EGZAMIN
z „Podstaw matematycznych przetwarzania sygnałów i obrazów”
I termin, 9 czerwca 2005 roku Zadanie 1. Udowodnij nierówność
Z π4
0
√tg x cos x dx ¬
q
ln√ 2.
Zadanie 2. Sygnał f , zdefiniowany dla x ∈ (−1, 1] wzorem f (x) = x(1 − x2) i przedłużony okresowo, rozwinięto w szereg Fouriera, otrzymując współczynniki
bn= 12 · (−1)n+1 π3n3 .
a) Wyznacz widmo, widmo amplitudowe i widmo fazowe tego sygnału. Narysuj wykres widma amplitudowego i widma fazowego.
b) Korzystając z tożsamości Parsevala, oblicz
∞
X
n=1
1 n6.
c) Udowodnij, że
∀x∈(−1,1] x(1 − x2) =
∞
X
n=1
12 · (−1)n+1
π3n3 sin(πnx) oraz oblicz
∞
X
k=0
(−1)k (2k + 1)3.
d) Rozwiń w szereg Fouriera funkcję określoną na odcinku (−1, 1) wzorem g(x) = 1 − 3x2 i przedłużoną okresowo.
Zadanie 3. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu yk= k cos k, k = 0, 1, . . . N − 1.
Zadanie 4. a) Udowodnij, że transformata Fouriera funkcji f (x) = xe−ax1l(0,∞)(x), a > 0 ma postać
f (ξ) =ˆ 1 (a + 2iπξ)2. b) Wyznacz wzór takiej funkcji g, dla której
ˆ
g(ξ) = 1 (1 + iξ)2.
c) Wiedząc, że dla każdego k ∈ N ∪ {0} transformatą funkcji xk
k!e−ax1l(0,∞)(x) jest
1
(a + 2iπξ)k+1, wyznacz f ∗ f .
