Algebry Boole’a, elementy logiki, krótko o rachunku różnicowym

Algebry Boole’a,

elementy logiki, krótko o rachunku różnicowym

Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków

UTP Bydgoszcz

15

Elementy logiki.

negacja, implikacja, alternatywa, koniunkcja, równoważność

W logice klasycznej każde zdanie może przyjąć jedną z dwóch wartości logicznych: ”prawda” (oznaczana ”1”) albo ”fałsz” (oznaczany ”0”).

p ¬p

0 1

1 0

p q p ⇒ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

p q p ∨ q ¬p ⇒ q

0 0 0 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

p q p ∧ q ¬(p ⇒ ¬q)

0 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

p q p ⇔ q (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

1 1 1 1

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 2 / 45

Elementy logiki: formuły zdaniowe

Definicja:

1 zmienna zdaniowa jest formułą;

2 jeśli ϕ oraz ψ są formułami, to (ϕ ⇒ ψ) jest formułą;

3 jeśli ϕ jest formułą, to ¬ϕ jest formułą;

4 cokolwiek, czego nie da się skonstruować stosując kroki 1,2,3 nie jest formułą.

Przykład. Zmienne zdaniowe to p oraz q.

p ⇒ ¬ nie jest formułą;

¬(¬p ⇒ ¬q) jest formułą;

alternatywa, koniunkcja oraz równoważność zmiennych zdaniowych jest formułą.

Elementy logiki: reguła dowodzenia

Reguła odrywania (reguła modus ponens):

jeżeli zadaniem prawdziwym jest p ⇒ q oraz zdaniem prawdziwym jest p, to zdaniem prawdziwym jest q.

Definicja.

Ciąg formuł φ0, φ1, . . . , φn jest dowodem formuły ξ wtedy i tylko wtedy, gdy

φ_n jest formułą ξ;

dla każdego k ¬ n albo formuła φ_k jest aksjomatem, albo formuła φ_k jest wynikiem reguły odrywania zastosowanej do formuł φ_i, φ_j dla pewnych i , j < k.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 4 / 45

Elementy logiki: aksjomaty

Aksjomaty klasycznego rachunku zdań:

(φ ⇒ (ψ ⇒ φ)) (”aksjomat K ”);

(φ ⇒ (ζ ⇒ ψ)) ⇒ ((φ ⇒ ζ) ⇒ (φ ⇒ ψ)) (”aksjomat S ”);

(¬φ ⇒ ψ) ⇒ ((¬φ ⇒ ¬ψ) ⇒ φ) (”dowód nie wprost”).

Elementy logiki: reguła dowodzenia

Przykład.

Udowodnij, że p ⇒ p.

Zaczniemy od ”aksjomatu S”:

(p ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ p))⇒((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇒ p)).

Z ”aksjomatu K”

p ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ p).

Stosując regułę odrywania dla tych dwóch formuł otrzymamy (p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇒ p).Z ”aksjomatu K”

p ⇒ (q ⇒ p).

Stosując regułę odrywania dla tych dwóch formuł otrzymamy p ⇒ p.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 6 / 45

Elementy logiki: reguła dowodzenia

Przykład.

Udowodnij, że p ⇒ p.

Zaczniemy od ”aksjomatu S”:

(p ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ p)) ⇒ ((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇒ p)).

Z ”aksjomatu K”

p ⇒ ((q ⇒ p) ⇒ p).

Stosując regułę odrywania dla tych dwóch formuł otrzymamy (p ⇒ (q ⇒ p))⇒(p ⇒ p).

Z ”aksjomatu K”

p ⇒ (q ⇒ p).

Stosując regułę odrywania dla tych dwóch formuł otrzymamy

Matryce boolowskie

W przypadku skończonej ilości zbiorów i funkcji, klasyczny rachunek zdań możemy definiować używając zbioru B = {0, 1} przyjmując 1 za wartość prawdy i definiując negację oraz implikację następująco:

p ¬p

0 1

1 0

p q p ⇒ q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Definicja.

