wykład 5.

(1)

PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI PODSTAWY INFORMATYKI

wykład 5.

Adrian

Adrian Horzyk Horzyk

Web:

Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/http://home.agh.edu.pl/~horzyk/

E

E--mail: mail: horzyk@agh.edu.plhorzyk@agh.edu.pl E

E--mail: mail: horzyk@agh.edu.plhorzyk@agh.edu.pl Google: Adrian

Google: Adrian HorzykHorzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Gabinet: paw. D13 p. 325

Akademia Górniczo

Akademia Górniczo--Hutnicza w KrakowieHutnicza w Krakowie WEAIiE

WEAIiE, Katedra Automatyki, Katedra Automatyki http://www.agh.edu.pl http://www.agh.edu.pl Mickiewicza Av. 30, 30

Mickiewicza Av. 30, 30--059 059 CracowCracow, Poland, Poland

(2)

Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie

Efektywność różnych działań zwykle wzrasta, gdy dane, na których pracujemy są w pewien sposób uporządkowane (posortowane).

Zbiór posortowany to taki zbiór, w którym kolejne elementy są poukładane w pewnym porządku (kolejności), który określamy za pomocą pewnej relacji

Wykład 5. Strona Wykład 5. Strona Wykład 5. Strona Wykład 5. Strona 2222....

PODSTAWY INFORMATYKI, Adrian Horzyk, http://home.agh.edu.pl/~horzyk

(kolejności), który określamy za pomocą pewnej relacji porządkowej (np. <, <=, >, >=), która jednoznacznie wyznacza kolejność elementów w zbiorze.

Możemy mówić o:

porządku rosnącym: D = {1,2,2,4,4,5,6,8,8,9}

porządku malejącym: D = {9,8,8,6,5,4,4,2,2,1}

(3)

Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowaniePorządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie Porządek, uporządkowanie, kolejność i sortowanie

Sortowanie jest to proces układania elementów zbioru w kolejności wg pewnego porządku, czyli ma zatem prowadzić do znalezienia odpowiedniej permutacji elementów zbioru nieuporządkowanego, aby w wyniku tego działania spełniały założony porządek.

Sortować możemy cokolwiek (liczby, znaki, ciągi znaków, kolory, obrazy…) jeśli tylko wyznaczona jest relacja porządkująca te elementy.

elementy.

Sortowanie stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. Sortowanie jest bardzo powszechnym działaniem w wielu różnych dziedzinach.

Sortowane są obiekty w listach płac, książka telefonicznych i adresowych, w bibliotekach, słownikach, magazynach i wszędzie tam, gdzie występuje potrzeba szybkiego przeszukiwania i dostępu do składowanych obiektów.

(4)

Podział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowania

Wybór algorytmu sortowania zależny jest od wykorzystywanej struktury danych, złożoności pamięciowej, zachowania kolejności elementów o tej samej wartości:

Sortowanie wewnętrzne (tablic, które są przechowywane w szybkiej, o dostępie swobodnym „wewnętrznej” pamięci komputerów – zwykle RAM) Sortowanie zewnętrzne (plików sekwencyjnych, które są zazwyczaj przechowywane w wolniejszej pamięci „zewnętrznej” z dostępem bezpośrednim tylko do wierzchu każdej sterty danych).

Sortowanie stabilne - zachowują kolejność elementów o równych

Sortowanie stabilne - zachowują kolejność elementów o równych wartościach. Oznacza to, że elementy o równych wartościach będą

występowały w tej samej kolejności w zbiorze posortowanym, w jakiej występowały w zbiorze nieposortowanym. Jest to istotne w sytuacji, gdy nie chcemy, żeby elementy o równych wartościach klucza zmieniały swoje względne położenie, np. pracując na rekordach baz danych.

Sortowanie niestabilne - kolejność wynikowa elementów o równych

wartościach jest nieokreślona, czyli względne uporządkowanie elementów o równych wartościach zwykle nie zostaje zachowane.

(5)

Podział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowaniaPodział algorytmów sortowania Podział algorytmów sortowania

Wybór algorytmu sortowania zależny jest od wykorzystywanej struktury danych, złożoności pamięciowej, zachowania kolejności elementów o tej samej wartości:

Sortowanie w miejscu (in place) - wymagają stałej liczby dodatkowych

struktur danych, która nie zależy od liczby elementów sortowanego zbioru danych (ani od ich wartości). Dodatkowa złożoność pamięciowa jest zatem klasy O(1). Sortowanie odbywa się wewnątrz zbioru. Ma to bardzo istotne znaczenie w przypadku dużych zbiorów danych, gdyż mogłoby się okazać, iż posortowanie ich nie jest możliwe z uwagi na brak pamięci w systemie.

iż posortowanie ich nie jest możliwe z uwagi na brak pamięci w systemie.

