal optreden.

Voor gebruik van het. simulatiemodel kuntiu contact opnemen met

ir. J.L. van Herwerden

Tveei succes toewensen met de uitvoering van deze

opdracht,

diet v delijke groet,

..Klein. Waud

cc:;

Nevesbu/Logos, ft. E. van den Berg

LL_ van Herwerden ir.

Inhoudsopgave

Voorwoord

Opdracht

Inhoudsopgave

IV

Samenvatting

1 1

Inleiding

₄ 2

_{Procesgrootheden}

₆ 3

Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

₁₇

4

Toepassing op een dieselmotor

₄₉

5

Trendanalyse en de vectoranalysemethode

₆₅

6

Toepassing op een koelsysteem-simulatie

₇₉

7

Integratie diagnose, trendanalyse en trendpredictie

₉₁

8 Conclusies

₉₅

Aanbevelingen

₉₇

Literatuur

_RS

ISamenvatting

Samenvatting

Trendanalyse en storingspredictie zijn essentiele onderdelen van een module die storingen in een technisch systeem detecteert en identificeert en een prognose geeft van het storingsgedrag. Trendanalyse houdt in dat

veranderingen in waarneembare verschijnselen worden gesignaleerd, omdat die veranderingen kunnen duiden op de eventuele aanwezigheid van

storingen in het systeem. De waargenomen verschijnselen zijn

procesgrootheden, die met behulp van sensoren worden gemeten, zoals drukken, temperaturen of volumestromen van vloeistoffen of gassen. Omdat deze grootheden niet alleen door de aanwezigheid van storingen kunnen veranderen van waarde, maar ook ten gevolge van veranderende omstandigheden buiten het bewaakte systeem, is het noodzalcelijk te kunnen

beschikken over vergelijkingswaarden als functie van de omstandigheden, oftewel een referentiemodel. De omstandigheden worden bepaald door de omgevingscondities en de van het systeem gevraagde belasdng. Uit de waargenomen procesgrootheden en de bijbehorende referentiewaarden worden nieuwe parameters afgeleid die zoveel mogelijk onafhankelijk zijn van de omstandigheden, de zogenaamde belastingonafhankelijke

parameters. Deze parameters vertonen wel afwijkingen ten gevolge van de aanwezigheid van storingen in het systeem.

Om de storingen ook te kunnen identificeren is het noodzakelijk een ander soon parameters af te leiden die een directe relatie hebben met de optredende storingsvormen. Er worden twee soorten van dew parameters beschreven, de conditieparameters en de diagnosevector uit de vectoranalysemethode. De condideparameters zijn gebaseerd op fysische kennis van het proces dat zich afspeelt en de vectoranalysemethode is gebaseerd op het ontleden van optredende symptomen in mogelijke combinaties van oorzalcen.

Variatie van zowel de belastingonafhankelijk gemaakte meetwaarden als de storingsgerelate,erde parameters kan een aantal oorzaken hebben:

fouten in het referentiemodel - procesfluctuaties

meetonnauwkeurigheden - storingen in het systeem

Het doe van een trendanalyse is het aanbrengen van een onderscheid tussen deze factoren. De fout in het referentiemodel heeft als eigenschap dat hij niet

verandert in de tijd. Een reductie van deze fout kan worden verkregen door ijking van de sensoren. Dat houdt in dat de signalen van de sensoren met de uitkomsten van het referentiemodel worden vergeleken op het moment dat het te bewaken systeem nog gezond is. De sensorwaarden worden danvoor afwijkingen gecorrigeerd.

Er zijn twee soorten meetfouten, namelijk meetfouten die een willekeurig karakter hebben, zodat de grootte niet voorspelbaar is, en meetfouten die een trend volgen. De laatste lout treedt bijvoorbeeld op als een sensor afvvijkingen gaat vertonen gedurende een meetperiode, zogenaamde sensordri ft.

Evenals de willekeurige sensorfouten hebben procesfluctuaties de eigenschap dat ze niet voorspelbaar zijn. Deze twee foutsoorten worden daarom samen als willekeurige meetfouten beschouwd. Reductie_{van dew} foutsoort is mogelijk door de gemeten waarden op verschillende tijdstippen onderling te vergelijken. Dit wordt gedaan middels trendanalyse.

ITrendanalysc

en storingspredictie 1

-I'5 arnenv ailing

Er worth een aantal technieken beschreven die tot doel hebben de ifwijkingen van parameters ten gevolge van storingen in het systeem te

signaleren, met een zo groot mogelijke zekerheid en met een Ideine kans op foutieve alanneringen. De belangrijicste technieken zijn middeling van een aantal opeenvolgende waargenomen parameterwaarden en exponentiele weging.Dat houdt in dat de waargenomen parameter zwaarder meetelt in het beoordelingscriterium naarmate de waamerning recenter is verricht Bij beide technieken worth een bandbreedte bepaald waarbinnen de nieuwe parameter moet vallen bij een gezond systeem. De breedte van de band is

bepalend voor de grootte van de afwijking van de parameter die kan worden gesignaleeni, ofwel de gevceligheid. Door een groter aantal opeenvolgende metingen te middelen of door oude metingen zwaarder mee te laten wegen kan de bandbreedte worden verldeind. Het nadeel is wel dat een afwijking

trager zal worden gesignaleerd, doordat de afgeleide parameter ten gedempt

karalcter lcrijgt.

Bij storingen die een geleidelijk verloop vertonen, dus die verergeren metde tijd, is het van groot belang het tijdstip te kunnen voorspellen waarop de storing een onaanvaarbare vorm aanneemt, oftewel wanneer ten limiet worth overschreden. Dit tijdstip kan worden voorspeld op basis van het verloop van de bewaakte parameters in het verleden onder de aanname van. een bepaalde vorm voor de Icromme die het verloop beschrijft. Dit wordt aangeduid met trend- of storingspredictie. Er worden twee mogelijke vonnen voor de trendlcromme besproken, een lineaire en een exponentiele. De kwaliteit van de voorspelling is afhankelijk van de kwaliteit van de waarnerningen en het deel van het storingstraject dat reeds is doorlopen. Zowel de trendanalyse als de trendpredictie is toegepast op series metingen aan een tweetal systemen waarin een verstoring is opgetreden.

Het eerste systeem is een theselmotor, waarin tijdens een proef een in ernst toenemende storing is opgetreden. Uit analyse van de meetresultaten van de dieselmotor volgt dat de spreiciing van de metingen niet geheel aan de gestelde verwachtingen voldoet wat betreft vorm van de

kansverdelingsfunctie en grootte van de spreiding. Toch is met behulp van trendanalyse reeds binnen 20% van de totale proefduur een afwijking te signaleren.

Trendpredictie van de storing van de dieselmotor is daarentegen niet succesvol, ten gevolge van ten te klein aantal metingen of een te grote spreiding in de meetwaarden voor dit doe. Door tniddel van bepaling van de trend kan wel een goede schatting van de werkelijke grootte van de parameter worden verkregen op het moment van de laatste meting. Op de meetresultaten van de die selmotorproef is ook de

vectoranalysemethode toegepast, echter niet met de juiste gegevens omtrent de optredende symptomen bij gedefuneerde standaardstoringen, zodat de aldus bepaalde storingsdiagnose niet correct is. Wel blijkt dat zich storingen hebben voorgedaan in het systeem en worden door de

vectoranalysemethode bepaalde storingsvormen aangewezen. Het tweede .systeem waarop de trendanalyse en storingspredictie zijn

toegepast is een simulatiemodel van een koelsysteem van een dieselmotor,, zoals dat wordt toegepast aan board van een schip. In dit model is ten vervuiling aangebracht die geleidelijk in emst toeneemt gedurende de

simulatie. Er is een aantal metingen verricht, bij verschillende aan het koelsysteem opgelegde belastingtoestanden. Het aantal metingen is groter dan bij de proef van de dieselmotor, zodat ook de toepasbaarheid van de trendpredictie kan worden beoordeeld.

ISamenvatting

Met behulp van trendanalyse is op basis van de gesimuleerde meetwaarden reeds na korte tijd een verstoring te signaleren. Ook is door trendpredictie een goede voorspelling van het tijdstip van fakn te geven, onder

gebruikmaking van zowel de lineaire als de exponentiele trendbenadering.

Ii

Welding

1 Inleiding

Het ICMOS-project (Intelligent Control and MOnitoring System) heeft tot doel een bewakings- en besturingssysteem voor scheepsmachinekamer-installaties te ontwikkelen. De re,den voor automatisering van deze functies is tweeledig; door de toenemende mate van complexiteit van de installaties worth het moeilijker machinisten op te leiden voor deze taken, daarnaast maalct automatisering van deze taken het mogelijk met minder personeel te opereren.