Wartościowaniem nazywamy funkcję v przypisującą zmiennym zdaniowym oraz formułom wartości ze zbioru B.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 8 / 45

Wartościowanie

Przykład.

Jeżeli

v (p) = 0, v (q) = 1, v (s) = 1, to

v (p ⇒ q) = 1, v (q ⇒ p) = 0, v (¬(q ⇒ p)) = 1, v ((q ⇒ p) ⇒ s) = 1, v ((p ⇒ q) ⇒ s) = 1.

Tautologie

Definicja.

Tautologia to formuła, która przyjmuje wartość 1dla każdego wartościowania formuł zdaniowych.

Przykład. p ⇒ p, (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p).

p p p ⇒ p

0 0 1

1 1 1

p q p ⇒ q ¬q ⇒ ¬p (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p)

0 0 1 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

Twierdzenie (Post).

Formuła jest twierdzeniem klasycznego rachunku zdań wtedy i tylko wtedy, gdy jest tautologią.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 10 / 45

Drzewo analizy składniowej (PT, parse tree)

Obserwacja. Formułę zdaniową możemy rozłożyć na prostsze formuły i przedstawić w postaci drzewa.

Przykład. Drzewo analizy składniowej dla formuły ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

⇒

∧ ∨

∨ ∨ ¬ ¬

p s

¬ q p ¬

Interpretacja formuły zdaniowej

Obliczymy teraz wartość formuły zdaniowej ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

jeśli v (p) = 1, v (q) = 1, v (s) = 0.

⇒

∧ ∨

∨ ∨ ¬ ¬

p s

1 0

¬ q p

1 1

¬

p s

1 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 12 / 45

Interpretacja formuły zdaniowej

Obliczymy teraz wartość formuły zdaniowej ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

jeśli v (p) = 1, v (q) = 1, v (s) = 0.

⇒

∧ ∨

∨ ∨ 0 ¬ ¬ 1

p s

1 0

0 ¬ q p

1 1

1 ¬

p s

Interpretacja formuły zdaniowej

Obliczymy teraz wartość formuły zdaniowej ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

jeśli v (p) = 1, v (q) = 1, v (s) = 0.

⇒

∧ ∨ 1

∨ ∨

1 1 0 ¬ ¬ 1

p s

1 0

0 ¬ q p

1 1

1 ¬

p s

1 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 14 / 45

Interpretacja formuły zdaniowej

Obliczymy teraz wartość formuły zdaniowej ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

jeśli v (p) = 1, v (q) = 1, v (s) = 0.

⇒

1 ∧ ∨ 1

∨ ∨

1 1 0 ¬ ¬ 1

p s

1 0

0 ¬ q p

1 1

1 ¬

p s

Głębokość tej formuły to 4

Obliczymy teraz wartość formuły zdaniowej ((¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬s)) ⇒ (¬p ∨ ¬s)

jeśli v (p) = 1, v (q) = 1, v (s) = 0.

1 ⇒

1 ∧ ∨ 1

∨ ∨

1 1 0 ¬ ¬ 1

p s

1 0

0 ¬ q p

1 1

1 ¬

p s

1 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 16 / 45

Algebry Boole’a

Definicja.

Algebrą Boole’a nazywamy zbiór A z:

dwoma działaniami dwuargumentowymi

∧ (zwanym iloczynem, oznaczanym także ∩)

∨ (zwanym sumą, oznaczanym także ∪), z działaniem jednoargumentowym ¬

(zwanym dopełnieniem, oznaczanym także ⁰)

z dwoma wyróżnionymi różnymi elementami 0 oraz 1, spełniającymi następujące prawa:

Algebra Boole’a

dla dowolnych p, q, r ∈ A:

[b1] p ∨ q = q ∨ p (przemienność sumy) [b2] p ∧ q = q ∧ p (przemienność iloczynu) [b3] p ∨ (q ∨ r ) = (p ∨ q) ∨ r (łączność sumy) [b4] (p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r ) (łączność iloczynu) [b5] (p ∨ q) ∧ r = (p ∧ r ) ∨ (q ∧ r )

(rozdzielność mnożenia względem dodawania) [b6] (p ∧ q) ∨ r = (p ∨ r ) ∧ (q ∨ r )

(rozdzielność dodawania względem mnożenia) [b7] p ∨ 0 = p

[b8] p ∧ 1 = p [b9] p ∨ ¬p = 1 [b10] p ∧ ¬p = 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 18 / 45

Algebra Boole’a

Obserwacja.

