• Nie Znaleziono Wyników

Czasowe sieci Petriego - możliwości, ograniczenia, rozszerzenia

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Czasowe sieci Petriego - możliwości, ograniczenia, rozszerzenia"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY JiAUgBUg POLITECHNIKI SŁĄGKIEJ Serie: AUTOf.iA.TYKA. z. 34

1<?5S Nr kol.89ł

. J a n iiagott

P o l i t e c h n i k a W r o c ł a w s k a

C Z A S O W E S IE CI P S T N I E G O - H O Ż Ł E O Ś C I , OGHANIC ZE NI A , . R 0 Z S Z E 3 Z S H 1 A '

S t r e s z c z e n i e , V? artykule p r z e d s t a w i o n o za sady reor e ze nt ac j i d e ­ t e r m i n i s ty cz ny c h p r o b l e m ó w s z e r e g o w a n i a z a d a ń bez dodatkowych za­

s o b ó w i z ich u w zg lę d ni en ie r , s t o c h a s t y c z n y c h p r o b l e m ó w s z e r e go wa ­ nia zadań oraz sieci k o lejkowych za pomocą czasowych 3ieci

Petrlego.

li "‘Stęp

C z as ow e s ie ci P e t r i e g o są f o r m a l i z m e m m o ż l i w y m do w y k o r z y s t a n i a w z a ­ g ad ni e n i a c h r o z d z i a ł u z a s o b ó w - w celu r o z w i ą z y w a n i a k o n f l i k t ó w z a s o bo ­ w y c h oraz o p t y m a l i z a c j i w y k o r z y s t a n i a zasobów. 71 s ieciach tych - czas w y k o n a n i a o p e r a c j i n a j c z ę ś c i e j jest o d w z o r o w y w a n y za po mocą czasu p a l e ­ n i a przejśc ia , z nacznie r z a d z ie j w p o s t a c i czasu p rz y pi s a n e g o miejscu.

Czas o we S i ec i P e t r i e g o p o d z i e l i ć m o ż n a na. deterministyczne i s t o c h a s t y c z ­ ne. ‘.V s i e c i a c h determin i st yc zn y ch - czas o p e ra cj i w y r aż on y jest ni o u ¿orną l iczbą r ze c zywistą, n a t o m i a s t w s i e ci a ch s t o c h a s t y c z n y c n - zmienna loso wą o r oz kł a dz ie wykładn ic zy m .

C el em p r a c y jest w s k a z a n i e m o ż l i w o ś c i z a s t o s o w a n i a sieci c za so w y c h w z a g a dn i en ia ch b ę d ą cy c h o b i e k t e m b a d a ń innych d z i e dz i n oraz poda ni e r o z ­ s z e r z e ń s i e c i d l a z w i ę k s z e n i a ich z d ol ności opisowych.

Z a p o m o c ą sieci de t er mi ni s ty cz ny c h w y r a ż o n o d et e rm i n i s t y c z n e p roblemy s z e r e g o w a n i a zadań: z al eżnych i niezależ n yc h, p o d zi el ny c h i n i e p o d z i e l ­ nych, o identycznych, i d o w o l n yc h c h wilach przybywania; przy realizacji z a d a ń n a p r o c e s o r a c h identycznych, je d no rodnych i dowolnych. Ponadto opi­

sano d e t e r m i n i s t y c z n e p r o b l e m y s z e r e g o w a n i a z u w z g lę dn ie n ie m dodatkowych zasobów. ■

Za p o m o c ą sieci s t o c h a s t y c z n y c h w y r a ż o n o st oc ha s ty cz ne prob le my s z e ­ r e g o w a n i a z a d a ń o czas ac h w y k o n a n i a z adanych rozkładami w i e l o s t o pn io wy m i Cox'a, w k t ó r y c h k a ż d y s t o p i e ń opis a ny jest r o z k ł a d e m wykładniczym.

Z w y k o r z y s t a n i e m si ec i s t o c h a s t y c z n y c h p r z e a n a l i z o w a n o m o ż l i w o ś c i opi­

su si e ci k o l e j k o w y c h d l a róż ny ch d y s c y pl i n s z e r e g o w a n i a i s t a n ow i sk o b s ­ ł u g i o c zasie o b sł ug i z a d a n y m r o z k ł ad em w i e l o s t o p n i o w y m Co:c'a oraz ze zgłoszeniami jednej i wielu klas.

P o r ó w n a n o rów ni eż w y m i e n i o n e d z i e d zi ny z pr ob le m a t y k ą c z a s o wy ch sieci petriego.

