• Nie Znaleziono Wyników

(a) Uzasadnij, że x1 ­ x2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(a) Uzasadnij, że x1 ­ x2"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

26.5.2020, kl 2b O liczbie e raz jeszcze

Zadanie 1. [Obliczmy

S] Niech x0> 0, xn+1= xn+xS

n.

(a) Uzasadnij, że x1 ­ x2 ­ . . .. Wywnioskuj stąd, że ciąg (xn) jest zbieżny.

(b) Uzasadnij, że granicą ciągu jest S.

(c) Oznaczmy n = xn

S − 1. Udowodnij, że n+1 < 12min{2n, n} dla każdej liczby n.

(d) Znajdź liczbę wymierną pq, p, q ∈ Z taką, że q > 100 oraz

|√ 2 − p

q| ¬ 1 q2.

Zadanie 2. Piszemy kolejno 1, α := 1.001, α2 = 1.002001, α3 = 1.003003001, . . .. Uzasadnij, że α1000> 2.

Zadanie 3. Narysuj wykres funkcji y = 1/x, x > 0 (hiperbola). Obszar pod hiperbolą dzielimy na krzywoliniowe prostokąty, których jeden z boków leży na osi OX i łączy dwa kolejne punkty ciągu 1, α, α2, . . . , αn, αn+1, gdzie α = 1+n1, a n jest ustaloną liczbą naturalną, powiedzmy n = 10000.

Uzasadnij, że pole każdego z tych prostokątów jest większe niż 1/(n + 1), ale mniejsze od 1/n. Czy pole pod hiperbolą nad odcinkiem od 1 do αn jest większe, czy mniejsze od 1?

Zadanie 4. Oznaczmy przez e0 taką liczbę, że pole pod hiperbolą y = 1/x nad odcinkiem [1, e0] wynosi dokładnie 1 Udowodnij, że

 1 + 1

n

n

< e0<

 1 + 1

n

n+1

a następnie wywnioskuj, że1e0 = e.

Zadanie 5. Złożenie prędkości w teorii względności:

v ⊕ v0= v + v0 1 + v · v0

(Prędkości liczymy w jednostkach prędkości światła c, zatem v, v0 (−1, 1). Układ B porusza się względem obserwatora A z prędkością v, natomiast obserwator w układzie B obserwuje obiekt C poruszający się względem niego z prędkością v0. Wówczas obserwator A obserwuje, że obiekt C porusza się względem niego z prędkością v ⊕ v0. ) Uzasadnij, że

(a) v ⊕ v0∈ (−1, 1) dla v, v0 ∈ (0, 1);

(b) v ⊕ v0= v0⊕ v,

(c) (v1⊕ v2) ⊕ v3= v1⊕ (v2⊕ v3).

Zadanie 6. Przyjmij c = 105[km/h]. Jaka jest procentowa różnica pomiędzy v ⊕ v0 a v + v0, jeśli v, v0 < 350[m/s] ( ≈ prędkość dźwięku)?

Zadanie 7. Oblicz granicę ciągu n1n1 ⊕ . . . ⊕n1 (n razy).

Zadanie 8. Uzasadnij, że 52 < e < 3.

Definicja. S(a, b) oznacza pole krzywoliniowego obszaru pod wykresem hiper- boli y = 1/x nad odcinkiem [a, b], gdzie 0 < a < b.

Zadanie 9. Jak zmieni się pole rozważanego obszaru, jeśli wykres funkcji y = 1/x zamienimy na wykres y = 2/x?

Zadanie 10. Udowodnij, że S(1, 2) = S(2, 4).

Zadanie 11. Udowodnij, że S(1, 9) = 2S(1, 3).

Zadanie 12. Uzasadnij, że jeśli oś OX podzielimy punktami ciągu geome- trycznego, to uzyskamy obszary o równych polach, tj. S(an, an+1) = S(an+1, an+2), jeśli (an) geometryczny, an> 0.

Zadanie 13. S(a, b) = S(1,ab).

Definicja. Liczbę S(1, x) oznaczamy przez ln x i nazywamylogarytmem na- turalnym z x. (Na razie x ­ 1.)

Zadanie 14. Udowodnij, że ln(ab) = ln a + ln b dla a, b > 1.

Zadanie 15. Udowodnij, że ln(b/a) = ln b − ln a dla b > a > 1.

1Liczbę e, zwaną liczbą Eulera, zdefiniowaliśmy wcześnie jako sumę szereguP k=0

1

k!. Wykazaliśmy również, że

e = lim

n→∞



1 +1 n

n

.

(2)

Zadanie 16. Jak należy określić ln x dla x ∈ (0, 1) by spełnione były dwie ostatnie równości dla każdych a, b > 0?

Zadanie 17. Uzasadnij, że ln(

a) = 12ln a, i znajdź wzór na ln√3

a, a > 0.

Zadanie 18. Obiekt A = A(t) porusza się po osi OX, przy czym jej prędkość jest proporcjonalna do odległości od zera. W chwili t = 0 nasz obiekt jest punkcie x = 1, tj. A(0) = 1. Uzasadnij, że obiekt osiągnie punkt x > 1 w chwili t = ln x, tj. A(ln x) = x.

Zadanie 19. Uzasadnij, że 1 n + 1< ln

 1 + 1

n



< 1 n.

Zadanie 20. Udowodnij, że funkcja x 7→ ln x jest ciągła.

Zadanie 21. Uzasadnij, że dla każdego a > 0 mamy ln(a+h) = ln a+ha+o(h) przy h → 0.

Zadanie 22. Udowodnij, że ln ex= x dla x całkowitych, a także dla wszyst- kich x ∈ R.

Zadanie 23. Udowodnij, że ciąg

1 + 1 2+1

3 + . . . + 1 n− ln n

jest monotoniczny i ograniczony.

Powodzenia !

2

Cytaty

Powiązane dokumenty

Explicit forms of e-type Tasoev continued fractions In this section, we shall show some explicit forms of the leaping convergents of e-type Tasoev continued fractions... Elsner,

W dowolnej macierzy maksymalna ilo±¢ liniowo niezale»nych wierszy jest równa maksymalnej ilo±ci liniowo niezale»nych

[r]

Pan Fabian do użyźniania pola stosuje saletrę amonową w ilości 25 g na jeden metr..

So, now you think you can solve every single problem involving systems of linear differential equations with constant coefficients, eh.. Not to let you down after all the work you

Wyznacz miarę kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do płaszczyzny

[r]

Znajdź wszystkie pierwiastki rzeczywiste tego równania.