Funkcje analityczne #1 Funkcje analityczne #1 Funkcje analityczne #1
1. Pokaż, że jeśli a ∈ C i |a| < 1, to an → 0.
2. Pokaż, że jeśli a ∈ C i |a| > 1, to an → ∞.
3. Niech a = cos ϕ + i sin ϕ, gdzie ϕ/π ∈ Q. Pokaż, że ciąg (an) jest rozbieżny i ma skończenie wiele punktów skupienia.
4. Niech a = cos ϕ + i sin ϕ, gdzie ϕ/π /∈ Q. Pokaż, że ciąg (an) jest rozbieżny i każdy punkt |z| = 1 jest jego punktem skupienia.
5. Dla jakich a ∈ C ciągi o wyrazach nan, an
1 + an, an/n,
n
X
k=0
ak,
n
X
k=0
ak k2 są zbieżne?
6. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów an
1 + a2n (|a| < 1), an
1 + a2n (|a| > 1), 1 n
n
X
k=0
ak (|a| = 1, a 6= 1).
7. Pokaż, że dla |a| > 1
n→∞lim
n
X
k=1
ak k4 = ∞.
8. Dla danego ϕ ∈ R sprawdź, że
n→∞lim
1 + iϕ n
n
= cos ϕ + i sin ϕ.
W tym celu znajdź najpierw moduł i argument podanego ciągu.
9. Znajdź wszystkie wartości rzeczywistego parametru α, dla których szeregi
∞
X
n=1
n−α(cos n + i sin n),
∞
X
n=1
n−α(cos π/n + i sin π/n),
∞
X
n=1
inlogα(n2+ 1) n
są zbieżne.
10. Znajdź promienie zbieżności szeregów potęgowych i zbadaj ich zbieżność na brzegu koła zbieżności:
∞
X
n=0
zn,
∞
X
n=0
z5n,
∞
X
n=0
n5zn,
∞
X
n=0
n5z4n.
11. Znajdź promienie zbieżności szeregów potęgowych
∞
X
n=0
nkzn,
∞
X
n=0
zn nk,
∞
X
n=0
e−
√nzn,
∞
X
k=0
nn n!zn
12. Dany jest szereg potęgowyP∞n=0cnzn o promieniu zbieżności R. Oblicz promienie zbieżności szeregow potęgowych
∞
X
n=0
cMn zn,
∞
X
n=0
cnzM n,
∞
X
n=0
cnzn 1 + |cn|.
