Rachunek prawdopodobieństwa
5. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń. Niezależność.
Ćw. 5.1 (KBDKW, 1.16/25) Na trzech kolejnych zmianach w pewnym zakładzie dokonuje się przeglądu technicznego 2 spośród 6 maszyn. Bez ponownego badania nie jest wiadome, czy maszyna została poddana przeglądowi. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu tych trzech zmian wszystkie maszyny poddano przeglądowi.
Ćw. 5.2 Rzucamy dwiema kostkami. Oznaczmy zdarzenia:
A1 ={na pierwszej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek}, A2 ={na drugiej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek},
A3 ={suma liczb oczek wyrzuconych na obu kostkach jest liczbą nieparzystą}.
Czy zdarzenia te są niezależne parami? Czy zdarzenia A1, A2, A3 są niezależne zespołowo?
Ćw. 5.3 (KBDKW, 1.50/38) Winda jest wyposażona w 2 układy hamowania włączające się w ra- zie zerwania się liny. Prawdopodobieństwo wyhamowania przez każdy układ z osobna jest jednakowe i wynosi 0,99. Jakie jest prawdopodobieństwo:
1. wyhamowania windy w razie zerwania się liny, jeśli oba układy włączają się jednocze- śnie,
2. spadnięcia windy, jeśli prawdopodobieństwo zerwania się liny wynosi 10−5 i oba układy hamowania włączają się jednocześnie,
3. wyhamowania windy w razie zerwania się liny, jeśli drugi układ włącza się dopiero wtedy, gdy nie zadziała pierwszy?
Ćw. 5.4 Pani A rozmawia przedpołudniami z paniami B i C, z pierwsza średnio co 2 dni (tzn.
z prawdopodobieństwem 0,5 każdego dnia), z drugą co 3 dni, natomiast zasadniczo nie rozmawia z panią D. Dodatkowo wieczorami panie B i C rozmawiają z panią D co 4 i co 5 dni odpowiednio. Wszystkie rozmowy odbywają się niezależnie, o różnych godzinach i z zachowaniem pełnej dyskrecji. Wczesnym rankiem do pani A doszła pewna plotka. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wieczorem o plotce dowie się pani D?
Ćw. 5.5 Trzech łuczników strzeliło jednocześnie do tarczy i dokładnie jeden trafił. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że trafił pierwszy, jeśli poszczególni łucznicy trafiają z prawdo- podobieństwami p1 = 19, p2 = 25 i p3 = 34 oraz strzelają niezależnie?
Ćw. 5.6 (KBDKW, 1.18/26) Obliczyć niezawodność układów:
Rachunek prawdopodobieństwa
5. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń. Niezależność – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Wśród 20 wyprodukowanych elementów jest 8 wadliwych. Do badania pobrano 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie są wadliwe?
Zad. 5.2 (PP, 47/18) Jest 10 kartek z pytaniami egzaminacyjnymi, które wylosowywane są w spo- sób przypadkowy. Jedna zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że żaden z pięciu zdających nie wylosuje tej kartki, jeśli
1. wylosowane już kartki są odkładane, 2. wylosowane kartki nie są odkładane.
Zad. 5.3 (PP, 49/18) Wiadomo, że w pewnej miejscowości w trzy dni czerwca należy spodziewać się burz, a w 27 dni burze nie występują. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że burza nie wystąpi w ciągu pierwszych 10 dni tego miesiąca?
Zad. 5.4 (KBDKW, 1.60/39) Chcemy rozpalić ognisko mając dwie zapałki. Prawdopodobień- stwo rozpalenia ogniska pojedynczą zapałką wynosi 0, 7, a złączonymi 0, 95. Która metoda rozpalania ogniska jest pewniejsza:
1. używamy po kolei dwóch zapałek, 2. używamy złączonych zapałek.
Zad. 5.5 W bibliotece znajdują się książki z zakresu matematyki i informatyki. Dowolny czytel- nik wybiera książkę matematyczną z prawdopodobieństwem 0, 3, a informatyczną z praw- dopodobieństwem 0, 7. Zakładając, że każdy czytelnik wybiera po jednej książce, obliczyć prawdopodobieństwo, że pięciu kolejnych czytelników wybierze książki z tej samej dziedziny.
Zad. 5.6 (KBDKW, 1.63/39) Obliczyć niezawodność układów:
Rachunek prawdopodobieństwa
Literatura:
• (KBDKW) W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część I. Rachunek prawdopo- dobieństwa. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa (1995).
• (PP) A. Plucińska, E. Pluciński: Zadania z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki mate- matycznej dla studentów politechnik. PWN, Warszawa (1976).
Rachunek prawdopodobieństwa
