CAŁKI PODWÓJNE

CAŁKI PODWÓJNE

JJ, IMiF UTP

19b

CAŁKI PODWÓJNE

Współrzędne biegunowe, przypomnienie

PRZYKŁAD 2A.

Zapisz obszar D1 : x²+ y²¬ 1, x ­ 0, y ­ 0 we współrzędnych biegunowych.

1

1

0 x

y

D1

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 2A.

Ω1 : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 1 2π.

1

1

0 x

y

Ω₁

ϕ = 0 ϕ = ¹₂π

CAŁKI PODWÓJNE

Współrzędne biegunowe, przypomnienie

PRZYKŁAD 2B.

Zapisz obszar D2 : x²+ y²¬ 1, y ­ 0 we współrzędnych biegunowych.

1

1

0 x

y

D₂

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 2B.

Ω2 : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ π.

1

1

0 x

y

Ω2

CAŁKI PODWÓJNE

Współrzędne biegunowe, przypomnienie

PRZYKŁAD 2C.

Zapisz obszar D₃ : 1 ¬ x²+ y²¬ 4 we współrzędnych biegunowych.

1 2

1 2

0 x

y

D₃

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 2C.

Ω3 : 1 ¬ r ¬ 2, 0 ¬ ϕ ¬ 2π.

1 2

1 2

0 x

y

Ω₃

CAŁKI PODWÓJNE

Współrzędne biegunowe, przypomnienie

PRZYKŁAD 2D.

Zapisz obszar

D4: 1 ¬ x²+ y² ¬ 4 , x ¬ 0, y ­ x we współrzędnych biegunowych.

1 2

1 2

0 x

y

D3

CAŁKI

PODWÓJNE PRZYKŁAD 2D.

Ω3 : 1 ¬ r ¬ 2, 1

2π ¬ ϕ ¬ 5 4π.

1 2

1 2

0 x

y

Ω₃

CAŁKI PODWÓJNE

JAKOBIAN

PRZYPOMNIENIE.

Związek między współrzędnymi kartezjańskimi (x , y ) punktu, a jego współrzędnymi biegunowymi jest następujący:

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Przyjmujemy tu: r ­ 0, 0 ¬ ϕ ¬ 2π (ewentualnie: −π ¬ ϕ ¬ π).

Jakobian odwzorowania x = x (u, v ), y = y (u, v ) to następujący wyznacznik J =^x_y^u00 ^xv0

u y_v⁰

  ,

zatem jakobian „przejścia” ze współrzędnych kartezjańskich do biegunowych wynosi

J =^x

0 r x_ϕ⁰ y_r⁰ y_ϕ⁰

=cos ϕ −r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ

= r cos²ϕ + r sin²ϕ = r .

CAŁKI PODWÓJNE

biegunowych.

TWIERDZENIE.

Gdy funkcja f jest ciągła w obszarze regularnym D i gdy Ω = {(r , ϕ) : (r cos ϕ, r sin ϕ) ∈ D}, to

Z Z

D

f (x , y )dx dy = Z Z

Ω

f (r cos ϕ, r sin ϕ) ·rdr dϕ.

Czynnikr występujący pod całką to wartość bezwzględna z jakobianu.

CAŁKI PODWÓJNE

Przykład 3. Oblicz masę obszaru D : 1 ¬ x²+ y²¬ 4, gdy gęstość

% = (x²+ y²)⁻¹.

Masa m zbioru D jest równa m =^RR_D%(x , y )dx dy .

1 2

1 2

0 x

y

Obszar D opisany we współrzędnych biegunowych to Ω : 1 ¬ r ¬ 2, 0 ¬ ϕ ¬ 2π.

CAŁKI PODWÓJNE

% = (x + y ) .

