14.04.2020 r.
Zestaw II
Ciecze - hydrostatyka, dynamika
Zagadnienia kolokwialne
Nacisk słupa powietrza na dno naczynia - ciśnienie hydrostatyczne
Prawo Pascala - działanie podnośnika hydraulicznego,
Równanie ciągłości dla cieczy nieściśliwej
Zadanie 1
Wyznaczyć ciśnienie hydrostatyczne wywierane przez słup cieczy o wysokości 1 m na dno naczynia. Przyjąć, że gęstość cieczy wynosi 𝜌 = 1000 kg/m3.
Odpowiedź: 9810 Pa Zadanie 2
W rurce w kształcie litery U znajduje się woda. Do jednego z ramion rurki wlano nieznanej cieczy.
Odczytano, że wysokości wody hw = 12 cm odpowiada w drugim ramieniu rurki wysokość nieznanej cieczy hx = 16 cm. Zakładając, że gęstość wody wynosi 𝜌 = 1000 kg/m3 obliczyć gęstość nieznanej cieczy 𝜌 .
Wskazówka: należy porównać ciśnienia hydrostatyczne: 𝜌 𝑔ℎ = 𝜌 𝑔ℎ Odpowiedź: 750 kg/m3
Zadanie 3
W naczyniu w kształcie walca znajduje się ciecz. Całą ciecz przelano do naczynia o tym samym kształcie ale o trzykrotnie mniejszym promieniu. Ile wynosi stosunek ciśnień hydrostatycznych w obu przypadkach?
Odpowiedź: Ciśnienie wzrośnie 9 razy.
Zadanie 4
Do jednego z ramion rurki w kształcie litery U nalano rtęci o gęstości 13600 kg/m3, a następnie nafty o gęstości 800 kg/m3, przy czym wysokość słupka nafty wynosi 10 cm. Jaka będzie wysokość słupka wody hw o gęstości 1000 kg/m3, którą trzeba dolać do drugiego z ramion, aby poziomy górne były na tej samej wysokości.
Zadanie 5
Zbiornik o wysokości H przedstawiony na Rys. 1 został częściowo wypełniony wodą do wysokości h. Na dnie zbiornika wykonano otwór, którym wylewa się woda. Przyjmując, że ciśnienie powietrza w zbiorniku było na początku równe ciśnieniu atmosferycznemu 𝑝 obliczyć do jakiego poziomu d obniży się poziom cieczy w zbiorniku. Przyjąć, że powietrze w zbiorniku podczas ubywania wody rozpręża się izotermicznie.
Rys.1. Ilustracja do zadania 5.
Rozwiązanie
Wypływanie wody jest wynikiem większego ciśnienia panującego na dnie zbiornika od ciśnienia zewnętrznego, które jest równe ciśnieniu atmosferycznemu. Ciśnienie na dnie zbiornika jest sumą ciśnienia hydrostatycznego oraz ciśnienia poduszki powietrznej nad cieczą.
Zmniejszanie poziomu cieczy w zbiorniku powoduje zmniejszanie się ciśnienia hydrostatycznego jak również wskutek rozprężania gazu ponad cieczą zmniejszanie ciśnienia poduszki powietrznej.
W przypadku, gdy zrównoważą się odpowiednie ciśnienia nastąpi zatrzymanie wyciekania cieczy ze zbiornika. Oznacza to, że
𝑝 = 𝜌𝑔𝑑 + 𝑝 (1)
gdzie 𝑝 oznacza ciśnienie gazu nad cieczą.
Biorąc pod uwagę izotermiczne rozprężanie gazu możemy zapisać
𝑝 𝑉 = 𝑝𝑉 (2)
gdzie 𝑉 = 𝑆(𝐻 − ℎ) jest początkową objętością gazu, 𝑉 = 𝑆(𝐻 − 𝑑) jest końcową objętością gazu, a 𝑆 jest polem powierzchni zbiornika (wielkość ta nie jest dana ale ulegnie skróceniu).