Een onderdeel van het ICMOS-systeem is de detectie en diagnose

(identificatie) van storingen in de installaties. Dit rapport bespreekt de wijze waarop storingen worden gedetecteerd en hoe het toekomstige verloop van de storing kan worden voorspeld. Er worden methoden gegeven voor zowel storingsdetectie als voor storingspredictie. Deze methoden worden getoetst door toepassing op twee systemen waarin een storing optreedt.

Detectie en diagnose vindt plaats door interpretatie van gemeten procesvariabelen. Daartoe moet kennis worden opgebouwd over de te bewaken installaties. Met behulp van deze kennis worden uit de

meetresultaten parameters afgeleid die kenmerkend zijn voor de te detecteren storingen in het systeem. Vergelijking van deze parameters met een

referentiewaarde levert informatie op over de toestand van de installatie. Het is daarom noodzalcelijk over een verzameling van referentiewaarden of een referentiemodel te beschilcken.

De meeste installaties lcunnen onder meerdere bedrijfs- of

belastingtoestanden functioneren. De belastingtoestand wordt van buitenaf aan de installatie opgelegd. Voor een scheepsdieselmotor wordt de

belastingtoestand bijvoorbeeld bepaald door het motortoerental en door de hoeveelheid ingespoten brandstof, die wordt aangeduid met de

regelstangpositie. De berekende parameters hoeven niet bij iedere belastingtoestand gelijk te zijn. De referentiewaarde voor een belastingafhankelijke parameter dient ook te varieren met de

belastingtoestand, wat kan worden gerealiseerd door de referentiewaarde te bepalen als functie van de belasting. Voor een belastingonafhankelijke parameter geldt een constante referentiewaarde. In hoofdstuk 2 worden

nieuwe belastingonafhankelijke parameters afgeleid uit de

belastingafhankelijke parameters en de bijbehorende referentiewaarden. Door de parameters belastingonafhankelijk te maken worden nieuwe

parameters verkregen die alleen zullen veranderen ten gevolge van storingen en niet door belastingvariaties.

Als de belastingonafhankelijke parameter afwijkt van de referentiewaarde kan dat naast een storing ook nog andere oorzaken hebben. Er kan zich een

fluctuatie in het gezonde proces voordoen, de waarnemingen kunnen foutief of onnauwkeurig zijn, of de afwijking kan een gevolg zijn van een storing. Met een trendanalyse wordt onderscheid aangebracht tussen de verstoorde en de gezonde toestand. Trendanalyse houdt in dat structurele afwijkingen worden onderscheiden van incidentele en dat kleine en grote afwijkingen worden onderscheiden.

Inleiding,

Veel voorkornende storingen nemen geleidelijk vantiit de gezonde toestand in emst toe tot een toestand the niet meer acceptabel is. Voorbeelden van deze storingsvormen zijn slijtage en vervuiling. Het doe! van trendanalyse is om dergelijke storingen zo snel mogelijk na afwijidng van de gezonde situatie te signakren. Aansluitend op deze signalering worth een

voorspelling gegeven van het tijdstip waarop de onacceptabele toestand, aangeduid als de limiet, wordt bereikt. Daartoe worth extrapolatie van de trend van de waarnerningen toegepast, aangeduid met trendpredictie. In hoofdstuk 3 wordt besproken hoe trendanalyse en trendpredictie kunnen worden toegepast.

De behandelde methoden voor trendanalyse en -predictie worden toegepast op waarnerningen aan twee systemen. In hoofdstuk 4 betreft dat een

dieselmotor die een tijd heeft gedraaid met een toenemende storing. Op deze motor was een aantal sensoren aangebracht waarvan de signalen zijn

geanalyseerd. De vectoranalysemethode, een diagnosemethode die is, ontwikkeld voor toepassing op de dieselmotor, wordt in hoofdstuk 5 in combinatie met trendanalyse toegepast. De trendanalyse wont gebruiktom de storing te signaleren en de vectoranalyse wordt gebmikt om de storing te identificeren.

Het tweede systeem is een simulatiemodel van een koelsysteem voor een scheepsdieselmotor, waarin een aantal procesgrootheden is gemeten. Met diti koelsysteem is een periode gesimuleerd waarin een toenemende vervuiling optrad. De resultaten van deze simulatie worden in hoofdstuk 6

geanalyseerd.

Het bewakingssysteem volgt uit de integratie van de verschillende subtalcen, zoals de diagnose, de trendanalyse en de trendpredictie. In hoofdstuk 7 worth een schema gegeven van de manier waarop deze onderdelen dienen samen te werken en te commuficeren met het bewaalcte systeem en de buitenwereld.

2 Procesgrootheden

IF

2 Procesgrootheden

Inhoud

-

2.1 Inleiding

2.2 Belastingonafbankelijk thakeA van de parameters

7

2.2.1 Afleiding belastingonafhankelijke parameters 8

2.2.2 Voorwaarde voor belastingonafhankelijkheid 11

2.3 Verstoring van parameters

13

L4 Conclusies

16

I2 Procesgrootheden

2.1 Inleiding

Om storingen te detecteren warden uit gemeten procesvariabelen parameters berekend die karakteristiek zijn voor de te detecteren storingen. Er zijn verschillende methoden om dergelijke parameters af te leiden. Gemeten waarden kunnen vaak ook direct als procesvariabelen worden gebruikt omdat zij ook met storingen samenhangen.

Zoals in de inleiding al werd gesteld zijn er twee soorten parameters, toestandsafhankelijke en de toestandsonafhankelijke, ook wel belastingonafhankelijke en belastingafhankelijke. Een

toestandsonafhankelijke parameter is een parameter die onder iedere bedrijfsconditie constant is (binnen bepaalde marges), zoals het rendement van een component of het specifiek brandstofverbruik van een

verbrandingsmotor. Toestandsonafhankelijke parameters kunnen dus alleen veranderen door een storing in het systeem. Toestandsafhankelijke

parameters varieren daarentegen wel met de bedrijfstoestand, zoals een temperatuur of een geleverd vermogen.

Voor het bewaken van beide soorten parameters is een referentiewaarde nodig, waarrnee de actuele (waargenomen) waarde kan worden vergeleken. De toestandsonafhankelijke parameter heeft het voordeel dat de benodigde referentiewaarde voor iedere bedrijfstoestand hetzelfde is, terwijl de

toestandsafhankelijke parameter moet worden vergeleken met een andere referentiewaarde in iedere bedrijfstoestand. Deze referentiewaarde wordt bepaald met een referentiemodel, dat is gebaseerd op empirische relaties afgeleid uit waarnemingen of op een theoretische beschrijving van het systeem.

Naast de referentiewaarde geldt voor iedere parameter een limietwaarde, die de minimaal of maximaal toegestane waarde van de parameter vastlegt, afhankelijk van de belastingtoestand van het systeem.

Omwille van de eenvoud van de bewalcing wordt de voorkeur gegeven aan belastingonafhankelijke parameters, die echter niet altijd beschikbaar Het is echter wel mogelijk om met behulp van de referentiewaarde en de limietwaarde voor de parameter uit de belastingafhankelijke parameters nieuwe belastingonafhankelijke parameters af te leiden. In paragraaf 2.2 worden deze afgeleide parameters besproken, en wordt de voorwaarde waaronder deze afleiding geldig is behandeld.

Dat een parameter afwijIct van zijn referentiewaarde hoeft niet te betekenen dat zich een storing voordoet, er kan ook een meetfout worden gemaalct. In paragraaf 2.3 worden de voorkomende soorten meetfouten onderscheiden, met het doe de nauwkeurigheid te verhogen door een reductie van

ongewenste invloeden.

2.2 Belastingonafhankelijk maken

van de parameters

In de inleiding werd al aangegeven dat het essendeel is een

belastingonafhankelijke parameter af te leiden, zodat het werkgebied niet varieert. In paragraaf 2.2.1 worden 4 verschillende toestandsonafhankelijke parameters geIntroduceerd. Belastingonafhankelijkheid is echteraan

voorwaarden gebonden, zoals blijkt in paragraaf 2.2.2.

en storingspredictie ₇

2 Procesgrootheden

2.2.1 ATleisling belastingonafhankelijke parameters

Een parameter kan varieren met de van bovenaf aan het bewaakte systeem opgelegde belasting. Voor de bewaking van het systeem is het noodzakelijk, over een parameter te kunnen beschildcen die onafhankelijk is van de

belasting van het systeem. Daartoe kan een varierende parameter worden gecorrigeerd met de bijbehorende referentiewaarde. In deze paragraaf worden twee afgeleide parameters geintroduceerd, de conditieparameter en het symptoom. Daarnaast worden twee parameters gegeven die naast de referentiewaarde ook op de limietwaarde voor de betreffende waarde zijn gebaseerd, de relatieve reststericte en de relatieve afwijIcing.