Możemy zamienić 0 z 1 i jednocześnie zamienić ∨ z ∧ i otrzymamy znowu algebrę Boole’a.

Przykład 1.

Algebrą Boole’a jest zbiór B = {0, 1} z

dodawaniem (∨), mnożeniem (∧) i dopełnieniem (¬) zdefiniowanymi tak^∗: p q p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p ∧ q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

p ¬p

0 1

1 0

∗ jak na logice Obserwacja.

Możemy też działania w zbiorze B zdefiniować następująco:

p ∨ q = max(p, q), p ∧ q = min(p, q),

¬p = 1 − p.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 20 / 45

Przykład 2.

Algebrą Boole’a jest zbiór 2^X (zbiór podzbiorów zbioru X ) z działaniami zdefiniowanymi tak:

A ∨ B = A ∪ B (“zwykła” suma zbiorów) A ∧ B = A ∩ B (“zwykły” iloczyn zbiorów)

¬A to uzupełnienie (dopełnienie) zbioru (do zbioru X ), czyli

¬A = X \ A 1 to X 0 to ∅

Przykład 3.

Algebrą Boole’a jest zbiór Bⁿ= B × · · · × B z działaniami pochodzącymi z działań w B:

(a₁, a₂, . . . , a_n) ∧ (b₁, b₂, . . . , b_n) = (a₁∧ b₁, a₂∧ b₂, . . . , a_n∧ b_n), (a1, a2, . . . , an) ∨ (b1, b2, . . . , bn) = (a1∨ b₁, a2∨ b₂, . . . , an∨ b_n),

¬(a₁, a2, . . . , an) = (¬a1, ¬a2, . . . , ¬an).

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 22 / 45

Przykład 4.

Niech S będzie dowolnym zbiorem.

Algebrą Boole’a jest zbiór funkcji f : S → B z działaniami zdefiniowanymi nastepująco:

(f ∨ g )(x ) = f (x ) ∨ g (x ), (f ∧ g )(x ) = f (x ) ∧ g (x ), (¬f )(x ) = ¬(f (x )).

Algebra Boole’a

Twierdzenie.

W każdej algebrze Boole’a A spełnione są następujące prawa.

Dla dowolnych p, q ∈ A

[b11] p ∨ p = p (prawo idempotentności) [b12] p ∧ p = p (prawo idempotentności) [b13] p ∨ 1 = 1

[b14] p ∧ 0 = 0

[b15] (p ∧ q) ∨ p = p (prawo pochłaniania) [b16] (p ∨ q) ∧ p = p (prawo pochłaniania)

[b17] ¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q) (prawo De Morgana) [b18] ¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q) (prawo De Morgana)

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 24 / 45

Relacja częściowo porządkująca

Definicja.

W algebrze Boole’a A definiujemy relację ¬ następująco.

Dla dowolnych p, q ∈ X :

p ¬ q wtedy i tylko wtedy, gdy p ∨ q = q.

Fakt.

Jest to relacja częściowo porządkująca, gdyż jest:

1 zwrotna: p ¬ p

2 antysymetryczna: jeślip ¬ q iq ¬ p, to p = q

3 przechodnia: jeśli p ¬ q i q ¬ z, to p ¬ z.

Zwrotność jest konsekwencją prawa [b11].

Antysymetryczność: q = p ∨ q=q ∨ p = p.

Relacja

<

Definicja.

Relację < definiujemy następująco:

p < q wtedy i tylko wtedy, gdy p ¬ q oraz p 6= q.

Obserwacja.

Relację ¬ możemy też zdefiniować używając działania ∧, gdyż p ∨ q = q wtedy i tylko wtedy, gdy p ∧ q = p.

