LISTA 11
Zadanie 1.
Wykaż, że jeśli 𝑎 > 0, to 𝑎2+1
𝑎+1 ≥𝑎+1
2 . Zadanie 2.
Uzasadnij, że jeśli (𝑎2+ 𝑏2)(𝑐2+ 𝑑2) = (𝑎𝑐 + 𝑏𝑑)2, to 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐.
Zadanie 3.
Uzasadnij, że jeżeli 𝑎 + 𝑏 = 1, 𝑎2+ 𝑏2= 7, to 𝑎4+ 𝑏4= 31.
Zadanie 4.
Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej 𝑘 liczba 𝑘6+ 2𝑘4− 𝑘2 jest podzielna przez 36.
Zadanie 5.
Wyznacz wartość współczynników 𝑎 i 𝑏 wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3+ 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 1 wiedząc, że 𝑊(2) = 7 oraz reszta z dzielenia 𝑊(𝑥) przez dwumian 𝑥 + 3 jest 10.
Zadanie 6.
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji 𝑓(𝑥) =𝑥12 . Poprowadzono prostą równoległą do osi 𝑂𝑥, która przecięła wykres tej funkcji w punktach 𝐴 i 𝐵. Niech 𝐶 = (3, −1). Wykaż, że pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest większe lub równe 2.
Zadanie 7.
Rozwiąż równanie: 3𝑥2− 10𝑥 + 3 = 0.
Zadanie 8.
Rozwiąż nierówność: 𝑥3− 7𝑥2+ 2𝑥 − 14 ≥ 0.
Zadanie 9.
W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 𝑚2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 𝑚2 oraz jest o 5 𝑚 dłuższy i 2 𝑚 szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach.
Zadanie 10.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 𝑐𝑚 i od drugiej przyprostokątnej 𝑜 32 𝑐𝑚. Oblicz długości boków tego trójkąta.
