ZALEŻNOŚĆ – FAKTY I MITY Streszczenie:

Stanisław Heilpern

Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów Katedra Statystyki

stanisław.heilpern@ue.wroc.pl

ZALEŻNOŚĆ – FAKTY I MITY

Streszczenie: Artykuł poświęcony jest wybranym zagadnieniom zależności zmiennych losowych, które można opisać za pomocą funkcji łączących (kopula). Opisano związek dwuwymiarowego rozkładu normalnego z gaussowską funkcją łączącą wraz z najczęściej stosowaną miarą zależności: współczynnikiem korelacji Pearsona. Wnioski odniesiono do przypadku wielowymiarowych rozkładów eliptycznych, w szczególności rozkładów nor- malnych. Zbadano także rozkład sumy zmiennych losowych pod względem najczęściej stosowanej miary ryzyka, jaką jest VaR. Pokazano, że największe wartości tej miary wcale nie muszą zachodzić dla ścisłej zależności ani dla niezależności.

Słowa kluczowe: wielowymiarowe rozkłady normalne, funkcje łączące.

Wprowadzenie

Obecnie coraz częściej w modelach związanych z finansami czy ubezpiecze- niami rozpatruje się zależne procesy czy zmienne losowe [Denuit, Genest, Marceau, 1999; Embrechts, McNeil, Straumann, 2001; McNeil, Frey, Embrechts, 2005;

Wang, 1999]. Praca poświęcona jest wybranym zagadnieniom dotyczącym zależ- ności zmiennych losowych. Przedstawiono w niej pewne fakty, które w pierw- szym momencie mogą się kłócić z intuicją, z pewnymi ustalonymi poglądami związanymi z wielowymiarowymi rozkładami zmiennych losowych. Fakty te dotyczą wielowymiarowego rozkładu normalnego oraz najczęściej stosowanych w praktyce miar zależności i ryzyka: współczynnika korelacji Pearsona i wartości narażonej na ryzyko VaR.

Strukturę zależności zmiennych losowych X1, …, Xn można opisać za po- mocą funkcji łączących (kopula). Funkcja łącząca C jest łącznikiem między dystrybuantami brzegowymi F_i(x) zmiennych X_i a dystrybuantą F(x₁, …, x_n) rozkładu łącznego [Heilpern, 2007; Nelsen, 1999]:

F(x₁, …, x_n) = C(F₁(x₁), …, F_n(x_n)). (1)

Stanisław Heilpern 86

Funkcja łącząca nie zależy od rozkładów brzegowych. Jest ona dystrybuan- tą rozkładu łącznego na [0, 1]ⁿ, którego rozkłady brzegowe mają rozkład jedno- stajny. Gęstość f rozkładu łącznego określona jest wzorem:

( , … , ) = ( ), … , ( ) ( ) … ( ), gdzie c jest gęstością funkcji łączącej C, a fi gęstością zmiennej losowej Xi.

Niezależności odpowiada funkcja łącząca Π(u1, … , un) = u1·… ·un, a ścisłej do- datniej zależności (współmonotoniczności) funkcja M(u1, … , un) = min(u1,…, un).

Oznaczmy symbolem ℱ(F1, … , Fn) zbiór wszystkich dystrybuant łącznych o tych samych dystrybuantach brzegowych Fi. Jest to tzw. klasa Frecheta−Hoeffdinga. Dla każdej dystrybuanty F ∈ ℱ(F1, … , Fn) zachodzą tzw. nierówności Frecheta [Nel- sen, 1999]:

max{F₁(x) + … + F_n(x) – n + 1, 0} ≤ F(x, y) ≤ min{F₁(x), … , F_n(x)}.

Funkcja max{F1(x) + … + Fn(x) – n + 1, 0} dla n > 2 nie musi być dystrybuantą.

W przypadku dwuwymiarowym W(u, v) = max(u + v – 1, 0) jest funkcją łą- czącą odpowiadającą ścisłej, ujemnej zależności (przeciwmonotoniczności).

Zmienne losowe X i Y są współmonotoniczne, gdy Y = ( ( )) i przeciw- monotoniczne, gdy Y = (1 − ( )).