De gebruikte parameters zijit

Pact = actuele waarde van de parameter pref = referentiewaarde van de parameter mire = limietwaarde van de parameter

De limietwaarde kan een minimum- of een mazirThumwaarde zijn. Als een parameter zowel een minimale als een rnazimale begrenzing heeft bestaan er dus twee limietwaarden. In plaats van bewalcing voor beide limieten worth dan de dichtstbijzijnde lirniet gehanteerd, waarmee een symmetrisch gebied rend de referentiewaarde wordt gedefinieerd. Zieliguur

Bovenlimiet. Bovenmarge Reterentekromrne Ondermarge, Onderlimiet Belasting

Figuur 2.1. Limieten voor tweezijdige parameterbewalcing. Als de bovenmarge gelijk is of word: gesteld aan de ondermarge lain worden volstaan met be waking met gen limietwaarde.

1

De conditieparameter C

De eenvoudigste vorrn van normalisatie worth beschreven in het NSFIr rapport, 111.10. Ben conditieparameter C(t) wordt daarin gedefmieerd als verhouding tussen de ,actuele waarde en de referentiewaarde van een parameter

C(t)= Pact /

Pref-Deze parameter heeft de waarde 1 als het systeem gezond is en de waarde Cm als het systeem de limiet heeft bereilct.

Trendanalyse en storingspredictie

1WIWWWifir frO4I'r-ra;-14,w

162 Procesgiootheden

1.

Op gelijke wijze als C(t) wordt de limietwaarde van C bepaald:

Clim =-Plim /

Pref.-Bij symmetrie wordt de tweede limietwaarde:

Plim=Pref-(PtirnrPrc0=2Pref-Ptim Clim,2=2-Clim

2

De relatieve reststerkte

Uit de waarde C(t) en Cum wordt in het NSFI-rapport een tweede parameter RRS (Relatieve RestSterkte) afgeleid:

RRs _{i(C@-Clim) (Pact Plim)}

(1-Ctim) 1(Pref - Plim)

RRS worth de relatieve reststerkte genoemd, omdat RRS gelijk aan II in gezonde toestand en daalt naar 0 als de staat van het systeem verslechtert. Als RRS=0 of RRS=2 is de &Met bereilct.

.3

Het symiitooth

Een ande,re optie is het binnen het ICMOS-project gebruikte symptoom. Dat worth als volgt berekend:

S =.(PaerPref)/Prer

ICMOS gebruikt als parameter pact de meetwaarde, maar voor andere do-eleh kan ook het symptoom van afgeleide parameters worden berekend.

De relatie tussen de conditieparameter.C(t) en het symptoom s Is: is=C(0-1

De grootte van het symptoomiligt tussen -sum en_{slim, diet}

§Iirn=(Plim-Pref)/Pref

4

De relatieve afwijking

Een mogelijkekeuze is het domein van de afgeleide parameter zodanigite

kiezen dat de gezonde waarde nul is en dat de uiterste waarde plus of min een is, afhankelijk van de richting waarin de parameter verloopt. Deze, parameter worth de relatieve afwijking (RA) genoemd.

Het bepalen van de afgeleide parameter RA vindt clan als volgt plaats:

RA4Pact-Pref)/(pumrptef) met

RA= afgeleide parameter (Relatieve AfWijIcing)

Pact = waargenomen (actuele) parameter Pref = referentiewaarde

punt = maximale waarde

plim en pref zijn beide afhankelijk van de beclrijfstoestand.

De RA heeft nu de waarde 0 als het systeem gezond isen I ,als pact de waarde Plim heeft.

=

I2

Procesgrootheden

De relatieve afwijking kan ook worden afgeleid uit het symptoom en de bijbehorende limietwaarde. De limietwaarde voor s is als volgt

sarnengesteld: slim=(Plirn-Pref)/pref

Het quotient van de symptoomwaarde en de limiet is gelijk am de RA:

(Pact-Pref)

= Pref (Pact Nei) =RA

Slim (Plirr-Pref) (Plirn Pref)

Pref

De RA kan op afwijkingen in beide richtingen worden toegepast met hantering van een litniet.De RA verloopt richting 1 of -1, afhankelijk van richting van de afwijking.

De hier beschreven vorm van norrnalisatie is toepasbaar op zowel de toestandsafhankelijke als de toestandsonafhankelijke parameter, met als verschil dat de waarden pf en pin, wel respectievelijk niet varieren met de

bedrijfstoestand.

De relatie tussen de RRS en de RA is: RR S = 1-RA.

Het is e,envoudig in te zien dat de waarde van RRS een is als het systeem gezond is en nul als de limiet is bereikt.

Vergelijking van parameters

Voor trendanalyse, het signaleren van een afwijking van de bewaakte parameter, hoeft de lirnietwaarde van de parameter niet bekend te zijn, mits signalering met een zodanige nauwkeurigheid gebeurt dat overschrijding van de limiet niet voortijdig plaatsvindt. De conditieparameter enhet

symptoom komen daarvoor dus in aanmerlcing. De keuze tussen deze twee vormen wordt bepaald door de voorkeur van de gebruiker omdat beide dezelfde informatie bevatten. Een argument om te kiezen voor het

symptoom zou kunnen zijn dat de gezonde waarde 0 is en een afwijking in positieve en negatieve richting gelijkwaardig is.

Als ook de overschrijding van de limiet client te worden bewaakt meet de limietwaarde in de parameter worden meegenomen, z,odat de Relatieve Afwijking of de Relatieve Reststerkte mom worden gebruikt. Wederom

bevatten de beide getallen dezelfde informatie en de symmetric rend het nulpunt is het enige argument om voor de relatieve afwijking te kiezen. In figuur 2.2 wordt het verloop in de tijd van de verschillende afgeleide parameters weergegeven.

2.Procesgroothedemi

Figuur 22' Verloop van de afgeleide parameteit

Voorwaarde voor pelastingonafhankajkheid

Om onafhankelijk van de bedrijfstoestand een trend in de verstoring te kunnen voorspellen moeten de RRS en de RA onafhankelijk zijn van de belastingtoestand, zodat deze waarden niet verspringen bij een overgang naar een ander bedrijfspunt. Bij de trendanalyse en trendpredictie in

hoofdstulc 3 worth uitgegaan van een dergelijke onafhankellikheid. Ads deze onafhankelijkheid niet bestaat kan alleen bij een bedrijfstoestand een

predictie worden gegeven. Tevens worden de voorwaarden beschouwd waaronder het symptoom en de conditieparameter belastingonafhanldijk zijn.

De beschouviing wordt gehouden voor de relatieve afwifidng en het symptoom. Door de directe relatie, zijn ook de Relatieve ReststerIcte en de conditieparameter belastingonafhankelijk, als de Relatieve Afwijking en het symptoom dat zijn.

Relatieve. afwijking

10mdat de RA bij ten gezond systeem '0 is moet de referentiewaardevoor iedere belasting gelijk zijn aan de actuele waarde. Het verloop van de referentiewaarde ligt daarmee vast. Hetzelfde geldt voor het symptoom. Ads een storing de limietgrootte heeft moet de RA voor iedere

lbelastingtoestand 1 zijn. Daaruit volgt dat limietwaarde gelijk is aan de actuele waarde bij de litnietstoring, want

RA-Pact-Pref -1 duspiim=pact Ptim-Pref

Beinvloeding van de belastingonafhankelijkheid via de limietwaarde is dus

St mogelijk.

Bij ten verstoring kleiner dam de limiet geldt:

RAL-Pact-P"r--constant Pltrn-Pref en storingspredictie Relatieve Afwijking Conditieparameter C(t), Relatieve: Rest Sterkte Clim

2.2.2

11 0 _t slim _Symptoom

I2

Procesgrootheden

Daaruit volgt:

Pact=RA-Plim+( 1-RA)Pref

Het verloop van pact moet in deze relatie staan tot het verloop van pref en pun,. Daarmee liggen de voorwaarden voor belastingonafhankelijkheid van de relatieve afwijking vast. In figuur 2.3 a en b zijn twee voorbeelden gegeven van een parameterverloop waarbij belastingonafhankelijkheid geldt.

Symptoom

Het symptoom in limiettoestand wordt niet beinvloed door de keuze van de limietwaarde, maar alleen door de referentiewaarde. Voor het symptoom

geldt:

s=Pact-Pref=constant Pref

Deze eis houdt in dat (paet-pref) evenredig moet zijn met pref, bij varierende belasting. Dit is Met beinvloedbaar, maar hangt af van de eigenschappen van het bewaakte systeem.

Voorbeelden

De belastingafhankelijkheid van zowel de relatieve afwijking als het symptoom hangen af van het verloop vande parameters. Er worden 3 voorbeelden gegeven van parameters waarbij de belastingafbankelijkheid verschillend is. Het eerste voorbeeld in figuur 2.3 a laat een verloop zien waarbij zowel de relatieve afwijlcing als het symptoom

belastingonafhankelijk zijn. In het tweede voorbeeld, figuur 2.3 b, Wanda de relatieve afwijking belastingonafhankelijk.

plim

pact

pref

bel 1 bel 2 belasting

Figuur 2.3 a.Verloop van de verschillende parameters bit varrerende belasting. Zowel de RA als her symptoom zijn belastingonafhankehjk.

