Zadania na Zaj¦cia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 2
1. Rozwi¡» nierówno±ci:
2
x> exp x, e
x√ 2 > 1 2
x, 2 < |e
2x− 3| < 3, exp (−x) ≤ x
5+ 1 2. Rozwi¡» równania:
7
x−5= 9
5−x, ln √
x
2− 1 = 1, ln 1 − √
x − 1 = − 1
2 , log
x5 = log
5x 3. Rozwi¡» nierówno±¢:
|x| + 1 > |x − 1|
4. Rozwi¡» nierówno±¢:
x
2(3x − 1)(x + 3)(3 − x)(1 + 3x) ≥ 0 5. Rozwi¡» w zale»no±ci od warto±ci parametru p nierówno±¢:
x
2+ p + 1
2 ≥ 4px
6. Jak¡ gur¦ geometryczn¡ wyznacza na pªaszczy¹nie x − y ukªad nierówno±ci:
2x + y ≤ 4, x + 4
2 ≥ y, y ≥ −1 .
Czy punkt o wspóªrz¦dnych (1, 1) nale»y do tej gury? Podaj wsp. jej wierzchoªków.
7. Narysuj zbiór wyznaczony na pªaszczy¹nie nierówno±ciami:
|x + y| > x − y, |x| + |y| ≤ 1 8. Rozwi¡» nierówno±¢ wymiern¡:
(x + 1)
2− x
2x(2x + 1) < −1 9. Znajd¹ x speªniaj¡cy równanie:
e
x− e
−x= 1.
10. Rozwi¡» równanie: √
x + 7 + 1 = 2x
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni
Zadania domowe
1. Poka», »e dla a > 0, b > 0 zachodzi:
a + b
2 ≥ √
ab 2. Sprawd¹, czy poni»sze wyra»enie jest prawdziwe:
exp π > π
e3. Jaki zbiór wyznacza na pªaszczy¹nie nierówno±¢:
x
2− 2x > 3 − y
2.
Które z punktów: (x = −1, y = 0), (x = 1, y = −2), (x = 3, y = 3) nale»¡ do tego zbioru?
4. Znajd¹ wszystkie rozwi¡zania równania:
x
2+ y
2− 2x = 7 b¦d¡ce parami liczb caªkowitych.
5. Rozwi¡» ukªady nierówno±ci:
a)
|x| + |y| ≤ 1, y ≥ 1 + x, y ≥ 1 − x b)
|x| + |y| ≤ 1, 1 ≤ |x| + y
6. Wyznacz najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ x (y) w zbiorze zdeniowanym na pªaszczy¹nie nierówno±ciami:
y ≥ x
2− 4, y ≤ 2x − x
27. Dla jakich warto±ci parametrów, poni»sze nierówno±ci s¡ prawdziwe dla ka»dego x:
x
2+ px + q ≤ 0, ax
2+ bx + c ≥ 0 8. Wyznacz x z równania:
log
2x
7= 8 + ln x.
Projekt Wiedza i kompetencje z zyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest wspóªnansowany z Europejskiego Funduszu Spoªecznego w ramach programu operacyjnego KAPITA LUDZKI Poddziaªanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjaªu dydaktycznego uczelni