W pracy będziemy wykorzystywać gaussowską funkcję łączącą określoną wzorem:

( , … , ) = Φ^{( )}(Φ ( ), … , Φ ( )),

gdzie Φ^{( )} dystrybuanta n-wymiarowego standardowego rozkładu normalnego o macierzy korelacji R, a Φ jest dystrybuantą jednowymiarowego, standardowe- go rozkładu normalnego.

Punkt 1 poświęcony jest dwuwymiarowemu rozkładowi normalnemu. Po- każemy, że jest on ściśle związany z gaussowską funkcją łączącą. Następnie omówimy najczęściej stosowaną miarę zależności: współczynnik korelacji Pear- sona. Pokażemy jego wady: zależność od rozkładów brzegowych, brak nie- zmienniczości względem rosnących przekształceń oraz fakt, że dla ustalonych rozkładów brzegowych nie muszą być osiągalne wszystkie możliwe wartości tego współczynnika. W przypadku wielowymiarowych rozkładów eliptycznych, np. normalnych, współczynnik korelacji Pearsona nie ma tych wad. Na zakoń- czenie badamy rozkład sumy zmiennych losowych pod względem najczęściej stosowanej miary ryzyka, jaką jest VaR. Pokażemy, że największe wartości tej miary wcale nie muszą zachodzić dla ścisłej zależności ani dla niezależności.

Niestety, z takim poglądem można się niekiedy spotkać na wystąpieniach konfe- rencyjnych czy w publikacjach związanych z analizą portfelową.

1

s

a

p r n n g z n r

R Ź

1. R

stan

a m

para rozk nie nym gow zale niż row

Rys.

Źród

Roz

W ndar

maci

D ame

Br kład mu m. Z wym eżno nor wego

. 1. W dło: O

zkł

W d rdow

erz

wuw etru

rze d n usi w

Zac mi j ośc rma o ro

Wyk Opra

ład

dalsz wy

z ko

wym r. W gow norm wyn chod jest ci za

alne ozkł

kres cowa

d no

zych roz

orela

mia Wyk we r maln nik dzi t op ada e w ładu

dwu anie

orm

h r zkła

( )

acji

arow kres roz ny.

ać, tak pisa ana wielo

u n

uwy wła

mal

rozw ad n

)( ,

i prz

wy, s gę zkła Ni że k je ana jes owy orm

ymia sne.

lny

waż norm

, ) zyjm

stan ęsto ady iest roz edyn

gau st za ymi maln

arow

y

żani maln

= muj

nda ości wie tety zkła

nie, uss a p iaro neg

wego Z

iach ny.

2 uje p

ardo teg elow y, z

ad ł , gd ow om owe go.

o roz Zależ

h bę Jeg

1

√1 post

owy o ro wym

fak łącz

dy ską mocą

e ro

zkład żno

ędz go g

1

− tać:

= roz ozkł mia ktu, zny stru ą fu

ą in ozkł

du n ość –

ziem gęsto

:

= zkła

ładu arow , że

jes uktu unkc nnyc łady

norm – fak

my j ość

exp

1 ad n

u dl weg e ro st w ura cją ch y. N

maln kty i

jed okr p −

1 norm

la r go r ozkł wielo

za łąc fun Naw

nego i mi

dyni reśl

−

. maln

= 0 rozk

łady owy ależn cząc nkcj wet

ity

ie r lona

− 2

ny z 0,6 p kład y b ym noś cą.

ji łą ist

rozp a jes

− 2 (1

zale prze du n brze miaro

ści W ączą totn

patr st w

−

eży w edst

norm egow

owy mię prz ący nie r

ryw wzor

+ )

wię tawi mal we ym ędz zyp ych, różn

ać rem

ęc je iony lneg są roz y r padk

, ot ne

dw m [W

,

edyn y je

go m nor zkła rozk ku trzy

od wuw

Wan

nie st n maj rma adem kład

gdy ymu

wie wym

ng, 1

od j na ry ją r alne m n dam y st ujem

elow miaro

199

jedn ys. 1 rów e w norm mi b

truk my

wym 8

owy 99]:

neg 1.

wnie wcal mal brze ktur inn mia 87

y,

go eż le l- e- ra ne a-

8

P a

R Ź

b 88

Prz a. N

o

g m

a ł

Rys.

