(iv) f :R3 ⊃ Uf →R,f(x, y, z

1. Czy istnieje funkcja f :R² →R taka, że (i)f nie jest ciagła w punkcie x
₀,

(ii) ^∂f_∂x i ^∂f_∂y istnieja w tym punkcie?

2. Obliczyć wektor pochodnych czastkowych f

(x, y) = [f_x
(x, y), f_y
(x, y)] (analogicznie dla funk- cji trzech zmiennych) nastepuj
acych funkcji:

(i)f :^R2 →^R, f(x, y) = sin(xcos(y)), (ii) f : R² ⊃ Uf →R, f(x, y) = xyln(x + y),

(iii) f : R² ⊃ U_f →R, f(x, y) = ln(sin(x) + sin(y)), (iv) f :^R3 ⊃ Uf →^R,f(x, y, z) = x^yy^zz^xy,

(v) f :R³ →R,f(x, y, z) = sin(x² +y²+z²), (vi) f :R³ ⊃ Uf →R,f(x, y, z) = x^yz.

3. Obliczyć pochodne czastkowe funkcji f :
R^k →Rokreślonej

f(x) = e^{(x1)2+...+((xk)2} ·
x¹+ (x²)³ +. . . + (x^k)^2k−1.

4. Korzystając z definicji obliczyć (o ile istnieją) wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji we wskazanych punktach:

(i)f(x, y) = ^x_y, (x0, y0) = (−1, 1), (ii) f(x, y) = ysinx, (x0, y0) = (0, π), (iii) f(x, y) =√

x⁴+y⁴, (x₀, y₀) = (0, 0), (iv) f(x, y) =√³

x³+y³, (x0, y0) = (0, 0),

(v) f(x, y, z) =^5 xy(z − 1), (x0, y0, z0) = (0, 0, 1), (vi) f(x, y, z) =





x³+y

x²+y²+z², dla (x, y, z) = (0, 0, 0),

0, dla (x, y, z) = (0, 0, 0), (x0, y0, z0) = (0, 0, 0), (vii) f(x, y) =





x²+y², dla xy = 0,

1, dla xy = 0, (x0, y0) = (0, 0),

(viii) f(x, y) =











x, dla y = 0, y², dla x = 0,

1, dla pozostałych punktach,

(x0, y0) = (0, 0).

5. Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i kie- runkach:

(i)f(x, y) = x²+y², (x0, y0) = (−3, 4), v =
¹²₁₃,₁₃^5,

(ii) f(x, y, z) = e^xyz, (x0, y0, z0) = (−1, 1, −1), v =
¹₂, −³₄,^√₄^3, (iii) f(x, y, z) = ^xy_z3², (x₀, y₀, z₀) = (16, −3, 2), v = (1, 1, 1) .

Arkusz 7