Sortowanie nie w miejscu - wymagają zarezerwowania w pamięci dodatkowych obszarów, których wielkość jest uzależniona od liczby sortowanych elementów lub od ich wartości. Tego typu algorytmy są zwykle bardzo szybkie w działaniu, jednakże okupione to jest

dodatkowymi wymaganiami na pamięć. Zatem w pewnych sytuacjach może się okazać, iż taki algorytm nie będzie w stanie posortować dużego zbioru danych, ponieważ system komputerowy nie posiada wystarczającej ilości pamięci RAM.

(6)

Ocena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowania

Ciech sortowanie będzie działaniem na obiektach a₁, a₂, ..., a_n i polega na takim ponumerowaniu tych obiektów a_k1, a_k2, ..., a_kn, że dla dla zdanej funkcji porządkującej f spełniona jest: f(a_k1) ≤ f(a_k2) ≤ ... ≤ f(a_kn). Często obiekty rzeczywiste a_i sortowane są według pewnego określonego klucza służącego identyfikacji obiektów, które zdefiniujemy sobie następująco:

type obiekt = record

klucz: integer;

{deklaracje innych składowych}

end

gdzie „inne składowe” reprezentują właściwe dane dotyczące obiektu.

(7)

Ocena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowaniaOcena efektywności algorytmów sortowania Ocena efektywności algorytmów sortowania

Do najważniejszych kryteriów oceny jakości metod sortowania należą:

złożoność pamięciowa - ilość potrzebnej pamięci (oszczędność pamięci)

złożoność czasowa – ilość potrzebnych operacji:

liczba koniecznych porównań kluczy

liczba koniecznych przesunięć/przestawień obiektów.

Dobre algorytmy sortowania wymagają porównań rzędu: n log n.

Metody proste wymagają zazwyczaj porównań rzędu: n². Do dużych zbiorów danych stosujemy metody skomplikowane o złożoności obliczeniowej O(n log n), jednak dla dostatecznie małych n metody proste są często bardziej efektywne ze względu na swoją prostotę. Istnieją też algorytmy o złożoności O(n) przy dodatkowych warunkach!

(8)

Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe (

Sortowanie bąbelkowe (BubbleBubbleBubbleBubbleBubble Sort)BubbleBubbleBubble Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

Sortowanie bąbelkowe (przez zamianę) polega na cyklicznym porównywaniu par sąsiadujących elementów (bąbelków) oraz zmianie ich kolejności w przypadku niespełnienia relacji

porządkującej pomiędzy nimi. Operację tą powtarzamy, dopóki cały zbiór nie zostanie posortowany.

Złożoność obliczeniowa algorytmu sortowania bąbelkowego O(n²):

Po = (n²-n)/2 Pr_min = 0 Pr_śr= 3*(n²-n)/4 Pr_max= 3*(n²-n)/2 Sortowanie stabilne, w miejscu, wewnętrzne.

(9)

Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe ( Sortowanie bąbelkowe (Sortowanie bąbelkowe (

Sortowanie bąbelkowe (BubbleBubbleBubbleBubbleBubble Sort)BubbleBubbleBubble Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

(10)

Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji

Algorytm sortowania bąbelkowego w każdym obiegu przepycha element maksymalny na koniec, wobec czego nie ma sensu sprawdzać takich

elementów. Ponadto wykonuje dwa rodzaje operacji: test bez i z zamianą

miejsc elementów. Można zatem wyeliminować te operacje, które nie dokonują zamianę, a ponadto brak zamian w danym obiegu oznacza możliwość

zakończenia algorytmu sortowania.

(11)

Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z jednostronnym pominięciem pustych operacji

(12)

Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji

Ponadto algorytm sortowania bąbelkowego dokonuje niepotrzebnych

sprawdzeń już posortowanych elementów na początku tablicy, biorąc pod uwagę, iż elementy mniejsze w porównywanym bąbelku mogą zostać

przepchnięte maksymalnie o 1 pozycję wstecz.

(13)

Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacjiSortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji Sortowanie bąbelkowe z dwustronnym pominięciem pustych operacji

(14)

Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie (

Sortowanie przez wstawianie (InsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertion Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

Algorytm ten można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Kolejne brane karty porównujemy z kartami już ułożonymi, które trzymamy w ręce i szukamy dla niej odpowiedniego miejsca, gdzie ją wkładamy rozsuwając pozostałe karty.