Źród

b. P n zykł

Nie o st

gdz man

a 1_A łącz

Ry

. 2. G dło: O

Prz nyc

ład ech tand

zie nn,

A(t) zne

ysu

Gęst Opra

ykł ch [N

d 1 stru dard

fun 200

jes go

unek

tość cowa

ład Nel

uktu dow

nkcj 01]

st in opi

k 2

ć roz anie

syn lsen

ura wym

je f :

ndy isan

prz

zkład wła

ngu n, 1

zal m ro

f(t)

ykat na je

zeds

du łą sne n

ularn 999

leżn ozk

,

ora

( ( ) tore

est

staw

ączn na po

neg 9].

noś kład ( ,

az g

) = ) = em z

wz F wia

nego odsta

go r ści z dzie , )

g(t)

=

= − zbio zore F(x, a gę

o z p awie

rozk Sta

zach nor

=

za

( ,

(

oru em:

y) sto

przyk e [Em

kład anis

hod rma

adan

; ,

, ; ,

u A.

= C ść t

kład mbrec

du ł sław

dząc alny +

ne s

)(

, )( Wt

C_f,g( tego

du 1a chts,

łącz w He

cej ym

są w

) − ( ) +

tedy (Φ(

o ro

a , Mc

zneg eilp

mię opi ( )

wzo

−2 3 +2

3 y d ( ), ozkł

cNeil

go ern

ędz isan )

oram

(

2 3 ⁽ dystr

, Φ(

ładu

l, Str

o b zy d

na j

mi

, ;

( , ;

ryb ( ) u.

raum

brze dwo

jest (

[Em

, )

, )

buan ).

mann]

egow oma

fun )

mbr

( )

) ( nta

].

wyc a zm

nkcj ,

rech

), ), otr

ch r mien cją ł

hts,

zym

roz nny łącz

, M

man

zkła ymi

zącą

McN

nego

adac los ą po

Neil,

o ro

ch n sow osta

, St

ozk

norm wym

aci:

trau

kład

mal mi

u-

du

l-

Zależność – fakty i mity 89

Niech C(u, v) będzie funkcją łączącą będącą dystrybuantą rozkładu jed- nostajnego skupionego na brzegu kwadratu utworzonego przez wykresy linii v = u + 0,5 i v = –u + 0,5 dla 0 ≤ u ≤ 0,5 oraz v = u – 0,5 i v = –u + 1,5 dla 0,5 ≤ u ≤ 1 (rys. 3a). Wtedy rozkład łączny z dystrybuantą opisaną wzorem:

F(x, y) = C(Φ( ), Φ( ))

skupiony jest na krzywych określonych równaniem (rys. 3b):

|Φ( ) − 0,5| + |Φ( ) − 0,5| = 0,5.

Z drugiej strony, sama gaussowska funkcja łącząca nie wyznacza nam wielowymiarowego rozkładu normalnego. Wstawiając do wzoru (1) gaus- sowską funkcję łączącą oraz inne niż normalne brzegowe dystrybuanty, nie otrzymamy dystrybuanty wielowymiarowego rozkładu normalnego.

a) b)

Rys. 3. Krzywe, na których skupiona jest funkcja łącząca (a) oraz rozkład łączny (b) z przykładu 1b Źródło: Opracowanie własne na podstawie [Nelsen, 1999].

Przykład 2. Rozpatrzmy dwuwymiarowy rozkład o dystrybuancie:

( , ) = _, ( ), ( ) ,

gdzie H(x) jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na odcinku [−3, 3]. Na rys. 4 przedstawiona jest gęstość f(x, y) tego rozkładu. Widzimy, że wykres ten istotnie różni się od wykresu gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego (rys. 1).

W punktach (−3, −3) oraz (3, 3) graniczna wartość gęstości jest równa nieskoń- czoności.

