optymalizacji wielokryterialnej sterowane

Algorytmy ewolucyjne

optymalizacji

wielokryterialnej sterowane

preferencjami decydenta

listopad 2010 Dr Janusz Miroforidis

2

Plan prezentacji

 Wprowadzenie

 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji

 Oszacowania parametryczne

 Wyznaczanie wariantów efektywnych

 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań

parametrycznych

 Przykłady obliczeń

 Zastosowanie metody w WPD

Problemy decyzyjne

w działalności człowieka

 Zarządzanie zasobami leśnymi i wodnymi.  Planowanie zagospodarowania terenów.  Zagadnienia logistyczne i transportowe.

 Konstruowanie maszyn i urządzeń.  Planowanie terapii nowotworowej.

 Handel i marketing.

4

Wielokryterialne zadanie decyzyjne

0

vmax ( ),

f x

x



X



R

n

,

Przy ustalonym zadaniu optymalizacji

wielokryterialnej:

gdzie vmax jest operatorem wyznaczania zbioru

wariantów efektywnych, decydent ma wskazać

wariant najbardziej preferowany w tym zbiorze.

 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji



1 2



( )

( ),

( ),

,

_k

( ) ,

Metody interaktywne WPD

Istotą tych metod jest interaktywny, sterowany przez decydenta przegląd zbioru ocen efektywnych.

f₂(x)

 Wielokryterialne Podejmowanie Decyzji

f(X₀) f(E(X₀)) - zbiór ocen efektywnych f (x) Preferencje określane np. przez współczynniki wagowe, punkty referencyjne.

6

Skalaryzacja zadania optymalizacji

wielokryterialnej

f₂(x)

f(X₀)

f₁(x)

y*

Wyznaczanie ocen (słabo) efektywnych

z wykorzystaniem ważonej metryki Czebyszewa.





0

*

( ) arg min max _{i i i}( ) ,

x X i x   y f x    gdzie

 

1 , 0, 1, , . i i i i k       

 warunki konieczne i dostateczne istnienia ocen (słabo) efektywnych bez dodatkowych założeń o cechach zbioru f(X₀) (np. wypukłość);

 nie wprowadza dodatkowych nieliniowości do zadania optymalizacji.

Zalety takiej skalaryzacji:

0 * ( ) max , 0, 1, , , i i i i y f X y y e e i k      * y  y t

Określanie preferencji decydenta

za pomocą kierunków ustępstw

f₂(x)

f(X₀)

f₁(x)

y*

τ

Wektor

τ określa proporcje ustępstw

przy odejściu od punktu y

*

_.

( ( )) ( )

f x   f 

*

y y t

8

Oszacowania parametryczne

współrzędnych ocen

f₂(x)

f(τ)

– elementy zbioru f(S); S – szkielet, podzbiór E(X₀)

ocena niejawna zadana przez wektor τ

U₂

L₂

L₁ U₁

półprosta kompromisu zadana przez τ

( , ) ( ) ( , ), 1,..., .

i i i

L



S  f



U



S i  k

Koszt wyznaczenia oszacowań

L(τ,S) i U(τ,S) zaniedbywalnie mały

– formuły dane w postaci analitycznej.

Wyznaczenie S wymaga dokładnych obliczeń optymalizacyjnych.

 Oszacowania parametryczne

y*

Dynamika oszacowań parametrycznych

– oceny wariantów efektywnych dodanych do szkieletu S

Uzupełnianie szkieletu

o kolejne warianty efektywne nie pogarsza oszacowań,

może zaś je polepszać.

 Oszacowania parametryczne

f₂(x)

f(τ)

y*

10

Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania

aproksymacji zbioru wariantów efektywnych

Algorytmy ewolucyjnej optymalizacji wielokryterialnej: NSGA-II, SPEA-2.

Zastosowanie w metodach a posteriori WPD.

 Wyznaczanie wariantów efektywnych

f₂(x) f₁(x) – iteracja imax - 2 – iteracja imax - 1 – iteracja imax f(X₀)

Algorytmy ewolucyjne dla skalarnych

zadań optymalizacji

Algorytmy GENOCOP II i III.

Zastosowanie w metodach a priori i metodach

interaktywnych WPD.

 Wyznaczanie wariantów efektywnych

– iteracja imax f₂(x) f(X₀) f₁(x) y* * y  y t

12

Oszacowania parametryczne

a algorytmy ewolucyjne

– obrazy elementów szkieletu dolnego S_D wyznaczane przez

istniejące algorytmy ewolucyjne (NSGA-II, SPEA-2)

– obrazy elementów szkieletu górnego S_G , wymagane dla

poprawności oszacowań od góry

y* f(τ) f₂(x) f₁(x) ( , ) ( ) ( , ), 1,..., . i D i i G L



S  f



U



S i  k Zmodyfikowane oszacowania parametryczne: f(X₀)

 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

Formuły L_i(τ,S_D) i U_i(τ,S_G) jak dla oszacowań ze szkieletem S.

