26.5.2020, kl 2b O liczbie e raz jeszcze
Zadanie 1. [Obliczmy√
S] Niech x0> 0, xn+1= xn+xS
n.
(a) Uzasadnij, że x1 x2 . . .. Wywnioskuj stąd, że ciąg (xn) jest zbieżny.
(b) Uzasadnij, że granicą ciągu jest√ S.
(c) Oznaczmy n = √xn
S − 1. Udowodnij, że n+1 < 12min{2n, n} dla każdej liczby n.
(d) Znajdź liczbę wymierną pq, p, q ∈ Z taką, że q > 100 oraz
|√ 2 − p
q| ¬ 1 q2.
Zadanie 2. Piszemy kolejno 1, α := 1.001, α2 = 1.002001, α3 = 1.003003001, . . .. Uzasadnij, że α1000> 2.
Zadanie 3. Narysuj wykres funkcji y = 1/x, x > 0 (hiperbola). Obszar pod hiperbolą dzielimy na krzywoliniowe prostokąty, których jeden z boków leży na osi OX i łączy dwa kolejne punkty ciągu 1, α, α2, . . . , αn, αn+1, gdzie α = 1+n1, a n jest ustaloną liczbą naturalną, powiedzmy n = 10000.
Uzasadnij, że pole każdego z tych prostokątów jest większe niż 1/(n + 1), ale mniejsze od 1/n. Czy pole pod hiperbolą nad odcinkiem od 1 do αn jest większe, czy mniejsze od 1?
Zadanie 4. Oznaczmy przez e0 taką liczbę, że pole pod hiperbolą y = 1/x nad odcinkiem [1, e0] wynosi dokładnie 1 Udowodnij, że
1 + 1
n
n
< e0<
1 + 1
n
n+1
a następnie wywnioskuj, że1e0 = e.
Zadanie 5. Złożenie prędkości w teorii względności:
v ⊕ v0= v + v0 1 + v · v0
(Prędkości liczymy w jednostkach prędkości światła c, zatem v, v0 ∈ (−1, 1). Układ B porusza się względem obserwatora A z prędkością v, natomiast obserwator w układzie B obserwuje obiekt C poruszający się względem niego z prędkością v0. Wówczas obserwator A obserwuje, że obiekt C porusza się względem niego z prędkością v ⊕ v0. ) Uzasadnij, że
(a) v ⊕ v0∈ (−1, 1) dla v, v0 ∈ (0, 1);
(b) v ⊕ v0= v0⊕ v,
(c) (v1⊕ v2) ⊕ v3= v1⊕ (v2⊕ v3).
Zadanie 6. Przyjmij c = 105[km/h]. Jaka jest procentowa różnica pomiędzy v ⊕ v0 a v + v0, jeśli v, v0 < 350[m/s] ( ≈ prędkość dźwięku)?
Zadanie 7. Oblicz granicę ciągu n1⊕n1 ⊕ . . . ⊕n1 (n razy).
Zadanie 8. Uzasadnij, że 52 < e < 3.
Definicja. S(a, b) oznacza pole krzywoliniowego obszaru pod wykresem hiper- boli y = 1/x nad odcinkiem [a, b], gdzie 0 < a < b.
Zadanie 9. Jak zmieni się pole rozważanego obszaru, jeśli wykres funkcji y = 1/x zamienimy na wykres y = 2/x?
Zadanie 10. Udowodnij, że S(1, 2) = S(2, 4).
Zadanie 11. Udowodnij, że S(1, 9) = 2S(1, 3).
Zadanie 12. Uzasadnij, że jeśli oś OX podzielimy punktami ciągu geome- trycznego, to uzyskamy obszary o równych polach, tj. S(an, an+1) = S(an+1, an+2), jeśli (an) geometryczny, an> 0.
Zadanie 13. S(a, b) = S(1,ab).
Definicja. Liczbę S(1, x) oznaczamy przez ln x i nazywamylogarytmem na- turalnym z x. (Na razie x 1.)
Zadanie 14. Udowodnij, że ln(ab) = ln a + ln b dla a, b > 1.
Zadanie 15. Udowodnij, że ln(b/a) = ln b − ln a dla b > a > 1.
1Liczbę e, zwaną liczbą Eulera, zdefiniowaliśmy wcześnie jako sumę szereguP∞ k=0
1
k!. Wykazaliśmy również, że
e = lim
n→∞
1 +1 n
n
.
Zadanie 16. Jak należy określić ln x dla x ∈ (0, 1) by spełnione były dwie ostatnie równości dla każdych a, b > 0?
Zadanie 17. Uzasadnij, że ln(√
a) = 12ln a, i znajdź wzór na ln√3
a, a > 0.
Zadanie 18. Obiekt A = A(t) porusza się po osi OX, przy czym jej prędkość jest proporcjonalna do odległości od zera. W chwili t = 0 nasz obiekt jest punkcie x = 1, tj. A(0) = 1. Uzasadnij, że obiekt osiągnie punkt x > 1 w chwili t = ln x, tj. A(ln x) = x.
Zadanie 19. Uzasadnij, że 1 n + 1< ln
1 + 1
n
< 1 n.
Zadanie 20. Udowodnij, że funkcja x 7→ ln x jest ciągła.
Zadanie 21. Uzasadnij, że dla każdego a > 0 mamy ln(a+h) = ln a+ha+o(h) przy h → 0.
Zadanie 22. Udowodnij, że ln ex= x dla x całkowitych, a także dla wszyst- kich x ∈ R.
Zadanie 23. Udowodnij, że ciąg
1 + 1 2+1
3 + . . . + 1 n− ln n
jest monotoniczny i ograniczony.
Powodzenia !
2