L U C J A N Z A R Z E C K I
N A U C Z A N I E J
MATEMATYKI POCZĄTKOWEJ
CZEŚĆ I. L IC Z B A C A Ł K O W IT A .
I
W Y D A N I E 3 - i e U Z U P E Ł N I O N E i P O W I Ę K S Z O N E
W Y D A W N I C T W O M. A R C T A W W A R S Z A W I E
P O Z N A Ń . P L A C W O L N O Ś C I 7 1 9 1 9
Agendo d is c im u s ...
DRUKARNIA M. ASCTA W WARSZAWIE, SOWY-ŚWIAT 41.
Tym, którzy pra g n ą lud polski uczyc nie tylko czy
tania, ale myślenia i rachowania.
poświecą
Autor.
P R Z E D M O W A .
Książka wychodzi obecnie w wydaniu trzeciem. W po
równaniu z drugiem poczyniono w niej pewne uzupełnienia, a tem samem powiększono objętość. Uzupełnienia dotyczą głów nie nauczania t. zw. algebry w klasie 3-ej i georaetrji. Ze względów praktycznych podzielono ją na 3 części: pierwszą poświęcono nauczaniu liczby całkowitej, drugą — w ymiernej, a trzecią — geom etrji. Z powodu uzupełnień wspomnianych ty tu ł książki również uległ zmianie, odpowiadającej rozszerze
niu się zakresu spraw, jakie porusza.
Doświadczenie pouczyło, że dwa pierwsze wydania były potrzebne. Wobec tego autor sądzi, że to trzecie również od
powiadać będzie pilnej potrzebie i spełni rolę swoją z pożyt
kiem. Rola ta nie polega na udzielaniu drobiagowych prze
pisów, lecz na wyjaśnieniu zagadnień zasadniczych. Rzeczą jest nauczyciela wyciąganie z zasad głównych wniosków po
mniejszych, w praktyce nauczania potrzebnych. Zostawi mu to dużo swobody, da pole do myślenia i twórczości. Od tej twórczości płynącej z żywego, bezpośredniego doświadczenia zależą w przyszłości w ogromnej mierze losy nauczania i szkoły narodowej. Książka niniejsza pragnie do tego nauczyciela pol
skiego pobudzić.
Tak płodna w następstwa i tak dziś pogłębiona zasada:
learning by doing znaną jest autorowi, a pomimo to wskazania swoje przystosował on do p rak tyk i dzisiejszego nauczania i po
ziomu przygotowania pedagogicznego nauczycieli. Motoda nau
czania rośnie i rozw ija się razem z nauczycielem i postępem wychowania. Nie jest ona środkiem medycznym, lecz orga
niczną częścią całości życia...
P rzyjdą szczęśliwsi i będą mogli zrobić lepiej.
R O Z D Z I A Ł I.
A rytm etyka obecnie należy do g łó w n y c h p rz e d m io tó w nauczania w szkole elementarnej i średniej. P rzyczyny tego zjawiska są dostatecznie zrozumiałe: działały tu względy w pierwszym rzędzie praktyczne. Prócz nich jednak niemałą rolę odegrały również wyrobione sposoby rachunku, w ykony
wania działań, które zastąpiły dawne żmudne metody mecha
niczne. Oddawna już, a szczególniej od czasów Pestalozzego ta więc przez cały wiek X I X ) usilnie pracowano nad metoda nauczania arytm etyki początkowej; lite ra tu ra tej gałęzi dydak
ty k i w tym czasie w zrosła imponująco. Zrobiono już w tej dziedzinie dużo, a z całą pewnością zaznaczyć należy, iż g łó w ny impuls do tej pracy dało powstanie szkoły ludowej, demo
kratyzacja oświaty. Rozszerzony teren doświadczenia, ro zra
stające się potrzeby w płynęły ogrom nie na p raktykę naucza
nia, na ustalenie pewnych sposobów traktow ania rzeczy. Ale jeśli obecnie w porównaniu z wiekiem X V I I zrobiliśm y bardzo duży krok naprzód w tej właśnie praktyce nauczania, to pod
w aliny teo rji metodyki są jednakże chwiejne i nieraz zgoła niejasne.
D la każdego chyba jest rzeczą zrozum iałą, że zdawanie sobie sprawy z tych elementarnych procesów m yśli, z tych pojęć, na których opiera się gmach a ry tm e ty k i, to kwestja nie tylko ciekawa dla teoretyka, ale ważna też i dla praktyk;:. • Stąd nieustanne poszukiwania w tej dziedzinie, ciągła praca zarówno pedagogów z zawodu, jak filozofów i matematyków- specjalistów. Najgłówniejszą jakością elementarną, na któ rej opiera się arytm etyka, jest sama liczba całkowita, czyli t. zw.
naturalna. Czem jest ta liczba? W pytaniu tern (jak zresztą w w ielu innych) schodzą się drogi niezależnego badania n a u / kowego i p rak tyk i nauczania. Dość zajrzeć do wielu dzieł, szczególnie w lite ra tu rze niemieckiej, poświęconych specjalnie
X » tic z *D i« r * c h m k a p o c z ą tk o w e * * . 1
nauczaniu początków arytm etyk i, aby się przekonać, że każdy autor przedewszystkiem na to pytanie zwraca uwagę.
N ie miejsce tutaj zastanawiać się nad różnemi teorjam i o pochodzeniu i jakości pojęcia liczby. Takie badania zapro
w adziłyby nas zb yt daleko od tych kwestyj praktycznych, z którem i związane jest nauczanie, od tego celu skromnego, któ ry postawiliśmy sobie w tej książce. Postaram y się jednak
że zwrócić tu uwagę na pewne ważne momenty, związane blisko z powstawaniem pojęcia liczby.
Gdy liczym y jakieś dane przedm ioty konkretne, przecho
dzim y od jednego przedm iotu do drugiego w pewnej kolei.
Aby taką kolejność w ytw orzyć, potrzeba pewnego wysiłku za
równo wyobraźni, ja k uwagi. Łatwo to zrozumiemy, jeżeli zechcemy dla sprawdzenia przeliczyć faktycznie pewną grupę przedmiotów, np. grupę drzew w jakimś niewielkim gaju. Im więcej jest przedmiotów do przeliczenia, tern większe są tru d ności, gdyż tru d niej jest wtedy w rozpatrywanych przedmio
tach utw orzyć pewien porządek, kolejność. Pomagamy sobie, dzieląc dane przedm ioty na grupy, łatwe do spamiętania, albo też na g ru py specjalnie przez nas mechanicznie śród przed
miotów wytworzone. Jeżeli zechcemy obserwować osoby l i czące, bez trudności spostrzeżemy, że w takich razach naj
częściej liczą one dwójkami (param i) lub tró jkam i, rzadziej czwórkam i, a jeszcze rzadziej piątkam i. T akie niew ielkie g ru p y przedmiotów chwytamy liczbowo jak b y jednym rzutem oka, a robim y to tem łatw iej, im odpowiedniejsze są po temu w arunki, w jakich przedm ioty są dane; rzecz bowiem zależy w dużej mierze od odległości przedm iotów, od ich położenia wzajem
nego i t. p. Gdy np. przedm ioty znajdują się w większej licz
bie i bardzo blisko, albo też bardzo daleko jeden od drugiego, wtedy trudniej chwytać owe p ary i tró jk i jednym rzutem oka;
bo w pierwszym przypadku musimy mozolnie oddzielać jedną tró jkę od d ru giej, wysilać uwagę, w d rugim zaś gałka oczka musi wykonać pewien ruch, by od jednego przedm iotu przejść do drugiego, fiksacja bowiem, czyli ustawienie danego przed
miotu w jasnem polu widzenia, nioże być zrobiona dla sto
sunkowo niew ielkiej g ru py przedmiotów i zależy również od odległości oka od tych przedmiotów. Wobec tego jest rzeczą ważną, by narzędzia poglądowe p rzy nauczaniu a ry tm e ty k i b yły ustawione w klasie na odpowiedniej odległości i m ia ły określoną, zależną od warunków wielkość. Zdarzyło mi się widzieć w jednej z klas szkoły elementarnej liczydło, z k tó rego nie usunięto niepotrzebnych gałek, liczona grupa gałek nie mogła być wskutek tego dla wszystkich uczniów wyraźna;
samo zaś liczydło było przysunięte zbyt blisko do ławek. Są to rzeczy, na które należy baczyć p rzy nauczaniu.