Uzasadnienie.

Z prawa pochłaniania

p = (p ∨ q) ∧ p =q∧ p = p ∧ q.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 26 / 45

Atomy

Definicja.

Atomem w algebrze Boole’a nazywamy każdy niezerowy element a, którego nie można przedstawić w postaci a = b ∨ c, gdzie a 6= b i a 6= c (elementu a nie można przedstawić jako sumy elementów różnych od a).

Przykład.

Jedynym atomem w algebrze B jest 1 (atom to niezerowy element).

Przykład.

W algebrze 2^X atomami są zbiory jednoelementowe (każdy zbiór C mający więcej elementów można zapisać jako (C \ {a}) ∪ {a} dla a ∈ C ).

Fakt.

Niezerowy element a w algebrze Bolle’a A jest atomem wtedy i tylko

Atomy

Twierdzenie.

Każdy niezerowy element a skończenie elementowej algebry Boole’a może być przedstawiony (z dokładnością do kolejności dodawania) jako suma różnych atomów tej algebry.

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 28 / 45

Funkcje boolowskie

Definicja.

n-argumentową funkcją boolowską nazywamy funkcję f : Bⁿ→ B.

Zbiór wszystkich takich funkcji oznaczymy przez BOOL(n).

Jak wiemy z przykładu 4,BOOL(n) jest algebrą Boole’a.

Fakt. kBOOL(n)k = 2²ⁿ.

Uzasadnienie. Moc zbioru B to 2, moc zbioru Bⁿ to 2ⁿ, więc wszystkich funkcji f : Bⁿ → B jest2²ⁿ.

Przykład. kBOOL(2)k = 16.

x y f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15

0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

Wyrażenia boolowskie

Definicja.

Wyrażenie boolowskie n zmiennych x₁, . . . , x_n definiujemy rekurencyjnie:

1 Symbole 0, 1, x1, x2, . . . , xn są wyrażeniami boolowskimi zmiennych x₁, . . . , x_n.

2 Jeśli B1, B2 są wyrażeniami boolowskimi zmiennych x1, . . . , xn, to (B₁∨ B₂), (B₁∧ B₂) oraz ¬B₁ też są wyrażeniami boolowskimi zmiennych x1, . . . , xn.

Inaczej mówiąc, wyrażenie boolowskie zmiennych x1, . . . , xn to wyrażenie, które powstało z tych zmiennych, z 0 oraz z 1 za pomocą skończonej liczby operacji dodawania, mnożenia i dopełnienia.

Przykład. Wyrażeniem boolowskim trzech zmiennych x , y , z jest ((x ∧ y ) ∨ (¬z ∧ 1)) ∨ ((0 ∧ z) ∨ (¬x ∧ y )).

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 30 / 45

Fakt: funkcja boolowska n zmiennych przekształca algebrę B

w algebrę B

Przykład.

F (x , y , z) = ((¬(x ∨ y )) ∨ ((¬x ) ∧ y )) ∨ ((¬x ) ∨ (¬z)) x y z ¬(x ∨ y ) (¬x ) ∧ y (¬x ) ∨ (¬z) F

0 0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 0 1 1

Wyrażenia boolowskie

Definicja. Dwa wyrażenia boolowskie są równoważne, jeśli odpowiadające im funkcje boolowskie są takie same.

Przykład.

Wyrażenie F = ((¬(x ∨ y )) ∨ ((¬x ) ∧ y )) ∨ ((¬x ) ∨ (¬z)) jest równoważne wyrażeniu E = ¬(x ∧ z) ∨ (0 ∧ y ), czyli E = ¬(x ∧ z).

x y z F x ∧ z E

0 0 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1

1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1 0 1 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 32 / 45

Alternatywa wykluczająca

Alternatywa wykluczającaXOR to operacja dwuargumentowa zdefiniowana następująco:

p ⊕ q = (p ∧ (¬q)) ∨ ((¬p) ∧ q).

