WZORY 1. Pochodne funkcji elementarnych:

WZORY 1. Pochodne funkcji elementarnych:

(a) (c) ⁰ = 0 ;

(b) (x ^α ) ⁰ = αx ^α−1 dla α ∈ R (c) (sin x) ⁰ = cos x ;

(d) (cos x) ⁰ = − sin x ; (e) (tg x) ⁰ = _cos ¹

x ; (f) (ctg x) ⁰ = − _sin ¹

x ;

(g) (a ^x ) ⁰ = a ^x ln a, (e ^x ) ⁰ = e ^x ; (h) (log a x) ⁰ = _{x ln a} ¹ , (ln x) ⁰ = _x ¹ ;

(i) (arcsin x) ⁰ = ^{√ 1}

1−x

; (j) (arccos x) ⁰ = − ^{√ 1}

1−x

; (k) (arctg x) ⁰ = _1+x ¹

;

(l) (arcctg x) ⁰ = − _1+x ¹

. 2. Reguªy ró»niczkowania:

(a) (f(x) ± g(x)) ⁰ = f ⁰ (x) ± g ⁰ (x) ; (b) (c · f(x)) ⁰ = c · f ⁰ (x) ;

(c) (f(x) · g(x)) ⁰ = f ⁰ (x) · g(x) + f (x) · g ⁰ (x) ; (d) 

f g

 0

(x) = ^f

(x)·g(x)−f (x)·g

(x)

[g(x)]

, o ile g(x) 6= 0;

(e) (g(f(x))) ⁰ = g ⁰ (f (x)) · f ⁰ (x) . 3. Caªki z funkcji elementarnych:

(a) R 0dx = C,

(b) R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + C dla α 6= −1, (c) R ^dx _x = ln |x| + C,

(d) R e ^x dx = e ^x + C,

(e) R a ^x dx = _{ln a} ^a

+ C dla 0 < a 6= 1, (f) R sin xdx = − cos x + C,

(g) R cos xdx = sin x + C, (h) R _sin ^dx

_x = − ctg x + C,

(i) R _cos ^dx

_x = tg x + C, (j) R _1+x ^dx

= arctg x + C, (k) R ^√ _1−x ^dx

= arcsin x + C ,

(l) R ^f _{f (x)}

^(x) dx = ln |f (x)| + C . 4. Wzór na caªkowanie przez cze±ci

Z

f (x)g ⁰ (x)dx = f (x)g(x) − Z

f ⁰ (x)g(x)dx.

1