Temat: Postać iloczynowa i kanoniczna funkcji kwadratowej w zadaniach. Przykład 1

Temat: Postać iloczynowa i kanoniczna funkcji kwadratowej w zadaniach.

Przykład 1

Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek w punkcie W = (1, - 9) i zawiera punkt (2, - 8). Zapisz ten wzór w postaci ogólnej.

Rozwiązanie:

Znamy współrzędne wierzchołka funkcji W = (1, - 9), więc skorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną.

y = a(x - p)² + q W naszym przypadku p = 1, q = - 9. Podstawiamy dane do wzoru.

y = a(x - 1)² - 9

Szukamy jeszcze wartości a, którą obliczymy podstawiając do wzoru współrzędne punktu (2, - 8).

x = 2, y = - 8 y = a(x - 1)² - 9 - 8 = a(2 - 1)² - 9

- 8 = a · 1 - 9 - 8 = a - 9 - 8 + 9 = a

a = 1 Podaję wzór funkcji w postaci kanonicznej.

y = 1(x - 1)² - 9 y = (x - 1)² - 9 Przekształcam wzór na postać ogólną.

y = (x - 1)² - 9 y = (x² - 2x + 1) - 9

y = x² - 2x + 1 – 9 czyli y = x² - 2x – 8 Przykład 2

Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której miejsca zerowe wynoszą - 4 oraz 5 i jej wykres przechodzi przez punkt A = (2, 8).

Rozwiązanie:

Znamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, więc skorzystamy ze wzoru na postać iloczynową.

y = a(x - x1)(x - x2) Podstawiam x1 = - 4 oraz x2 = 5.

y = a(x + 4)(x - 5)

Aby wyznaczyć wartość a, podstawiam do wzoru współrzędne punktu A = (2, 8).

y = a(x + 4)(x - 5) x = 2 oraz y = 8 8 = a(2 + 4)(2 - 5)

8 = a · 6 · (- 3) 8 = - 18a |: -18

𝑎 = 8

−18 a =− ⁴

9

Podstawiam a i podaję wzór funkcji w postaci iloczynowej.

Przykład 3

Znajdź wzór funkcji w postaci ogólnej korzystając z rysunku.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w tym przypadku dokładnie z wykresu możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.

Skorzystamy zatem z postaci kanonicznej, wierzchołek paraboli to W = (3, - 6).

Podstawiam p = 3 a q = - 6 do postaci kanonicznej

y = a(x - p)² + q y = a(x - 3)² - 6 Odczytuję dowolny punkt należący do wykresu funkcji np. (0, 3).

x = 0, y = 3 y = a(x - 3)² - 6 3 = a(0 - 3)² - 6 3 = a · (-3)² - 6 3 = a · 9 - 6

3 + 6 = 9a 9 = 9a |:9

a = 1 Podaję wzór funkcji w postaci kanonicznej:

y = 1(x - 3)² - 6 y = (x - 3)² - 6 Zamieniam postać kanoniczną na ogólną.

y = (x - 3)² - 6 y = x² - 6x + 9 - 6

y = x² - 6x + 3 Przykład 4

Znajdź wzór funkcji w postaci ogólnej korzystając z rysunku.

Rozwiązanie:

Zauważ, że w tym wypadku, nie można dokładnie odczytać współrzędnych wierzchołka paraboli. Dlatego nie można tego zadania zrobić jak przykładu wyżej i skorzystać z postaci kanonicznej.

W tym przykładzie z wykresu funkcji dokładnie możemy odczytać miejsca zerowe i skorzystać z postaci iloczynowej.

Odczytuję z rysunku miejsca zerowe funkcji. Są dwa, więc funkcję mogę zapisać w postaci iloczynowej.

y = a(x - x1)(x - x2) Podstawiam x1 = 2 oraz x2 = 5

y = a(x - 2)(x - 5)

Odczytuję współrzędne dowolnego punktu należącego do wykresu funkcji np. (1, 8) i podstawiam je do wzoru, aby wyznaczyć a.

y = a(x - 2)(x - 5) x = 1 oraz y = 8 8 = a(1 - 2)(1 - 5)

8 = a · (-1) · (-4) 8 = a · 4 8 = 4a |:4

a = 2 Podaję wzór funkcji w postaci iloczynowej.

y = 2(x - 2)(x - 5) Przekształcam wzór na postać ogólną.

y = 2(x - 2)(x - 5) y = 2(x² - 5x - 2x + 10)

y = 2(x² - 7x + 10) y = 2x² - 14x + 20 Praca domowa

Zad 1. Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek W= (2, 3) i zawiera punkt A= (3, 7). Wzór zapisz w postaci ogólnej.

Zad 2. Znajdź wzór funkcji kwadratowej, która ma miejsca zerowe -2, 3 i jej wykres zawiera punkt A= (1, 12). Wzór zapisz w postaci ogólnej.

Zad 3.

Zad 4.