(2)

J. k.ągott

2. D ef inicje

ii = z bi ór liczb n a tu r al ny ch . Sieć P e t ri eg o (SP) jest p i ą ­ tką uporzą"co7/aną d O - / ? , T, I " " ^ g d z i e P - z bi ór miejsc, T - zbiór przejść, ?

C.

(pycT) u (?•'-?) jest z b i o re m luków, ',/:?<— *■

ll

jezt f u n kc j ą kr o tn oć ci luku, L'o : P — ~«-K jest m a r k o w a n i e m po c zą t k o w y m . M i e j s c a s i ec i oz n ac za my kółkami, p r z e j ś c i a - kreskami. V? p r z y p a d k u k r o t n o ś c i luku f £ F w ię ks ze j od jednoścj. (v;(f) S 1), w r e p r e z e n t a c j i gr a fi c z n e j - łu kowi p r z y p i s a n a jest l i c z b a 77(£). Gdy i',’(f)=1, symbol 1 pomijany. L i c z b a ii0 (p^) o k r e ś l a liczbę k ropek v; m i e j s c u p^. R o z wa żn y sieć p r e z e n t o w a n ą rys. da.

A by p r z e j ś c i e t 7 mogło być z a p a l o n e - m uszą istnieć co n a j m n i e j dwie k ro pk i w m i e j s c u p^ oraz co n a j m n i e j j e d n a k r o p k a w m i e j s c u p^. Po zapa­

l e n i u tego pr ze jś c i a , dwie k r o p k i są p o b i e r a n e z m i e j s c a p^ o r az je d na - z m i e j s c a Pg, p o n a d t o trzy' k r o p k i są d o d a w a n e do m i e j s c a p j oraz je dn a - do m i e j s c a p i(. Sieć. z nowyra m a r k o w a n i e m i l u s t r u j e rys. Ib.

D e t e r m i n i s t y c z n a c z a s o w a si oć P e t r i e g o (DCSP) jest s z ó s tk ą J \ Z =

= <^P|T,P,«V,?ć0 ,3^J>. gdzie — >h+ (R+ - z b i ó r n i e u j e m n y c h liczb r z e ­ c zy wi s ty ch ) jest f u n k c j ą c z a s u p a l e n i a p rz ej ś c i a . V,’. p r z y p a d k u p o w y żs ze j sieci, r o z w a ż a n a z m i a n o m a r k o w a n i a ir.oże n a s t ą p i ć n i e w c z e ś n i e j niż po czasie J T C t y od chwili, w k t ó r e j z a i s t n i a ł y w a r u n k i p a l e n i a p r z e j ś c i a

P o j ę c i e s t o c h a s t y c z n e j c z a so we j si ec i P e t r i e g o £1 2'] zostałą cprowa d z o n o do p o s t a c i uo g ól n i o n e j s t o c h a s t y c z n e j c z a s ow ej s i e c i P e t r i e g o £1"]

(USC3P). Z b i ó r p r z e j ś ć U S C S P p o d z i e l o n y j e st n a d w a p od zb i or y: - p o d ­ z bi ór p r z e j ś ć czasowych, T 0 - p o d z b i ó r p r z e j ś ć n i e c z a s o w y c h ( T ^ n T g = 0)*

C za s p a l e n i a p r z e j ś c i a c z a s o w e g o z a d a n y je st r o z k ł a d e m Yiykładnicsym z p a r a m e t r e m P r z e j ś c i a n i o c z a s o w e p a l ą si ę w p r z e d z i a l e c z a s u o z e r o ­ w ej długości. J e ś l i . d a n e m a r k o w a n i e u m o ż l i w i a p a l e n i e p r z e j ś ć c za sowych ze z b i or u I-J.cTą oraz p r z e j ś ć n i e c z a s o w y c h ze z b i o r u T g C Tgi bo p r z e j ś ­ c i a c z a so we m o gą p a l i ć eię d o p i e r o p o z a p a l e n i u p r z e j ś ć n i e c z a s o w y c h .

(3)

Czasowe s i e c i P e t r l e g o . ..

W y b ó r p r z e j ś c i a n i e c z a s o w e g o - pal on eg o dl a zadanego m a r k o w a n i a dokony­

w a n y jest w o p a r ci u o r o z k ł a d p r a w d o p o d o b i e ń s t w a określony n a zbiorze

S tą d U S C S P z a d a n a jest ó semką JCfc = gdzie A

jest z b i o r e m p a r a m e t r ó w n a t o m i a s t K jest zbior em ro zk ł ad ów p rawdo­

p o d o b i e ń s t w d l a z b i o r ó w T g C T g .