Sortując w tablicy na jednym końcu (zwykle z tyłu) jest posortowana część zbioru, która sukcesywnie rozrasta się do całej tablicy.

Złożoność obliczeniowa algorytmu sortowania przez wstawianie O(n²):

Po_min = n – 1 Po_śr= (n²+ n – 2)/4 Po_max= (n²+ n)/2 – 1 Pr_min= 2(n-1) Pr_śr= (n²+ 9n – 10)/4 Pr_max = (n²+ 3n - 4)/2 Sortowanie stabilne, w miejscu, wewnętrzne.

(15)

Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie ( Sortowanie przez wstawianie (Sortowanie przez wstawianie (

Sortowanie przez wstawianie (InsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertion Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

(16)

Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe (

Sortowanie przez wstawianie połówkowe (BinaryBinaryBinaryBinaryBinary InsertionBinaryBinaryBinary Insertion Sort)InsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertion Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

W tej wersji algorytmu wykorzystano fakt, iż elementy są posortowane w przedziale, gdzie wstawiany jest kolejny element, wobec czego można zastosować szybszy algorytm

„dziel i zwyciężaj” do odnalezienia miejsca wstawienia tego elementu.

Złożoność obliczeniowa algorytmu sortowania przez wstawianie O(n²):

Po = log₂1 + log₂2 + ... + log₂n ≈ n(log n – c) + c; gdzie c = 1/ln 2 = 1,44 Pr_min= 2(n-1) Pr_śr= (n²+ 9n – 10)/4 Pr_max = (n²+ 3n - 4)/2

Sortowanie stabilne, w miejscu, wewnętrzne.

(17)

Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe ( Sortowanie przez wstawianie połówkowe (Sortowanie przez wstawianie połówkowe (

Sortowanie przez wstawianie połówkowe (BinaryBinaryBinaryBinaryBinary InsertionBinaryBinaryBinary Insertion Sort)InsertionInsertionInsertionInsertionInsertionInsertion Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

(18)

Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie (

Sortowanie przez wybieranie (SelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelection Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

Jeśli zbiór sortujemy rosnąco, najmniejszy element powinien znaleźć się na pierwszej pozycji, wobec czego szukamy najmniejszy element w ciągu jeszcze nieposortowanym i zamieniamy go z elementem na pierwszej pozycji. W ten sposób element z pierwszej pozycji znajdzie się na pozycji najmniejszego elementu. Z pozostałego przedziału nieposortowanych elementów wybieramy następny najmniejszy element itd.

Złożoność obliczeniowa algorytmu sortowania przez wybieranie O(n²):

Po = (n²-n)/2 Pr_min = 3(n-1) Pr_śr= n(ln n+γ) gdzie γ=0,577216 jest stałą Eulera Pr_max= trunc(n/4)²+ 3(n-1) Sortowanieniestabilne, w miejscu, wewnętrzne.

(19)

Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie ( Sortowanie przez wybieranie (Sortowanie przez wybieranie (

Sortowanie przez wybieranie (SelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelectionSelection Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)Sort)

(20)

Literatura i bibliografia:

Literatura i bibliografia:Literatura i bibliografia:

Literatura i bibliografia:

Algorytmy sortujące: http://www.i-lo.tarnow.pl/edu/inf/alg/algsort/index.html

Algorytmy sortujące: http://www.home.umk.pl/~abak/wdimat/s/Index.html

L. Banachowski, K. Diks, W. Rytter: „Algorytmy i struktury danych”, WNT, Warszawa, 2001

Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski, „Metody numeryczne”, WNT, Warszawa, 1993.

K. Jakubczyk, „Turbo Pascal i Borland C++”, Wydanie II, Helion, 2006.

J. i M. Jankowscy, „Przegląd metod i algorytmów numerycznych”, WNT, Warszawa, 1988.

A. Kiełbasiński, H. Schwetlick, „Numeryczna algebra liniowa”, WNT, Warszawa 1992.

A. Kierzkowski, „Turbo Pascal. Ćwiczenia praktyczne.”, Helion 2006.

K. Koleśnik, „Wstęp do programowania z przykładami w Turbo Pascalu”, Helion,

M. Sysło: „Elementy Informatyki”.

A. Szepietowski: „Podstawy Informatyki”.

R. Tadeusiewicz, P. Moszner, A. Szydełko: „Teoretyczne podstawy informatyki”.

W. M. Turski: „Propedeutyka informatyki”.

N. Wirth: „Wstęp do programowania systematycznego”.

N. Wirth: „ALGORYTMY + STRUKTURY DANYCH = PROGRAMY”.