Algorytmy programowania matematycznego 1A 1213
1. Znaleźć graficznie minimalną wartość funkcji
f (x )=2 x
1+ 3 x
2 przy warunkach:
x
1+x
2≥2
− x
1+5 x
2≥−5 x
1− x
2+4≥0 x
1+ x
2≤8 x
1≥0 x
2≥ 0
2. Stołówka studencka przygotowuje posiłki z ziemniaków, warzyw oraz mięsa. Kilogram ziemniaków dostarcza 700 kcal oraz 3 jednostki witamin, kilogram mięsa 3000 kcal oraz 2 jednostki witamin a kilogram warzyw: 300 kcal oraz 5 jednostek witamin. Minimalna wartość kaloryczna posiłku wynosi 600 kcal. Ze względów zdrowotnych każdy posiłek powinien dostarczyć 3 jednostki witamin. Naciski plantatorów spowodowały, że wprowadzono minimalną zawartość warzyw w posiłku na poziomie 250g. Jaka kombinacja składników zapewni minimalny koszt przygotowania posiłku jeżeli wiadomo, że kilogram ziemniaków kosztuje 1 zł, kilogram warzyw 2 zł, a kilogram mięsa 14 zł?
Sformułować zagadnienie PL i sprowadzić je do postaci standardowej.
3. Dana jest tablica simplex. Uzupełnij ją, oblicz następne rozwiązanie bazowe, odczytaj je i oceń, czy jest optymalne.
4. Sformułować problem dualny do podanego problemu i znaleźć jego rozwiązanie optymalne znając rozwiązanie optymalne problemu prymalnego.
x
1+2 x
2→max przy warunkach: - x
1+ 2 x
2≤2 x
1≤3 x
1+2 x
2≥2 x
1≥0 , x
2≥0 x
0=[ 3,5 /2 ]
T5. Tabela zawiera dane do klasycznego zadania transportowego.
dostawcy \ odbiorcy O1 18 O2 20 O3 32
D1 20 7 2 4
D2 30 4 13 5
D3 20 5 8 11
Proszę znaleźć jedno rozwiązanie bazowe metodą minimum w macierzy i sprawdzić czy jest ono optymalne. Jeśli nie, znaleźć następne rozwiązanie bazowe zgodnie z algorytmem transportowym.
6. Dana są pierwsza i ostatnia tablica simplex pewnego zadania PL. Przypuśćmy, że wektor wyrazów wolnych zmienia się z [2,6,5] na [2,6,4]. Znajdź rozwiązanie optymalne w nowej sytuacji.
7. Proszę wyznaczyć maksymalny przepływ w sieci, w której przepustowość pomiędzy punktami podaje tabela (początek krawędzi w wierszu, koniec w kolumnie). Kolejne kroki algorytmu powinny być widoczne.
1 2 3 4 t
s 1
0 4 0
1 3 3
-4 -1
cb h0 h1 h2 h3 h4 h5
2 -1 1 1 0 0
6 3 1 0 1 0
5 3 0 0 0 1
2 2/3 0 0 1 -1 1 1/3
1 0 1 0 1 -1
1 2/3 1 0 0 0 1/3
0 0
2 2
0 5 0
3 1
0
4 5
0
Algorytmy programowania matematycznego 1B 1213
1. Znaleźć graficznie minimalną wartość funkcji
f (x )=2 x
1+ 3x
2 przy warunkach:
2x
1−x
2≤2 x
2≤3 2 x
1+ x
2−2≥0 x
1≥0
x
2≥ 0
.2. Zakład produkcyjny produkuje trzy rodzaje wyrobów, przy czym zobowiązany jest wyprodukować 90 jednostek wyrobu pierwszego, 70 jednostek wyrobu drugiego i 60 jednostek wyrobu trzeciego.
Zapasy wynoszą: 780 jednostek wyposażenia (maszyny, urządzenia), 850 jednostek surowca, 790 jednostek energii elektrycznej.
Na jednostkę wyrobu pierwszego zużywa się 2 jednostki wyposażenia, 1 jednostkę surowca, 3 jednostki energii elektrycznej, a na jednostkę wyrobu drugiego odpowiednio: 3 jednostki wyposażenia, 4 jednostki surowca i 4 jednostki energii elektrycznej, a wyrobu trzeciego 4 jednostki wyposażenia, 5 jednostek surowca i 2 jednostki energii elektrycznej.
Za jednostkę wyrobu pierwszego otrzymujemy 8 zł dochodu, wyrobu drugiego 7 zł i wyrobu trzeciego 6 zł.
Aby produkcja była opłacalna, zysk całkowity powinien wynosić przynajmniej 1500 zł.
Sformułować zagadnienie PL – maksymalizacji dochodu i sprowadzić je do postaci standardowej.
3. Dana jest tablica simplex. Uzupełnij ją, oblicz następne rozwiązanie bazowe, odczytaj je i oceń, czy jest optymalne.
4. Sformułować problem dualny do podanego problemu i znaleźć jego rozwiązanie optymalne znając rozwiązanie optymalne problemu prymalnego.
2 x1+4 x2→max przy warunkach x1+x2≤3 x1+3 x2≤7 3 x1−2 x2=5 x1≥0 x2≥0 x0=[2,2 0,8 ]T
5. Tabela zawiera dane do klasycznego zadania transportowego.
dostawcy \ odbiorcy O1 18 O2 32 O3 20
D1 20 7 4 2
D2 30 4 5 13
D3 20 5 11 8
Proszę znaleźć jedno rozwiązanie bazowe metodą minimum w macierzy i sprawdzić czy jest ono optymalne. Jeśli nie, znaleźć następne rozwiązanie bazowe zgodnie z algorytmem transportowym.
6. Dana są pierwsza i ostatnia tablica simplex pewnego zadania PL. Przypuśćmy, że wektor wyrazów wolnych zmienia się z [2,6,5] na [2,6,4]. Znajdź rozwiązanie optymalne w nowej sytuacji.
7. Proszę wyznaczyć maksymalny przepływ w sieci, w której przepustowość pomiędzy punktami podaje tabela (początek krawędzi w wierszu, koniec w kolumnie). Kolejne kroki algorytmu powinny być widoczne.
1 2 3 4 t
s 4
0 1 0
1 5
0 2 0
2 3
0 3 0
3 50
4 51
0