Gęstość f(x, y) z przykładu 2 została wyznaczona z następującego wzoru:

( , ) = _, ( ), ( ) ℎ( )ℎ( ),

0 1

0 1 ^-3

0 3

-3 0 3

9

g s

R

Ź

2

s

g n z P 90

gdz sow

Rys.

Źród

2. M

son

gdzi niem zale Przy

zie h wski

4. W w dło: O

Mia

N a r

ie c m s eżno

ykła h(x) iej f

Wyk wyz Opra

ary

Najc okr

cov(

tand ości adow

) gę fun

kres znac cowa

y za

zęś reśl

(X, dard i lin

wo ęsto nkcj

gęs zon anie

ależ

ciej lony

Y) = dow niow zac

ości i łą

stośc ej pr wła

żno

j st y w

= E wym wej.

chod ią r ączą

ci ro rzez sne.

ośc

toso wzor

E(XY m zm

Nie dzi

ozk ącej

ozkła z gau

ci

owa rem

Y) – mie e je zale

r kład

j

adu usso

aną m:

– EX enne est o eżn (Φ(

du j m Φ

łącz owsk

mi

XEY ej X on n ość (X),

Sta

edn oże ( )

zneg ką fu

iarą

( , Y jes X. N niezm ć [Em , Φ(

anis

nost emy ), Φ

go dw unkc

ą za

, ) st k Nale mie mbr (Y))

sław

tajn y ob ( )

wóch cję ł

ależ

) = kowa

eży enni rech ) =

w He

nego blic ) =

h ro ączą

żnoś cov

aria jed iczy hts, a

eilp

o n zyć

=

ozkła ącą

ści v(

ancj dnak

y ze Mc arcs

ern

na [−

ć ko

( )

( )

adów

jes ,

ą zm k pa e wz cNe sin

−3, orzy ( , ) (

w je

st w ),

mie ami zglę eil, S

(

3].

ysta ) ( )

dno

wspó

enny iętać ędu

Stra

, )

. N ając

.

stajn

ółcz

ych ć, ż na aum

) . atom c z z

nych

zyn

X i że je

rosn mann

mia zale

h o s

nnik

i Y, est nąc n, 20

ast eżno

struk

k ko

a s_X on ce pr

001 gęs ośc

kturz

orel

X je jed rzek 1]:

stoś ci:

ze z

lacj

est o dyni kszt

ść g

zależ

ji P

odch ie m tałc

gaus

żnośc

Pear

hyle miar enia

s-

ci

r-

e- rą a.

Zależność – fakty i mity 91

Współczynnik korelacji Pearsona jest jedynie niezmienniczy ze względu na rosnące przekształcenia liniowe, tzn. dla a, c > 0 zachodzi zależność:

r(aX + b, cY + d) = r(X, Y).

Kowariancję można zapisać w języku funkcji łączących wzorem [Em- brechts, McNeil, Straumann, 2001]:

cov( , ) = ( ( ( ), ( ))

∞

∞

− Π( ( ), ( ))) .

Widzimy, że na wielkość kowariancji, jak i współczynnika korelacji Pearsona r wpływa nie tylko funkcja łącząca, ale i dystrybuanty rozkładów brzegowych. Nato- miast inne współczynniki korelacji: Kendalla τ i Spearmana ρ są jednoznacznie wy- znaczone przez funkcje łączące [Embrechts, McNeil, Straumann, 2001]:

( , ) = 4 ( , ) ( , ) − 1,

( , ) = 12 ( ( , ) − ) .

Należy też pamiętać, że gdy wariancje nie istnieją, to nie można wyznaczyć współczynnika korelacji Pearsona r. Ponadto dla ustalonych rozkładów brzego- wych X i Y nie wszystkie wartości współczynnika korelacji Pearsona r są osią- galne dla wszystkich możliwych rozkładów łącznych, czyli elementów rodziny ℱ(F_X, F_Y). Mówi o tym poniższe twierdzenie pochodzące od Höffdinga i Frecheta.