Szkielet dolny S

_D 0

,

,

D D

S



X

S

 

'

'

.

D D x S x S

x

x





14

Szkielet górny S

_G 0

\

,

,

n G G

S



R

X

S

 

( ) min ( ), 1,..., . D nad i D x S i y S  _ f x i  k '

',

G G x S x S

x

x





1. 0 ' ( )

'

,

G x S x E X

x

x





2.

( )

(

),

1,..., .

G nad x S

f x

i

y

i

S

D

i

k







3.

Aproksymacja górna A

_G ( ) min ( ), 1,..., . D nad i D x S i y S  _ f x i  k '

',

G G x A x A

x

x





1. '

'

,

G D x A x S

x

x





2.

( )

(

),

1,..., .

G nad x A

f x

i

y

i

S

D

i

k







3. Nie mamy zbioru E(X₀) !

 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

0

\

,

,

n

G G

A



R

X

A

 

16

Wykorzystanie par (S

_D

, A

_G

) do

wyznaczania wartości oszacowań

( , )

i G U  A

Oszacowania od góry – wykorzystanie aproksymacji górnej

( , ), 1,..., .

i G

U  S i  k

zamiast

Miary dokładności oszacowań

Bezwzględna dokładność oszacowania oceny f(τ):

  1 ( , _D, _G) max _i( , _G) _i( , _D) . i k S A U A L S        

Względna dokładność oszacowania oceny f(τ):

max min 1 ( , ) ( , ) ( , , ) max , ( ) ( ) i G i D D G i k i D i D U A L S S A f S f S           _{ }   

gdzie max( ) max ( ),

D i D i x S f S f x   min ( ) min ( ). D i D i x S f S f x  

Aproksymacja górna A

_G

i zjawisko błędnych oszacowań od góry

( )

( ,

), dla pewnego

{1, 2,

, }.

i G

f





U



A

i



k

 Zmodyfikowane oszacowania parametryczne

y* f(τ) f₂(x) f(X₀) 2( ) 2( , G) f   U  A

Ograniczanie zjawiska przez wyznaczanie „lepszych” S_D lub stosowanie operacji filtracji na A_G .

18

Przestrzeń decyzyjna dla

algorytmów ewolucyjnych

 Algorytmy ewolucyjne dla wyznaczania oszacowań parametrycznych

x₂

x₁

X_{0 Funkcje kryterialne f}

i

określone na zbiorze X_DEC .

Wyznaczanie par (S

_D

, A

_G

)

– algorytm PDAE

 Jednoczesne wyznaczanie par (S_D , A_G) poprzez eksplorację zbioru dopuszczalnego i jego

dopełnienia.

 Kryterium zatrzymania określone maksymalną

liczbą iteracji.

 Eksploracja przestrzeni poszukiwań realizowana

operatorem mutacji o zasięgu będącym malejącą funkcją numeru iteracji.

 Algorytm PDAE – w każdej iteracji mutacji podlega

losowo wybrany element bieżącego szkieletu dolnego S_D . Możliwe modyfikacje schematu mutacji.

20

Lokalne poprawianie par (S

_D

, A

_G

)

– algorytm EPO

 Próbuje wyznaczyć taką parę (S_D , A_G), która zapewnia

założoną dokładność oszacowania oceny f(τ).

 Eksploruje przestrzeń decyzji w otoczeniu (i tylko

w otoczeniu) elementów determinujących wartość

oszacowania oceny f(τ) odpowiednio od dołu i od góry.

 Zasięg mutacji jest zależny od osiągniętej dokładności

oszacowania oceny f(τ) na danym etapie obliczeń.

Algorytmy PDAE i EPO

Wynik działania algorytmu PDAE, wyznaczenie wyjściowego szkieletu

dolnego i wyjściowej aproksymacji

Wynik działania algorytmu EPO dla εz_=0,01.

Testowe zadanie dwukryterialne (Kita)

22

Algorytm PDAE i jego modyfikacje

Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega każdy element szkieletu dolnego.

Wynik działania algorytmu PDAE, w którym mutacji podlega

element szkieletu dolnego, najbardziej odległy od pozostałych.

Ograniczanie losowości w algorytmie PDAE

Trudne zadania optymalizacji

wielokryterialnej

Zadanie testowe OKA2 (Okabe)

 Przykłady obliczeń – PDAE oceny efektywne Algorytm NSGA-II wyznacza rozwiązania o podobnym rozkładzie jak algorytm PDAE !