8
L iczym y jednak nie tylko przedm ioty konkretne, dane nam w polu widzenia, lecz i oddzielne powtarzające się dźw ię
ki, np. uderzenia zegara, spadające powolnie krople wody i t. p.
Liczyć możemy również oddzielne dotknięcia do powierzchni naszego ciała, oddzielne ruchy wykonywane przez nas samych.
Czy możemy w tych razach z równą, jak poprzednio, łatwością ujmować wrażenia grupam i po dwa, po trz y i t. p.? Otóż skonstatować tu należy dużą i ważną różnicę. W polu w i
dzenia dane mamy przedm ioty jednocześnie, tu następują no sobie kolejno; tam możemy w racaćdo przeliczonych i s p r a w d z a ć rachunek, tu tego zrobić nie możemy. Możemy i w zro
kiem ujmować zjawisko, np. gdy obserwujemy ru ch y wahadła zegarowego. Ale jedno wahnięcie m ija i nie pow tórzy się;
a więc nieudolny rachm istrz nigdy nie ma pewności, czy do
brze porachował, jeżeli nie jest obeznany z jakiem i innem i me
todami sprawdzania swego rachunku.
Z powyższego wynika, że liczym y przeważnie dwa rodzaje przedmiotów: l-o takie, któ re są nam dane wszystkie jedno
cześnie w przestrzeni, 2-o takie, które następują po sobie w czasie. Liczenie w pierwszych jest jakby wygodniejsze, bo możemy nasze liczenie sprawdzić bezpośrednio, przeliczając powtórnie. Na tern między innemi przyczynam i polega w ar
tość t. zw. środków pomocniczych do poglądowego nauczania a rytm etyk i początkowej. Środki te mają jeszcze inne znacze
nie, o czem jednak później. Ta własność specjalna przedm io- 1 tów pierwszego rodzaju jest zarazem powodem, dla którego l wiele ludzi sadzi, że samo pojęcie liczby powstało z doświąd- czenia przez obserwowanie takicTi przedm iotów G dyby takie roziTi7TT7TiTe rzeczy nie szkodziło p rzy nauczaniu, możnaby zu
pełnie nie zwracać na nie uwagi; ale nieraz może o no .bi'"
szkodliwe. T aki pogląd jest to coś takiego, gdyby kto, wi- !
<Iząć','"że Ławka w izbie pomaga dzieciom p rzy nauce chodze
nia, chciał wyprowadzić stąd wniosek, że niektóre przedm ioty zewnętrzne uczą dzieci chodzić. Zaznaczyliśm y powyżej, że licząc dane przedm ioty, tern samem zaprowadzamy śród nich pewien porządek, ład. Otóż gdy liczym y, biorąc przedm ioty pojedynczo, czy też param i lub tró jkam i, łatwo zaobserwować, że porządek, jak i w ybraliśm y, wcale nie w pływ a na rezultat, o ile tylko rachunek b y ł dobrze wykonany. Gdybyśmy np.
przeliczali 12 przedmiotów pojedynczo,'to takie uporządkowanie możnaby było utworzyć tylom a sposobami, ile jest jedności w iloczynie: 1. 2. 3. 4." 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12; gdyby p rzed miotów było 5, to uporządkowań różnych byłoby: 1. 2. 3. 4.
5 i t. d. P rz y wszelkiem uporządkowaniu rezultat liczenia będzie ten sam, otrzym ana liczba będzie taka sama, a więc l i c z b a n i e z a l e ż y o d u p o r z ą d k o w a n i a . Al e gdy
4
nam chudzi nie o kolejne liczenie, lecz o d o r a ź n e odczy
tywanie z danej grupy przedmiotów odpowiadającej im liczby, wtedy zestawienie tych przedmiotów musi być, jakeśmy to zaznaczyli, mniej lub więcej wygodne. Możnaby zadać sobie pytanie, jakie ustawienie przedmiotów byłoby najwygodniejsze do doraźnego odczytywania z nich liczby. W ykonywano na
wet w tym celu różne doświadczenia z dziećmi. W iem y zresz
tą, że doraźne odczytywanie liczby nawet dla nas starszych przedstawia duże trudności, jeżeli ta liczba jest większa, niż 4 lub 5. Musimy p rzy takich liczbach dokonywać liczenia, będzie się ono odbywało prędzej lub powolniej, zależnie od wpraw y, ale faktycznie, jak to nietrudno sprawdzić, obserwu
jąc samego siebie lub rozpytując ludzi, będzie.
Liczba z drugiej strony nie zależy nie tylko od porząd- ku, ale i od j a k o ś c i przedmiotów. Wszystko jedno, czy liczym y stalki, czy kam yki, czy patyczki i t. p.; jeżeli liczba ich będzie ta sama, re zu ltat liczenia będzie ten sam. F akt ten zwykle wyzyskują p rzy nauczaniu, usiłując w ytw orzyć w dzie
ciach p o j ę c i e liczby. Wszak wszyscy dobrze rozumiemy, że liczba nie jest przedstawieniom jakiegoś konkretnego przed
miotu, że nie zawiera w sobie żadnych cech zmysłowych, że jest wytworem psychicznym, k tó ry należy do klasy t. zw.
pojęć, tak samo jak np. dobro, sprawiedliwość i t. p. Każde pojęcie poza wszystkieini innemi cechami posiada przedewszyst- kiem dwie: 1) reprezentuje całą klasę przedmiotów i 2) służyć może do porozumiewania się ludzi m iędzy sobą. Przedstawienia różnych konkretnych przedmiotów u różnych ludzi mogą być i są różne. Każdy z nas, przypominając sobie pewien przed
m iot konkretny, uświadamia sobie inaczej jego szczegóły, ina
czej go zabarwia uczuciowo, przedstawia go sobie więcej lub mniej dokładnie. W pojęciu te szczegóły indywidualne zn i
kają, mamy przed sobą w ytw ór specjalny, coś w rodzaju mo
nety papierowej, reprezentanta całej masy przedmiotów kon
kretnych z wzajemnie sprzecznemi i pokrywającemi się cecha
mi indywidualnem i. N ie ulega jednakże wątpliwości, że po
jęcie nie zjawia się odrazu, że musi ono być Wypracowane i zdobyte, że przedewszystkiem pojawienie się jego musi po
przedzać u ś w i a d a m i a n i e s o b i e p r z e z c z ł o w i e k a p o t r z e b y t e g o w y t w o r u . Nie ulega również w ą tp li
wości, że pomiędzy przedstawieniem oddzielnego przedmiotu a reprezentantem klasy, do któ rej on należy, istnieje cały szereg stopni przejściowych. Zaznajomienie się z historją rachunku i z jego stanem obecnym u ludów pierwotnych ma przede
wszystkiem znaczenie ze względu na liczne i bardzo poucza
jące p rzykład y tych stopni przejściowych.
Jeżeli nas ktoś zapyta, co sobie wyobrażamy, gdy usły
szym y słowa: „system planetarny", każdy z nas odpowie, że w wyobraźni jego zjawia się pewien całokształt przedmiotów skoordynowanych ze sobą w taki sposób, jak np. słońce i pla
nety. Kto w id ział tellu rju m , przypom ni sobie, jak ten p rz y rząd wygląda, inni posługiwać się będą innemi przedstawie
niami. W szystkie te przedstawienia nie będą jednakże odpo
w iadały rzeczywistości, a to -ze względu na jej ogrom i na nie
możliwość bezpośredniego oglądania właściwego przedmiotu.