Twierdzenie 1 [Embrechts, McNeil, Straumann, 2001]. Jeżeli X, Y są zmienny- mi losowymi o dowolnej strukturze zależności z dystrybuantami F_X, F_Y oraz 0 < σX < ∞, 0 < σY < ∞, to:

a. Zbiór wszystkich możliwych wartości współczynnika korelacji Pearsona jest domkniętym przedziałem [r_min, r_max] oraz r_min < 0 < r_max.

b. Najmniejszą wartość współczynnika korelacji r_min otrzymujemy wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne X, Y są przeciwmonotoniczne, a największą rmax dla współmonotonicznych.

c. r_min = –1 wtedy i tylko wtedy, gdy zmienne X, –Y mają rozkłady tego samego typu. Natomiast r_max = 1, gdy X, Y mają rozkłady tego samego typu.

d. Gdy sup{x: FX(x) < 1} = sup{x: FY(x) < 1} = ∞ oraz X, Y ≥ 0, to nigdy nie otrzymamy r = –1.

Stanisław Heilpern 92

Ekstremalne wartości współczynnika korelacji Pearsona występują jedynie, gdy zmienne są zależne liniowo, czyli Y = aX + b. Wartość r = 1 otrzymamy, gdy a > 0 oraz r = –1 gdy a < 0.

Przykład 3

a. Niech zmienne losowe X i Y mają rozkład wykładniczy o dystrybuantach F_X(x) = 1 – e^-ax oraz F_Y(y) = 1 – e^-by, gdzie a, b > 0. Największą wartość współczynnika korelacji otrzymamy dla współmonotonicznych zmiennych losowych. Wtedy Y = X oraz r(XY) = 1. Natomiast gdy zmienne te są prze- ciwmonotoniczne, to Y = − (1 − ) oraz:

( ) = − (1 − )

∞

=12 − 6 . Współczynnik korelacji jest wtedy równy:

( , ) =

12 −6 − 1

1 = 1 −

6. Podsumowując, otrzymujemy:

r_min = 1 − ≈ −0,6449, r_max = 1.

b. Załóżmy teraz, że zmienne mają rozkład logarytmiczno-normalny: zmienna X z parametrami 0 i 1, a Y z parametrami 0 i σ > 0. Wtedy [Embrechts, McNeil, Straumann, 2001]:

r_min = r(e^Z, e^-σZ) =

( ) ,

gdzie zmienna losowa Z ma rozkład standardowy normalny oraz:

r_max = r(e^Z, e^σZ) =

( )

.

R Ź

w c N z σ W w w

3

z

w

g

Rys.

Źród

war czy Nat zale σ = Wy w a wsp

3. S

zale

wte

gdz

. 5. W dło: O

Z rtoś m w tom eży 1, ykre R ana półc

Sum

Zb eżno

edy

zie:

War Opra

tw ści w

war mias

od a d esy ozk alizi czyn

my

bad ośc

dys

rtośc cowa

wierd wsp rtoś t w d wa dla σ war kład ie p nni

y zm

dam ci za

stry

ci r_m anie

dze półc ść d w pr

arto σ >

rtoś d lo

por k k

mie

my t adan

ybua

, (

A

min i r wła

enia czyn doln

rzy ości 3,5 ści ogar rtfel kore

enn

era na j

anta ) =

A(s)

r_max sne n

a 1d nni nej ypad

i pa 5 w tych rytm low elacj

nyc

z ro jest

a su

=

) =

dla na po

d w ka gra dku aram wspó

h g micz wej.

ji P

ch

ozk t fun

umy

( )

K(s {(u

róż odsta

wyni kor anic u ro met ółcz gran zno N Pear

los

kład nkc

y SC

s) = u₁, …

Z

nych awie

ika, rela cy r ozkł tru zynn nic:

o-no ależ rson

sow

d sum cją ł

C ok

= {(

…, Zależ

h wa e [Em

, że acji rmin

ładu σ. M nik

rmin

orm ży na.

wyc

my łącz

S_C kreś

(

(x1, u_n)

