(sin x x , x ln x , x ex) (b) x = (x1, x2

SIMR Analiza 2, zadania: granica funkcji, pochodna funkcji jednej zmiennej, pochodne cząstkowe, kierunkowe

1. Obliczyć granicę funkcji lim_x→x

0f (x) (a) x ∈ R , x0 = 0 , f (x) = (sin x

x , x ln x , x e^x) (b) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (0, 0) , f (x₁, x₂) =

√1 + x1x₂ − 1 x₁

(c) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (0, 0) , f (x₁, x₂) = x²₁x₂ x²₁ + x²₂

(d) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (1, 0) , f (x₁, x₂) = x²₁ + x₁x₂ − x₁ x₁ + x₂ − 1 (e) x = (x₁, x₂) ∈ R² , x₀ = (1, 0) , f (x₁, x₂) = x₁x₂ − x²₂ − x₂

x₁ + x₂ − 1 (f) x = (x1, x2) ∈ R² , x0 = (1, 0) , f (x1, x2) = x₁ − x₂ − 1

x₁ + x2 − 1

(g) x = (x1, x2, x3) ∈ R³ , x0 = (0, 0, 0) , f (x1, x2, x3) = x²₁x₂ + x₁x₂x₃ x₁ + x²₂ + x²₃ 2. Obliczyć pochodną funkcji:

(a) f (x) = (x³, e^4x) (b) f (x) = (x sin x , √

1 + x², ln(4 + arc tg 2x)) (c) −→r (t) = (t³, e^tcos t , e^tsin t)

(d) f (t) = −→a (t) ·−→

b (t) , −→a (t) = (2t , ln t , t³) , −→

b (t) = (¹_t , 3 , 4t²) (e) f (t) = −→a (t) ×−→

b (t) , −→a (t) = (cos t , sin t , 1) , −→

b (t) = (1 , sin t , cos t)

3. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie znając −→r (t):

(a) −→r (t) = (R cos ωt , R cos ωt) (b) −→r (t) = (e^tcos ωt , e^tcos ωt)

(c) −→r (t) = (t³, t², t)

(d) −→r (t) = (4 cos 2t , 4 sin 2t , 3t) (e) −→r (t) = (t cos t , t sin t , 2t)

4. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji f : (a) f (x₁, x₂) = x₁sin(x₁ + 3x₂) + 2x³₁x₂

(b) f (x₁, x₂) = ln x₁ + (x₁ + x²₂)√

x₁x₂ + 1 x2

(c) f (x, y, z) = x²ln(yz) + y²e^x−z + √

x² + z² (d) f (x, y) = (x² + y²

x − y , xe^y2)