3. D e t e r m i n i s t y c z n e p r o b le my s z e r e g o w a n i a za da ń

Ho zważać b ę d z i e m y z bi ó r n z ad a ń % = ^ Z ^ ,..., Z^Tj oraz zbiór □ proce s or ów S* = • • * iPj}' Zada ni e Z_j p r z e ds ta wi o ne jest za p o mo cą przejś-

U

c i a t^. Określone w zbiorze ograniczenie ko-

l e j n os ci ow e Z ^ ^ Z^ (zadanie Z^ musi być zakoń­

czone p r z e d r oz po c z ę c i e m zadania Z^) od w zorowu­

jemy za p omocą s tr u ktury pr ze d st aw io n ej n a ry s ,2.

P r o c e s o r o w i P^ zostaje przypisane ziejące p.

Rys. 2 Fiq- 2.

z awi e ra ją ce jedną kropkę. Kożiiwość realizacji z a d a ń ze zbio r u % za p o m o c ą p r o c e s o r a P^ wyraż a rys. 3.

p r z y p a d k u p r o c e s o r ó w dowolnych,

sorze p ^ r ó w n y jost

^ n a proce-

\1 tym przy- czas w y k o n y w a n i a z a d a n i a Z

V

p a d k u k a ż d e m u s p o s o bo wi r e al i za cj i z a d a n i a £. p o d y k t o w a n e m u w y b o r e m p r o - i

O

c e s o r a P ^ p r z y p o r z ą d k o w a n e jest p r z e j ­ ście t.. de te r m i n i s t y c z n e j czasowej s ie ci P e t r i e g o z c z as em jego p a l e n i a r ó w n y m ^ 5 ^ ) = "^ij1 ®l a zada n ia Z., w y r a ż e n i u m o ż l i w y c h jego s p o so bó w i

J

ra p r z e d s t a w i o n a n a rys. ń.

Rys.3 Fig. 3

c z a s ó w realiza c ji służy struktu-

'•m.1

* 4

R y s . ^ F i g . 4»

W czasie realizacji, zadania.Z., n a p r oc es o r z e P ^ - k r o p k a w miejscu jest z a r e z e r w o w a n a p rz e z czas Stąd żadne z ^padań w ym a ga j ą c y c h tego p r ą c e s b r a n i e może być w tym czasie realizowane. Pp czasie ‘“ ¿j* p r z e j ś ­ cie t, . z o s ta je zapalone, k r o p k a z a r e z e r w o w a n a w miejscu p t jest z tego

*■0 / ■ 1

(4)

U * i - . ź i u t

m i e j s c a - u s u w a n a oraz niezareze-rwowaaa k r o p k a jest l o k o w a n a w tym niejscu.

Cd tej c h w i l i - p r o c e s o r p i jest do st ęp ny d l a innych zadań.

p r z y pa dk u p r o c e s o r ó w j e d n or od ny c h s t o s u j e m y również re pr ez e n t a c j ę z rys. 4.

Dla p r o c e s o r ó w iden ty cz n yc h czes w y k o n y w a n i a z a d a n i a Z., n a każ dyn z p r o c e s o r ó w w y no si V . Stąd w tym p r z y p a d k u nic; nu:.iny k a ż d e m u z proc e- s o r ó w p r z y p i s y — wąć odrębnego, miejsca, -wystar­

cza bowiem- s tr uk ­ tura z rys. 5, gdzie miejsce p .opisujące zbiór p r o c e s o r ó w J5* r.a- -wiera n kropek.

Dla d o wo lnych chwil p r z y b y w a n i a z a d a ń - s y m b o l e m r o z n a c z a n y chwilę p o j a w i e n i a się z a d a n i a Z.,

'l.

'od'"

'O j

'S tym p r z y p a d k u w p r o w a d z a n y p r z e j ś c i e czasie p a l e n i a r ó w n y m S^t sposób p o k a z a n y n a rys. £.

!.'.obelowanie z a d a ń p o d z i e l n y c h w y m a ­ g a w p r o w a d z e n i a przejść, k t ó r y c h p r o ­ ces p a l e n i a moż e być p o d z i e l o n y n a p odprocesy o su marycznym czasie trwania równym czasowi wykonywania zadania.

G el en i l u s t r a c j i ’w y r a z i m y v; języku d e t e r m i n i s t y c z n y c h c za sowych sieci P e t r i e g o - p r o b l e m s z e r e g o w a n i a zbioru za d ań z a l e ż n y c h n i e p o d z i e l n y c h o dowol- ny ch c h w i l a c h p r z y b y w a n i a na owiń ide n­

tycznych proc e so ra ch . Danych jest pię ć z ad ań 1 * , Zj, o czasach re a li z a c j i i chw il a ch p r z y b y w a n i a r ^ . r ^ . r - . r ^ , T y Cgrani- czenla kolejności owe przedstaw.a rys. 7. D C S P dla tego p roblemu opisano

■ na < rys.8 (rys. 8 znajduje się na końcu a r t y ku łu ).