żno

arto mbrec

e w r = nie u lo Ma k ko

n i r maln wi

ch,

y zm ząc

= X ślon ),

…, :

ość –

ści p chts,

ob

= –1 e za oga aksy orela

rmax

ny w ęc

, w

mien ą C X₁ + na j

… ,

, xn) (

– fak

para , Mc

bydw 1. D ależ arytm yma

acji

x zo wyk w

wyz

nny C. N + …

est (

): x ( )

kty i

amet cNeil

wu Dla ży o

mic alną i jes ostał

korz tym

nac

ych Niec

… + wz (

1 + ) +

i mi

tru σ l, Str

prz zm od w

czn ą w st z ły p zyst m

cza

los ch:

X_n, zore

)

…

… ity

σ raum

zyp mien war o-n warto

zaw prze tyw prz

ani

ow

, em

=

+ x +

mann,

padk nnyc rtoś norm

ość wsze edst wany

zypa

ie V

wych

[He

( )

xn ≤

, 200

kach ch o ci w maln otr e ró

taw y je adk

VaR

h X

eilp

≤ s}

(

01].

h n o ro wsp neg rzym

wn wion

est ku o

R

X₁, …

pern (

, ) ≤

nie m ozkł półc go s

mam ny w

ne n czę ostr

…, X

n, 20 , …

≤ s}

moż ładz czyn sytu my w pr na ry ęsto

rożn

X_n,

011

… ,

}.

żna zie nni uacj y jed rzyb ys.

o w nie

gdy

1]:

), a ot

wy ków cja

dyn bliż 5.

fin st

y st trzy ykła w a isto nie,

żeni nans oso

truk 9

yma adni a i b

otni gd iu 0 sach owa

ktur 93

ać i- b.

ie dy

0.

h, ać

ra

Stanisław Heilpern 94

Dystrybuanta sumy zmiennych losowych jest ograniczona z dołu i z góry przez dystrybuanty F_min i F_max. Ich postać podana jest w twierdzeniu 2.

Twierdzenie 2 [Denuit, Genest, Marceau, 1999]. Niech X₁, …, X_n będą dowol- nymi zmiennymi losowymi o strukturze zależności opisanej funkcją łączącą C.

Jeżeli FS,C(s) jest dystrybuantą ich sumy SC = X1 + … + Xn, to F_min(s) ≤ F_S,C(s) ≤ F_max(s),

gdzie:

( ) = sup

∈Σ( )max ( ) − + 1, 0 ,

( ) = inf

∈Σ( )min ( ), 1 ,

oraz Σ(s) = {(x₁, …, x_n): x₁ + … + x_n = s} i ( ) = ( < ).

Ponadto, nie istnieje też funkcja łącząca C, taka że graniczne dystrybuanty F_min i F_max są dystrybuantami sumy S_C, ale dla każdego x₀ istnieje funkcja łącząca C0, taka że _, ( ) = ( ). Podobnie jest dla ograniczenia Fmax.

Przejdźmy teraz do zbadania podstawowych miar ryzyka dotyczących sumy zależnych zmiennych losowych S. Taką miarę ryzyka będziemy oznaczać sym- bolem γ(S; C), gdzie C jest funkcją łączącą opisującą strukturę zależności zmiennych losowych X_i.

Koherentna miara ryzyka powinna spełniać cztery, pożądane w praktyce aksjomaty [McNeil, Frey, Embrechts, 2005]. Powinna być niezmiennicza względem transformacji, dodatnio jednorodna, monotoniczna i subaddytywna.

Ostatnia własność, subaddytywność: γ(X + Y) ≤ γ(X) + γ(Y) zachodzi dla każdej zmiennej X i Y, związana jest z dywersyfikacją ryzyka. Najczęściej stosowaną w praktyce miarą ryzyka jest wartość narażona na ryzyko (Value-at-Risk) VaR_α(X). Jest to prosta miara ryzyka będąca kwantylem zmiennej X:

VaRα(X) = inf{x: FX(x) ≤ α}.

Nie jest ona jednak koherentną miarą ryzyka. Nie spełnia warunku subad- dytywności. Można też pokazać [McNeil, Frey, Embrechts, 2005], że dla współmonotonicznych zmiennych losowych jest ona addytywna:

VaR_α(S; M) = VaR_α(X₁) + … + VaR_α(X_n).

