δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ
Libella na krzywej podłodze
Jerzy TYSZKIEWICZ*
* Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, Uniwersytet Warszawski
Dawne rzeczy mają w sobie jakąś magię. Nie inaczej jest ze starą libellą, którą odziedziczyłem po moim zmarłym wuju. Po tym przyrządzie znać, jak bardzo był wartościowy w swoich czasach: oprawka wygiętej rurki z płynem i pęcherzykiem gazu jest wykonana z mosiądzu, ma śruby umożliwiające regulację, a do kompletu należy futerał z miękką wyściółką zamykany na małe haczyki.
Współczesne libelle, nazywane raczej poziomicami, robi się z taniego surowca, zwykle nie mają też żadnej regulacji. Jak coś się przesunie albo wykrzywi, kupuje się za grosze nową i tyle. Regulacja miała oczywiście swoje zalety: można było ustawić niewielkie odchylenie od poziomu – co było pomocne na przykład przy układaniu rynny albo rury kanalizacyjnej, którymi woda miała płynąć nie za szybko i nie za wolno, tylko dokładnie zgodnie z projektem. I tu rodzi się ciekawe pytanie:
gdy rynna była już gotowa, w jaki sposób majster ustawiał libellę ponownie na wskazywanie poziomu?
Wyobraźmy sobie taką sytuację: majster wchodzi do remontowanego mieszkania, ściany są trochę krzywe, podłogi też, ma ze sobą libellę i niezbędny do regulacji śrubokręt. Co ma teraz zrobić, żeby ją ustawić na zero?
Pierwsze rozwiązanie opiera się na dodatkowym, dotychczas przemilczanym, elemencie libelli wujka: ma ona podziałkę na rurce z płynem.
Rozwiązanie jest proste: wybieramy sobie niezbyt krzywy fragment podłogi, kładziemy libellę, a wzdłuż niej układamy równolegle śrubokręt, tak żeby jego czubek wskazywał środek podziałki. To pozwala nam zarejestrować jej kierunek i położenie. Zapamiętujemy, o ile kresek i w którą stronę pęcherzyk odbiega od środka skali, po czym obracamy libellę w drugą stronę, tj. o 180◦– śrubokręt pozwala nam na dokładne dokonanie tego obrotu. Widzimy nowe wskazanie, zapewne różne od poprzedniego. Bierzemy teraz do ręki śrubokręt i śrubką regulacyjną zmieniamy położenie rurki w dobrym kierunku. Odkładamy śrubokręt wzdłuż libelli, powtarzamy pomiar w dwóch położeniach różniących się o 180◦, znowu regulujemy, itd. Po kilku krokach uzyskamy w miarę dobrze wypoziomowaną libellę. Czyli na krzywej podłodze pęcherzyk powietrza będzie odbiegać od środka o tyle samo, co gdy obrócimy libellę o 180◦– tyle że w drugą stronę.
A co powinien zrobić majster, gdy skali na rurce nie ma i w zasadzie tylko na oko można ocenić, jak bardzo odchyla się pęcherzyk? Oczywiście środek rurki z płynem jest zawsze zaznaczony – bez tego użytek z libelli byłby marny.
I na to jest sposób, choć wymaga ciut bardziej zaawansowanej matematyki.
Zacznijmy od wykonania poprzedniej procedury, doprowadzając do sytuacji, w której po obróceniu libelli o 180◦ pęcherzyk wychyla się raz w jedną, raz w drugą stronę, z grubsza o podobną wartość. Brak skali nie jest w tym przeszkodą.
Połóżmy teraz śrubokręt w sprawdzonej pozycji – wzdłuż libelli, tak żeby jego czubek wskazywał jej środek – i zacznijmy ją powoli obracać wokół tego środka.
Pęcherzyk w trakcie tego obrotu musi przewędrować na drugą stronę, więc
W teorii bez trudu można skonstruować tak „poszarpaną podłogę”, żeby w żadnym miejscu libella nie pokazała dokładnie zerowego wychylenia, ale w praktyce budowlanej takich podłóg raczej się nie spotyka, o ile pomieszczenie w ogóle nadaje się do remontu. Zresztą majster zawsze może położyć libellę na przyniesionej desce, cegle albo czymkolwiek innym.
w którymś momencie, jeszcze przed osiągnięciem obrotu o 180◦, będzie dokładnie w środku skali (to jest właśnie ta dodatkowa matematyka: taki kąt istnieje).
Zatrzymajmy się i zastanówmy. To oczywiście nie jest jeszcze to, o co nam chodziło, ale zbliżyliśmy się do celu. Libella pokazuje poziom, choć na poziomej podłodze raczej nie leży – powiedzmy, że kąt nachylenia podłogi wynosi α. Zaznaczmy nowe położenie libelli śrubokrętem i zróbmy to, co już potrafimy: wyregulujmy ją w kilku krokach tak, by po obróceniu libelli o 180◦ pęcherzyk wychylał się od centrum
α
α β β
poziom
poziom
raz w jedną stronę, a raz w drugą, z grubsza podobnie. W efekcie dostajemy nowe ustawienie libelli. Gdybyśmy mieli idealne oko (równie dobre jak podziałka), to zadanie byłoby już rozwiązane. Jednak nawet jeśli robimy spory błąd i wiemy tylko, że jeden z kątów, o jakie libella odchyla się od poziomu, jest najwyżej dwa razy większy od tego, gdy leży odwrotnie, to i tak jest dobrze. Można sprawdzić (obrazek obok), że jeśli robiliśmy to w miejscu o nachyleniu podłogi α, to po regulacji kąt odchylenia libelli do poziomu wynosi nie więcej niż α/3.
Powtarzamy całość od początku i za chwilę dostajemy kąt nie większy niż α/9, potem α/27, α/91 itd. Oczywiście to jest tylko teoria, bo zapewne bardzo szybko nie da się już dalej nic poprawić. Po prostu kąt odchylenia libelli od poziomu stanie się ludzkim okiem nieodróżnialny od 0. I o to chodziło!