I2 Procesgrootheden

bell

bet 2 belasting

Figuur 2.3 b. Voorbeeld van een limietwaarde die flier gelijkvormig is met de referentiewaarde. Btj dit parameterverloop is de RA

belsstingonafhankehjk maar her symptoom flier.

2.3 Verstoring van parameters

De waameming van een grootheid geeft niet de exacte waarde van de gemeten fysische grootheid maar een door verschillende invloeden

verstoorde waarde. De waarneming is stochastisch. De verstoringen zijn te onderscheiden in twee soorten, de willekeurige en de systematische. Dit geldt ook voor uit waarnemingen afgeleide parameters.

De willekeurige verstoringen zijn verstoringen met een stochastisch karakter, ook wel ruis genaamd. De grootte van deze verstoringen is op ieder tijdstip anders en kan worden verminderd door een aantal

opeenvolgende waarnemingen te rniddelen. Als de metingen onderling onafhankelijk zijn is de spreiding van het gerniddelde omgekeerd evenredig met de wortel van het aantal metingen dat wordt gemiddeld. De eis is dan echter wel dat een verzameling metingen moet worden gebruikt die is opgenomen in een periode die zo klein is dat toename van de storing (verandering van de parameter) een verwaarloosbare invloed beet Systematische verstoringen daarentegen zijn fouten die bij iedere meting dezelfde grootte of een langzaarn met de tijd veranderende grootte hebben. Dergelijke fouten zullen dan ook niet afnemen door te rniddelen. Er isnog

een onderscheid te maken tussen constante systematische fouten en tijdsafhankelijke systematische fouten. Constante fouten worden

veroorzaakt door een verschil tussen het referentiemodel en het werkelijke systeem of door een constante afwijking van de meting. Con stante

systematische fouten zijn te verwijderen door sensoren te ijken en door het referentiemodel te ijken aan de sensorwaarden wanneer het systeem in een

gezonde toestand (nieuwstaat) verkeert. Uken kan alleen worden gedaan als de zekerheid bestaat dat het systeem in een gezonde toestand verkeert.

I2

Procesgrootheden

Een typische tijdsafhankelijke systematische fout is sensorclrift.Voor deze fouten is correctie niet mogelijk, tenzij het verloop als functie van de tijd bekend is. De variabele systematische fout is dan ook de ernstigste

stoorfactor voor de trendanalyse, omdat het niet mogelijk is het onderscheid te maken tussen het verlopen van een parameter door een sensorfout of door een verstoring.

Urn afwijlcing van een parameter ten gevolge van storingen te kunnen signaleren en niet afhankelijk te zijn van belastingveranderingen moet de bewaakte parameter worden omgewerkt tot een belastingonafhankelijke parameter. Deze transformatie is beschreven in paragraaf 2.2.

Bij bewaldng van conditieparameters moet rekening worden gehouden met de systematische en willekeurige verstoringen van de parameters. In figuur 2.3 is het verloop van de van belang zijnde componenten van een

belastingonafhankelijke parameter afgebeeld. Er doet zich een toenemende procesverstoring voor. syst,const

Ps

Plim P P ref

Figuur 2.3 Gedrag van de componenten van een belastingonafhankelijke parameter hi] een systeemverstoring.

De betekenis van de afgebeelde parameters is:

Pwaam Pgcm Po Pcorr Pwcric Plim Pref. AP_syst,var 11 APverst

-waargenomen belastingonafhankelijke parameter _gerniddelde van een aantal waamemingen (sample)

gemiddelde op t=to

gemiddelde waarde gecorrigeerd voor constante

systematische fout (PcorffPgcm-APsyst,const)

-werkelijke waarde van de gemeten grootheid lirnietwaarde voor de werkelijke grootheid referentiewaarde voor de werkelijke grootheid

gem Pwaarn Pcorr Pwerk

I2

Procesgrootheden

-willekeurige (stochastische) verstoring van de waarneming

(ff.Pwaarn-Pgcm)

-tkidsafhankelijke systematische verstoring (bijv. sensordrift) -constante systematische verstoring

-totale systematische verstoring =APsyst,var+APsyst,const (=Pgcm-Pwerk)

-afwijking parameter ten gevolge van systeemverstoring

(=Pwcrk-Pmf)

-tijdstip van limietoverschrijding door gerniddelde waarde -waargenomen tijdstip van lirnietoverschrijding

-tijdstip van limietoverschrijding door werkelijke procesgrootheid

De parameter pwaarn, het resultaat van de waarneming, heeft een gemiddelde waarde pgem, die niet noodzakelijk gelijk hoeft te zijn aan

pr, als gevolg

van systematische fouten en storingen in het systeem. Door een

systematische fout wijkt pgem af van pwerk. Correctie voor de constante systematische fout worth gedaan door het verschil tussen pgem in begintoestand en prof van pgem af te trekken, waarna de gecorrigeerde waarde Non-overblijft. Correctie voor de variabele systematische fout, is niet mogelijk op basis van de beschikbare gegevens. De laatste foutsoort kan alleen warden bepaald door rniddel van een logische beoordeling van de waarneming.

De limietwaarde piim mag niet door pwerk worden overschreden, omdat de systeemverstoring dan onacceptabel wordt geacht, maar het is tevens wenselijk een verandering van Pwerk vroegtijdig te constateren bij een kleinere systeemverstoring. Een complicatie is dat pwerk niet bekend is zodat bewaking moet worden gebaseerd op Nom de beste benadering van pwerk peorr heeft oak een spreiding waardoor een spreidingsband rond peer moet worth. aangegeven. Bewaking vindt dan plaats als getoond in figuur 2.4

Apwili APsyst,var APsyst,const APsyst Apverst tlim,gem tlirn,waarn tlim,wcrk Spreidingsgebied gecorrigeerde meetwaarde

varj°--tijd en storingspredictie tlimwaarntlimmin t_lm,max tlirn,gem tlirn,werk

Figuur 2.4. Parameterbewaking op basis van',corr. Zie ook figuur 2.3.

Pgem Pwaarn Corr Pwerk

2. Procesgrootheden

Doordat Non- is gebaseerd lop gemiddelden van een aantal opeenvolgencle waarden is de spreidingsband van Non kleiner dan die van pwaam Uit figuur 2.2 blijkt dat ten gevolge van de variabele systematische fout een foutieve schatting van de limiettijd wordt verkregen. In het weergegeven

geval vindt signalering te vroeg plaats. Het is echter ook mogelijk dat signakring it laat plaats vindt, namelijk als de variabele systematische fout negatief is (of positief bij een negatieve verstoring). Hieruit blijkt dat het noodzakelijk is tevens een marge aan te houden voor de variabele systematische afwijking, in de vorm van een extra band rond de gecorrigeerde parameter. De spreiding van Nor is gegeven door:

02 _allwaarn +An2

p,ccar _n t'syst,var,gem _(2.1)

n is het aantal waamemingen dat worth gemiddeld;

AP2syst,var,gem is de gerniddelde variabele systematische fout. De grootte

van deze waarde kan tijdsafhankelijk zijn, wat bijvoorbeeld geldt voor sensordrift.

hoofdstu1c 3 worth de bewaldng van de parameters uitgewerkt.

2.4 Conclusies

Het signaleren, van een storing komt neer ,op het signaleren van een afwijldng van een parameter ten opzichte van de bijbehorende referentiewaarde. Daarbij, moet onderscheid worden gemaalct tussen

verandering van de parameter ten gevolge van enerzijds procesfluctuatiestn meetonnauwkeurigheden en anderzijds veranderingen door storingen in het ,systeem. Sheiding van de parameter in storingscomponenten laat zien dat

een deel van de storende invloeden op de parameter is te reduceren, namelijk de constante systematische lout en de willekeurige lout, en een deel niet,

namelijk de variabele systematische fout.

Parameters die afhankelijk zijn van de belasting van het systeem kunnen op verschillende manieren belastingonafhankelijk worden gemaalct, door te icorrigeren met de referentiewaarde en eventueel ook de limietwaarde voor

de betreffende parameter bij de geldende belasting. Als zowel de limietwaarde als de referentiewaarde in de afgeleide parameter worden. meegenomen valt het domein van de parameter tussen 0 en 1.

De belastingonafhankelijkheid geldt alleen als de verhouding tussen actuele. parameterwaarde, referentiewaarde en limietwaarde (indien toegepast) bij iedere belastingtoestand gelijk is.

De keuze van de parameters worth bepaald door de toegepaste

diagnosemethode. Er worden twee methoden beschreven om parameters te bepalen die direct verband hebben met de storingen..