Ze wzoru (2) wyznaczymy ciśnienie 𝑝 a następnie podstawiamy do wzoru (1) otrzymując
𝑝 (𝐻 − 𝑑) = 𝜌𝑔𝑑(𝐻 − 𝑑) + 𝑝 (𝐻 − ℎ) (3) Powyższe równanie można zapisać jako
𝑑 − 𝑑 + = 0 (4)
Rozwiązując równanie kwadratowe (4) należy wybrać dodatnie rozwiązanie.
Zadanie 6
Otwarty zbiornik o wysokości h odwrócono dnem do góry i zanurzono na głębokość H w wodzie o gęstości 𝜌 (patrz Rys. 2). Znając ciśnienie atmosferyczne 𝑝 obliczyć na jaką wysokość L wniknie woda do zbiornika po jego zanurzeniu.
Rys.2. Ilustracja do zadania 6.
Wskazówka
Na granicy powietrze - woda wewnątrz zbiornika zachodzi równowaga ciśnień.
Suma ciśnienia atmosferycznego i ciśnienia hydrostatycznego na głębokości H musi być zrównoważona ciśnieniem hydrostatycznym słupa cieczy o wysokości L i ciśnienia p panującego wewnątrz zbiornika
𝜌𝑔𝐻 + 𝑝 = 𝜌𝑔𝐿 + 𝑝 (5)
Ciśnienie p wyznaczymy wykorzystując jak w poprzednim zadaniu równanie przemiany izotermicznej otrzymując 𝑝 = 𝑝 ℎ/(ℎ − 𝐿). Wstawiając wartość p do równania (5) otrzymamy równość, z której można wyznaczyć szukaną wysokość L.
Zadanie 7
W zwężce stanowiącej połączenie dwóch rur o różnych przekrojach 𝑆 = 12 cm i 𝑆 = 5 cm , płynie nieściśliwa ciecz. Znając prędkość 𝑣 = 0.5 m/s przepływu w przekroju 𝑆 wyznaczyć prędkość 𝑣 przepływu w przekroju 𝑆 . Jaka objętość cieczy przepływa przez zwężkę w czasie t=5 s.
Wskazówka: należy skorzystać z równania ciągłości 𝑣 𝑆 = 𝑣 𝑆 . Objętość cieczy przepływającej przez zwężkę w czasie t dana jest wzorem 𝑉 = 𝑣 𝑆 𝑡 = 𝑣 𝑆 𝑡.
Zadanie 8
Na Rys. 3 przedstawiono schemat połączeń doprowadzających ciecz do głównej rury. Średnice rur doprowadzających wynoszą d podczas gdy średnica rury głównej wynosi a. W oparciu o równanie ciągłości (zasadę zachowania masy) wyznaczyć prędkość przepływu w przekrojach A, B i C.
Rys.3. Ilustracja do zadania 8.
W analizowanym przypadku zasada zachowania masy mówi, że taka sama masa cieczy dopływa i odpływa z rozważanego elementu. Biorąc pod uwagę, że ciecz jest nieściśliwa możemy przyrównać objętość cieczy dopływającą do objętości cieczy wypływającej. Rozumowanie to prowadzi do następującego równania
𝑣 𝑆 = 0
gdzie 𝑣 prędkość cieczy w rurze o przekroju 𝑆 , n ilość doprowadzeń. Prędkość może mieć znak dodatni lub ujemny w zależności od tego czy ciecz wpływa czy wypływa z elementu.
Dla przekroju A mamy
𝑣1𝜋𝑑
4 − 𝑣 𝜋𝑎 4 = 0
gdzie 𝑣 prędkość w przekroju A. Podobnie dla przekroju B dostajemy
𝑣1𝑑 + 𝑣2𝑑 − 𝑣 𝑎 = 0 Zadanie 9
Przyjmując następujące dane dla Rys. 3: d = 2 cm, a = 5 cm, v1 = 0.5 m/s, v2 = 1 m/s oraz prędkość w przekroju C 𝑣 = 0.7 m/s obliczyć prędkość v3. Czy przez rurę trzecią ciecz będzie wpływała czy wypływała z układu?