Kycunek ten jest st o su n k o w o złożony.

’.iażl iwoćć jego u p r o s z c z e n i a w y n i k a z al­

t ernatywnej r e p r e z e n t a c j i p o d k l a s y s ie ci p e t r i e g o z w an e j klasą g r a f ó w markowanych.

S g rafie m a r k o w a n y m do m i e j s c a jest s k i e ­ r owany dok ł ad ni e jeden łuk ora z z m i e j s ­ ca w y c h o d z i do kł ad n ie “jeden ł uk - rys, 9*

Rys. 6

H l u b H i

t j W b tij

FCg.6

(5)

Czasowe sieci Petrlego. 145

. A l t e r n a t y w n y m s p o s o b e m r e p r e z e n t a c j i grafu mark ow an e go jest trójka G = < V tS , M o> , gdzie V - z b i ó r w i e r z c h o ł k ó w v,. o dpowiadających p r z e j ś ­ c i o m tif E - zbiór łu kó w e^ w yr aż a j ą c y c h m i e js ca p^ wraz z dwoma łukani

incydentnymi z p.., jest m a r k o w a n i e m p o c z ą t k o w y m opisu ją c ym liczbę . k r o p e k n a łu k u e^ r ów ną liczbie k r op e k w mie j sc u p^. Stąd fragment z

rys. 9 m o ż n a p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i ilustrowanej rys. 10.

i— " 0 H

Rys. 9. Fig.9

Vł o-

Rijs.40 Fi.g-10

J eś li w sieci P e t r i e g o do m i e j s c a jest sk i er o w a n y więcej niż jeden l u k lub z m i e j s c a w y c h o d z i w i ę ce j niż jeden łuk, to powyżs ze go uprosz­

c z e n i a n i e m o ż e m y wprowadzić.

i? celu u p r o s z c z e n i a r y s u n k ó w pr z yj m u j e m y konwencję: jeśli do miejsc Pj jest s k i e r o w a n y jeden ł u k i z tego m i e j s c a w y c ho dz i jeden łuk, to miejsce; to w r a z z d w o m a inc yd en tn y ni z n i m I n ka mi za stępujemy lukiem U p r o s z c z o n ą w e r s j ę si e ci z rys. 8 p r z e d s t a w i a rys. 11.

'»S

Ti p r a c y roz-weżana jest r e p r e z e n t a c j a o g r a n i c z e ń k o l e j n o śc io w yc h oraz p rz y padku i de nt y c z n y c h p r o c e s o r ó w za p om o cą cz as o wy ch sieci Petriego.

ń. D e t e r m i n i s t y c z n e p r o b l e m y s z e r e g o w a n i a zadań z u w z g l ę dn ie ni e m dodat ko ­ wych z a s o b ó w

P o z a z b i o r e m n z a d a ń oraz n procesorów, z a k ł a d a się Istnienie o dodat-

(6)

J. K ag ot t

kowy ch z a s o b ó w 3^- ...,R ^ . Z a s o bo wi R^ d os tę p n e m u w l i cz bi e jednostek p r z y p i s a n e zost aj e miej sc e p ^ za wi e r a j ą c e w c h w i l i po cz ą t k o w e j

kropek. Ż ą d a n i a zaso­

bo w e d la z a d a n i a Z^ w y r a ­ żone są w e k t o r e m r C Z ^ -!

= O - iL1 <‘Z j ’)... rs ^ Z j'^') gdzie r^CZ.,) ^ m,, o z n a c z a l ic zb ę j e d n o s t e k za sobu R^

p o t r z e b n ą do w y k o n a n i a z a d a n i a Ż ą d a n i a zaso-

J

b'owe d l a z a d a n i a Z', n oż na tJ opisać s t r u k tu r ą z rys. 12.

5. St o ch a s t y c z n e n r o b ł e m y s z e r e g o w a n i a z ad ań

J eś li czas w y k o n y w a n i a z a d a n i a o p i s a n y jest r o z k ł a d e m wy kł ad ni c zy m, w ó w c za s z a d an iu p r z y p i s u j e m y p r z e j ś c i e czas ow e s t o c h a s t y c z n e j cz as ow ej s i e c i Petriego. P o z o s t a ł e w a r u n k i m o ż e m y w y r a z i ć p o d o b n i e jak w a r u n k i d e t e r m i n i s t y c z n y c h p r o b l e m ó w s zeregowania.