Zależność – fakty i mity 95

Miara VaRα nie jest subaddytywna. Istnieje więc funkcja łącząca C, taka że VaR_α(S; C) > VaR_α(X₁) + … + VaR_α(X_n), czyli zachodzi relacja:

VaRα(S; M) < VaRα(S; C).

Współmonotoniczne zmienne losowe wcale nie muszą więc dawać naj- większej wartości VaRα dla ich sumy.

W przypadku gdy zmienne X₁, ..., X_n mają łączny rozkład eliptyczny, to miara VaR_α jest koherentna [McNeil, Frey, Embrechts, 2005]. Wtedy VaR_α(S; M) ≥

≥ VaRα(S; C) dla każdej struktury zależności. Podobna sytuacja zachodzi dla innej miary ryzyka: średniego niedoboru (expected shortfall) określonego wzorem:

ES ( ) = 1

1 − VaR ( )d . Dla ciągłych zmiennych losowych zachodzi zależność:

ES_α( ) = E( | > VaR_α( )).

Średni niedobór jest koherentną miarą ryzyka również addytywną dla współmonotonicznych zmiennych losowych [McNeil, Frey, Embrechts, 2005].

Tak więc współmonotoniczne zmienne gwarantują nam największą wartość tej miary ryzyka:

VaR_α(S; C) ≤ VaR_α(S; M).

Ponadto, wcale nie jest prawdą, że wartość miary VaRα jest zawsze większa dla zmiennych współmonotonicznych niż dla przecimonotonicznych czy nieza- leżnych. Zagadnienie to poruszają przykłady 4 oraz 5. Przedstawiają one dwie przeciwstawne sytuacje.

Przykład 4 [Heilpern, 2011]. Niech zmienne losowe X1 i X2 mają rozkład wy- kładniczy o dystrybuancie F_i(x) = 1 – e^-x. Na rys. 6 przedstawione są wykresy dystrybuant sumy przeciwmonotonicznych, niezależnych i współmonotonicz- nych tych zmiennych losowych oraz dolnego ograniczenia Fmin(x).

9

R Ź

o m t

g

= r P o N b 96

Rys.

Źród

otrz mon to, ż

gdz

= rozk Prz o dy Nat bień

. 6. W dło: O

W zym noto że d

zie O kład zykł

ystr tom ństw

Wyk Opra

Widz muje oni dla

C_α ( dm du P ład rybu mias

w b

kresy cowa

zim emy czn wa

je ) mien

Par d 5 [

uan t ry lisk

y dy anie

my, y dl nych

rtoś Va st

= nną

reto [He ncie ys.

kich

ystry wła

że la z h. N ści aR_α( fun . syt . eilp

F_i( 7b h 1.

ybua sne n

dl zmi Nato

α b (S, nkcj

tuac

ern (x) =

prz

ant s na po

la m enn om blisk

W) ją cję

n, 20

= 1 zeds

sumy odsta

mał nych

iast kich

< V łącz otr

011 1 −

staw

y zm awie

łych h w t dl h 1 VaR

ząc rzym

]. N

√ . wia

Sta

mien e [He

h w wspó a du otrz R_α(S cą,

muj

Nie W a te

anis

nnyc eilper

war ółm uży zym S, Π

dla jem

ch z Wykr

sam sław

ch lo rn, 2

rtoś mon ych muj Π) <

a k my d

zmi resy me

w He

osow 2011]

ci noto

wa em

< Va tóre dla

ienn y dy

dy eilp

wych ].

x n onic

arto my z aR_α ej

roz

ne l ystry

stry ern

h o r

najw czny ości ależ

α(S, istn zkła

loso ybu ybu

rozkł

wię ych

x r żno M) niej adów

owe uant uant

ładz

ększ h, a rela ości ) <

e x w g

e X t pr ty d

zie w

zą naj cje i:

Va x_α, grub

X1 i X rzed dla

wykł

wa jmn

są

aR_α( tak boo

X2 m dsta

war

ładn

arto niej odw

(S, C kie ogo

maj awio rtoś

niczy

ść szą wro

C_α) że now

ją ro one ści

ych

dy ą dla

otne

,

wyc

ozk są pra

stry a pr e. O

,

ch,

kład na awd

ybu rze Ozn

( np.

d Pa rys dopo

uant ciw acz

) = . dl

aret s. 7a

odo ty w-

za

= la

to a.

o-

R Ź

w n b p n s w w

Rys.

