CAŁKA NIEOZNACZONA

Wykłady z matematyki inżynierskiej

CAŁKA NIEOZNACZONA

JJ, IMiF UTP

09

Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna).

DEFINICJA.

Niech f be¸dzie funkcja¸ określona¸ w pewnym przedziale I . Całka¸ nieoznaczona¸ funkcji f (x ) nazywamy każdą

funkcje¸ F (x ) różniczkowalna¸ w I i spełniaja¸ca¸ dla każdego x ∈ I warunek

[F (x )]⁰ =f (x ).

Piszemy:

F (x )= Z

f (x )dx . Mówimy, że f jest całkowalna w I .

R

f (x )dx = F (x ) ⇔ F

(x ) = f (x )

UWAGA.

Znaja¸c jedna¸ całke¸ F funkcji f otrzymamy wszystkie pozostałe:

Z

f (x )dx = F (x ) + C .

PRZYKŁAD.

Z

1 dx =x+ C , ponieważ x⁰ =1

Z

cos x dx =sin x+ C , ponieważ (sin x)⁰ =cos x.

R

f (x )dx = F (x ) ⇔ F

(x ) = f (x )

PRZYKŁAD.

Z

cos 2x dx = 1

2sin 2x+C , gdyż 1

2sin 2x
⁰ = 1

2·cos 2x·2 =cos 2x Z

sin1

2x dx =−2 cos1 2x+ C , gdyż −2 cos¹₂x
⁰= −2 · (− sin₂¹x ) ·¹₂ =sin¹₂x

Z

e^−x dx =−e^−x+ C , ponieważ (−e^−x)⁰= −e^−x· (−1) =e^−x

TWIERDZENIE. Każda funkcja cia¸gła jest całkowalna.

R

f (x )dx = F (x ) ⇔ F

(x ) = f (x )

PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)

Całkowanie odnosi sie¸ do tych przedziałów, w których funkcje podcałkowe sa¸ określone.

Z

x^adx = 1

a + 1x^a+1+ C dla a 6= −1 Z 1

xdx = ln |x | + C Z

e^xdx = e^x+ C

PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)

Z

a^xdx = a^x ln a + C Z

sin x dx = − cos x + C Z

cos x dx = sin x + C

Z 1

cos²xdx = tg x + C

PODSTAWOWE WZORY (część pierwsza)

Z 1

sin²xdx = −ctg x + C

Z 1

1 + x²dx = arctg x + C = −arcctg x + K

Z 1

√

1 − x²dx = arc sin x + C = − arc cos x + K

R

f (x )dx = F (x ) ⇔ F

(x ) = f (x ) WŁASNOŚCI

Z

[f (x ) + g (x )]dx = Z

f (x )dx + Z

g (x )dx Z

[f (x ) − g (x )]dx = Z

f (x )dx − Z

g (x )dx Z

λf (x )dx = λ Z

f (x )dx Z

f⁰(x )dx = f (x ) + C

 Z

f (x )dx^0 = f (x )

CAŁKOWANIE PRZEZ CZE ¸ŚCI

Z

u(x )v⁰(x )dx = u(x )v (x ) − Z

u⁰(x )v (x )dx

Zakładamy tu, że funkcje u(x ) i v (x ) maja¸ cia¸głe pochodne.

Wyprowadzenie wzoru:

(uv )⁰ = u⁰v + uv⁰ Z

(uv )⁰dx = Z

(u⁰v + uv⁰)dx uv =

Z

u⁰v dx + Z

uv⁰dx Z

uv⁰dx = uv − Z

u⁰v dx

R

u(x )v

(x )dx = u(x )v (x ) −

u

(x )v (x )dx

CAŁKOWANIE PRZEZ CZE¸ŚCI PRZYKŁAD:

Z

xe^xdx =

u=x v⁰=e^x u⁰=1 v =e^x

=xe^x− Z

1·e^xdx = xe^x− e^x+ C

PRZYKŁAD:

Z

x²·ln xdx =

u=ln x v⁰=x² u⁰=¹_x v =¹₃x³

=ln x·1 3x³−

Z 1 x ·1

3x³dx 1

3x³ln x −1 3 Z

x²dx = 1

3x³ln x −1 9x³+ C

R

u(x )v

(x )dx = u(x )v (x ) −

u

(x )v (x )dx

PRZYKŁAD:

Z

e^xcos xdx =

u=e^x v⁰=cos x u⁰=e^x v =sin x

=e^xsin x− Z

e^x·sin xdx =^u=e

x v⁰=sin x u⁰=e^x v =− cos x

= e^xsin x −^he^x(− cos x ) − Z

e^x· (− cos x)dxⁱ

= e^xsin x + e^xcos x − Z

e^xcos x dx

2 Z

e^xcos x dx = e^xsin x + e^xcos x +C1

Z

e^xcos x dx = 1

2e^xsin x +1

2e^xcos x + C

R

u(x )v

(x )dx = u(x )v (x ) −

u

(x )v (x )dx

PRZYKŁAD:

Z

e^xcos x dx =

u=e^x v⁰=cos x u⁰=e^x v =sin x

=e^xsin x− Z

e^x·sin xdx =^u=e

x v⁰=sin x u⁰=e^x v =− cos x

= e^xsin x −^he^x(− cos x ) − Z

e^x· (− cos x)dxⁱ

= e^xsin x + e^xcos x − Z

e^xcos x dx

2 Z

e^xcos x dx = e^xsin x + e^xcos x +C1

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Z

f (x)dx = Z

f [ϕ(t)]ϕ⁰(t)dt, gdzie x = ϕ(t).

Zakładamy tu, że funkcja ϕ : (α, β) → (a, b) ma cia¸gła¸ pochodna¸ ϕ⁰ oraz że funkcja f : (a, b) → R jest cia¸gła.