R o z w a ż m y p r z y p a d e k ogól ni e js zy , gdy czas w y k o n y w a n i a z a d a n i a zadany jest r o z k ł a d e m w i e l o s t o p n i o w y m Cox'a. V? r o z k ł a d z i e tym ka ż dy s t o p i e ń o- p i s a n y jest r o z k ł a d e m w y k ł a d n i c z y m - rys. 1 3-

---

k * n M

F i g . 4 o

L i c z b a jest p a r a ­ m e t r e m r o z k ł a d u w y k ł a d ­ n i cz eg o i-tego stopnia,

jest p r a w d o p o d o b i e ń ­ s t w e m u k o ń c z e n i a z a d a ­ n i a po i - t y m stopniu,

jest p r a w d o p o d o - R y s . 4

b i e ń s t w e m r e a l i z a c j i s t o p n i a (i+1) . t o s t o p n i u i-tym. S z c z e g ó l n y m i p r z y p a d k a m i r o z k ł a d u C o x ' a są rozkłady: w y k ł a d n i c z y , h ip e rw y k ł a d n i c z y , Srlenga.

Stosując .formalizm u o g ó l n i o n y c h s t oc ha s ty cz ny c h cz as ow yc h sieci Petriego m o ż e m y rozkład C o x' a wyra zi ć siecią z rys. 14.

(7)

Czasowe ai ec l Petrlego.

147

P r z e j ś c i a t.^ są p r z e j ś c i a m i o czasie p a l e n i a z a d a n y m roz kł ad e m w y k ła d ­ n i c z y m z param et r em Czas p a l e n i a p r z e j ś ć , t ^ b jest równy zeru.

D la m a r k o w a n i a za wi er aj ą ce go k ropkę w m i e js cu p^ - p ra wd o p o d o b i e ń s t w a p a l e n i a p r z e j ś ć t i Q ,tib są równe odpow i ed ni o a^.b^. P o w y ż s z a sieć ject s to su n ko wo złożona, p r o w a d z a j ą c o d s t ę p s t w a od def in i cj i U3 C5 P możemy r o z k ł a d C o x ' a w y r az ić w p r o s t s z y sposób - rys

Zbliżone kon­

cepcje nie miesz­

czące się w ra­

nach U 3 CS ? zawar­

te są w pracach [12], [16].

Rys. 45

6. S ie c i k o l e j ko we

Fig. 45

i? p i e r w s z e j k o l e j n o ś c i r o z w a ż y m y w y br a ne dyscyp li ny szeregowania.

W p r z y p a d k u w i e l u k r o p e k w miejscu, w y b ó r k r o p k i w y k o r z y st yw an e j dla p a l e n i a p r z e j ś c i a jest prz yp a dk ow y. Stąd dy s cy pl in ę R A N D OM (losowego -wy­

b o r u z kole j ki ) m o ż e m y w y r a z i ć j ed ny m miejscem.

R e p r e z e n t a c j a k o l e jk i PI FO o p o j e m n o ś c i n m i e j s c p r z e d s t a w i o n a jest n a rys. 16.

FIFO

- o -

Ri^s.46 Fig. 46

Ze w z g l ę d u n a s k o m p l i k o w a n i e tej s i e c i w a r to wp ro w a d z i ć miej sc e ilus­

trujące k o l e jk ę F IF O o p o s t a c i zadan e j (rys. 17).

I d e a m i e j s c a w y r a ż a j ą c e g o p o d si eć zwanego na- . k r o m i e j s c e a z a w a r t a jest w p ra c y [1J].

3 c e l u u z y s k a n i a s i e c i pr o st s z y c h - warto p o z o s ­ tałe d y s c y p l i n y s z e r e g o w a n i a o pisywać za p o mocą R y s . 4 ? F i g .4? mśkromiejsc.

J e ś l i czas w y k o n y w a n i a z a d a n i a dany jest r o z k ł a d e m Cox a, to możemy w y k o r z y s t a ć r o z w a ż a n i a p o p r z e d n i e g o punktu.

,7 p r z y p a d k u s y s t e m ó w k o l e j k o w y c h z z a d a ni am i w ie lu klas m oż n a w y k o ­ r z y s t a ć k o l o r o w a n e s to ch a s t y c z n e czasowe s i ec i Petriego, n a t o m i a s t w p r z y ­ p a d k u jednej k l a s y w y s t a r c z a j ą c e są si ec i n ie kolorowane.

