• Nie Znaleziono Wyników

Funkcja f jest całkowalna na odcinku I

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcja f jest całkowalna na odcinku I"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

#16. Zadania z analizy B, ćwiczenia 01/04, kolokwium 08/04

1. Pokaż, że

Pn

k=1sin nx · sin n2x

¬ 1 dla każdego x ∈ R i każdego n ∈ N .

2. Dla funkcji f i g niech f ∨ g = max{f, g}, f ∧ g = min{f, g}. Pokaż, że f + g = f ∨ g + f ∧ g.

Udowodnij też, że jeśli f i g są ograniczone na przedziale domkniętym, to Z

?

f + Z

?

g ¬ Z

?

f ∨ g + Z

?

f ∧ g.

3. Funkcja f jest całkowalna na odcinku I. Pokaż, że także funkcje sin f ip|f| są całkowalne.

4. Pokaż, że wartości podanych niżej ciągów są równe sumom całkowym odpowiednio dobra- nych funkcji i w ten sposób oblicz granice tych ciągów:

an=

2n

X

k=n

1

k, bn =

3n

X

k=n+1

1

k, cn= n2

n

X

k=1

1

n3+ k3, dn =

n

X

k=1

sin k n2.

5. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ograniczoną, której punkty nieciągłości tworzą ciąg zbieżny. Pokaż, że funkcja f jest całkowalna.

6. ObliczRa

0[x]dx,R −−11σ(x)x4dx.

7. Pokaż, że funkcja f (x) = sinx1 dla x 6= 0 i f (0) = 0 jest całkowalna na odcinku [−1, 1].

8. Wiedząc, że funkcja f : [−1.1] → R jest całkowalna, udowodnij całkowalność funkcji g(x) = f (|x|) i pokaż, że R1

−1g(x)dx = 2R1

0 f (x)dx.

9. Funkcja f : [a, b] → R jest ciągła i nieujemna. Udowodnij, żeRb

af (x)dx = 0 pociąga f = 0.

10. Niech f ∈ C([a, b]). Udowodnij, że R

If = 0 dla każdego odcinka domkniętego I ⊂ [a, b]

pociąga f = 0.

11. Wykaż, że jeśli funkcja g : [a, b] → [0, 1] jest całkowalna, a f : [0, 1] → R lipschitzowska, to f ◦ g jest całkowalna.

12. Pokaż, że

Z 0

sin2xdx = Z

0

cos2xdx = π.

13. Niech {wn} będzie ciągiem wszystkich liczb wymiernych odcinka [0, 1]. Niech f będzie funkcją Riemanna. Pokaż, że limn→∞f (wn) = 0.

14. Udowodnij, że funkcja Riemanna f : [0, 1] → R jest całkowalna i oblicz jej całkę.

15. Czy każdą funkcję ciągłą na odcinku domkniętym można przedłużyć do funkcji ciągłej na całej prostej?

16. Oblicz pochodne funkcji F (x) =Rx

0 sin tx dt, G(x) =Rx 0 etxdt.

17. Wiedząc, że funkcja g : [0, ∞) jest rosnąca, wykaż że funkcja h(x) =Rx

0 g(t)dt jest wypukła, a funkcja f (x) = 1xRx

0 g(t)dt jest rosnąca.

18. Oblicz całki nieoznaczone:

Z x2dx 1 + x2,

Z x2dx 1 − x2,

Z

tg2xdx, Z

tgh2xdx, Z

1 − sin 2x dx, Z

3

1 − 3x dx,

Z dx

√2 − 5x,

Z dx

2 + 3x2,

Z dx

2 − 3x2,

Z dx

2 − 3x2,

Z dx

3x2− 2,

Z dx

3x2+ 2.

Cytaty

Powiązane dokumenty

a) Liczbę pojazdów danej kategorii (rodzaju). W przeprowadzonych badaniach zmierzono prędkość dla ponad 5000 samochodów.. Według danych pobranych z Głównego

Niekiedy trudno jest określić, w jaki sposób bezpieczeństwo ruchu pociągu zależy od czasu następstwa, odległości pomiędzy pociągami w czasie jazdy, prędkości technicznej

syteckim, można zaś spodziew ać się, że rola jego będzie wzrastała i utrzyma się przez czas dłuższy.. Nie na tym jednak kończą się pożytki osiągane z

Pokazać, że funkcja przedziałami monotoniczna (skończenie wiele przedziałów) na odcinku [a, b] jest również różnicą dwu nieujemnych funkcji rosnących.. Czy istnieje

Zadania do wykładu analiza

Na jakiej wysokości należy zrobić dziurę, aby strumień wody tryskał jak najdalej?. Jak daleko tryska

Ile różnych deserów może z tego sporządzić ekspedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem..

Uwaga, dwa sposoby usadzenia uważamy za takie same, jeśli w obu sposobach każda z osób ma tych samych sąsiadów zarówno po lewej, jak i prawej stronie..