Przykład. Dla algebry Boole’a z przykładu 1 mamy (“albo-albo”):

p q p ⊕ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Przykład. W zbiorze 2^X (przykład 2) operacjaXOR to

W algebrze B = {0, 1} oraz w algebrze 2^X spełnione są tożsamości:

p ⊕ q = q ⊕ p (przemienność) (p ⊕ q) ⊕ r = p ⊕ (q ⊕ r ) (łączność)

(p ⊕ q) ∧ r = (p ∧ r ) ⊕ (q ∧ r ) (rozdzielność względem mnożenia) p ⊕ 0 = p

p ⊕ 1 = ¬p p ⊕ p = 0 p ⊕ ¬p = 1

p ⊕ q = 0 ⇒ p = q

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 34 / 45

Sieci logiczne

Sieci logiczne buduje się z prostych funkcji booleowskich zwanych bramkami. Najczęściej spotyka się bramki

NOT, AND, NAND, OR, NOR, XOR.

Będziemy rozpatrywać bramki z dwoma liniami wejściowymi, ale mogą mieć też większą liczbę wejść. Na rysunkach linie wejściowe to te z lewej strony, a linia wyjściowa to ta po prawej stronie.

Oznaczenia bramek są tylko na nasz użytek i nie są zgodne ze standardem ANSI/IEEE (American National Standards Institute, Institute of Electrical and Electronics Engineers):

Sieci logiczne, bramki

Wartości funkcji boolowskich (drugi wiersz) odpowiadających tym bramkom (pierwszy wiersz) przedstawia następująca tabela.

NOT AND OR NAND NOR XOR

x y ¬x x ∧ y x ∨ y ¬(x ∧ y ) ¬(x ∨ y ) x ⊕ y

0 0 1 0 0 1 1 0

1 0 0 0 1 1 0 1

0 1 1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 0 0 0

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 36 / 45

Zadanie: uprość sieć

((¬(x∨y ))∨((¬x)∧y))∨((¬x)∨(¬z))= F

z y

x NOR

OR

OR

OR AND

NOT

NOT NOT

F

Zadanie: uprość sieć

Jak wiemy wyrażenie

(¬(x ∨ y )) ∨ ((¬x ) ∧ y ) ∨ ((¬x ) ∨ (¬z)) jest równoważne^∗ wyrażeniu ¬(x ∧ z).

z y x

NAND ¬(x ∧ z)

∗ Równoważność możemy także wykazać stosując odpowiednie prawa algebry Boole’a:

(¬(x ∨ y )) ∨ ((¬x ) ∧ y ) ∨ ((¬x )∨(¬z))

= (¬(x ∨ y )) ∨ (((¬x ) ∧ y ) ∨ (¬x ))∨ (¬z)

= (¬(x ∨ y )) ∨ ((¬x )∨ (¬z)) = (¬(x ∨ y )) ∨ (¬(x ∧ z)) =

= ¬((x ∨ y ) ∧ (x ∧z)) = ¬(((x ∨ y ) ∧ x )∧ z) = ¬(x∧ z)

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 38 / 45

Sieci logiczne, bramki

Obserwacja.

Zawsze wystarczą tylko bramki NOR.

Uzasadnienie. NOT,OR,AND możemy zamienić tak:

¬x = ¬(x ∨ x) x NOR ¬x

x ∨ y = ¬(¬(x ∨ y ))

x

y ^{NOR NOR} x ∨ y

x ^NOR

NOR x ∧ y

Sieci logiczne, bramki

Obserwacja.

Zawsze wystarczą tylko bramki NAND.

Uzasadnienie. NOT,OR,AND możemy zamienić tak:

¬x = ¬(x ∧ x) x NAND ¬x

x ∧ y = ¬(¬(x ∧ y ))

x

y ^{NAND NAND} x ∧ y

x ∨ y = ¬((¬x ) ∧ (¬y )) y NAND

x ^NAND

NAND x ∨ y

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 40 / 45

Krótko o rachunku różnicowym

Rozważmy funkcje f (także f1, f2, g , ϕ) określone w zbiorze N.