(8)

J.Ł'a.qott 16S

7. Helacje mied zy p r o b l e m a t y k ą czasowych si ec i P e t r l e g o a an a li z o w a n y m i d zi ed z i n ani

P rz ed p r z e p r o w a d z e n i e m p or ów n ań , w p r o w a d z i m y p o j ę c i a z zak r es u cyk- l ic zn oś c i dl a sieci Petriego.

S ek wencją p a l e n i a n a z y w a m y taka. sek we n cj ę p r z e j ś ć 6* = t^ . ..t^ , dla której i stnieją m a r k o w a n i a , Kp + ,,,— *-'p+s s pe ł n i a j ą c e wa rinek: § w y n i ­ ku p a l e n i a p r z e j ś c i a t ^ dla" m a r k o w a n i a f c + os ią ga ne jest ma rk o w a n i e dla j £ £ 1,...,sJ. t a r k o w a n i a 1-p+ ' i U p +S n a z y w a m y m a r k o w a n i e m ! o si ąg a l n y m i z m a r k o w a n i a 1L.

T -i nv ar i an t jest w e k t o r e m o |T| sk ł ad o w y c h takim, że

3 1 2

I(t.) =

3=2

i(t.)

t i € pj t i £ p-

gdzie *p . (p*.) jest z b i o r e m p r z e j ś ć w e j ś c i o w y c h (wyjściowych) m i e j s c a p,,

O J J

I(t^) jest n i e u j e m n ą sk ła d o w ą ca łk o wi tą T - i n v a r i a n t a I dla p r z e j ś c i a t^.

O b e c ni e z i n t e r p r e t u j e m y p o j ę c i e T-invarianta. N ie ch £ = bę-

e

n a z y w a m y w e k ­a i t o r f(6) o |Tj sk ła do w yc h taki, że f ( t Ł ) jest l i cz b ą w y s t ą p i e ń p r z e j ś c i a t^ w se kw e n c j i €> . Z atem T - i n v a r i a n t jest w e k t o r e m p a l e n i a d l a s e kw encji nie z m i e ni aj ąc e j m a r k o w a n i a sieci. D z i ę k i tej własno ś ci , T- i nv a r i a n t jest p r z y d a t n y w opisie d z i a ł a n i a c yk l icznego. D l a danej sieci może istnieć wiele T -i n variantów. K a ż d y z n i c h o k r e ś l a p e w i e n tryb c yk li c zn eg o d z i a ł a ­ nia. Stąd b a d a ni e d z i a ł a n i a s i e c i w y m a g a o k r e ś l e n i a T-invarianta.

Czasową s ek w e n c j ą p a l e n i a jest s e k w e n c j a

x = ^ t a ,ta ( 1 ) ^ <C^t^, t^(T)^> ... <^t^,, t^ ( k ) ^ ... <^t^, t^ (m)^> ...

gdzie: £ = t Q t i . . . t ^ . . . t ^ . .. jest s e k w e n c j ą pa lenia, ti (m) - chwi lą r o z ­ p o c z ę c i a p a l e n i a p r z e j ś c i a t^ po raz m-ty.

L i c z b a Ti jest c z a s e m cyklu D C S P dl a T - i n v a r i a n t a I, jeśli istnieje taka c z a s o w a s e k w e n c j a p a l e n i a x, d l a k t ór ej i s tnieje taka c h w i l a °C , że dla każd e go p r z e j ś c i a t^ i k aż de j c h w i l i t ^ C a ) ^ 1^ p r a w d z i w a jest z a l e ż ­ ność

ti ( m + I ( t i )) = t 1 (m)+'^.

Jako k r y t e r i u m p r z y j m u j e m y m i n i m e ł n y czas cyklu

min .

T ak s f o r m u ł o w a n y p r o b l e m o p t y m a l i z a c y j n y n i e jest r o z p a t r y w a n y w k l a ­ sycznej t e orii s z e r e g o w a n i a d e t e r m i n i s t y c z n e g o [2^j, , ¡6^. W y ni k i d la tego p r o b l e m u z a w ar t e są w p r a c a c h [3], [5], [9], [10], £¡1], [14], [15], [17].

(9)

Czasowe si ec i Petriego.

P o n i e w a ż t e o r i a s z e r e g o w a n i a de te r m i n i s t y c z n e g o jest znacznie bardziej r o z b u d o w a n a niż p r o b l e m a t y k a d e t e r m i n i s t y c z n y c h c za sowych sieci petriego, st ą d wa r to m e t o d y tej teorii w y k o r z y s t y w a ć d l a p o tr ze b sieci.

Dl a U S C S P mo żemy w p r o w a d z i ć k r y t e r i u m m in im al n ej w a r to śc i oczekiwanej czasu c yk lu

m i n EC^y).