Ω : 1 ¬ r ¬ 2, 0 ¬ ϕ ¬ 2π, jakobian tor, ponadto x = r cos ϕ oraz y = r sin ϕ, zatem

x²+ y² = r²cos²ϕ + r²sin²ϕ = r²(cos²ϕ + sin²ϕ) =r². Masa m zbioru D jest więc równa

m = Z Z

D

%(x , y )dx dy = Z Z

D

(x²+ y²)^−1/2dx dy

= Z Z

Ω

(r²)^−1/2·rdr dϕ = Z Z

Ω

1

r ·rdr dϕ = Z Z

Ω

1dr dϕ

= Z 2

1

 Z 2π

0

1dϕ^dr = Z 2

1

2πdr = 2π.

UWAGA. Zawsze całka podwójna po zbiorze A z jedynki jest równa polu zbioru A.

CAŁKI PODWÓJNE

Przykład 4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 1 − x²− y².

−1 −0.5 0

0.5 1 −1 0

1 0

0.5 1

Rzutem naszej bryły na płaszczyznę 0xy jest koło D o środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1.

CAŁKI PODWÓJNE

z = 0, z = 1 − x − y .

−1 −0.5 0

0.5 1 −1 0

1 0

0.5 1

Rzutem naszej bryły na płaszczyznę 0xy jest kołoDo środku w punkcie (0, 0) i promieniu 1.

CAŁKI PODWÓJNE

Przykład 4. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 0, z = 1 − x²− y².

Zgodnie z interpretacją geometryczną całki podwójnej, V =RR

D(1 − x²− y²)dx dy , gdzie D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 1}.

D

1

−1 0 1 x

y

y =√ 1 − x²

y = −√ 1 − x² D

Obszar D jest normalny względem osi 0x : D : −1 ¬ x ¬ 1, −p

1 − x²¬ y ¬p 1 − x². Obszar D jest też normalny względem osi 0y :

D : −1 ¬ y ¬ 1, −p

1 − y²¬ x ¬p 1 − y².

CAŁKI PODWÓJNE

z = 0, z = 1 − x − y .

Zgodnie z interpretacją geometryczną całki podwójnej, V =RR

D(1 − x²− y²)dx dy , gdzie D = {(x , y ) : x²+ y²¬ 1}.

D

1

−1 0 1 x

D

My jednak podstawiamy współrzędne biegunowe;

odpowiedni obszar

Ω = {(r , ϕ) : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π}.

CAŁKI PODWÓJNE

Przykład 4. V =RR

D(1 −x²−y²)dx dy ,

Ω = {(r , ϕ) : 0 ¬ r ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π}, jakobian tor

Skoro x = r cos ϕ oraz y = r sin ϕ,

V = Z Z

Ω

1 − (r cos ϕ)²− (r sin ϕ)^2rdr dϕ

= Z Z

Ω

1 − r^2rdr dϕ = Z 1

0

 Z 2π

0

(r − r³)dϕ^dr

= Z 1

0

h(r − r³)ϕ^iϕ=2π

ϕ=0 dr

= Z 1

0

(r − r³)2πdr

= 2π^h1 2r²−1

4r^{4ir =1}

r =0

= 2π(1 2 −1

4) = 1 2π.

CAŁKI PODWÓJNE

TWIERDZENIE.

Jeżeli funkcje f , f_x⁰, f_y⁰ są ciągłe w obszarze regularnym D, to pole powierzchni

S = {(x , y , z) : z = f (x , y ), (x , y ) ∈ D}

wynosi

Z Z

D

q

1 + (f_x⁰)²+ (f_y⁰)²dx dy .

CAŁKI PODWÓJNE

Momenty statyczne

Gdy gęstość (powierzchniowa masy) wynosi %(x , y ), to momenty statyczne obszaru D względem osi układu wynoszą:

Mx = Z Z

D

y %(x , y )dx dy , M_y =

Z Z

D

x %(x , y )dx dy .

CAŁKI PODWÓJNE

Gdy gęstość (powierzchniowa masy) wynosi %(x , y ), to moment bezwładności obszaru D względem osi Ox

I_x = Z Z

D

y²%(x , y )dx dy , moment bezwładności obszaru D względem osi Oy

Iy = Z Z

D

x²%(x , y )dx dy ,

a moment bezwładności obszaru D względem początku układu I₀ =

Z Z

D

(x²+ y²)%(x , y )dx dy .