• Nie Znaleziono Wyników

to samo dla a1= 1, a2= 4

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "to samo dla a1= 1, a2= 4"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład z analizy

Lista 3.

Ciągi

1. Znaleźć 10 kolejnych wyrazów oraz granicę ciągu {an} określonego wzorem: an= (−1)nn12. 2. Jakie wartości przyjmuje ciąg dany wzorem an = sin2 ? A ciąg dany wzorem an = cos3 +

isin3 ?

3. Ciąg Fibonacciego określony jest rekurencyjnie w sposób następujący: F1 = F2 = 1, a następnie Fn+2= Fn+1+ Fn dla n = 1, 2, 3, . . . . Znaleźć wyrazy ciągu Fibonacciego o numerach od 3 do 12.

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość: Fn+2·Fn−Fn+12 = (−1)n+1. 4. Znaleźć pierwszych 12 wyrazów ciągu {an} określonego, podobnie jak ciąg Fibonacciego, reku-

rencyjnie an+2= an+1+ an, przy czym a1= 1, a2= 3; to samo dla a1= 1, a2= 4.

5. Udowodnić, korzystając z definicji, zbieżność ciągów, znajdując ich granice: an= n12; an=(−1)

n

n ; an=

n+ 1 −√

n; an= n+2

n−1; an=1+1n; an=3n34n−23n2−7n+5

+n−6 ; an= (23)n.

6. Udowodnić, że jeśli x jest liczbą rzeczywistą o rozwinięciu dziesiętnym β, α1α2· · · , to ciąg okre- ślony wzorem an = β, α1· · · αn jest zbieżny do x (, jest punktem dziesiętnym, a β ∈ Z.

7. Udowodnić z definicji, że ciąg stały an= a jest zbieżny do granicy a.

8. Udowodnić, że granica sumy (różnicy, ilorazu) ciągów zbieżnych jest sumą (różnicą, ilorazem) ich granic.

9. Zbadać monotoniczność następujących ciągów: an = n + 1n; a1= 3, an+1 = a2n− 2; an = n n!;

an= n

2n+ 3n; an= 2nn!; a1= 1, an+1=1+aan

n.

10. Obliczyć granice (być może niewłaściwe) ciągów:7n+(3n6n)

5√9n+1 11n3+7n+3 ;

n2+ n−n;sin(n)n ; rn, r >0;

nr, 0 < r < 1; 2n n1; 3nn+22+n; 1+2+4+···+2n

1+3+9+···+3n; 1−2+3−4+5−6+···−2n

n2+2 ; 1+2+···+nn2 ; 1+3+9+···+3n 3n ;

3n+ 2n

3n+ 1; n2n; n

n2; n(√

n2+ 7 − n); (n+sin n)n2+n+12; nn32+1+1 + nn23+2+2 + nn23+3+3 + · · · + nn23+n+n;

1

n2 +n21+1 +n21+2+ · · · +(n+1)1 2; nn+1−+7−nn.

11. Wypisać wzorem ciąg, dla którego a1 = 1, a2= 12, i każdy z wyrazów jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów sąsiednich:

1 an

=1 2

1

an−1 + 1

an+1, n­ 2.

12. Wypisać wzorem ciąg, dla którego a1 = 1, a2= 2, i każdy z wyrazów jest średnią geometryczną dwóch wyrazów sąsiednich:

an=√an−1an+1, n­ 2.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wyznaczy¢ ±rednie i wariancje dla: ocen z matematyki studen- tów Biotechnologii, omawianego przykªadu zmiennej typu ci¡gªego i rozkªadu jednostajnego na odcinku [−1, 1]..

Udowodnić, że jeśli dla macierzy przejścia nieprzywiedlnego łańcucha Markowa istnieje j takie, że p jj &gt; 0, to łańcuch nie jest

Zestaw zadań 4: Grupy permutacji.. (14) Wyznaczyć

Udowodnić, że każda grupa abelowa rzędu n jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą

Wywnioskować stąd, że funkcja x 7→ kxk jest funkcją ciągłą..

Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2 i na dwóch piętrach po jednej?.

Pomiędzy każdymi dwoma pomnikami istnieje połączenie, obsługiwane przez jednego z czterech przewoźników: Orbis, Taxi, Metro i Kanalizacja Miejska.. Udowodnić, że istnieją

grupa młodsza piatek, 26 września