Lista caªek z funkcji elementarnych i inne przydatne wzory
Lista caªek funkcji elementarnych 1. R 0dx = C,
2. R xrdx = xr+1r+1 + C dla r 6= −1, 3. Z dx
x = ln |x| + C, 4. R exdx = ex+ C, 5.
Z
axdx = ax
ln a + C dla 0 < a 6= 1, 6. R sin xdx = − cos x + C,
7. R cos xdx = sin x + C,
8.
Z dx
sin2x = −ctgx + C, 9. Z dx
cos2x = tgx + C, 10. Z
dx
1 + x2 = arctgx + C, 11.
Z dx
√1 − x2 = arcsin x + C,
12.
Z f0(x)
f (x) = ln |f (x)| + C. Wzór na caªkowanie przez cz¦±ci
Z
f (x)g0(x)dx = f (x)g(x) − Z
f0(x)g(x)dx.
Przydatne wzory trygonometryczne 1. cos2x = 1 + cos 2x
2 ; sin2x = 1 − cos 2x
2 ;
2. cos 2x = cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1 = 1 − 2 sin2x; 3. sin 2x = 2 sin x cos x.
Wa»ne caªki z niewymierno±ciami 1.
Z dx
√
x2+ k = ln x +p
x2+ k + C; 2. Z
px2+ kdx = 1 2 h
xp
x2+ k + k ln x +p
x2+ k i
+ C; 3. Z
√ dx
a2− x2 = arcsinx a + C;
4.
Z
pa2− x2dx = 1 2 h
xp
a2− x2+ a2arcsinx a i
+ C. Przydatne caªki z wyra»e« wymiernych
Zakªadamy, »e a > 0.
1. Z dx
a2+ x2 = 1 aarctgx
a+ C; 2. Z dx
a2− x2 = 1 aln
r
a + x a − x + C; 3.
Z dx
(1 + x2)2 = 1 2
x
1 + x2 + arctgx
+ C.