Wyprowadzenie wzoru:

Niech F (x )=^R f (x )dx (oznacza to, że [F (x )]⁰ =f (x )).

Funkcja złożona F [ϕ(t)] ma pochodna¸ (wzgle¸dem t)

F [ϕ(t)] ⁰= F⁰[ϕ(t)]ϕ⁰(t) =f [ϕ(t)]ϕ⁰(t).

Zatem, Z

f [ϕ(t)]ϕ⁰(t)dt =F [ϕ(t)]= F (x ) = Z

f (x )dx .

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Z

f (x)dx = Z

f [ϕ(t)]ϕ⁰(t)dt, gdzie x = ϕ(t).

PRZYKŁAD.

Z 1

4 +x²dx =

x =2t ϕ(t)=2t ϕ⁰(t)=2 dx =2dt

=

Z 1

4 + (2t)² ·2dt = 2 4

Z 1

1 + t²dt

= 1

2arctgt+ C = 1 2arctgx

2 + C

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Obserwacja. Jeśli x = ϕ(t), todx zamieniamy na ϕ⁰(t)dt. Gdy funkcja x = ϕ(t) ma funkcję odwrotną t = ϕ⁻¹(x ) (oznaczmy ją przez ψ(x )), to, jak wiemy z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej,

ψ⁰(x ) = _ϕ0¹(t). Skoro dx=ϕ⁰(t)dt, więc dt= _ϕ0¹(t)dx=ψ⁰(x )dx.

Zatem jeśli t = ψ(x ), to zamieniamydtna ψ⁰(x )dx.

PRZYKŁAD.

Rxsin^₁₀¹x²+ 7^dx =             

t = ₁₀¹x²+ 7 ψ(x ) = ₁₀¹x²+ 7

ψ⁰(x ) = ¹₅x dt = ψ⁰(x )dx

dt = ¹₅x dx 5dt = x dx

=^Rsint·5dt = −5 cost+ C = −5 cos^1x²+ 7^+ C

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Gdy t = ψ(x ), to zamieniamydtna ψ⁰(x )dx.

Zazwyczaj stosujemy zapis:

PRZYKŁAD.

Rxsin^₁₀¹x²+ 7^dx =         

1

10x²+ 7= t

1

10x²+ 7
⁰_xdx=(t)⁰_tdt

1

5x dx = dt x dx = 5dt

=^Rsint·5dt = −5 cost+ C = −5 cos^₁₀¹x²+ 7^+ C

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

Gdy ψ(x ) = t, to zamieniamy ψ⁰(x )dxnadt, gdy x = ϕ(t), to zamieniamydxna ϕ⁰(t)dt.

PRZYKŁAD.

Rcos2xdx =       

2x = t 2dx = dt dx = ¹₂dt

=^Rcost·¹₂dt = ¹₂^Rcos tdt = ¹₂sint+ C = ¹₂sin2x+ C PRZYKŁAD.

Re^−xdx =     

x = −t dx = −1dt

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

PRZYKŁAD.

Rx³√

x⁴+ 1dx =                

podstawiamy :√ x⁴+ 1 = t

czyli : x⁴+ 1 = t² (x⁴+ 1)⁰_xdx =(t²)⁰_tdt

4x³dx = 2tdt x³dx = ¹₂tdt

=^Rt·¹₂tdt= ¹₂^Rt²dt = ¹₂ ·¹₃t³+ C = ¹₆ √

x⁴+ 1
³+ C

PODSTAWOWE WZORY (cze¸ść druga).

Wyprowadzenie na wykładzie.

Z g⁰(x )

g (x )dx = ln |g (x )| + C Z

ln x dx = x ln x − x + C Z

tg x dx = − ln | cos x | + C Z

ctg x dx = ln | sin x | + C

PODSTAWOWE WZORY (cze¸ść druga).

Wyprowadzenie na wykładzie.

Z dx

x²+ q² = 1 qarctgx

q + C

Z dx

x²− q² = 1 2qln

x − q x + q    

+ C Z

arc sin x dx = x arc sin x +^p1 − x²+ C Z

arctg x dx = x arctg x − 1

2ln(1 + x²) + C

Uzasadnienie ostatniego wzoru

Z

arctgx dx = Z

1 · arctgx dx

=

u=arctgx v⁰=1 u⁰= ¹

1+x 2 v =x

= arctgx · x −

Z 1

1 + x² · xdx

= x arctgx − 1 2

Z 2x

1 + x²dx

= x arctgx − 1

2ln |1 + x²| + C

PODSTAWOWE WZORY (cze¸ść druga).

Wyprowadzenie na wykładzie.

Z dx

p−x²+ q = arc sin x

√q + C

Z dx

px²+ q = ln |x + q

x²+ q| + C

Z q

−x²+ q dx = 1 2x

q

−x²+ q +1

2q arc sin x

√q + C

Z q

x²+ q dx = 1 2x

q

x²+ q +1

2q ln |x + q

x²+ q| + C Z

sin²x dx = 1 2x − 1

4sin 2x + C

WZORY REKURENCYJNE

Dla n = 0 oraz dla n = 1 potrafimy obliczyć całki: In=^R_(1+x^dx2)ⁿ, Jn=^Rsinⁿx dx , Kn=^Rcosⁿx dx .

Dla n ­ 2 stosujemy wzory:

In= 1

2n − 2· x

(1 + x²)ⁿ⁻¹ + 2n − 3 2n − 2In−1, Jn= −1

ncos x sinⁿ⁻¹x + n − 1 n Jn−2, K_n= 1

n sin x cosⁿ⁻¹x + n − 1 n K_n−2.