24

Schemat metody rozwiązania

wielokryterialnego zadania decyzyjnego

Sformułowanie zadania optymalizacji wielokryterialnej dla zadania decyzyjnego

Repozytorium par (S_D , A_G) START

Faza ujawniania preferencji (τ)

Faza identyfikacji rozwiązania (x(τ))

STOP

Algorytmy PDAE i EPO

Algorytm GENOCOP III

Wybór „najlepszej” pary

Wybór populacji

wyjściowej dla algorytmu GENOCOP III

Model zarządzania sklepem

wielkopowierzchniowym

Decydent

Moduł Wspomagania Decyzyjnego

JD₁ SWD₁ JD₂ SWD₂ JD₃ SWD₃ JD_n SWD_n Z asob y Wska źni ki …  Zastosowanie metody w WPD

26

Model sklepu

wielkopowierzchniowego

Model sklepu z trzema jednostkami decyzyjnymi: Marketing (SWD₁) 3 1 120, l l x    20, 2,3, l x  l  1 27. x   0,35 1 1 1 1 ( ) 200 , v q x  x 1 2 2 2 1 /700 2 ( , ) 0,1e v , v q x v   x 1 3 3 3 1 /500 3 ( , ) 0,3e v . v q x v   x Logistyka (SWD₂) Obsługa Nabywcy (SWD₃) Zbiór dopuszczalny: 0 X Odwzorowanie redukujące: 1 1 2 3 1( ) 0, 2 ( ), s v  v  x x x 2 3 2( ) , s v v v 1 3( ) . s v v

Ocena wariantów decyzyjnych za pomocą funkcji f

  0 ( ) ( ) , . f x  s q x xX  Zastosowanie metody w WPD (zysk) (zadowolenie) (sprzedaż)

Rozwiązanie zadania decyzyjnego

Po zakończeniu hipotetycznej fazy ujawniania preferencji preferencje decydenta najpełniej opisuje wektor   (5, 1, 60).

*

(67, 22, 6,58, 911,07).

y 

Wyznaczono punkt referencyjny





  0 1 * 1 3 min max _{i i i}( ) , _{i i} , 1, 2,3, x X i  y f x   i        ( , _De ) (50,33, 3,21, 708, 40), L  S  ( , _Ge) (51,34, 3,30, 713,90), U  A  ( ,S_De ,A_Ge ) 0, 02.   

Wektory oszacowań oraz względna dokładność oszacowania oceny f(τ)

W fazie identyfikacji rozwiązania algorytm GENOCOP III rozwiązał zadanie optymalizacyjne

(37,18, 20, 03, 34, 22),

x 

wyznaczając wariant decyzyjny



28

Podsumowanie

Metoda rozwiązania zadania decyzyjnego

 Wykorzystanie oszacowań ocen efektywnych

w procesie decyzyjnym.

 Mechanizm kontroli dokładności oszacowań.  Redukcja obliczeń w procesie decyzyjnym.  Połączenie metod analitycznych z metodami

heurystycznymi.

 Wykorzystanie zbioru niedopuszczalnego zadania optymalizacji wielokryterialnej – nowatorska

modyfikacja idei algorytmów ewolucyjnych.

Podsumowanie

Potencjalne kierunki dalszych badań

 Modyfikacja wiodących algorytmów

heurystycznych optymalizacji wielokryterialnej dla potrzeb wyznaczania szkieletów dolnych

i aproksymacji górnych.

 Przyjęcie i zbadanie własności alternatywnych

definicji zbiorów aproksymujących zbiór wariantów efektywnych od dołu i od góry.

 Zbadanie skłonności decydentów do

podejmowania decyzji w oparciu o oszacowania wartości współrzędnych ocen.

 Hybrydyzacja ze względu na trudne zadania

optymalizacji wielokryterialnej.

30

Janusz Miroforidis

miroforidis@mgi.pl

Wzory dla oszacowań parametrycznych





(

,

)

)

(

L

S

y

_i



_i



}

)),

(

1

max

(

max{max

_{( )} * *_{j j i} j j i i S f y

y



y



y

L



_









(

,

)

)

(

U

S

y

_i



_i



* ( ) ( )

min{min

_{y f S}

{min

_{l I }

(

y

_l



_l

( ))},

y

U

_i

}





( )

l

y



gdzie I(τ) to podzbiór I={1,…,k}, I(τ) oraz

32

0 0

( ) ( ) n \ : , gdzie ( ) to otoczenie .

xE X  N x  x X x x N x x

Warunek 1 dla szkieletu górnego S_G :

0 0

( ) ( ) : .

xE X  N x  x X x x

Warunek 2 dla szkieletu górnego S_G :

Warunki osiągnięcia dowolnie bliskich aproksymacji zbioru wariantów efektywnych.