Operator różnicowy:

∆f (x ) = f (x + 1) − f (x ) Własności:

∆[f₁(x ) + f₂(x )] = ∆f₁(x ) + ∆f₂(x )

∆[cf (x )] = c∆f (x )

∆x^m= mx^m−1

przypomnienie: Hn=¹₁+¹₂+ . . . +¹_n

∆Hx = _{x +1}¹

∆(c^x) = (c − 1)c^x,w szczególności ∆(2^x) = 2^x

Uzasadnienia,

∆f (x ) = f (x + 1) − f (x )

∆[f₁(x ) + f₂(x )] = [f₁(x + 1) + f₂(x + 1)] − [f₁(x ) + f₂(x )]

= f1(x + 1) − f1(x ) + f2(x + 1) − f2(x ) = ∆f1(x ) + ∆f2(x )

∆[cf (x )] = cf (x + 1) − cf (x ) = c[f (x + 1) − f (x )] = c∆f (x )

∆x^m= (x + 1)^m− x^m

= (x + 1) ·x · . . . · (x − m + 2)−x · . . . · (x − m + 2)· (x − m + 1)

=x · . . . · (x − m + 2)· (x + 1− x + m − 1)

= x · . . . · (x − m + 2) · m = mx^m−1

∆Hx = Hx +1− H_x = (1 +¹₂+ · · · +¹_x+_{x +1}¹ ) − (1 +¹₂+ · · · +¹_x) = _{x +1}¹

∆(c^x) = c^{x +1}− c^x = c^x· c − c^x = (c − 1)c^x

∆[u(x )v (x )] = u(x + 1)v (x + 1) − u(x )v (x )

= u(x + 1)v (x + 1)−u(x)v (x + 1) + u(x)v (x + 1)− u(x)v (x)

= v (x + 1)[u(x + 1) − u(x )] + u(x )[v (x + 1) − v (x )]

= v (x + 1)∆u(x ) + u(x )∆v (x )

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 42 / 45

Sumy nieoznaczone, sumy oznaczone

Xg (x )δx = f (x ) + C ⇔ g (x ) = ∆f (x )

tutaj C to stała, albo dowolna funkcja okresowa C = ϕ(x ) o okresie 1 b

X

a

g (x )δx =^f (x )^b_a = f (b) − f (a) Kilka własności:

a

X

a

g (x )δx =^f (x )^a_a = f (a) − f (a)= 0

b

X

a

g (x )δx = f (b) − f (a) = −[f (b) − f (a)] =−

a

X

b

g (x )δx

b c c

P

g (x )δx = f (x )+C ⇔ g (x ) = ∆f (x ) = f (x +1)−f (x )

Pb

a

g (x )δx =

f (x )

= f (b) − f (a)

a+1

X

a

g (x )δx =^f (x )^a+1_a = f (a + 1) − f (a) = ∆f (a)= g (a)

Dla a, b ∈ Z, a ¬ b, b

X

a

g (x )δx= g (a) + g (a + 1) + · · · + g (b − 1)= ^X

a¬k<b

g (k)

Jak wiemy, ∆x^m+1= (m + 1) · x^m. Zatem dla m ∈ N b

X

a

x^mδx =^h 1

m + 1· x^m+1ib

a = 1

m + 1 · b^m+1− 1

m + 1 · a^m+1

(Wykłady z matematyki dyskretnej) Algebry Boole’a, elementy logiki 15 44 / 45

P

g (x )δx = f (x )+C ⇔ g (x ) = ∆f (x ) = f (x +1)−f (x )

Pb

a

g (x )δx =

f (x )

= f (b) − f (a)

Uwaga.

Ostatni wzór możemy rozszerzyć dla wszystkich m ∈ Z.

Potęgę ubywającą definiujemy wtedy następująco:

gdy m > 0, to

x^−m = 1

(x + 1) · (x + 2) · . . . · (x + m) W szczególności: x⁻¹ = _{x +1}¹ = ∆H_x

Ogólny wzór: ^Pb_ax^mδx =



 h 1

m+1· x^m+1ib

a dla m 6= −1

b