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Inhoud

3.1 Inteiding

18

3.2 Trendanalyse

18 3.2.1 Drempelbewaldng 19 3.2.2 De Run-Sum-test 20

3.2.3

Bayes beslissingscriterium 22 3.2.4 De two-random-sample-t-test 24 3.2.5 Control charts 26

3.2.5.1 Shewhart control charts 27

3.2.5.2 Cumulative Sum control charts 28

3.2.5.3 Geometric Moving Average control charts 29 3.2.5.4 De Sequential Sample Technique 30

3.2.6

Afweging trendanalysetechnieken 32

3.2.7 Invloe-d tijdsafhankelijkheid op trendanalyse 36

3.3 Trendpredictie

₃₇

3.3.1 Trendpredictie volgens het NSFI-rapport 38

3.3.2 Trendbenadering met een exponentiele curve 40 3.3.3 Toepassing van de exponentiele benadering 42 3.3.4 Relatie tussen slijtagesnelheid en belastingtoestand 45

3.4 Conclusies

₄₇

I3Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

3.1 Inleiding

Met de in hoofdstuk 2 afgeleide belastingonafhankelijke parameters kan bewaking van een systeem worden uitgevoerd. Door analyse van de trend van de parameter worth een onderscheid gemaakt tussen veranderingen van de parameter die wel en geen gevolg zijn van een storing in het systeem. In paragraaf 3.2 wordt een aantal technieken besproken waarmee de

trendanalyse kan worden uitgevoerd.

Na signalering van een trend door middel van trendanalyse worth een voorspelling gedaan van het toekomstige verloop van de trend, gebaseerd op de historische trend. In paragraaf 3.3 worth behandeld hoe deze

voorspelling kan worden gegeven en welke factoren invloed hebben op de kwaliteit van de voorspelling.

3.2 Trendanalyse

Doordat de te bewaken parameters niet deterministisch maar stochastisch van aard zijn is geen eenduidig onderscheid te maken tussen afwijkingen ten gevolge van stochastische invloeden en afwijkingen ten gevolge van

verstoringen van het proces. In paragraaf 2.3 werden de verschillende verstorende invloeden beschreven. In dit hoofdstuk worden een aantal technieken beschreven waarrnee op verschillende manieren een

procesverandering kan worden gesignaleerd. Deze technieken zijn

gebaseerd op eenvoudige drempeloverschrijding of uitgebreidere statistische kennis.

Een goede trendanalysetechniek voldoet aan de volgende criteria:

1 de signaleerbare verandering van pwerk is zo klein mogelijk, tenminste

kleiner dan het verschil tussen linnet en gemiddelde waarde op tijdstip

0;

2 de kans dat pwcrk Plim overschrijdt zonder signalering is klein;

3 de kans op foutieve signalering van een verandering is klein;

4 de constante systematische fout moet worden gecorrigeerd;

5 de variabele fouten warden beperkt door middeling;

6 de trendanalyse-techniek reageert voldoende snel op veranderingen van

het proces.

Bij alle methoden dient ook de variabele systematische fout in rekening te worden gebracht.

prat pdrempeli

fig.3 .1 De stochastische parameter p en de drernpelwaarden.

De afweging tussen de kans op uitblijvende signalering en de foutieve sigmalering resulteert in de te gebruiken drempelwaarde. Als deze waarde worth overschreden dient een alarmering te worden gegeven.

PP

en etoringspredictie _i9

I3 Trendanalyse- en arendpredictiemethoden

ill

Drempelbewakirig

Drempelbewalcing is een methode waarbij overschrijding van een drempel door de te bewalcen parameter wordt beschouwd als aanwijzing voor een

verstoring van de parameter. Een gangbare term hiervoor is limietbewalcing, ma& omdat het begrip limiet al wordt gebruikt voor de uiterste

acceptatiegrens van de parameter, worth in dit rapport gesproken van

drempelbewaldng. De te bewaken parameter heeft een stochasfisch lcarakter., Een parameter p (stochastische parameters worden aangegeven met een accent circonflexe) is volgens een vooralsnog onbekende

kansdichtheidsfunctie verdeeld rond zijn gemiddelde waarde up, zie figuur 3.1. De kans dat p een drempelwaarde pdrempel overschrijdt is gelijkaan a, het oppervlak onder de rechterstaart van de hnkerIcromme. Dit is de kansop een foutieve sigmalering (vals alarm). Hoe grater het verschil tussen up en

Pctrempet is, hoe ldeiner de kans a.

De rechterlcromme geeft de lcansverdeling van p als de werkelijke waarde gelijk is aan mai. Met het grater warden van het verschil tussen up en

pdrempei wordt helaas oak de kans op het niet signaleren van een storing groter, die gelijk is aan het oppervlak p onder de linkerstaart van de

rechterkromme. Voor de Egging van de drempel moet een optimum worden gevonden. Dit optimum wordt zodanig gekozen dat de kans op uitblijvende signakring klein genoeg is.. Ms daarbij de kans op een vals alarm te groot is moet de nauwkeurigheid van de parameter warden verhoogd door het aantal metingen of de kwaliteit van de metingen op te voeren.

Kansdichtheid Kansdichtheid

waamemingifftiji waarneming Oil

pp =prof =phm,

3 Trendanalyse- en trendpredictiernethoden

Het aantal foute meldingen kan worden gereduceerd door de breedte van de llokken' uit figuur 3.1 te verkleinen, ofwel door de spreiding van de waamemingen te venninderen. De spreiding ten gevolge van willekeurige verstoringen !can worden verkleind door een aantal metingen te middelen en daarvan de limieten te bewalcen, ervan uitgaande dat alle metingen onderling onafhankelijk zijn. Dit gemiddelde wordt een sample (monster) genoemd. Als N metingen worden gemiddeld neemt de standaardafwijlcing met een factor .siN at; mits de opeenvolgende metingen onafhankelijk zijn. Als de metingen wel afhankelijk zijn vindt wel reductie van de stanciaardafwijldng plaats, mar in mindere mate dan de hier aangegeven factor. Het resultaat is dat het spreidingsgebied smaller is. In tegenstelling tot willekeurige

verstoringen warden systematische verstoringen niet door middeling .gereduceerd.

De spreiding van de gemiddelde vvaarde,,acorrzem, wordy;

ncon.gern=

+AP2var.5y5t (3.1)

Apvar,syst is de i(gemiddelde) variabeIe systematische fout op het tijdstip van de-meting.

Doordat de klokken in figuur 3.1 smaller worden riemen de oppenilalcken,ii en p in grootte af.

Een nade,e1 van het middelen van metingen is dat de reactiesnelheid van het bewakingssysteem afneemt, doordat een afwijking (door een staring) in de laatste meting altijd wordt gemaskeerd door voorgaande metingen. Het aantal metingen dat worth gemiddeld moet dus in overeenstemming worden gekozen met de gewenste reactietijd van het bewalcingssysteem.

Als niet wordt gemiddeld is de spreiding van de parametenescon;

laeorr=V6ill

±AP2var,syst

3.2.2 De Run-Sum-test

Pfannenstiel ea., lit. 11 geeft de Run-Sum-test als methode om afwijkingen van de normale toestand te signaleren. De werking van de Run-Sum-test is als volgt. Het bereik van de variabele wordt in zones vercieeld die 1

standaardafwijking (a) breed zijn. De standaardafwijking, evenals de gemiddelde waarde p, wordt hierbij verondersteld bekend te zijn,

bijvoorbeeld uit berekeningen of door schatting nit eerdere metingen. cis, gelijk aan (scoff die worth berekend volgens formule 3.2.

Alle zones lcrijgen een score als weergegeven in figuur 3.2.; (3.2)

score -0

It

a

score -1

2a ---

-score -2 p. 3d

fig.32 Ha score-schema van de Run-Yumtest. Het gebied worth

naar

boven en naar benedenverder uitgebreid.

De totaalscore S (de Run-Sum) is het itotaal van de achtereenvorgende waarnemingen, volgens de telling uit figuur 3.2. Bij wisseling van het teken worth de totale som weer op nul gesteld, zodat de som alleen groeit als een aantal achtereenvolgende waamemingen aan dezelfde kant van de

gerniddelde waarde vallen. Ms een waarneming op p. valt resulteert die waamerning in een nul met hetzelfde teken als de voorgaande waarneming. Als de Run-Sum een door de ontwerper te kiezen waarde overschrijdt wordt. geconcludeerd dat de gemiddelde waarde van het proces afwijkt van de waarde p., ofwel dat zich een verandering heeft voorgedaan in hetproces.:

Ben eventuele aanpassing aan de Run Sum-test is het delen van de Run Sum door het aantal metingen nadat de laatste reset heeft plaatsgevonden.