Źród

wię nyc bua praw nie sze wro wię

. 7. W dło: O

W ększ ch, a anty

wie wię

dla otna ększ

Wyk Opra

W pr ze w

a na y n e ró ęks a α a ja za d

kresy cowa

rzyp war

ajm ieza wn sze

= ak dla w

y dy anie

pad rtoś mnie

ależ ne. W

niż 0,9 w wsp

ystry wła

dku ci d ejsz

żny War ż dl 97 o

prz półm

ybua sne n

gd dys ze d ych rtoś a w od d zypa mon

ant s na po

dy z tryb dla p i ści wspó

doln adk noto

sumy odsta

zmi bua prze

prz VaR ółm nej ku r oni

Z

y zm awie

ienn anty eciw zeci

R_α mon

gra roz czn

Zależ

mien e [He

ne X y ot

wm iwm

dla noto anic kła nych

żno

nnyc eilper

X_i m trzy mono

mon a prz onic

cy F adu

h zm ość –

a

b ch lo

rn, 2

maj ymu oton noto

zec czny

Fmi

wy mie

– fak

a)

b) osow 2011]

ją r ujem

nicz onic ciwm

ych

in(x) ykła enny

kty i

wych ].

rozk my

zny czny

mon h, je

) (p adn ych

i mi

h o r

kład dla ych.

ych noto edna patr nicz h los

ity

rozkł

d P a w . Dl h zm

oni ak rz r zego

sow

ładz

are wspó

la x mie czn aż rys.

o, g wyc

zie P

to, ółm x wi enny nych pon 7b gdz ch.

Paret

to mono

ięks ych h zm nad b). J zie

to

dla oton szy h lo

mie d dw Jest

wa a ka

nicz ych

oso enny wuk

t to artoś

ażd zny od wy ych krot o sy ść

ego ych

60 ych

h są tnie ytua Va

o x zm dys są ą zn mn acja aR_α

9

naj mien stry ju nacz niej a od jes 97

j- n- y- uż

z- j- d- st

Stanisław Heilpern 98

Literatura

Denuit M., Genest C., Marceau E. (1999), Stochastic Bounds on Sums of Dependent Risks,

„Insurance: Mathematics and Economics”, No. 25, s. 85-104.

Embrechts P., McNeil A., Straumann D. (2001), Correlation and Dependence in Risk Management: Properties and Pitfalls [w:] Dempster M., Moffatt H.K. (eds.), Risk Management: Value at Risk and Beyond, Cambridge University Press, Cambridge.

Heilpern S. (2007), Funkcje łączące, Wydawnictwo AE, Wrocław.

Heilpern S. (2011), Aggregate Dependent Risk − Risk Measure Calculation, „Mathematical Economics”, No. 7(14), s. 93-110.

McNeil J.A., Frey R., Embrechts P. (2005), Quantitative Risk Management. Concepts, Techniques and Tools, Princeton University Press, Princeton.

Nelsen R.B. (1999), An Introduction to Copulas, Springer, New York.

Wang S.S. (1999), Aggregation of Correlated Risk Portfolios: Models & Algorithms, CAS Committee on Theory of Risk, Working Paper.

DEPENDENCE – FACTS AND MYTHS

Summary: The main aim of the article is to show chosen issues of random variables which can be described in the form of copula functions. In the first part the relationship between two-dimensional normal distribution with Gaussian copula function was shown together with the most common measure – Pearson correlation coefficient. Conclusions were referred to multivariate elliptical distributions, mainly to normal distributions with major focus on generally used risk measure – value at risk (VaR). It was shown that the highest values of this measure need not appear for close dependence as well as for independence.

Keywords: multivariate normal distribution, copula functions.