W iem y, że każda gwiazda może być rozpatrywana jako ośro
dek jakiegoś systemu planetarnego, że nasze słońce jest tylko jedną z takich licznych bardzo gwiazd. Tak więc wspomniane wyżej różne u różnych ludzi przedstawienia będą niejako r e prezentantam i całej klasy jednorodnych przedmiotów. Każde takie przedstawienie posiada jedną z tych cech zasadniczych pojęcia, o których wyżej mówiono. Nie jest jednakże we wła- ściwem tego słowa znaczeniu pojęciem. Jeżeli człowiek p ie r
wotny zamiast używanego przez nas wyrazu „pięć” powiada
„ręka", czyż nie używa też pewnego przedmiotu, k tó ry mu zastępuje naszą liczbę odnośną? Bez wątpienia tak jest. Ba
danie ra c h u n k u lu d ó w p ie rw o tn y c h i h is to rja tegoż z całą pewnością pouczają, że podobne .p rz e d m io ty zastępcze" od
g ryw a ły w ra c h u n k u duża rolę. P rzy nauczaniu n ie k tó rz y nauczyciele posługują się monetami lub odpowiednio przygo- towanemi m arkam i, które mają to samo znaczenie, eo np. ku lki na liczydle. Im bardziej przedm ioty zastępcze odbiegają od jakiegokolw iek konkretnego zbioru przedmiotów, tern więcej
się zbliżają do pojęcia ze względu na swoją rolę.
Ciekawą i nie pozbawioną głębokiego znaczenia psycho
logicznego jest rzeczą, że ręka ludzka i wogóle części ciała b yły „przedm iotam i zastępczemi", a ich nazwy b yły pierwsze- mi liczebnikam i, które później stopniowo usamodzielniały się, p rzerabiały, aby stać się tem, czem są obecnie. Jak ściśle umysł ludzki b y ł związany z konkretnem i przedmiotami do
wodzi chociażby ta okoliczność, że śród ludów pierwotnych spotyka się nieraz cztery np. różne nazwy dla oznaczenia czte
rech różnego rodzaju przedmiotów. Inaczej się nazywają np.
przedm ioty żywe, inaczej okrągłe, podłużne i t. p. (różnica może być całkowita, albo ty lk o w końcówce słowa czy p rz y stawce).
Nietrudno zrozumieć, iż przy powyższym sposobie re
prezentacji liczb niemożliwe są nasze metody rachunku, np.
nasze mnożenie, niemożliwe jest przedewszystkiem rozsze
rzenie zakresu liczbowego poza ograniczoną sferę, związaną z możliwością takiej konkretnej reprezentacji. Pomimo tego w tym okresie rozwoju matematycznego występuje na widów-
6
nię jedna z bardzo ważnych, dla matem atyki zasadniczych metod.
Tą metodą dużej wagi jest metoda odwzorowywania. Je
żeli mamy dwa zb io ry jakich przedmiotów (np. ziaren grochu czy kamyczków). t0 nawet wtedy, gdy nie posiadamy jeszcze nazw liczebników, gdy obce nam jest samo pojęcie liczby, mo
żemy określić, czy zbiory te są liczebnie równe, czy toż który z nich jest większy. Nazwijm y, nasze zb io ry dla skrócenia Z , i Z ., a każdy przedm iot należący do jednego lub drugiego zbioru* nazwijmy, również dla krótkości, jego elementem. Je
żeli teraz każdemu elementowi pierwszego zbioru 7n podpo
rządkujem y jeden i ty lk o jeden element Z , i okaże się, że przytem zb ió r Z ł w yczerpuje się wcześniej, to powiadamy, że Z , jest mniejszy, niż Z ,; jeżeli obydwa zbiory wyczerpują się jednocześnie, mówimy, że są sobie równe, że posiadają tę samą z a w a r t o ś ć .
T a k i proces podporządkowania nazywa się właśnie pro
cesem odwzorowywania. Pomiędzy zbioram i równemi istnieje, jak powiadamy, doskonała odpotciedniość, to zn. każdemu ele
mentowi jednego zbioru odpowiada jeden i tylko jeden ele
ment drugiego i odwrotnie. Proces odwzorowania nic zależy od jakości elementów obu zbiorów, nie zależy również od upo
rządkowania ich — w tem znaczeniu, że k a ż d o r a z o w o m o ż e m y u w z g l ę d n i ć t a k i e l u b i n n e u p o r z ą d k o w a n i e .
Liczenie, jak widzieliśmy, również nie zależało (we wła- ściwem znaczeniu tych w yrazów ) od porządku i jakości liczo
nych przedmiotów. Rzuca się jednakże w oczy ta różnica po- i m iędzy liczeniem a odwzorowywaniem, że p rzy liczeniu ele- 1 menty liczonego zbioru p o d p o r z ą d k o w u j e m y 1 i - Ic z ę b n i k o m , w y r a z o m t. z w. c i ą g u n a t u r a l n e g o ' l i c z b : 1. 2. 3. 4. 3. i t. d., a przy odwzorowywaniu przed
miotom, elementom innego konkretnego zbioru. Pozatem wszyst
ko pozostaje tem samem, przynajm niej na pierwszy rz u t oka.
Nietrudno zrozumieć, że pierwszem dalszom odkryciem na drodze przejściowej od odwzorowania do liczenia będzie od
powiedni w yb ór jednego ze zbiorów Z , i Z ,. Ten w ybór musi być tak dokonany, aby jeden ze zbiorów b y ł łatwo przenośny, aby w razie potrzeby stale mógł towarzyszyć początkującemu rachm istrzowi. Dziecko, licząc, odruchowo posługuje się pal
cami, któ re posiadają te cechy, ale nie mogą służyć do więk
szego zakresu liczbowego, niż 10. To też nasz karbowy, licząc kopy zboża czy sztuki drzewa w lesie, albo co innego jeszcze, jeżeli nie jest biegły w rachunku (co się często zdarzało, a i teraz nierzadko się zdarza), wycina sobie kozikiem na kijku znaki, odpowiadające kopom; pani ekonomowa znowu,
jeżeli nie jest biegła w rachunku, stawia węglem na deszczułce kreski, odpowiadające garncom mleka; modlący się przesuwa paciorki różańca, k tó ry dawniej odgryw ał większą rolę, bo ludzie częściej nie um ieli liczyć i t. p. P rzykład y te wskazują, że tu w ykonyw any jest proces odwzorowywania i przytem na przedmiotach dosyć łatwo przenośnych.
Wobec tego owe przedm ioty zastępcze nabierają innego znaczenia: są to zbiory przedmiotów obranych do wykonywa
nia procesu odwzorowywania, ale ponieważ te przedm ioty są indywidualne, mogą więc służyć do sprawdzenia, przeliczenia ty lk o określonych zbiorów. Przedm ioty takie wzięte były z otoczenia najbliższego. Nadawała się do tego szczegól
niej ręka ludzka, jako przedm iot bezpośrednio, organicznie związany z ciałem człowieka: to też mamy w historji arytm e
ty k i dane, że t. zw. rachunek na palcach odgryw ał dawniej dużą rolę. Teraz jeszcze błąkają się t. zw. sztuczki z dzie
dziny starożytnego rachunku na palcach. Rachunek na p al
cach, jak sądzą słusznie pedagogowie, może mieć zawsze nie
małe znaczenie, a szczególniej p rzy nauczaniu dzieci niedo
rozw iniętych. Nadaje się on głównie w zakresie pierwszego dziesiątka, gdzie może mieć dużą wartość, psychologicznie
uzasadnioną.
Jeżeli zwrócim y uwagę na to, że p rzy większych liczbach proces odwzorowywania wymaga pomiętania porządku, w ja kim uszeregowane są przedm ioty zbioru odwzorowywanego, nietrudno zrozumieć, że proces ten mógł najpierw dotyczyć ty lk o bardzo niew ielkich zbiorów. Pamiętanie porządku ele
mentów większego zbioru jest związane z większym wysiłkiem uwagi, a więc większą pracą umysłową Określone zbiory przedmiotów, służące najpierw do odwzorowywania [jak np.
ręka (5), cały człowiek (20)], jako przedm ioty zastępcze, były stałe i tem samem ograniczone. W taki sposob proces rozwoju myśli arytm etycznej nie mógł posuwać się ualej, zakres licz
bowy nie mógł rosnąć, gdyż inaczej trzebaby było posiadać liczne tego rodzaju zbiory, co zbytnio utrudniałoby liczenie, a właściwie odwzorowywanie. Dlatego stadjum owych zbio
rów stałych mogło się utrzym ać—dotąd tylko, póki potrzeba praktyczna nie zmusiła człowieka do udoskonalenia swego apa
ratu odwzorowującego. Karbowy, k tó ry wycina znaczki na kiju, jest już na wyższym szczeblu rozwoju, bo może w ten sposób znacznie większe liczby odwzorowywać. P ó ki p raktyka życia związana była z niewieikiem i liczbami, środki powyższe jako tako wystarczały; ale później m usiały ustąpić innym: aparat odwzorowujący musiał się ciągle wydoskonalać. Podobne zja
wisko spotykamy w sposobach pisania, któ re najpierw zwią
zane b yły, jak to w idzim y np. w hieroglifach egipskich, z r y
— 8 —
sunkiem. Aparat odwzorowujący l>ędzie tem doskonalszy, im łatw iej da się przenosić, im większy zakres liczb objąć potrafi;
wtedy dla wszystkich przypadków będzie stosowny. Pisanie zwyczajnych kresek, którego pozostałości w idzim y np. w cy
frach rzym skich, pozwala zapisywać nawet większe liczby przy odpowiedniej cierpliwości, ale ma inne b raki, które łatwo zro zumieć: wymaga dużo miejsca i duto czasu, niewygodne jest do porozumiewania się i działań.