R e l a cj e m i ę d z y teorią s z e r e g o w a n i a s to ch a s t y c z n e g o a pro bl em a ty ką u- o g ó ł ni on yc h s t o c h a s t y c z n y c h c z a s o w y c h sieci Petr i eg o są p o do bn e jak dla z a g a d n i e ń de te rm i ni st yc z ny ch .

Zaletą w i e l u m od el i k o l e j k o w y c h jest u m i a r k o w a n a złożoność o bl ic z e n i o ­ w a m e t o d an a litycznych. W y n i k a to z mo żl i w o ś c i d e k o mp o zy cj i u kiadu r ó w ­ n a ń stanu s ta cj o n a r n e g o w o p a r ci u o w a r u n k i równov;agi lokalnej. Zaleta ta o p ł a c o n a jest o g r a n i c z e n i a m i z d o l n o ś c i w y r a ż a n i a s y s t e mó w za pomocą m o d e l i kole j ko wy ch , Model e te n ie są p r z y s t o s o w a n e do re pr ez e n t a c j i za­

s o b ó w pa sy w ny ch , s y n c h r o n i z a c j i międ zy zadaniami, z a d a ń za wierających podz ad a ni a. O g r a n i c z e n i a te p r z e z w y c i ę ż o n e są w p r z y p a d k u sieci Petriego - k o s z t e m w i ę k s z e j z ł o ż o n o ś c i ob l iczeniowej. Obecnie po de j m o w a n e są p r ó ­ by Z ą c z e ń i a m o d e l i k o l e j k o w y c h z s i e ci a mi Petriego.

L I T E R A T U R A

[lj i!. i jè o ne liarssn, G. Balbo, G. Conte; A class of gener al iz e d stochastic P e t r i n e t s f o r the p e r f o r m a n c e ev a lu a t i o n of m u l t i p r o c e s o r systems, A C M Trans. Comput. S y s t e m s 2, 1984, 93-122.

[2] J. B ła że wi c z, W. Cellary, R. ,Słowiński, J. Węglarz*, B a d a n i a o p e r a c y j ­ ne d l a i nformatyków, 'WNT, W a r s z a w a . 1983*

[î] J. C-rlier, Ph. Chrétienne, C. Glrault; M o d e l i n g s eq ue n c i n g p roblems w i t h timed P é t r i nets, w: 4 th E u r o pe an Wo rk s h o p on Appli ca ti o ns and T he or y o f P e t r i nets, Toulouse, France 1983-

[4] G. Coffman, Jr., red.; T e o r i a s z e r e g o w a n i a zadań, WNT, Warszawa. 1°S0.

[5] J.E. Coolahan, Jr., N. R o U 3 so d du 1o s; T i m i n g requirements f o r time- - d r i v e n s y s t e m s using a u g m e n t e d P e t r i nets, IE E E Trans. Soft wa r e Engrg, SS-9, 5, 1983, 603-616.

fc] ŁLA.H. Dempster, J.K. Lenstra, A.H.G. R in no y Kan, eds.; Determi ni s ti c and S t o c h a s t i c Scheduling, Réidel 1982.

f?l G. Florin, S. Natkin*, Les r e s e a u x de P e t r i stochastiques, Technique et S c i e nc e Informatiques, Vol. 4, No. 1, 1983, 143-160.

fe 3 P. H el de l b e r g e r , S. Lavenb er g ; C o m p u t e r p e r f o r m a n c e e va lu a t i o n methodo­

logy, T E E E Trans. Comput., C-33, 12, 1984, 1195-1220.,

fe ] J. iîagott; P e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n of c o n c u r r e n t systems us in g Petri- nets, I n f o r m a t i o n P r o c e s s i n g Letters, 18, Jan., 1984, 7-13*

flC? J. Magottl P e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n of s y s t em s of cycl ic sequential

processes

w i t h m u tu al e x c l u s i o n u s in g

P etri-n ets,

I nf or m at io n P r o c es -

‘s i n g L e tters, 21, Nov., 1985, 229-232.

(10)

J. Ł.arott

[ll[ J. Kegott; M e w M F - c o c p l e t e p r o b l e m s in p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n of c o n ­ curr e nt syst em s us in g P e t r i nets, p r a c a ' p r z y j ę t a do d ruku w IEEE

■Irans. S o f t wa re Engrg.

[ią M.K. Molioy; On the i n t e g r a t i o n of delay and t hr ou g h p u t me a su r e s in d i s t r i b u t e d p r o c e s s i n g models, P h . D . , UCLA, 1981.

