f ( x,y )=ln( x y ) [1 , ∞ ) f ( x,y )= x ln( y ) [1 , ∞ ) √ f ( x,y )= x y [0 , ∞ ) √ √ f ( x,y )= e [0 , 1] f ( x,y )= x sin( y ) [0 , ∞ ) × R √ f ( x )= x +1 R √ f ( x )=1 /x +10 / ( x − 10 x ) (0 , 5] f ( x )= x (0 , 18) √ f ( x )= x + x R √ f ( x )=

WRAiT lista 6

1

2

^{25 XI 2008}

Uwaga.Jesttolistadodatkowa.Przerabianiezada«ztejlistyna¢wi zenia hjestsurowo

wzbronione.

Zad. 1 Przekonaj sio prawdziwo± i poni»szy hfaktówdoty z¡ y hfunk ji

f : X → R

^:

a) je±li

f

^jestjednostajnie i¡gªana

A

^ina

B

^,tojestte»jednostajnie i¡gªana

A ∪B

^;

b) je±li

f

^jest jednostajnie i¡gªa na

B

ⁱ

A ⊆ B

^,to

f

^jest jednostajnie i¡gªa na

A

^;

) je±li istniej¡ i¡gi

(x n )

ⁱ

(y n )

^{takie, »e}

d(x n , y n ) → 0

^{, le z istnieje}

C > 0

^{taka, »e}

|f(x ⁿ ) − f(y ⁿ )| > C

^,to

f

^{nie jest} jednostajnie i¡gªa.

Zad. 2 Zbadaj jednostajn¡ i¡gªo±¢ poni»szy hfunk ji:

a)

f (x) = |x|

^na

(−2, 3]

^;

b)

f (x) = ln(x)

^na

(1, ∞)

^;

)

f (x) = x √

x

^na

R ⁺

^;

d)

f (x) = x ² sin(1/x ³ )

^na

(0, 7)

^;

e)

f (x) = sin(x ² )

^na

R

^;

f)

f (x) = e ^−x

^na

R ⁺

^;

g)

f (x) = x + √

x

^na

R ⁺

^;

h)

f (x) = ¹⁵ √ x

^na

(0, 18)

^;

i)

f (x) = 1/x + 10/(x ² − 10x)

^na

(0, 5]

^;

j)

f (x) = √

x ² + 1

^na

R

^;

k)

f (x, y) = √

x sin(y)

^na

[0, ∞) × R

^;

l)

f (x, y) = e ^xy

^na

[0, 1] ²

^;

m)

f (x, y) = √

x√y

^na

[0, ∞) ²

^;

n)

f (x, y) = √

x ln(y)

^na

[1, ∞) ²

^;

o)

f (x, y) = ln(x ² y)

^na

[1, ∞) ²

^.

Zad. 3 Zbadaj jednostajn¡ zbie»no±¢ na

R

^{poni»szy h i¡gów}funk yjny h:

a)

f n (x) = √ ^x

x ² +1 /n

;

b)

f n (x) = ₁₊ ¹ _x ² _n

^;

)

f n (x) = _n+x ⁿ 2

^;

d)

f n (x) = cos(px ² + 1/n)

^;

Zad. 4 Zbadaj jednostajn¡ zbie»no±¢ na

[0, 1]

^{poni»szy h i¡gów} funk yjny h:

a)

f n (x) = sin(xn)/n

^;

b)

f n (x) = √ ⁿ x

^;

)

f _n (x) = x ⁿ (1 − x) ⁿ

^;

d)

f n (x) = (2 − 1/n)x

^;

e)

f n (x) = nx ⁿ (1 − x)

^;

f)

f n (x) = e ^x/n

^.