Cwiczenia nr 7, GAL I.2, 7.4.2020 Izometrie
Twierdzenie. Dowolna izometria Rn jest złożeniem co najwyżej n symetrii prostopadłych (względem podprzestrzeni kowymiaru 1).
Definicja. O(n)—grupa izometrii liniowych Rn, SO(n)—podgrupa tych izometrii, które zacho- wują orientację.
Zadanie 1. Znajdź wzór (macierz przekształcenia) na
(a) symetrię (prostopadłą) Sk : R2 → R2 względem prostej k : 3x + 4y = 0;
(b) symetrię Sπ : R3 → R3 względem płaszczyzny x + y + z = 0;
(c) symetrię Sk : R3 → R3 względem prostej k : lin{(1, 2, −1)};
(d) obrót R : R3 → R3 względem osi lin{(2, 1, 0)} i kącie ϕ taki, że cos ϕ = 2/3;
(e) symetrię SW : R4 → R4 względem W = lin{(1, 2, −1, 2), (3, 3, 1, 1)};
Zadanie 2. Wyznacz wszystkie a, b, c, d, e, f , dla których że macierz 1
3
2 1 a 2 b d c e f
jest ortogonalna.
Zadanie 3. Czy istnieje iloczyn skalarny ξ na R2, że przekształcenie ortogonalne f : R2 → R2 ma macierz M (f )stst równą
(a)
"
3 4 2 3
#
,
(b)
"
2 3
−1 −2
#
.
Zadanie 4. Wykaż, że dla dowolnej izometrii (liniowej) f : R3 → R3 jej kwadrat, f ◦ f , jest obrotem.
Zadanie 5. Udowodnij, że
(a) jeśli izometria R3 zachowuje orientację, to 1 jest jej wartością własną;
(b) jeśli izometria R3 nie zachowuje orientacji, to −1 jest jej wartością własną.
Zadanie 6. Niech f : R3 → R3 będzie obrotem. Opisz kąt obrotu w zależności od śladu f . Zadanie 7. Niech f : R3 → R3 będzie zadane macierzą
0 0 −1
1 0 0
0 −1 0
Wykaż, że f jest obrotem. Znajdź oś obrotu i kąt.
Zadanie 8. Niech f : R3 → R3 będzie zadane macierzą
0 0 1
1 0 0
0 −1 0
Przedstaw f jako złożenie symetrii i obrotu Zadanie 9. Niech f : R3 → R3 będzie zadane macierzą
2 3
2 3 −13
2
3 −13 23
1
3 −23 −23
Wykaż, że f jest obrotem. Znajdź oś obrotu i kąt.
Zadanie 10. Niech f, g : R3 → R3 będą obrotami, f, g 6= id. Wykaż, że f ◦ g = g ◦ f wtedy i tylko wtedy, gdy osie obrotów pokrywają się.
Zadanie 11. Niech A = lin{(1, 2, 1), (1, 0, 1)}, zaś B = (1, 0, 1)⊥. Znajdź izometrię f : R3 → R3 taką, że f (A) = B.
2