Daardoor onstaat de Relatieve Run Sum, die niet afhankelijk is van het aantal metingen maar alleen van de grootte van de afwijking. Dit betekent dat de Relatieve Run Sum met het toenemen van het aantal metingen steeds, minder van een vaste waarde afwijkt, totdat resetting plaatsvindt. Daama begint weer een nieuwe serie optellingen, waarvan de stabiliteit toeneemt met het toenemen van het aantal meegetelde metingen. De kans op het signaleren van een verstoring is dan ook tellcens het grootst vlak nadat een reset heeft plaatsgevonden omdat daar door slingering de grootste waarden kunnen optreden. Ben mogelijk verloop van de Relatieve Run Sum voor een systematische afwijking van 2a is geschetst in figuur 3.3. Dat de waarde van de Relatieve Run Sum naar 2-0,5=1,5cr uitdempt is het gevolg van het naar beneden afronden van iedere waamerning bij het indelen in zones, de gemiddelde afronding naar beneden is 0,5a. Als naast de Relatieve Run Sum tevens de gemiddelde waarde van een aantal metingen wordt uitgezet blijkt de laatste een veel stabielere grootheid te zijn die vrij blijftvan

sprongen en een zuivere limietwaarde (2a) heeft. Om die reden heeft

middeling van een aantal metingen voordelen boven de Relatieve

Run Surn

terwijI er geen voor de hand liggende nadelen zijn.

r

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden p. + 3a score +2

Is+ Za

iscore +1

J.t+a

score +0 Trendanalyse en storingspredibtie ₂₄ C.

Ii

p.

I3Trendanalyse- en trendpredietiemethoden 2 1,5a Relatieve Run Sum Gerniddelde waarde

* de door Iserrnann gegeven schatter voor apia; is net raver, voor een zuivere schatter moet N worden vervangen door N-1

Reset Reset Reset

Tijd

Figuur 3.3. Geschetst verloop van de Relati eve Run Sum en de gemiddelde waarde bij een afwzjking van 2c.

3.2.3 Bayes beslissingscriterium

Met het Bayes beslissingscriterium wordt het proces bewaalct ten opzichte van meetresultaten uit de trainingsfase (het gezonde proces). Dit criterium wordt gegeven door Isermann, lit.5.

Gebruikte symbolen:

k -nummer van de laatste waarneming o -index voor trainingsfase

Pi -waargenomen parameter

N' -aantal waarnemingen in trainingsfase

N -aantal waarnemingen in praktijkfase

Po -a priori kans op foutloos syste,em

I -meting in nieuwstaat

II -meting in praktijktoestand

In de trainingsfase worden eenmalig de gemiddelde waarde en de standaardafwifidng geschat met de volgende schatters:

1. Het gemiddelde van N' waarnemingen in trainingsfase

0)

PI° N '

i= 1

De variantie van N' metingen in trainingsfase*:

/

°Pio = N Law

Ppio)

j=1

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

In de praktijkfase worden de volgende waarden berekend:

1. het gemiddelde van de laatste N waarnemingen:

p.pi(k) = 1 j(k-j)

j=1

de variantie van de laatste N waarnemingen toy. het gemiddelde in trainingssituatie*:

a2piI0C) [Pi(k-j) P-pior :1=1

de variantie van de laatste N waarnemingen toy. het gemiddelde in

pralctijksituatie*: de testgrootheid:

a2 (k)

02(k)

di(k) In P'" - 1 2 2 Cipie Opio

Toetsing van de testgrootheid vindt volgens Iserrnann, lit.5 als volgt plaats:

d(k)<21n ° geen verandering van pi

1-P0 N130

di(k) In verandering van pi

1-Po

Hoe de kans Po wordt afgeleid komt niet aan de orde in Isermann, lit.5. De waarde In N130/(1-Po) is zeer groot als Po dichtbij 1 ligt en kleiner dan nul als P0<1/(N+1), zie figuur 3.4.

41100

= ,pi(k_j) _ J.1

en storingspredictie ₂₃

=

I3

Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

In NID0/(1-P0)

Inn

0 _{1/N-1-1 1/2 1 Po}

fig.3.4.Relatie tussen de kans Po en her Bayes-criteritun

Een gezond systeem betekent dat de waarde di(k) dicht bij null ligt, want doordat de sigma-waarden onder en boven de steep ongeve-er gelijk zijn

staat er:

di(k) 1 - In 1 -1 =0

Een afwijking in de parameter pi(k) resulteert in het toenemen van de beide sigma-verhoudingen zodat di(k) groter dan 0 worth.

Bij bewaking volgens het Bayes-beslissingscriterium wordt geen rekening gehouden met de variabele systematische fout, zodat het optreden daarvan tot een alarmering zal leiden. Een mogelijke correctie daarvoor zou

verruiming van het criterium kunnen zijn, maar dat heeft negatieve gevolgen voor de kwaliteit van de bewaking.

De hier vermelde gegevens over het Bayes-criterium zijn niet compleet, doordat het niet is gelukt er meer inforrnatie over te vinden in de literatuur. Orndat gekozen is voor andere methoden is Met meer inspanning in het Bayers-criterium gestoken.

3.2.4 De two-random-sample-t-test

In Pfannenstiel ea., lit. 11 worth de two-random-sample-t-test gegeven om het gemiddelde van twee onafhankelijke variabelen te vergelijken. De variabelen pi en p2 hebben een geschat gemiddeldelli en een geschatte variantie

Er worth een nieuwe variabele t* ingevoerd,

t*

{^2 ^21

01 CY2

Ni N2

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Deze variabele heeft bij benadering een t-distributie met het aantal vrijheidsgraden f: 1 C2 (1 - C) N1 - 1 _{N2 -} 1 (71 C= N1

"2

GI ₊ N1-1 N2-1

Als het systeem gezond is voldoet de parameter t* aan de t-verdeling met f vrijheidsgraden. Het verwerpen van deze aanname staat gelijk aan

concluderen dat zich een afwijking in het systeem voordoet. Er wordt een drempelwaarde tf.ar2 gedefinieerd, zoals getoond is in figuur 3.5.

en storingspredictie ₂₅

t f,a./2 0 tf,1-ce2 t f

IIIPP-fig.3_5 Drenzpelwaarden bij een t-verdeelde variabele

Nu geldt dat P(tf _tf,cc/2) = a/2of

P(tf,a/2 _ctf,1_af2) =1-a, dit is het symmetrisch tweezijdig begrensd

acceptatiegebied.

De waarde a is de kans dat een vals alarm worth gegeven.

Als t* nu een van beide drempelwaarden overschrijdt is de conclusie dat de metingen duiden op een verandering van de verschilwaarde - De two-random-sample-t-test kan dus worden toegepast op twee variabelen die een

verschillende gemiddelde waarde hebben. Deze toets maalct het mogelijk om een actuele waarde te testen ten opzichte van een referentiewaarde met een verschillend gemiddelde en een verschillende spreiding.

"2

a/2

5tf

I3Trendanalyser enlrendpredictiemethoden

Als de parameter wordt genofineerd volgens paragraaf 2.2.1 is de t-verdeling te reduceren tot een Normale t-verdeling. De parameter p wordt omgezet naar de relatieve afwijking RA, zodat gRA =0. De te bewaken parameter lcrijgt de index 1 in de two-random-sample-t-test, de index 2 duidt op de bijbehorende referentiewaarde.

De parameters van de lcansverdelingen zija nu: J'i=1-1.RA

012 aRA2

112 =0 We

referentiewaarde is 0)

022 =0

(Het referentiemodel is detenninistisch dus de variantie is 0. Dat

betekent dat de spreiding in het referentiemodel wordt getransporteerd naar de actuele waartle)

Dit in de formule voor t* ingevuld geeft

t*4ga))/Tri_aRA

Uit invulling van de gegevens in de vergelijIdngen moor C en f volgt dat

C=1+1/Ni.---1 en

De Lange, lit.6 stelt dat de t-verdeling nadert naar de standaard-Normale verdeling als het aantal vrijheidsgraden voldoende groot wordt. Dit betekent dat de parameter t* aan de Normale verdeling kan worden getoetst als N/ voldoende groot is, waardoor deze test wordt gereduceerd tot het toetsen van een sample ter grootte van N1 metingen iaan de Normale verdeling met p, =0 en a=o-RA/4 Nt.

Correctie voor de variabele systematische lout is Met direct mogelijk Nide two-random-sample-t-test, zodat het zinvol wordt over te stappen op limietbewaking omdat het daarbij eenvoudig is, volgens formule 31.

3.2.5 Control charts

Een op grafische weergave gebaseerde methode voor bewalcing van procesvariabelen is het gebruik van control charts. Deze methode worth in diverse vormen toegepast waarbij de verschillen zich voordoen in de

gebruikte bewerking van de procesvariabele en het toegepaste criterium voor alarmering. In deze paragraaf worth een aantal verschillende control chart-technieken behandeld.

