Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2017/18
Kolokwium nr 59: czwartek 4.01.2018, godz. 14:15, materiał zad. 1–459, 501-690.
9. Pochodna funkcji.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach 4,8.01.2018 (grupa 1 lux).
Obliczyć pochodną funkcji zmiennej x o podanym wzorze. Podać, w jakim zbiorze istnieje pochodna.
Wskazówka: AB= eBlnA.
691. exlnx 692. lnx
ex 693. x10lnx 694. lnlnx 695. ln 1 1 + x 696. log10(x − 1) 697. log2|log3(log5x)| 698. e
√
lnx 699. xx2
700. xxx 701. x
√x 702. (lnx)x 703. e−x2lnx
704. Podać (z wyprowadzeniem i uzasadnieniem poprawności) przykład takiego wielo- mianu W (x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, że funkcja f (x) = W ({x}) jest różniczkowalna.
Uwaga: {x} oznacza część ułamkową liczby x.
705. Chcemy zaokrąglić modułowi dzióbek. Niech n będzie liczbą naturalną. Dobrać takie a, b, c zależne od n, aby funkcja fn określona wzorem
fn(x) =
|x| dla |x| 1/n ax2+ bx + c dla |x| < 1/n
była różniczkowalna. Obliczyć fn0. Naszkicować wykres funkcji fn oraz wykres jej po- chodnej.
706. Na potrzeby tego zadania funkcję f nazwiemy pikoróżniczkowalną w punk- cie x0, jeżeli istnieje granica
f♠(x0) = lim
h→0
f (x0+ h) − f (x0)
h2 ,
którą to granicę nazywać będziemy pikopochodną funkcji f w punkcie x0. Obliczyć pikopochodną funkcji f określonej wzorem
f (x) = x3+ 3x2 we wszystkich punktach jej pikoróżniczkowalności.
707. Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji f (x) = 7 + sin4x − sin2x
7 + cos4x − cos2x.
Doprowadzić wzór na pochodną do możliwie najprostszej postaci.
Lista 61 - 71 - Strona 71