[13] J.D. Moe, G.J. Mutt; M ac r o E - n e t s f o r r e p r e s e n t a t i o n of p a r a l l e l systens, I E E E Trans, on Conput. , C-22, A u g u s t 1973t 715-72?.

M C.V. R a n a m o o r t h y , G.S. Ho", P e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n of asyn ch ro n ou s c on cu rr e nt s y st e as by P e t r i nets, I E E E Trans. S oftware S n g r g . , SE-S,5, 1930, 440-449.

[15] C. Ramchandani,' A n a ly s is of a s y n c h r o n o u s c o n c u r r e n t syst en s by P e t r i nets, P r o j e c t MAC, TH-120, MIT, Cambridge, MA, 1974.

fl6]s.D. Shapiro; A s t o c h a s t i c P e t r i n e t v/ith ap p li c a t i o n s to m o d e l l i n g o c c u pa nc y times f o r c o n c u r r e n t task systeas, N et wo r k s , Vol. 9t 1979, 375-379-

fl7] J- Sifakis; P e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n u si ng nets, ;v: V i . Brauer, e d . , M e t T h e o r y and A p p l i ca ti on s , L e c t u r e N o t e s in C o m p u t e r Scie n ce 84,

Springer, 1980.

5&[ A. Zennie," C ol ou r e d s t o c h a s t i c P e t r i nets, w: Ti me d F e t r i fiets, . I n t er na t io na l Viorkshop, I EE E C o m p u t e r Society.. Press, 1935, 262-2?1.

R e c e n z e n t : P r o f . d r i n ż . H en ry k K o w e l o w s k i W p ł y n ę ł o do R e d a k c j i d o 1 9 3 6 . 0 4 . 3 0

(11)

C z a s o w e sieci P e t r ie g o . 151

BPB£EHHHE CETH DETPH - B0!M)HH0CTH , OrpAHMEHH , PACHMPSffliH

P s s n a e

B c ts tb s ouecshh npsKumH rrpeacTaiuieHiiH xe t epMHHHpoBahhhx h CTOxacxK- qecKKt npodxeM pacaKC£Kna saxa'i de 3 xodaBOHmac peoypcoB h o

s x

yneTDM, a xaicse ce ie S onepesea o noMOBLD BpsaeHHHX cere it HeTpa.

T I M E D P ET RI N E T S - C A P AB IL IT I ES , L H H T A T I O N S , E X T E N S I O N S

S u m m a r y

T i m e d Pe tr i n e t s are u se f ul tool i n r e s ou rc e a l lo ca ti o n p roblems - - i n the order to solve the re source c o n f l i c t s and to optimise the r e s o u r ­ ce u t i li z at io n. T i m e d Pe t ri n e t s c an be d i v i d e d int o d e t e rm i ni st ic and s to ch a s t i c ones. In d e t r m i n i s t i c n e t s - op er at io n time is e x pressed by n o n - n e g a t i v e r ea l number. In st o ch a s t i c case - op er a ti on time is d e sc r i­

b e d by e x p o n e n t i a l r a n d o m va ri a bl e.

In the p a pe r the use of t i m e d P etri n e t s for m o d el in g the d et er m i n i s t i c a n d s t o c h a s t i c s c h e d u l i n g p r o b l e m s w i t h or w i t ho ut re source constraints a n d f o r q u e u i n g n e t w o r k s is ana ly s ed . Some r e l a ti o ns b e t w e e n ti me d Petri . n e t s a n d the a bove p r o b l e m s a r e shown.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Główną trudnością w badaniu takich gier była (i jest w dalszym ciągu) sytuacja, że wciąż nie znamy takich ogólnych twierdzeń w teorii gier, które dawałyby odpowiedź na

Z pewnością lektura książki księdza Stanisława Szczerki „Posługa rodzinie w nauczaniu Jana Pawła II” przyczyni się do wypracowania nowych form pracy dla dobra

Indeksem nazywamy iloraz poziomu zjawiska w dwóch porównywanych okresach czasu. Indeksem może być też wyrażona

Żywotność sieci Petriego – każde przejście ma szanse się wykonać?. 1-11 Sieć Petriego z przejściami o różnych

Dla wybranego okna z poprzedniego zadania wykonać analizę widma rozszerzając próbki sygnału o wartości zerowe. Aby to wykonać należy podać jako drugi argument funkcji fft

Dla wybranego okna z poprzedniego zadania wykonać analizę widma rozszerzając próbki sygnału o wartości zerowe. Aby to wykonać należy podać jako drugi argument funkcji fft

• grupa osób sprawująca władzę, zwłaszcza w Kościołach!. Oba mogą mieć

P8.4 Oblicz podstawowe charakterystyki każdej z warstw, a następnie wybrane do sieci