=

f---N1-1.

rTrendanalyse- en idendpredietiemethoden

,

3.2.5.1 Shewhart control charts

Een van de eerste uitvoeringen van de control chart was de Shewhart control chart (Himmelblau, lit.4). Uit een stochastisch proces p wordt een sample,' dat Ml zeggen her gemiddelde van een aantal opeenvolgende

waamemingen, genomen. Van de sample worth de gemiddelde waarde pg,,,, berekend. Met behulp van een schatting van de standaardafwijIdng ap en een schatting voor de gemiddelde waarde pp van het gezonde proces worden een onder- en bovendrempel

pith, en pi., =-/+ x.ap berekend die met een mate van onzekerheid

(bepaald door x) niet door p worden overschreden. Evenals in paragraaf 3.2.1 worth hier her begrip drempel gebruilct in plaats van linnet. De variabele systematische fout worth bij ap in rekening gebracht volgens, formule 3.1. Als een van de drempels worth overschreden wordt

geconcludeerd dat het proces verstoord is. Pp en ap worden bepaald uit een voldoende groot aantal waarnemingen aan het gezonde systeem. Her aantal waarnerningen beinvloedt de nauwkeurigheid van gp en ap. Verkeerde iidrempels lcunnen namelijk leiden tot een te gevoefige of tot een te late

alarmering.

De tweede gootheid die 'can worden bewaakt met de Shewhart control chart is de range R van de sample, her verschil tussen de minimale en de

maximale waarde van de sample. Het idee hierachter is dat als een grote range wont waargenotnen terwijl de metingen nog niet over de drempel gaan een procesverstoring op komst kan zijn. Her gebruilc van de range in

plaats van de standaardafwijking van de sample wordt verklaard doordat de Shewhart control chart is opgezet voor gebnific door procesoperators. Deze procesoperators konden gevoelsmatig beter met de range omgaan dan met de standaardafwijking.

In figuur 3.6' wordt een voorbeeld van een control chart gegeven nit Himmelblau, lit.4. De eerste overschrijding van de drempel voor her sarnplegemiddelde werd voorspeld door een overschrijding van de maximumwaarde door de range, latere overschrijdingen echter niet.

Gas

parraumpaon

100.0

493 Upper control lunto

990 .. 983 98.0 973 97;401. , Wrier control hm0 L 0. barn"

:20I

Till ri

[JUL

Tif 1, ILI [HI ft

IITTL,IiruI

drr

7 9 II 1 1 8 9 9 1.1 3 ; 9 9 III 7 ; 7 9 1.1

an. m. am P.M. an

rime

fig.3.6. Een typischvoorbeetd van een Shewhart control chart',

Trendanalyse en storingspredictin Lowe comrcuillmiti 27

a

2 7 0.8

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Uitbreiding van de Shewhart control chart kan bijvoorbeeld worden gedaan door de volgende criteria toe te voegen:

Twee of meer opeenvolgende waarden liggen buiten de 2a-zone; Vier of nicer punten liggen buiten de a-zone;

Acht of meer punten volgen een trend;

Acht of nicer punten liggen aan den kant van de centrale lijn. Himmelblau, lit.4 geeft een uitgebreidere behandeling van de Shewhart-methode, waarbij ook factoren worden gegeven voor de berekening van de drempelwaarden als functie van de samplegrootte.

3.2.5.2 Cumulative Sum control charts

Het bewaken van de som van achtereenvolgende waarnemingen van de (afgeleide) procesgrootheid worth toegepast in de Cumulative Sum (Cum Sum) methode (Himmelblau, lit.4).

Een voordeel van de som van achtereenvolgende waarnemingen is dat geleidelijke veranderingen beter zijn te detecteren en dat de ruis van de metingen worth uitgedempt. De volgende afgeleide grootheden komen in aanmerking om te worden toegepast in de Cum Sum methode:

de variabele;

het verschil tussen de gemeten variabele en de referentiewaarde; het verschil tussen opeenvolgende waarden;

het gemiddelde van een sample (set waarnerningen);

de range (verschil tussen minimum- en maxirnumwaarde van de sample).

In tegenstelling tot de Shewhart-methode die uitgaat van absolute drempelwaarden maakt de Cum Sum-methode voor de signalering van procesveranderingen gebruik van een masker dat zich in de tijd verplaatst. Dit masker kan fysiek uit een stuk papier worden geknipt. Met het masker worth de maximale hellingshoek 0 van de achtereenvolgende somwaarden bewaakt. Het gebruik van dit masker wordt gelllustreerd in figuur 3.7.

Ammo Of 011,, Kale Atlac.VIA Ital.. 0 0.05 Oct 003 002 COT 0 001 002 1 I l I 1 i. _

_

-II '.

-' -I-1 -..-I .1 . --I I P

.11 li

7

1

-I 1 0 5 10 15 20 25 30 Sample nsimber.

Fig.3.7. Een voorbeeld van een cumulativesum control chart.

5,.

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Alarmering treedt op als bij plaatsing van het masker op het laatste punt (P) een van de eerdere punten buiten de driehoek valt, dus onder het masker verdwijnt. In de vorm van het masker zijn de gevoeligheid en de kans op een vals alarm vastgelegd. Om de parameters d en 0 te kunnen bepalen worth in Himmelblau, lit.4 het begrip Average Run Length (ARL) geintroduceerd. Dit is het gemiddelde aantal samples dat nodig is voordat

een signalering optreedt. Er zijn twee ARL's:

ARIA is het gerniddelde a.antal samples waarna bij een gezond pieces een foutieve signalering van een afwijking plaatsvindt en ARLH is het

gemiddelde aantal samples tussen een procesverandering en een signalering van die verandering. De ARLH is afhankelijk van de grootte van de

verandering.

De eis is voor een bewalcingsmethode is dat ARLI zo groot mogelijk is en

dat ARLH z,o klein mogelijk is.

Voor de Shewhart-methode zijn deze waarden eenvoudig te berekenen int a en p, als a de kans is op alarmering bij een gezond proces en als pi de kans is op het uitblijven van een alarmering bij aanwezigheid van een afwijking van het proces. Dan geldt:

ARIA= 1/a

ARLH = 1/(1-13)

De grootte van de afwijking van het verstoorde proces is mede bepalend voor de ARLH, want als de afwijking van bet verstoorde proces ten opzichte van het gezonde proces greet is zal snel alarmering optreden terwijl een kleine verstoring pas na geruime tijd (of helemaal niet) tot detectie leidt. De grootte van de afwijking van de procesvariabele ten opzichte van het gezonde proces worth uitgedrukt in de factor k, waarin het verschil tussen de beide gemiddelden gelijk is aan ka. a is de standaardafwijking van de gezonde variabele. Als k=0, wat betekent dat het proces niet afwijkt, wordt

een ARL11 gevonden gelijk aan de ARLI.

Bepalend veer de afmetingen van het masker zijn de variabelen ARLI, ARLH en k. Tussen de geometrische variabele d en 0 van het masker bestaat de volgende empirsche relatie:

log (log ARLO = -0.5244 + 0.0398d + 1.1687 tan 6 + 1.2641 tan 0.1og d In Himmelblau, lit.4 wordt de ARLH grafisch weergegeven als functie van d, 0 en k. Met de hierboven gegeven relatie en de grafiek zijn de parameters van het toe te passen masker d en 0 af te leiden uit een gevraagde k, ARLI en.

Een variabele systematische fout !can in rekening worden gebracht door 0 te vergroten, omdat een systematische fout tot gevolg heeft dat de

opeenvolgende Cum Sum parameter onder een grotere hock daalt of stijgt. In Lucas, lit.7 worth een uitgebreide behandeling gegeven van de Cum Sum-methode.

3.2.5.3 Geometric Moving Average control charts

Een andere manier om informatie uit het verleden mee te wegen in de bewalcing is worth toegepast bij de Geometric Moving Average (GMA) control charts, als beschreven in Himmelbau, lit.4. De GMA methode werkt als volgt.

IGX=4_{, 2-w} +AP2var,syst

3.2-5.4 De Sequential Sample Technique

Een op de Cum Sum-methode gelijkende techniek is de Sequential Sampling Technique, die door Elliot en Banisoleiman, lit.2 wordt gebruilct voor trendanalyse aan een dieselmotor.

De cumulatieve testpararTheter is de verschilwaarde van de actuere

waameming en de referentiewaarde, in paragraaf 3.2.5.2 genoemd onder 2. In tegenstelling tot de Cum Sum-methode, waarbij het masker werd geplaatst op het laatste afgebeelde punt, maalct de Sequential Sampling Technique gebruik van een vast masker, met ads gevolg dat de methode niet kan worden toegepast voor continue bewaking maar slechts een conclusie kan trekken over eon tijdspanne. In figuur 3.8 is aangegeven hoe dat masker worth. geplaatst

Het verloop van lijn 1 is een voorbeeld van een gezonde parameter, het verloop van lijn 2 is een voorbeeld van een parameter die afwijkt van zijn referentiewaarde. Zodra een parameter zone 1 of 2 heeft bereikt moet worden geconcludeerd dat het proces verstoord is, terwijI het betreden van zone 3 duidt op een gezonde parameter. Bij het bereiken van een van deze zones stopt de procedure en kan een nieuwe procedure worden ingezet. Een nadeel van dew techniek is dat een batchgewijze trenddetectieprocedure moet worden doorlopen, zodat de parameter nietcontinu worth bewaalct.