Ostatnim szczeblem rozwojowym w tej dziedzinie jest wytworzenie ciągu naturalnego, w ytw orzenie słów odpowiada
jących liczbom stale zwiększającym się o jedność. Ten ciąg naturalny jest uniwersalnym aparatem odwzorowującym, naj
wygodniejszym, bo kto go raz posiadł, —- zawsze z nim po
zostanie. Liczenie jest to odwzorowywanie zapomocą ciągu naturalnego liczb, podporządkowywanie każdego kolejnego ele
mentu przeliczonego zbioru kolejnemu elementowi ciągu, któ ry p rzytem daje odpowiedź na pytanie: i l e p r z e d m i o t ó w p o l i c z y l i ś m y ? Utworzony ciąg naturalny ma nadto wiele innych cech. Np. odrazu rzuca się w oczy, że nie można każdej następnej liczby ciągu nazywać oddzielnem słowem bez żadnej prawidłowości: myśl zgubiłaby się napewno w tym le- sie słów.
Podczas gdy przedm ioty liczone możemy przestawiać do
wolnie i przez to liczba ich się nie zm ieni, w yrazy ciągu na
turalnego przeciwnie: — nie mogą być przedstawiane; w ich uporządkowaniu zawiera się coś więcej, niż w zwyczajnym sze
regu znaków lub też jakichkolw iek innych przedmiotów. W y ra zy ciągu są reprezentantam i wszelakich zbiorów o tej samej z a w a r t o ś c i , a każdy w yraz następny jest reprezentantem zbiorów o zawartości w i ę k s z e j (t. j. p rzy odwzorowywa
niu 2 zbiorów jakichkolw iek, których reprezentantami są 2 następujące po sobie w yrazy ciągu naturalnego; po w yczerpa
niu jednego z tych zbiorów w drugim pozostanie jeszcze jeden element). Każdy wyraz ciągu naturalnego przedstawia j a k b y s y m b o l , z n a k w y k o n a n e j p r a c y o d w z o r o w y w a n i a c z y l i l i c z e n i a . Ta ostatnia uwaga ma wielkie znaczenie dydaktyczne, bo bardzo często uczym y najpierw, np. w zakresie pierwszego dziesiątka, liczyć, uważając to za rzecz konieczną p rzy nauce początków. Jest to mniemanie ] niesłuszne: dziecko może zapamiętać szereg kolejnych liczeb
ników , może stosować to do liczenia przedmiotów, ale takie liczenie będzie procesem czysto f o r m a l n y m , bo dla dziec
ka w takim razie nazwy kolejne liczebników nie będą posia
dały nic prócz zwyczajnych dźwięków, szeregowanych w po
rządku kolejnym, utrw alonym ty lk o przez pamięć (p atrz np.
S. Jankowski; „Jak prowadzić naukę rachunków. Część 1".
9 —
Warszawa 1903). W niektórych przypadkach taka znajomość), szeregu liczebników może nawet zaszkodzić, a wogóle przygo
towaniem do nauki być nie może.
Jest faktem, znanym z obserwacji rachunku u ludów p ie r
wotnych, że samo nauczenie liczebników nie prowadzi do sto
sowania ich w rachunku praktycznym . Człowiek pierw otny pamięta nieraz wyuczone słowa, ale w praktyce swego życia stosuje własne pierwotne metody, obywające się bez tych słów.
Dopiero zmiana warunków jego życia, rozwój odpowiedni sto
sunków gospodarczych, handlu i przem ysłu jest tym motorem, któ ry prowadzi jego myśl matematyczna, na wyższy szczebel
rozwoju. /
Tak samo postępujemy zbyt ryczałtowo i nieoględnie, gdy/
pokazując różne przedm ioty i przeliczając je, sądzimy, że w ten sposób w ytw arza ąię pojęcie liczby. (Np. patrz W . Tra->
czyński: „Przew odnik metodyczny do nauki rachunków”. Ja
rosław 1910). Już z powyższego krótkiego szkicu czytelnik w idzi, ile to momentów myślowych potrzeba uwzględnić, by można mówić o pojęciu liczby, z drugiej zaś strony pojęcia muszą się stopniowo wytworzyć, wyrosnąć, a do tego nie dość sam ych ty lk o pokazów i krótkiego zwrócenia uwagi. Uczeń musi prze jść przez w szystkie stadja przyg otow aw cze , a więc musi zauważyć niezależność liczby od uporządkowania, od ja kości przedmiotów, musi odwzorowywać zb io ry jedne w d r u gich zapomoeą stałych przedmiotów, np. gałek na liczydle, kresek stawianych u siebie w tabliczce (arytm etyka bez słów w ochronkach), obrazków, następnie liczyć różne przedm ioty, używając słów. Nie dość jeszcze na tem: pojęcie danej in d y
widualnej liczby wtedy się zjawia, wtedy jest w posiadaniu dziecka, gdy ono niem operuje, co jest możliwe tylko przy w y konywaniu różnych z liczbą działań i zadań, gdy dziecko uiiciu- damia sobie swoje procesy psychiczne. Wobec tego, że języka dzieci uczą się zw ykle dość wcześnie, pojęcia, jakie wyraża mowa, zdają się nam już być gotowemi; gdy tymczasem bliższe zbadanie rzeczy wykazałoby duże b raki w tej dziedzinie. Można przeliczać różne przedm ioty, ale nie mieć pojęcia liczby, p rz y najmniej samo takie przeliczanie n i e m o ż e b y ć s p r a w d z i a n e m t e g o . Najlepszym sprawdzianem jest samodzielne zastosowanie liczby przez ucznia w zadaniu. Jeżeli dziecko powie do kolegi: ,,dam ci cztery stal ki, a ty daj mi obsadkę, bo swoją zgubiłem ’’, to tutaj najlepiej się przejawia wartość zdo
bytych pojęć. Zadanie, jak wszędzie w matematyce, ma rów nież w tym razie kapitalne znaczenie. Na tem polega wartość tak zwanego praktycznego kierunku w nauczaniu wogóle. Je
żeli dziecko stosuje pewne pojęcia do zagadnień znajdujących się w sferze jego zainteresowań, jeżeli operuje pewnemi po-
— 10 —
jęeiami, tem samem musi je posiadać. Inn e sprawdziany są o wiele ryzykowniejsze i n i e d a j ą u c z ą c e m u p e w n o ś c i .
Zazwyczaj sądzimy, że pojęcie liczby ro zw ija się na tle doświadczenia. Ale powiedzieć, że coś powstaje na tle do
świadczenia, jest to często praw ie nic nie objaśnić. W naszem zagadnieniu mamy do czynienia z bardzo zawiłym procesem.
Jednym z w ybitnych rzeczników doświadczalnego powstawania pojęć liczbowych jest m yśliciel angielski John Stuart M ili.
Stawia on sprawę najjaśniej i najkonsekwentniej. Przytoczym y tu słowa samego Milla: „W yrażenie „dwa krzem ienie i jeden krzem ień” oraz w yrażenie „trzy krzem ienie” w rzeczywistości oznaczają ten sam zbiór krzem ieni, a bynajmniej nie ten sam fak t fizyczny. Są to nazwy tych samych przedmiotów, lecz tych samych przedmiotów w dwóch stanach odmiennych: cho
ciaż nazwy oznaczają te same rzeczy, lecz towarzyszące im pewne cechy są różne. T rz y krzem ienie w dwóch różnych zbiorach i trz y krzem ienie w jednym zbiorze oddziaływ ają na nasze zmysły nie jednakowo, a twierdzenie, że przez zmianę miejsca i rozkładu tych krzem ieni można osiągnąć, aby te krzem ienie wyw oływ ały ten iub inny szereg czuć, jakkolw iek byłoby banalnem, nie jest jednakże tautologją. Tw ierdzenie to jest prawdą, znaną z bardzo wczesnego i stałego doświad
czenia: jest ono prawdą zdobytą indukcyjnie, a takie właśnie praw dy stanowią podstawę nauki o liczbach. W szystkie p ra w dy podstawowe tej nauk: opierają się na świadectwie zmysłów;
dowody czerpiem y, wykazując oczom lub palcom naszym, że dana liczba przedmiotów, np. dziesięć ku l, może p rzy rozm ai
tym układzie przedstawiać się naszym zmysłom jako różne szeregi liczb o sumie równej dziesięciu. W szystkie udoskona
lone metody nauczania dzieci arytm etyk i oparte są na znajo
mości tego faktu. Wszyscy, któ rzy pragną uczyć arytm etyk:, wpływać na umysł dziecka, dawać wiedzę o liczbach, a nie 0 cyfrach - uczą teraz na podstawie świadectwa zmysłów, jak wskazano pow yżej”. (System L og iki. T. I, ks. I I , roz. V I, wydanie 5-te).
M ili słusznie tw ierd zi, żc dwa różne ugrupowania tych samych przedmiotów stanowią różne fakty fizyczne. Skądże tedy dowiadujemy się o tem, że liczba przedmiotów jest ta sama? „Tw ierdzenie to jest prawdą znaną z bardzo wczesnego 1 stałego doświadczenia” - mówi M ili. Lecz czy takie obja
śnienie cokolwiek rzecz tłumaczy? Jest to dogmat i nie po
nadto. Dlaczego doświadczenie nie poucza nas bez żmudnego liczenia, że różne ugrupowania tych samych 60 np. p rzed miotów dają tę samą liczbę? Dlaczego ogranicza się do nie
w ielkiej bardzo liczby przedmiotów, jakkolw iek ogarnąć wzro-
— l i
kiem w yraźnie możemy czasem bardzo znaczne ich liczby?
G dyby lic z b a była cecha, ugrupowań przedmiotów, któ rą moż
na ujmować zmysłami, odczytywanie liczby nie zależałoby od lic z n o ś c i grupy. Aby odczytać liczbę, trzeba porównywać różne ugrupowania, albo między sobą w pamięci, albo ze sta
łem innem ugrupowaniem (co jest łatwiejsze), a tem samem wykonać proces odwzorowania. Końcowe uwagi powyższego ustępu z dzieła M illa są słuszne niezależnie od jego teorji filozoficznej. Dziecko może myśleć tylko o konkretnych przed
miotach, tylko takie może porównywać, ale robim y to, uwzględ
niamy tę rzecz dlatego, b y to dziecko później mogło myśleć 0 wytworach, własnej myśli, bo to jest zasadniczą właściwością nauki arytm etyk i i matem atyki wogóle. Konkretne przedmioty pomagają do w ytw orzenia pojęcia liczby, alt? nfe tworzą tego pojęcia: jest ono produktem czystej myśli. Myśl dziecka po
woli odrywa się ód konkretnych przedmiotów, staje, że tak powiem na włąsnych nogach, a wtedy robi wprost ogromnej doniosłości krok naprzód. Nie myślmy, że to tak prędko się odbywa: często nawet w wyższych klasach szkoły średniej jesz
cze się do tego nie dochodzi. Ale wróćmy do M illa.
Sam on czuje, że czegoś jego teo rji brakuje, bo oto da
lej powiada: „Sąd „ trz y jest dwa i jeden" musimy nazwa' określeniem tró jk i: natomiast oparto na tym sądzie liczenie w ypływa nie z samego określenia, lecz na zasadzie założenia zawartego w niem tw ierdzenia arytmetycznego, mianowicie:
istnieją zbiory przedmiotów, które, oddzialywając na nasze zmysły w postaci wrażenia: ° o ° , m o g ą być podzielone na dwie części w ten sposób: oo o. Ponieważ zakłada się tego rodzaju twierdzenie, nazywamy wszystkie takie ugrupowania: trzy, a stąd i sam zaw arty w założeniu tem fakt fizyczny będzie mógł być poczytywany za określenie liczby trz y . M ili chce tu powiedzieć, że niezależnie od ugrupowania przedmiotów poznajemy w doświadczeniu te, w których liczba jest ta sama, 1 że ta właśnie niezależność od ugrupowania stanowi -tw ie r
dzenie" arytm etyczne; nie wykazuje natomiast, jak już wyżej zanotowaliśmy, w jak i to sposób w doświadczeniu dochodzimy do podobnego zasadniczego „tw ierdzenia", dlaczego mamy pewność, że różnym grupom przedmiotów odpowiada ta sama liczba. W dalszych swych wywodach M ili wskazuje na jeden jeszcze „element hipotetyczny". Jest nim założenie identycz
ności liczonych jednostek. Wszak wiemy z doświadczenia, że niema dwóch zupełnie jednakowych przedmiotów. Skąd w ta
kim razie założenie, że liczone przedm ioty są identyczne? Na
wet w tej drobniejszej sprawie widać specjalną funkcję naszej myśli, która musi sobie sama tworzyć rzeczy i pracuje nad niemi. Prócz 'tego powyższe wywody M illa wcale nie doty
czą przedmiotów zjawiających się jeden za drugim kolejno w czasie ‘ l.
M yśli, które wypowiedziane zostały w powyższych ro z
ważaniach, dadzą się streścić narazie w takim ogólnym wnios
ku dydaktycznym : Należy baczniejszą zwracać uwagę na w y
twarzanie się pojęcia liczby, a dlatego prócz odliczania ró t- ih/ch przedmiotów uwzględniać następujące czynniki: 1* p ro ces odwzorowania, 2° niezależność liczby od uporządkowania.
Najlepszym zaś sprawdzianem w kwestji posiadania pojęcia liczby jest samodzielność stawianych przez ucznia zapytjyi treści arytm etycznej i samodzielne stosowanie pojęć liczbowych do bezpośrednio nasuwających się zagadnień otaczającego ży
cia, związanych ze sferą jego zainteresowań.
Swoją drogą czytelnik zapyta nas: a czemże jest liczba, jak ją określić? Określenia takiego niema, odpowiadamy, bo liczba całkowita jest pierw otnym faktem arytm etycznym . Je
żeli co chcemy określić, musimy odwołać się do pojęć cle- mentarniejszych lub za elementarniejsze uważanych. W nau
ce niema zgody co do tego. Różni metodycy podają różne określenia liczby, ale wszystkie one bez w yjątku grzeszą nie
logicznością. Dawniej (a nawet i teraz czasem) podawano w podręcznikach określenie liczby w rodzaju następującego:
liczba jest to rozultat liczenia albo mierzenia. Jasna rzecz jednakże, że w samem pojęciu liczenia i mierzenia już się za
w iera pojęcie liczby, popełnia się tu tedy błąd logiczny, który nazywają „błędnem kołem ” (circulus ritiosus). Jedna rzecz jest w yraźna i powinna być dobrze rozumiana: mówiąc o licz
bie, mamy do czynienia z pojęciem, abstrakcją, która nie zja
wia się w głowie dziecka odrazu, ale musi być przygotowana.
Przygotowanie to stanowi najważniejsze zadanie metody nau
czania pierwszych początków.
Bezpośrednio z zagadnienia istoty liczby w ypływa na tle tej lub innej odpowiedzi na to zagadnienie główna kierująca zasada nauczania. W ogromie lite ra tu ry i chaosie poglądów wyłaniają się głównie 2 takie zasady. Jedna z nich to zogpdp liczenia, druga t. zw. obrazów liczbcncych. P rz y jrz y m y się po kolei każdej z nich.
Główną rzeczą w powstawaniu pojęcia liczby jest licze
nie, Jako szeregUMZw uwagi, które mają miejsce p rzy zatrzy
mywaniu się kolejnem nad każdym oddzielnym liczonym przed
miotem, bez względu na, to jakiej ten przedm iot będzie natury.
Proces liczenia nie zależy od jakości liczonych przedmiotów ani od ich uporządkowania, wyraża pewną „sumę” pracy psy-
>) Zrobiliśmy tu dygresję d li M ili*, jtd ft chodr.ito nam o pewne wy
jaśnienie popularnych poglądów.
— 12 —
c hiczne j. Ta praca będzie jednakow a, czy lic z y m y k ę n ie na pastw isku, czy też u d e rz e n ia zegara a lb o g w ia zd y w pewnem m iejscu niebios. Jednakowość re z u lta tu i niezależność od na
t u r y prz e d m io tó w je s t g łó w n y m pow odem , że lic z b a oddziela się nieja ko od p rz e d m io tó w k o n k re tn y c h , a g d y to oddzielenie nastąpi, m am y ju ż pojęcie lic z b y gotowe. D latego, ucząc dzie
ci, należy wym agać od n ic h , b y p rz e lic z a ły różne p rz e d m io ty w n a jro z m a its z y c h po ło żeniach i postaciach; prze z to staje się dla nich jasne, że lic z b a w cale od ty c h w łaściw ości nie zależy.
T ak samo ja k w po w staw aniu po ję cia lic z b y , proces lic z e n ia o d g ry w a zasadniczą ro lę w d ziała niach . Np. w ja k iż sposób w y k o n y w a m y i spraw dzam y dodawanie? M am y, d a jm y na to, dodać 5 do 3. L ic z y m y od jednego do 5, a następnie w d a l
szym cią gu od 1 do 3, ale to o sta tn ie lic z e n ie zastępujem y potem przez o d p o w ie d n ie p rz e d łu ż e n ie szeregu n a tu ra ln e g o poza 5. S chem atycznie to p rz e d s ta w ić m ożna tak:
1, 2, 3, 4, 5,
1. 2, 3, 1, 2, 3, 4, ó, 6, 7, 8.
P rz y dodawaniu trzeba więc właściwie wykonać 3 pro cesy liczenia. P rz y odejmowaniu liczym y w odwrotnym po
rządku w drugim wierszu. Zapomocą liczenia sprawdzamy rezultaty tych działań elementarnych. Stąd sprawne i szyb
kie liczenie jest konieczne dla dobrego, świadomego opano
wania działań. Takie pojmowanie rzeczy, więcej lub mniej dokładne, jest popularne. Pochodzi stąd fakt, że uczący n a j
pierw w prawia dzieci w liczenie, sądząc, że w ten sposób zdobywa podstawę do dalszej nauki. Nie w ypływ a to z samej zasady nawet. W niej głów ny nacisk kładzie się na proces psychiczny przechodzenia od jednego przedm iotu do drugiego, na wspomniany szereg aktów uwagi, przyczein nie ma znacze
nia, czy każdy taki akt, uświadomiwszy go sobie, nazywamy, czy też obchodzimy się bez słów. W każdym jednakże razie ta strona zasady liczenia jest bardzo niejasna i budzić możej powyższe nieporozumienie. Jeżeli wym ieniam kolejne liczeb
niki, to mogę to robić mechanicznie, a w takim razie równie dobrze mogę powtarzać szereg nazw chińskich albo jakich in nych dźwięków. Cóż z takiego powtarzania mi przyjdzie?
Jaka treść psychiczna jest w niem zawarta? Wypowiadam słowo „pięć”, cóż przez to rozumiem? Słowo to skojarzone jest z następnem „sześć” i poprzedniem „cztery”, ale skoja
rzenie to jest czysto przygodne, formalne, bo żadnemu z tych słów nie odpowiada żadna treść psychiczna. Nie w ytw arzam y w ten sposób szeregu naturalnego, ale wypowiadamy szereg dźwięków bez znaczenia. W ytw orzyć szereg naturalny jest to zrobić to, do czego dążymy: dać pojęcie liczb i związek mię-
— 13 —
— 14 —
dzy niem i. W ja k iż sposób taka bezduszna rzecz, jak zapa
miętanie szeregu kolejnych dźwięków , może być podstawą d a l
szej nauki? Nawet w nauce języka obcego pam iętanie nazw różnych przedm iotów jeszcze nie wystarcza: a tu mamy jesz
cze m niej. Jeżeli więc słuszna jest zasada liczenia, to nie może być mowy o takim procesie liczenia, ja k i zw ykle wykonyw ają ci, k tó rzy się a ry tm e ty k i trochę nauczyli. Jedną z ważnych zasad dydaktycznych jest pam iętanie o tem , że przynajm niej w rzeczach podstawowych — a o takich tu mowa — nie można używać słów, k tó ry m nie odpowiada żadna treść. Oddzielne liczeb niki muszą być najpierw poznane, musi być uchwycony związek m iędzy kolejnem i liczbam i, musi być gotowe pojęcie liczby, aby proces liczenia w tej form ie, o której mówimy, mógł mieć miejsce i znaczenie. W takim razie upada może cała zasada? Nie, bo z w y k ły proces liczenia nie jest zjawiskiem pienrotnem, lecz pochodnem. Zasada liczonia ostać się może, ale trzeba opierać się w niej nie na ostatniej fo rm ie procesu l i czenia, lecz na pierw otniejszej. Taką pierw otniejszą form ą jest odwzorowywanie. '/. niego też należy wychodzić w nauczaniu.
P rzez odw zorowywanie uczeń porów nyw a 2 zb io ry p rzedm io
tów, odpowiada na zapytania dotyczące pojęć: m niej, więcej, równo (brakuje, przew yższa) i t. d. Tu niema jeszcze i nie może być pojęcia liczby, ale jest pierwsze stadjum porów ny
wania, jest odczuwanie w ie lk o ic il). W ja k i sposób posuwać się dalej w nauczaniu, o tem będzie mowa niżej; teraz zazna
czamy ty lk o tak ie nasze stanowisko wobec zasady liczenia. Nie miejsce tu na dłuższe rozważania, przypuszczam jednakże, że tego, co powiedziano, wystarcza do zrozum ienia potrzebnej do dalszych wywodów rzeczy.
Zasada druga, czy li zasada obrazów liczbowych, jest o wiele młodszą, niż poprzednia. W yro sła ona pod wpływem psycho- log ji doświadczalnej i cała jest owiana je j młodzieńczym du chem. Nie przem aw ia to jednakże na je j korzyść. Zwolennicy tej zasady, głównie w Niemczech, k ry ty k u ją zasadę liczenia przew ażnie z dwóch stanowisk: l-o że jest oparta na założe
niach a p rio r i, niemal dowolnych, 2-o że nie ma znaczenia tam, gdzie nie może być mowy o pojęciu liczby, gdzie, jak u dziec
ka, istnieją ty lk o konkretne w yobrażenia; więc jeżeli się ją stosuje w tym czasie, to obciąża się pamięć tylko , a nie od
działyw a na inne władze psychiczne. Już w zakresie p ie rw szego dziesiątka, mówi L ay, jeden ze zwolenników tej zasady, musi dziecko spamiętać re zu lta ty blisko 200 różnych działań.
') Stąd w ła ściw ie n ic p o w in no się nazywać p o w yiszo j zasady „zasadą liczenia '’, ale „o d w z o ro w y w a n ia ” (nie Z a h lp riitzip , ale A bbildungsprinzipi Rzecz ta w yraźn ie w ystępuje w matematyce w y is z e j w tak zw. te o rji mnogości.
— 15 —
T ak, spamiętać, bo ten fakt. że zapomocą liczenia może ono te re zu ltaty sprawdzić, nie wystarcza, gdyż działania muszą być zmechanizowane, a w jak iż to sposób można zrobić, ja k nie zapomocą pamięci? Ile ż tru d u w tem się mieści, ile pracy psychicznej, k tó rą możnaby na coś lepszego zużytkować, g d y
by się inaczej do rzeczy zabrać! Skoro dziecko, zaczynające się uczyć, m yśli obrazam i, w yobrażeniam i konkretnem i, czy nie możnaby b yło wynaleźć, jako odpowiedników liczb p rz y najmniej pierwszego dziesiątka, takich w yobrażeń, któ re uła
tw iły b y p rzez u przyto m n ienie ich sobie działania z liczbam i i tem samem zekonomizowały w ys iłki pamięci? Np. w razie dodawania 3 i 4 mógłbym , ja k i w innych przypadkach po
dobnych, podsunąć dzieciom takie obrazy:
o o . O O o o i o
o o o o
Połączenie ich o o o dałoby nowy obraz liczby 7.
W ten sposób działania w ykon yw ałyb y się w w yobraźni, o ile ty lk o każdej liczbie pierwszego dziesiątka (nawet do 12) pod
p o rz ą d k o w a n y b y ł podobny obraz i obraz ten u trw a li! się przez p o w ta rz a n ie w pa m ię ci wzrokowej dzieci. Myśl taka sięga dru giej połowy X V III- g o wieku ł ), ale dopiero niedawno różne p ro je kty obrazów liczbow ych, podawanych przez różnych me
todyków, poddano doświadczalnemu badaniu. Z tych doświad
czeń (k tó ry m można to i owo zarzucić) zwycięsko wyszedł szereg Borna (metodyka niemieckiego z d rugiej połowy X lX -g o wieku):
1 2 3 4 5
o O 0 0 o o O O O .
i t. d.
o o o o o o
Jedną z głów nych rzeczy w zrozum ieniu tej zasady jest fak t natychmiastowego niemal odczytyw ania liczby z danego ugrupowania. Badając różne ugrupowania punktów doświad
czalnie, w ybrano to, p rzy którem takie odczytyw anie dawało najmniej om yłek. P rzyznać należy, że zwolennicy tej zasady nie w ypracowali jeszcze dokładniejszej metody praktycznego nauczania. Książki np. W alsemanna i Laya zawierają dużo rzeczy ciekawych, ale w yrobionej metody praktycznej tu jesz
cze niema. P rzy tem postawiono wspomnianej zasadzie zarówno ze strony teoretycznej, ja k p raktycznej szereg zarzutów po
ważnych, na któ re nie można się nie zgodzić. Doraźne chw y
tanie liczby z danego ugrupowania, jak to w iem y z własnego
■) W padł na ten pom ysł Busse, profesor fila n tro p in u m w Iłesau.
doświadczenia m y starsi, nie jest rzeczą łatw ą. O drazu od
czytujem y p rzy praw ie dowolnem ugrupow aniu 2, 3, czasem 4, ale dalej ju ż napotykam y trudności. C zy żądanie, aby dzieci ch w ytały liczbę z powyższego, choćby najw ygodniej
szego, ugrupowania, nie jest wygórowane? Czy nie jest za trudne i nie obciąża ze swej strony zb ytn io w zrokowej pamięci ucznia, zwłaszcza tego, k tó ry wzrokowcem nie jest albo jeszcze się nim nie stał przez naukę książkową? Dalej, działania z takiem i obrazam i nie są bynajm niej łatwe, bo np., gdy do-
O O O O
dajem y , ' 0 ’ wsz>'st*co idzie gładko, ale, gdy mamy o o o o o
dodać q q i o , potrzebna jest pewna m odyfikacja obrazów, potrzebne jest ich naruszenie albo wykonanie w wyo
braźni obrotu jednego z nich o 180°. C zy można się p rzy- tem uw olnić od liczenia? Uczeń posiada np. obrazy 7 i 8, ale dodawanie tych liczb ju ż bez liczenia uskutecznione być nie może; nie może też w tedy, gdy niema pod ręką odpowiednich ko n kretnych obrazów; niema rów nież pewności, czy dane dzia
łanie wykonane jest dobrze. W ja k iż sposób dalej przejd ziem y do pojęcia liczby? D roga pozostaje ta sama, co poprzednio, a zdobyte ułatw ien ie jest problem atyczne. Z aw ie ra się jednak
że w tym poglądzie zdrowe, zdaniem mojem, ziarno praw dy, a dotyczy ono przedew szystkiem tego ważnego metodycznie faktu, że obok rozm aitości liczonych przedm iotów musi być pewien stały p rz y rz ą d , na k tó ry m dzieci w id zą pewne stałe, jednakowe ugrupow ania tych przedm iotów o danej, odpowia
dającej im liczbie. Istn ienie takiego p rzyrząd u ułatw ia spraw dzanie działań. Dzieci przyzw yczajają się do jego w yglądu, uwaga ich nie jest zajęta szczegółami konkretnem i i dlatego treść arytm etyczna łatw ie j tu występuje, co ma niem ałą w a r
tość p rz y w yjaśnianiu. W eźm y p rzyk ład . Po zaznajom ieniu się z liczbą 6, uzm ysłow ieniu jej, różnych przykładach kon
kretnych i t. d. w ystępują działania z liczbam i oderwanemi.
Ile będzie 4 a 2? Może się zdarzyć (a p rz y pośpiesznem, u nas zwyczajnem, nauczaniu zdarza się często), że uczeń nie um ie na to odpowiedzieć, tern bardziej wtedy, gdy pow tarzam y i gdy o 6 niema ciągle mowy. Na p rzyrząd zie stałym łatw ie j nie
udolnemu m atem atykow i rzecz wyjaśnić. T o samo może się zdarzyć, gdy ro zw iązujem y zadanie, którego fabuła omawia p rzedm ioty nie znajdujące się w klasie. Jak tę rzecz w nau
czaniu wyzyskać, o tern będzie mowa w rozdziale następnym.
N ie może ulegać wątpliwości, że zasada obrazów liczbo w ych rów nież opiera się na odw zorow yw aniu. Każdy obraz liczbow y jest swojego rodzaju aparatem odwzorowującym, któ
rym się postukujemy czy to w w yobraźni, czy też na p rz y rz ą d z ie d la ułatw ienia m yśli. Jednostajność tw orzenia obrazów lic z b o w y c h w szeregu Borna jest tą dodatnią jego stroną, któ ra pomaga do w ykonyw ania działań i pam iętania tych obrazów.
Z w o le n n ic y tej zasady, tak samo jak i poprzedniej, nie zw ra
cają na to uwagi, chociaż to fakt ważny i świadczy o jed no li
to ś c i podstaw obu zasad, a więc i o jednolitości m etody nau
czania.
Przytaczając tu taj główniejsze poglądy na niektóre za
sadnicze kwestje, a także uwzględniając n iektóre uwagi k r y tyczne, pragnę ty lk o w yjaśnić te m yśli, któ re stanowią pod
stawę niniejszej książki.
Reasumując powyższe, tw ierdzę: l-o zasada liczenia jest słuszna, ale ty lk o w tedy, gdy przez liczenie nie będziem y ro zum ieli zw ykle używanego procesu, lecz zaczniem y w nauczaniu od form y pierw otniejszej, od odwzorowywania; 2 - 0 zasada obrazów liczbowych nie przeczy, ja k sądzą n ie któ rzy , zasadzie liczenia, a stanowi nowy p rzyczynek do właściwej metody nauczania, bo w każdym razie ważnym jest fa k t istnienia p rz y nauczaniu stałych ugrupowań przedm iotów na stałym p rz y rządzie.
!-» O K R ĘG O W A
iw W H
! B I B L I O T E K A |
2
R O ZD ZIA Ł II.
Nauczanie każdego przedm iotu opiera się na k ilk u głów nych zasadach, wspólnych d la wszystkich przedm iotów i ro z
patryw anych p rzez ogólną d yd aktykę. Każdy p rzed m io t do tych zasad dołącza, oczywiście, inne, płynące z jego n a tu ry i zadań nauczania. Bardzo ważnem jest d la jasnego zdawania sobie spraw y z w ielu wskazań metodycznych dobre ro zu m ie
nie tych w łaśnie ogólnych zasad. D y d a k ty k a ogólna podaje 4 takie zasady: zasadę poglądowości, samodzielności, ciągłości i ind u kcji. Poniew aż om aw ianie tych zasad nie należy do za
gadnień, któ re są celem niniejszej ks iążki, nie będę tu dłużej nad niem i się zastanawiał; pom im o to z różnych względów, a m iędzy innem i ze w zględu na właściwe rozum ienie następu
jącego w ykładu , nie od rzeczy będzie poświęcić tej sprawie tu taj k ilk a uwag.
Zasada poglądowości należy do n ajbardziej popularnych.
D ziś każdy nauczyciel wie o konieczności jej stosowania, a każ
d y in te lig en tn y człow iek, nawet najm niej obeznany z nauką wychowania, ma o niej pewne pojęcie. Zasługą jest wielkiego pedagoga czeskiego, Jana Amosa Komeńskiego (1592 1*70), że pierw szy w fo rm ie dokładniejszej i um iejętniejszej w pro
w ad ził ją do swej te o rji nauczania. r Początek poznania za
wsze pow inien wychodzić od zmysłów (albow iem niemasz nic w rozum ie, coby przedtem nie istniało w zmysłach); dlacze- góżby więc i początek nauki nie m iał rozpoczynać się raczej od spostrzeżenia rzeczy, niż od roztrząsania wyrazów. Potem zaś dopiero, skoro rzecz zostanie pokazana, niechaj p rzyłą czy się mowa do dalszego jej objaśnienia" pisze Komeński (W ie lk a D y d a k ty k a , W arszawa, 1883 r., przekład H . W em ica , str. 146— 7).
U siłow ał on w prow adzić poglądowość we wszystkie dziedziny nauczania, ale głów nie z ro b ił to dla n au ki języków i podkreś
la ł wszędzie n ajbard ziej oddziaływ anie na zm ysł w zroku. Od czasów Pestalozzego zaczynamy rozum ieć poglądowość głębiej, jako oddziaływ anie nie ty lk o na zmysł w zro ku zgodnie z samą
nazwą, alo na wszystkie zm ysły, a w szczególności na dotyk i słuch. Rozum iem y teraz, że dla dziecka to jest n ajbardziej zro zum iałem , co jest w ykonalnem , co um ie zrobić. Rzeczywistość, świat nasz w yjaśniają się nam n ie ty lk o przez biern e p atrze
nie, słuchanie i wogóle ujm owanie zmysłowe, ale przez nasz czyn, przez tw orzenie ich własnym w ysiłkiem . Dlatego praca ręczna nie ty lk o jest pożytecznem zajęciem rzemieślniczem, ale w ielką d źw ignią nauki i poznawania; dlatego to zagad
nienie, związane z zainteresowaniem właściwem w iekowi, jest najodpowiedniejszą pobudką poznania. Tenże Komeński, ja k kolw iek nie tak w yraźnie, p odkreślał i trz y inne zasady d y daktyczne. Już w maksymie naczelnej wspomnianej powyżej książki, któ ra jest. niestety, wyczerpana, powiada, że gwiazdą przew odnią jego d y d a k ty k i ma być w ynalezienie regu ły, .w e dług któ re j nauczający m niejby nauczali, a uczący się więcej się n au czy li*. F o rm u łu je tu w ie lk i pedagog w yraźn ie zasadę samodzielności. Nauczanie nie polega na tem , aby „wlewać do głow y pustej" mądrość, ale na stw orzeniu przez nauczycieli i wogóle przez starsze pokolenie takich w arunków , w których dzieci m ogłyby poznawać zgodnie z natu rą swego umysłu.
T y lk o ten, co własnym w ysiłkiem coś zdobył, co przeszedł właściwą umysłowi ludzkiem u drogę żmudną od faktu, spo
strzeżenia i czynu własnego do pojęcia, ty lk o ten może się
„nauczyć” . Ta myśl nie ty lk o jest gwiazdą przew odnią Ko
meńskiego, ale k ie ru je rów nież potężnym umysłem Bacona w jego rozważaniach o metodzie indukcyjnej.
Zasada ciągłości b yła znana jeszcze przed Komeńskim i w yrażana przez w ielu pisarzy pedagogicznych w postaci fo r
muły: „od łatwiejszego do trudniejszego" lub też: „natura nie czyni skoków”. W szakże właściwą jej treść może zrozumieć tylko ten, kto zdaje sobie sprawę, ja k się ro zw ija umysł ludzki.
Im głębszą będzie nasza w tej dziedzinie wiedza, tem lepiej p o trafim y samą zasadę rozum ieć i stosować. Dziś jasnem jest każdemu, że w nauczaniu nie można przeskakiwać bez ładu od jednego szczegółu do d riigiego, że trzeba nowe wyobrażenia i pojęcia wprowadzać, licząc się z tem. co uczący się już ma.
Z zasadą ciągłości jest w zw łązku ścisłym bardzo ważne poję
cie dla d y d a k ty k i - pojęcie apercepcji, t. j. procesu p rzysw a
jania sobie nowego m aterjału naukowego i związanej z nim umiejętności naw iązyw ania tego m a terjału do poprzednio zdo- bytego. Zasada ciągłości ma znaczenie nie ty lk o na oddziel
nej lekcji, ale i w p rogram ie klasy, szkoły, całym program ie nauczania i nawet całej o rganizacji szkolnej. Nieum iejętne jej stosowanie może czasem wywołać nudę, jak w ilk a z lasu.
Dlatego to od nauczyciela wymaganą jest umiejętność obser
wowania dzieci i liczenia się z ich stanem um ysłowym . O za
20
sadzie in d u kcji powiem więcej w dalszym ciągu w zastosowa
n iu do nauczania a ry tm e ty k i, gdyż ma ona tu taj specjalne cechy. D latego obecnie nie będę się nią zajm ow ał — nawet pokrótce, jak poprzedniem i zasadami.
Stosowanie każdej z tych zasad w p rak tyc e nastręcza różne zagadnienia, zależne od n a tu ry przedm iotu. Z tego w y
n ika, że to samo pow inniśm y zro b ić p rz y omawianiu naucza
n ia a ry tm e ty k i. Dlatego w rozdziale niniejszym poświęcimy głów ną uwagę stosowaniu zasady poglądowości.
Spopularyzow ane są ju ż, jak pow iedzieliśm y, pojęcia o p o - g l ą d o w o ś c i w nauczaniu. G dy się jednakże obeznamy z literaturą p rzed m io tu, a tern b ard ziej z realizow aniem owej poglądowości w praktyce, znajdziem y w iele zdań różnych co do środków i zakresu poglądowego nauczania, znajdziem y rów nież w owej p rak tyc e nieraz pozory poglądowości, a nie samą jej treść. W y lic z y m y i ro z p a trz y m y tu po kolei wszel
kie m ożliw e środki do nauczania poglądowego.
a) P r z e d m i o t y i z j a w i s k a ś w i a t a o t a c z a j ą - c e g o -
Bez w ątpienia, b liskie zetknięcie się z rzeczam i codzien
nego doświadczenia nadaje nauce, zwłaszcza oderwanej, ż y wość, a dla umysłów niorozbudzonych wartość realną. Tak jest wszędzie, w każdej d ziedzinie wiedzy; ma to też znaczenie swoje, nie podlegające w ątpliw ości, w nauczaniu a ry tm e ty k i.
W pierw szych początkach nauki, na tern stadjum rozw oju u m y
słowego dziecka, g dy nie o peruje ono jeszcze w yro b io n em i po
jęciam i, bliska styczność z p rzed m io tam i doświadczenia zw yk
łego ma wartość podwójną: daje m a terja ł poglądowy, dostępny dla um ysłu dziecięcego i nadaje p rzez zastosowanie wspo
mnianą wartość realną. P rz e d m io ty i zjawiska otaczającego świata mogą być używane w nauczaniu albo p rzez pokaz, albo też przez nadm ienienie. Im większą rozm aitością przedm iotów konkretnych nauczyciel rozporządza, im więcej pokazać ich może, p rzyczepiając do nich liczbę, — tern lepiej. Nie bójm y się zb ytn io , ab y uwaga dziecka za bardzo się rozpraszała;
owszem, Barwność i rozm aitość p o d trzy m u ją jej napięcie, a w p r a w n y n a u c z y c i e l p o tra fi p rzyte m podkreślać to, o co chodzi, co jest ważne. W nauczaniu ind yw idu aln em na
wet przechadzka może być w odpowiedni sposób w yzyskana.
N ie m yślm y, aby ty lk o urzęchiwe g odziny nauki ro b iły swoje:
zw ykle połowa ich idzie na m a rn e — ta k m ówi przeciętne do
świadczenie. M yśl trze b a łapać na gorącym uczynku, in statu nascendi, te bowiem chw ile są najcenniejsze: w nich czasem