I3 Trendanalyse- en itrendpredictiemethoden

II

Xi is de i-de waarneming. Uit deze waarnerning wordt een variabele.Zi afgeleid volgens de ktolgende relatie:

Zi = (I-w)Zi4 + wXi, en 4 = Xo.,

w is de weegfactor waannee de laatste meting worth betrokken

samenstelling van de testvariabele Z. Voorgaande waarden van X worden met ten hogere macht van (1-w) meegewogen, bijvoorbeeld Xj_3 telt met de factor w(1-w)3 mee in Zi. Als w gelijk is aan 1 worden oude

waarnemingen niet rileegewogen in Z en als w nulls worth de laatste meting niet gebruilct, in welk geval de waarde Z niet verandert. Een gebruikelijke waarde voor w is 0,2. Een grotere stabiliteit worth verlcregen door w verldeinen, een grotere sensitiviteit daarentegen door w te vergroten. Brown, lit.1 bespreekt de keuze van w ads functie van de ARL.

De keuze van de drempelwaarden is volgens Himmelblau, lit.4 bepaald door de grootte van w.

-/+ 3aAw/(2-wAl

Als w=1 wordt genomen, zodat alleen de laatste waarde van X meetell, blijkt dat de drempels Zmjn.mn gelijk zijn aan ito 3ax. Dit is vergelijkbaar met drempelbewaldng ads besproken in paragraaf 3.2.1, met een

onbetrouwbaarheid a van 0,273% (een veet gebruikte waarde),, uitgaande van een Normale verdeling van Xi.

Systematische fouten worden Met gertduceerd in de afgeleide parameter X, zodat de drempels daarvoor moeten wortlen aangepast. Analoog aan formule 3.2 kan de spreiding van de GMA-parameter worden berekend::

bij

te

Zinimmax =

I3Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Figuur 3.8. De Sequential Sample Technique.

De grootte van de zones wordt bepaald door de volgende factoren: De standaardafwijking a van de bewaakte parameter.

de gemiddelde afwijking e tussen de referentie- en de actuele waarde als gevolg van een systematische onnauwkeurigheid;

de kans a dat een verstoring wordt geconstateerd die niet bestaat; de kans dat een storing niet wordt gedetecteerd.

200 100 100 200 Mean 1n5.cr1 Pres,1re . (bar) raul ty tar. ( =tad Mcrz: 1 1 a= I

RUSZON 6A./.- Diesel Engine.

750 (rpm) 60 (kW/cyl). 30,. (1) A La Clan Dat.actod ( A ) :.,-,... (4) r.r :-.Ta (3) A LI LIcrs Drt.ac_od . t 0 10 20 30 Nuther cf Sarrcl n 14.161wry en storingspredictie 31 ( -=Pre LI !cr.. C]) Mc, dor, La r-to, - Darcac-_acl I .

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Met deze gegevens is de gerniddelde tijd te berekenen die nodig is om tot een beslissing te komen. Hoe de verschillende parameters invloed hebben op de ligging van de zones kwalitatief weergegeven in figuur 3.9.

E(p-Pref)

Figuur 3.9. Vorming van de zones van de Sequential Sample Technique. De breedte van de onbepaalde zone nr.4 wordt beInvloed door de grootte van a, a en 0. Het is duidelijk dat een brede zone leidt tot een groot aantal waarnemingen voordat een conclusie kan worden getrokken, zodat het wenselijk is dit gebied zo smal mogelijk te maken. Dat betekent dat de spreiding van de metingen a zo klein mogelijk_{en de warden a en 0 zo} groot mogelijk moeten zijn. Deze laatste eis conflicteert met het belangvan

een goede diagnose, waarvoor geldt dat a en 0 minimaal moeten zijn. Evenals voor de Cum Sum methode geldt voor de Sequential Sample Technique dat een systematsche fout in rekening kan worden gebracht door de hoek e te vergoten.

3.2.6 Afweging trendanalysetechnieken

De in dit hoofdstuk besproken technieken hebben alle voor- en nadelen waardoor het niet direct mogelijk is een keuze te maken voor een techniek. Len belangrijk criterium voor het maken van een keuze zijn de in paragraaf

3.2.5.2 besproken ARIA en ARLH-waarden, het gemiddelde aantal metingen tot alarmering bij respectievelijk geen en wel een verstoring.

Zone11 e 4

Zone 3

Zone.3

I3 Trendanalyse- en uendpredictiemethoden

Bij een goede methode is de eerste waarde zo groot mogelijk en de tweede zo klein mogelijk. In Himmelblau, lit.4 is voor verschillende afwijkingen tussen de onverstoorde en de verstoorde parameter de ARL11-waarde gegeven, voor alle genoemde methoden uitgezonderd de sequential sample technique. De grootte van de afwijking wordt uitgedrukt in de absolute grootte gedeeld door de standaanlafwijking, de factor k. De ARLI-waarde is

gelijk aan de AR.141-waarde voor k=-0, omdat het foutief signaleren van een afwijking bij een gezond systeem (bepalend voor de ARLO gelijk staat aan het correct signaleren van een afwijking bij een verstoord systeem met verstoring 0 (bepalend voor de ARLE bij k=0). Voor alle technieken wordt als uitgangspunt een gelijke ARLI-waarde genomen (740), zodat een minimale ARLll-waarde dient te worden gerealiseerd. Daarrnee is de kans op een vals alarm (a) voor alle technieken gelijk aan 11740.

De volgende tests zijn door Himmelblau uitgevoerd:

I.

Shewhart Xgem-test (de range wordt niet getest) aangevuld met het criterium `acht of meer aan ten zijde'. Signalering van een verstoring vindt dus plaats als de drempel wordt overschreden door X em of als 8 waarnemingen aan dezelfde z:ijde van het gemiddeld vallen. De drempel wordt zo gekozen dat ARLI=740

De Run Sum-test. Alarmering volgt als de Run Sum een bepaalde waarde overschrijdt. De alarmwaarde wordt gekozen zodat ARLI=740. Het Geometric Moving Average, w-=0,25. Als het GMA een drempel overschrijdt treedt alarmering op. De drempel wordt zo gekozen dat ARL1=740.

Shewhart Xgem (de range wordt niet getest) aangevuld met GMA. Combinatie van 1 en 3. De drempel voor Xgem en het GMA worden

gekozen zodat ARLI=740.

Cumulative Sum, samplegrootte = 5. Het masker wordt zo gekozen dat ARLI=740.

Bij deze tests is voor k=0 tot 3 gegeven na hoeveel metingen gemiddeld signalering van een storing optreedt. De waarde voor kOgeeft het aantal metingen totdat een alarm optreedt bij een gezond proces, dus een vals alarm. Alle detectiemethoden zijn zodanig afgesteld dat de ARIA-waarden gelijk zijn. Een goede methode heeft een klein aantal metingen nodig voordat een alarmering optreedt bij k>0.

Grootte van de relatieve afwijlcing k:

Uit deze gegevens blijkt dat de GMA-methode (3) en de combinatie van Shewhart en GMA (4) goed presteren. De Cumulative Sum (5) presteen goed bij kleine afwijkingen maar minder goed bij grote.

In het algemeen kan worden gesteld dat het verschil tussen de methoden niet opzienbarend is. test 0 0.5 1 2 3 nr. 1. 740 79 19 4.4 1.9 2. 740 50 12 3.8

2.4

3. 740 40 10 3.5 2.2 4. 740 50 12 3.3 1.7 5. 740 34 10 4.3 2.9 en storingspredictie 33 2. 3. 4. 5..

I3 Trendanalyse- en trendpredictiemethoden

Voor- en nadelen van alle methoden

In de hier volgende opsornming alle voor - en nadelen van de verschillende methoden genoemd, teneinde een goal beargumenteerde keuze te kunnen rnaken.

Drempelbewaking

Voordelen:

Eenvoudig -Inzichtelijk

-Stabieler te malcen door rniddeling

Systematische fout eenvoudig te verrekenen

Nadeel:

Geen bewaking standaardafwijking Run-Sum test

Voordelen: -Eenvoudig

-Inzichtelijk

Nadelen:

-Door klasseindeling gaat informatie verloren

Invloed drempelkeuze op kwaliteit bewalcing niet duidelijk -Systematische fout niet eenvoudig te verrekenen

Bet Bayes-criteri um

Voordeel:

-Bewaking 4 en a Nadelen:

-Bepaling a priori faaLkans noodzakelijk Niet inzichtelijk

-Systematische fout niet eenvoudig te verrekenen De Two-Random-Sample-t-test:

Voordelen:

-Bewalcing van p. en a

-Mogelijkheid vergelijken variabelen met verschillende p en a

Nadeel:

Meer berekeningen vereist dan limietbewaking Systematische fout niet eenvoudig te verrekenen De Shewhart X & R-control chart:

Voordelen:

-Aanvulling ten opzichte van limietbewaking Inzichtelijk

Systematische fout is eenvoudig te verrekenen

Nadeel: