Z E S Z Y T Y NAUKO WE POL IT EC H NI KI Ś L Ą S K IE J
Seria: I N F O R M A T Y K A z. 7 Nr kol. 809
________ 1934
Jerzy W O J T U S Z E K
Instytut I n fo rm at y ki Czasu R z eczywistego P o l it e ch ni ki śląskiej
A U T O M A T Y C Z N A K O R E KT A J ED NO W A R S T W O W Y C H PO ŁĄCZEŃ D R U K O W A N Y C H P RO JE K T O W A N Y C H P R Z E Z KO MPUTER
S t r e s z c z e n i e . Praca dotyczy ws po ma g a n e g o komp ut er o wo p r ojektowa- nia j ed n ow ar st w ow yc h obwodów dr ukowanych i za p re ze nt o wa na została w niej me toda w yt yc za n ia połączeń nie zre al iz o wa ny ch za pomocą kon
w e n c j o n a l n y c h metod aut o ma ty cz n eg o projektowania.
P odsta w ow ym el em en t em tej me tody Jest rozwiąz yw an i e tzw. p r o b l e mu dwóch ścieżek dla g rafów planarnych o znanej płaskiej r ep r e z e n tacji geometrycznej.
1. W P R O W AD ZE NI E
I stnie j ąc e meto dy aut o ma ty cz n eg o projekto wa n ia obwodów dr u kowanych nie gwarantują w y ty cz e n i a ws zy st k i c h połączeń za danych przez pr ojektanta pa
kietu. W zwi ąz k u z powyższym, za p ro je kt o wa ne automat yc zn i e obwody d r u k o wa n e wym ag aj ą zwyk le ręcznej korekty, w czasie której projektant pakietu m od yf ik u je trasy z a pr o je kt ow a ny ch połączeń, a następnie wyt yc za p o łą c ze nia brakujące. K on i ec zn oś ć dokonywania ręcznej korekty wyd łu ża i k o mp l i
kuje proces projektowy. Pociąga też za sobą potrzebę w yp os a ż e n i a systemu a u t o m at yc zn e go projekto wa n ia w w y s p e c j a li zo w an e graficzne urządzenia w e j ścia - wyjścia.
Uzas ad n io ne w yd aj a się zatem dążenie do co najmniej cz ęściowego z a s t ą pienia kore k ty ręcznej korektą automatyczną. Z a ga dn ie n ie to (eng. r er o u
ting, bac kt ra c in g) r oz pa trywane było m.in. w [1] .[2] . 0 .
Celem niniejszej pracy Jest z ap re z en to wa n ie pewnej metody a u t o m a t y c z nej korekty p rzeznaczonej dla obwodów Jednowars tw ow yc h (lub p oj e dynczych w ar s tw o b w o d ó w w i e l ow ar st w ow yc h) , opierającej się na rozwiąz yw a ni u konflik
tów po między parami połączeń. Konflikt po między parą p ołączeń sp rowadzony z ostał w pracy do tzw. pr oblemu dwóch ścieżek w grafie.
Z uwagi na ogra ni c zo ną o bjętość pracy pominięto w niej dowody p r e z e n towanych twierdzeń. Dowod y tych twierdzeń lub twierdzeń im równoważnych można znaleźć w £1] .
188 O. Wojtuezek
2. O G ÓL N Y OPIS PREZENTOWANEJ) M ET O DY
Punkty końcowa braku j ąc eg o połączenia są odsep ar ow a ne od siebie przez w cz eśniej za pr o je kt ow a ne ścieżki drukowane. W yt yc z en ie braku ją ce g o połą
czenia wy maga w i ę c zde f or mo wa n ia tych ścieżek. W pr ezentowanej metodzie automatycznej korekty dąży się do wy t yc z e n i a każdego b r ak u ją ce go połąc ze nia popr ze z zdef or mo w an ie tylko Jednej z z a p r o j e k to wa ny c h w cz eśniej ście
żek.
P os tępowanie z m ie r za ją ce do wy ty cz e ni a brakuj ąc eg o połączenia ma w o- gólnym zarys i e prze b ie g następujący:
1. W y zn a cz en ie zb ioru ścieżek po d dawanych próbom deformowania.
2. Próby de f ormowania kolejnych ścieżek należ ąc y ch do powyż sz eg o zbi o
ru w taki sposób, aby możli we s ta ło się wy ty cz o n i e braku ją c eg o połączenia bez przeci n an ia żadnej z z ap ro je k to wa ny c h ścieżek.
□eżell defor mo wa n ie danej ścieżki nie dopro w ad zi do p o ż ąd an eg o rezul
tatu, wówc za s ścieżce przywracana Jest pierwotna postać, po czym p r z ys tę puje się do defor m ow an ia następnej ścieżki. Po st ę powanie to kontynuowane jest aż do momentu pomyśl n eg o zde fo r mo wa ni a którejś ze ścieżek należących do z b io ru w y zn ac z o n e g o w p i er wszym kroku bądź też aż do w yc ze r pa ni a się te
go zbioru. D eżeli dojdzie do dr ugiego z w y mi en i on yc h przypadków, to bra
kujące połączenie w y t y c za n e musi być ręcznie lub za pomocą innej metody automatycznej korekty. Gdy w yt yc za n ie b r ak uj ąc e go połąc ze ni a za ko ń c z y się pomyślnie, wówczas z d e f or mo wa n a ścieżka może zo stać z o p t y m al iz ow a na ze względu na długość lub inne parametry, np. za pomocą a lg or y tm u Lee [4].
Dak łatwo zauważyć, deformowanie danej ścieżki może za ko ń cz yć s ię po
myślnie tylko wtedy, gdy ścieżka ta Jest os ią galna bez przec in an i a innych ścieżek z obu punktów końcowych b ra kującego połączenia. Tak w i ę c w y s t a r czy poddawać próbom defo rm ow a ni a tylko te ścieżki, które sp eł niają powyż
szy warunek. Procedura w y zn ac z a n i a zbior u takich ścieżek Jest prz ed s ta w iona w [l] .
W pr op onowanej metodzie przyjmuje się, że w s z y st ki e ścieżki J ednowar
s tw ow eg o obwodu druko wa ne go p rowadzone są wz dłuż s e gm e n t ó w pewnej płaskiej s iatki o regularnej s t ru kt ur z e nazywanej s i atką modelową. Zak ł ad a się, że s egmenty tej s ia t ki nie krzyżują się ze sobą. Dla każdej deformowanej ścieżki z określić można pewien spójny fragment siat ki m o d e l e w e j , któ
rego zbiór w ę z ł ó w tworzą węzły si atki modelowej, przez które przechodzi ścieżka z oraz w s z y s t k i e "wolne" w ę z ł y siatk i modelowej os ią ga l ne ze ścieżki z b ez p r zecinania innych ścieżek drukowanych, do który ch zali
czamy w ęz ł y będące pu nk ta mi ko ńc owymi b r ak uj ąc e go p oł ąc z en ia .F r am gn et ten można uważać za płaską r e p r ez en ta c ję geom et ry c zn ą pewnego grafu pla na r ne go G.
P rzez a^, o zn ac z on o w i e r z c h o ł k i tego grafu odp ow ia d aj ąc e punktom k ońcowym ścieżki z, natomiast p rz ez b^, b2 - w i e r z c h o ł k i odpowiadające
Automatyczna korakta jednowarstwowych.. 1 £ 2
punktom k ońcowym braku ją c eg o połączenia. Zadanie d ef or mowania ścieżki z s pr ow ad z ić można teraz do pr obleeu wyznac ze n ia w grafie G pary nie prze
cinają cy ch się ścieżek, z których jedna łączy w i e r z c h o ł k i a^, , n a t o miast druga - w i e r z c h o ł k i b^, bg.
Problem ten nazywany Jest p ro blemem dwóch ścieżek - w skrócie PDS [5].
Oego r o z w i ąz yw an i e jest n a ji st ot n ie js zy m e l e m en te m proponowanej metody au
tomatycznej korekty i zagad ni en iu temu poświ ęc on a będzie dalsza część pracy. W p r ezentowanej dalej metodzie rozwiąz yw an ia PDS graf G może być dowo l ny m grafem pl a narnym o znanej płaskiej reprezen ta c ji geometrycznej.
3. P OD S TA W O W E P O D ą C I A S T O S O W AN E W R O Z W I ĄZ YW AN I U PDS
ście żk i grafu G ozn ac za ć będziemy za pomocę ma łych liter łacińskich.
F ragment ście żk i s łączący w i e r z c h o ł k i k . , kg, nazywany podścieżką ścieżki s, oz na c zo ny bę dzie przez e(k^, kg). Zapis typu 8 » sfk^, kg) oznacza, że ś c ie ż ki s łączy w ie r zc h o ł k i k^, kg. Z b ió r w i e r z c h o ł k ó w w y s tę pu j ą c y c h w ścieżce s o zn aczany będzie przez S.Ten sam zb i ór pomniej
szony o w i e r z c h o ł k i końcowe ścieżki s ozn a cz ać b ędziemy przez S. Dla a n a l og ic zn i e ok r eś l o n y c h z b io ró w w i e r z c h o ł k ó w wy s tę p u j ą c y c h w podścieżce sik^, kg) s t o s o w an e będą o znaczenia Sfk^, kg) i S ( k ^ , kg).
ś c i eż k ę z « z ( a lt a2 ) nie pr z ec hodzącą przez w i er zc h o ł k i b^, bg (wierz
chołki ok r eś lo ne w s f o r m uł ow an i u PDS) taką, że dla każdej ścieżki b «
■ bfb^, bg) s pe łniony Jest waru ne k B O Z f 0 nazywać będziemy ścieżką z a porową. Cięciwą ści e żk i zaporowej z nazywać b ędziemy każdą ścieżkę a ■
” Ż1 2) t a k$* że S n Z « {¿.1» łia}* P rzyjmiemy zasadę, że dla każdej cięciwy 8 - s ( k l( kg) ścieżki zaporowej z sp e łn io ny Jest warunek k^ € Z ( a lt kg), tzn. wi e rz c h o ł e k k^ położony jest w ścieżce z pomiędzy w i e r z c h o ł k a m i a. i k0 .
—1 —Z
Dla danej ścież k i zaporowej z o kreślić można nastę pu ją ca zbiory wierz
choł kó w grafu G (rys. l)j A
l l S J i i “ 1, 2 - zbiór w ierzchołków, które p ołączyć można z w i e r z chołkami b^ za pomocą ścieżki nie pr zecinającej się ze ścieżką z,
2 ) 2 z - 2 z u {ki}, t -
1
. z ,3) P z “ V - gdzie V - z biór w i e r z c h o ł k ó w grafu G, 4) Zfb^), i = ii, 2 - zbiór w i e r z c h o ł k ó w w y s t ę p u j ą c y c h w ścieżce z, p r z y le gł yc h do w i e r z c h o ł k ó w n ależących do z b i o ru 2 z*
Spos ób o z n ac za ni a w i e r z c h o ł k ó w należących do z b i or ó w 2, 2 ^ . 2 z' ^ z w p r o w a d z o n y na rys. 1 stosowany będzie na p o z os ta ł yc h rysunkach.
190 0. Wojtaszek
o - Z
O - C
• - C
Rys. 1. Ilustracja pojęć zbiorów 2 z' ^ z ' obwodu ś c i e ż k i , krawędzi e_L
“ (ii- li)» e 2 “ (¿2* ¿ 2 ^ 1 w i er zc h o ł k ó w w*. w^
W każdym ze z b i or ów Z(b, ), i » 1,2, wy ró żn i my (rys. 1) w 1 w 1
-1' -2
pare wierz-
|z(a_j, w*)| » min|z(aj, k_)| ,
k € Z ( b Ł )
i.J - 1,2
1X| oznacza moc zbioru X.
R oz wi ęzaniem PDS nazywać będziemy parę ścieżek (a, b), przy czym a ■
“ £.2^’ b " b ^ Ł i ’ ^2^ takich, żo A fi B ■ )I,
Niech dana Jest ścieżka z aporowa z oraz jej cięciwa s ■ s ( k ^ , kg).
Z astępujęc w ścieżce z podści e żk ę z C k ^ , kg) cięciwę s, otrzymamy pewnę ścieżkę a ■ • 0 której będziemy mówić, że pochodzi ona od c i ę ciwy s. Oeżeli dla ścieżki tej istnieje rozwiązanie POS, tzn. istnieje ścieżka b » bg) taka, że A fi B » jl, wówc z as o cięciwie s p ow ie my, że daje ona r oz wiązanie PDS.
Niech dana Jest płaska reprezentacja geom et ry c zn a grafu G n a zywana da
lej diagramem grafu G. Obwodem ścieżki zaporowej z (rys. l) nazywać bę
dziemy krzywą zam k ni ęt ą z wy czajną na diagramie g rafu G p r ze cinającą J ed
n ok rotnie w s z y s t k i e k ra w ędzie (¿, 1*) takie, że 1 € Z, 1* j . Z i tylko te krawędzie. Przez E ( e a , e b ), gdzie e0 , e b - dowolne krawędzie przecinane przez obwód ścieżki z, o z naczać będziemy zbiór kr aw ęd zi przec in a ny ch pod
czas poruszania się w z d ł u ż obwodu ścieżki z od k rawędzi e Q do kr aw ę
dzi « b w k i erunku dodatnim. Przyjmieay przy tym, że e^, a b e E ( e fl, e b ).
Automatyczna korekta j ed nowarstwowych 191
W grafie G wy ró żn i my (rys. 1) parę krawędzi e 1 - ( 1 ^ 1 ^ ) , e2 - takich, ża 1^, 12 6 Z, 1^, 0 t e 3 właściwości, że wszystkie kra
wędzie (1, l') takie, że 1 e z, l ' « 2 J należę do zbioru E ( e 1 , e2 ), n a tomiast żadna z krawędzi (1, l') takich, że 1 £ Z , l'' e 2 \ nie należy do zbioru E f e ^ e2 ),
Ola każdego w i e rz ch o łk a k e Zft^) ok re śl ić można parę krawędzi e ^ ) ,
•2 fJ£.) ep eł n ia ję cy c h nast ęp uj ę ce warunki:
I E C ® i . Ojfk))! » min |Eie^^, e )|
e € E(k)
|e(b2 (I<), e2 )J « mln|E(e, e2 )|
a € E(k)
gdzie: E(k) - zbiór w sz ys t k i c h krawędzi (1, l ) takich, że 1-k., I ^ S z * Przyjmijmy umowę, że lewę lub prawę s t r o n ę dowolnej ścieżki a-aia^.ag) nazywać będziemy strony określone podczas poruszania się na diagramie gra
fu G w z d łu ż ścieżki a od w i er z c h o ł k a a, do a_.
— l — z
4. K O N C E PC O A R O Z W I ĄZ YW AN I A POS
W prezentowanej metodzie r ozwięzywanla PDS za kładać będziemy, że dana Jest pewna ścieżka z aporowa w grafie G nazywana plerwotnę ścieżkę za- porowę. Oczywiście, ścieżka odpowia da j ęc a deformowanej ścieżce drukowanej z może spełniać rolę takiej ścieżki. Punktem wyjścia do rozwięzywanla PDS będzie poniższe twierdzenie.
T wi er dz e ni e l . Deżeli PDS Jest rozwięzalny i ścieżka zapo r ow a z nie posiada cięciwy t = t ( £ , £ 2 ) takiej, ż e :
T c r z U 2 z 1 * ( % . Eg) n Zfbj) * fł. (1)
to istnieje rozwlęzanie (a, b) tego problemu, w k tórym ścieżka a pochodzi od cięciwy s ścieżki zaporowej z takiej, że S C
Właści wo ś ć rozwięzanla PDS o kr a ślonę w tw. 1, tzn. pochodzenie ścieżki a od cięciwy s takiej, że S na zwiemy w ł a śc i wo śc ię Wl.
Z g o d ni e z tw. 1 p ro ponowana dalej metoda rozwięzy wa nl a PDS skła d a się z dwóch etapów:
192 3. Wojtuszek
I. Zde fo r mo wa ni e pierwotnej ścieżki zaporowej w celu otrzymania ścieżki zaporowej z nie posiadającej cięciwy t = t(£1# £ 2 ) spełniającej w a runek (l) (jak na rys. l).
II. Po sz ukiwanie rozwiązania PDS o w ł a śc iw oś c i Wl.
Sposób r ealizacji etapu I p r zedstawiony z o s ta ł w [l]. Polega o n - w skró
cie - na w y s z uk iw an i u cięciw ścieżki zaporowej sp eł n ia ją cy c h warun ek (l) i na zast ęp ow a ni u tymi cięciwami odp ow ie dn i ch p odścieżek ścieżki zaporo
wej.
Defo rm ow a ni e pierwotnej ścieżki zaporowej w etapie I może za ko ńczyć się z n a le z ie ni em rozwią za ni a PDS. Oeżeli przypadek taki nie zachodzi, wówczas, o ile jest sp ełniony warunek:
będący oczywis ty m w a r u n k i e m koniec z ny m istnienia rozwiązania PDS o wła
ściwości Wl, pr z ys tępujemy do r ealizacji etapu II.
Niech dana Jest ścieżka zapo ro wa z i Jej cięciwa s = sfk^, kg) taka, że S C ^ . Cięciwa ta oraz podścieżka zfk^, kg) tworzą na diagramie gra
fu G krzywą zamkniętą zw yczajną rozcinającą płasz c zy zn ę d iagramu na dwa obszary. Oznaczmy przez S T ? ten z obszarów, który nie zawiera punktu r epr e ze nt uj ę ca go wierz c ho łe k b^, natomiast przez drugi z obszarów*
Zbiory w i e r z c h o ł k ó w repre ze nt o wa ny ch przez punkty położone w obszarach 3 ? * . 9 T ® oz naczone będą odpo wi ed ni o przez 9fg.
K or z ys ta ją c z w p ro wa d z o n y c h wyżej pojęć, łatwo udowodnić naetępujęce t w i e r d z e n i e :
T wi er d z e n i e 2 . Każde r o zw i ąz an ie PDS o w ł aś ci w o ś c i Wl posiada jedną z n as tę pu ją c yc h dodatk o wy ch w ł a ś c i w o ś c i (rys. 2):
Z(w*, w|) n z (b 2 ) + 9 (2)
(W2a)
lub
(W2b)
Rys. 2. Przykłady ro zw iązań PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl, W2a (rys. a) i Wl, W2b (rys. b)
Automatyczna korekta jednowarstwowych... 193
R ealizacja etapu II składać się będzie zatem z dwóch podetapów:
A. Posz uk i wa ni e rozwięzanla PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl, W2a.
B. Poszukiwanie rozwiązania PDS o wł a śc i w o ś c i a c h W 1 , W2b.
Pr z ejście do realizacji podetapu B następuje tylko wtedy, gdy podetap A z a ko ń c z y ł się niepomyślnie.
W d a lszych roz w aż an ia c h przyjmiemy założenie, że Z(l^,lg) O Z (b2 ) f (2.
Przypadki nie sp e łn ie ni a tego założenia, przy Jednoczesnym s pełnieniu w a runku (2) w y s t ę pu j ę w grafach G utwor zo ny c h w sposó b przedstawiony w p.
2 niezm ie r ni e rzadko. Uw zg lę d ni en ie takich p rz yp a dk ów Jest możliwe bez wpro wa d za ni a żadny ch i st o tnych e le mentów do d a lszych rozważań [l] , J ed
nakże pociąga za sobą znaczna kompl ik ac j e opisu formalnego prezentowanej metody. Za łożymy też ponadto, że 1 € Z f ą ^ , Ig). W przeciwnym razie w y starczy za mienić ze sobą oznac z en ia w i e r z c h o ł k ó w a^, ąg, aby warunek ten był spełniony.
5. POSZ UK I WA NI E R OZ WI ĄZ A NI A PDS 0 W Ł A Ś C IW OŚ CI A CH W 1 , W2a
Tw i er d z e n i e 3 . Deżeli k_ , kg e Z(b^) i Z ( k ^ , k g ) D Z(bg) { (2, to i s t nieje cięciwa s * s ( k ^ , k g ) ścieżki z j przy czym taka, że dla każdej cięciwy t = kg) ścieżki z takiej, że T C ^ z ' spełniony Jest waru ne k 3E* C
Cięciwę s określoną w tw. 3 o znaczać będziemy przez x(k^. kg). P r o cedurę wy zn ac z a n i a takiej cięciwy przedsta w io no w [i] .
Tw i er d z e n i e 4 . Deżeli istnieją rozwiązania PDS o w ł a ś ci wo ś ci ac h Wl,W2a, to istnieje wś ró d nich rozwiązanie, w którym ścieżka a pochodzi od cię
ciwy
gdzie £ 6 i * ) Zfbj),
Powyższe twierdzenie pozwala na przyjęcie metody p os zu kiwania r o z wi ą
zania PDS o w ła śc iw o śc ia ch Wl, W2a dzielącej się na dwie fazy:
FI. Pos zu k iw an ie rozwiązania o w ła ś c i w o ś c i a c h Wl, W2a, W3a.
F2. Po sz u kiwanie rozwiązania o wł a śc i w o ś c i a c h Wl, W2a, W3b.
s - x ( l 1# £), (W3a)
gdzie _f £ Z(lg, ¿ 2 ) n z i b j ) lub od cięciwy
8 ■ x(f_. Ig) (W3b)
194 J. Wojtuszek
Każdą z w y mi e n i o n y c h faz zrea li z ow ać można poprz e z wy zn ac z a n i e dla ko
lejnych w i e r z c h o ł k ó w £ € Z(lg, ą£ ) n Zfb^) lub £ £ Z f ą ^ l ^ O Z i ^ ) ście
żek a - afą^, ą ^) pochodzących od c ięciw o d po w ie dn io ifl^f.) lub x(£,lg), a na s iępnie s p ra wdzanie, czy dla tych ścieżek i stnieje rozwięzanie PDS.
Za p re ze nt o wa ne dalej twierdzenia um o żliwiają z m n ie j sz en ie licz by s praw
dzanych ścieżek a w obu fazach.
Twierd ze ni e 5 . Jeżeli cięciwa *(£„. f^) nie daje rozwiązania PDS, to cięciwa x(£ . £) taka, że E ( e 1 (£). e2 ( f ) ) C E f e ^ ^ ) , e , , ^ ) ) i £. £
£ 2 ^£n' ¿n^ ni8 d a J® rozwiązania P D S o w ł a ś c i wo śc ia c h Wl, W2a.
T w i er d ze ni e 6 . Dana jest ścieżka a R = a ^ a ^ , Sg) pochodząca od cięci
wy *(£„• !„) P ^ y czym Zfbg) n Z ^ , f^) f 0 or az cięciwa x(£ , £) taka, ż 0 £n, L f , ć 2(£. V 1 H ( 8 l (£), e2 ( f ) ) C E f e ^ ) . e^f,,)).
Jeżeli cięciwa *(2^, f^) nie daje rozwiązania PDS i nie istnieje wierz
chołek k_ £ A n (£, £) - A n (£n , j^), który można połączyć z wierzchołkiem b Ł za pomocą ścieżki t - tft^, k) takiej, że T n A p » | k ^ i dochodzącej do w i er z ch oł ka k od prawej strony ścieżki an> to cięciwa x(£, f) nie daje rozwiązania PDS o w ła śc i w o ś c i a c h W l . W2a.
S ko nc en t ru je my się dalej na r ealizacji fazy FI.
U por z ąd ku jm y w i er zc h o ł k i £ £ ZClg. ą ^ ) n Z i b ^ w k olejności zwi ęk sz e nia się |e (b 2 (£), e2 )|. Niech £ ^ oznacza w i er zc h oł ek £ umieszczony na n-tej pozyc j i uporządkowania. Zgod ni e z powyższym f^ » 1 ^ , ponieważ e2 (l2V
» e2 . B iorąc pod uwagę, że ^ ( l ^ ) - a ^ łatwo w ykazać, że jeżeli k > n, to E ( e 1 (l1 ), e ^ ^ C E ( e 1 (l1 ), e2 (£fl)).
Załóżmy, że ścieżki a pochod zą ce od cięc iw ¿{1^, £) s p ra w dz an o aą w k olejności up o rz ąd ko w an ia w i e r z c h o ł k ó w £. Jeżeli zatem po sprawdzeniu ś cieżki a n od po wiadającej wi er zc h o ł k o w i okaże się, że istnieją w ie rz c h o ł k i £ € Zfl^, f^) n Zib^), dla których Jeszcze nie sprawdzono ścieżki a, to zgod ni e z tw. 5 możemy za n ie ch ać spra wd z an ia ścieżek a dla tych wierzchołków.
Zgodnie z tw. 6, po s pr a w d z e n i u ścieżki a n odpowiadającej wi e rz c h o ł kowi zan i ec ha ć można s p ra w dz en ia ścieżek a dla wierzchołków fsZif^ag)*
» A n (£fl, ¿ 2 ) takich, że w zbi o rz e A n (£fl, £) - -{fj nie istnieje wie r zc ho łek It, który po łączyć można z w i e r zc ho ł ki em b^ za pomocą ścieżki t »
“ * ( ¿1» JO spełn i aj ąc ej war un e k T O A^ « | k ^ i dochodzącej do wierzchoł
ka It od prawej strony ścieżki a n .
Sprawdzenia, czy dla ścieżki a n is tnieje rozwiązanie PDS, możemy do
k onać poprzez próbę w yz n ac ze ni a ścieżki b = b(b^, bg) takiej, że A^flB » m 0 za pomocą al go ry t mu Lee. Jeżeli próba zak oń c zy się niepomyślnie, a cechowanie w i e r z c h o ł k ó w w a lgorytmie Lee ro zp o czniemy od w i e rz ch o łk a b^, w ó wc za s po za kończeniu r ealizacji tego algorytmu w s zy s t k i e wierzchołki, które połączyć można z w i e r z c h o ł k i e m za pomocą ścieżki u takiej, że U n A n ■ 0 będą ocechowane. Aby stwierdzić, czy dany w i e rz ch o łe k lę £ może z o s ta ć połączony z w ie rz c h o ł k i e m b^ za pomocą ścieżki t takiej, że
Automatyczha korekta jednowarstwowych.
T A n “ Ji 1 dochodzącej do w i er z ch oł ka k od prawej stro ny ścieżki a n , w y s t a r c z y sprawdzić, c z y istnieje krawędź łęczęca ten w i er zc ho ł ek z w i e r z c h o ł k i e m ocec ho wa n ym i dochod z ąc a do w ie rz c h o ł k a k od prawej s t r o ny ścieżki a .
— n
Z p rz ed s ta wi on y ch ro zważań w ynika na stępująca procedura rałizacjl fazy FI:
KI. Niech £ - 12 .
K2. W y zn ac z cięciwę £) orza ścieżkę a « a(a_^, a^) pochodzącą od tej cięciwy.
K3. W y z na cz za pomocą algorytmu Leo ścieżkę b = b ( b lt b g ) taką, że A<~i 0 =
« 0 , roz po cz y na ją c cechowanie w i e r z c h o ł k ó w od wier zc ho ł ka b^.
Deżeli ścieżka b istnieje, to K O NIEC POZYTYWNY.
K4. Niech 3 oznacza zbiór w i e r z c h o ł k ó w k. £ A(£, ą^) - -^a2l połączonych z w i e r z c h o ł k i e m o c e ch ow an y m podczas realizacji alg o ry tm u Lee za pom o
cą kr awędzi dochodzącej do ścieżki a od prawej s t r o n y. W yz na cz w i e r z chołek £ € 5 taki, ż e :
l2 ^ * fl)| “ m i n l z ^ , k)|
k 3 3
O eżeli w ie r zc h o ł e k a nie istnieje, tzn. 3 - 0 , to KO NIEC N E G A T Y W NY.
K5. W y z n a c z w ie r zc h o ł e k £ £ Z(b ) taki, ż e :
|E(e2 (jF), e 2 )| ■ m i n |E (e 2 (k^), e2 )|
k e z ( fl, ag) n z f b j ) - j a j
Oeże li w i e r z c h o ł e k £ nie istnieje, to KONIE C NEGATYWNY.
K6. Prz ej d ź do K2.
Zakońc ze n ie realizacji procedury przez KO NIEC NEGATYWNY-.oznacza,że nie istnieje rozwiązanie PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl. W2a, W3a.
P ro cedura real iz uj ąc a fazę F2 Jest a n alogiczna do wyżej p r ze ds t a w i o nej. Można w niej Jednak pominąć s p rawdzanie ścież ki a pochodzącej od c i ę ciwy £(1^, 1^) Jako że ścieżka te została Już sp r aw dz on a w fazie FI.
P rz yk ł a d o w y p rzebieg fazy Fi zilu st ro w an o na rys. 3. Oak wida ć, roz
w iązania P OS z na le z io ne z o st ał o po w yz na c z e n i u 1 sp r aw d z e n i u dwóch ś c i e żek a m a ( a l t ą^).
196 3. Woj tuszek
a)
b)
a,
Rye. 3. P rzykład pos z uk iw an i a rozwi ą za ni a PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl,W2a , W3 a
6. POS ZU KI WA N IE R O Z W I Ą Z A N I A PDS O W Ł A Ś C I W O Ś C I A C H W 1 , W2b
Tw i ar d z e n i e 7 , Oeża li k^, kg £ ZCb^) i Z ( k ^ , kg) n Z (bg) j< ¡3 , to i s t nieją cięciwa a = afk^, iig) ścieżki z, przy czym S C ^ ^ . taka, że dla każdej cięciwy t « t ( k ^ , kg) ści e żk i z takiej, że spełniony
n r 8 ~N‘* t Jest w a r u ne k 3 r “ c 3 r ^
C ięciwę s ok re śloną w tw. 7 oz naczać b ędzieny przez y(ję1> kg). P r o cedurę w y z n a c z a n i a takiej cięciwy przedsta w io no w
Jl] .
Zdef in i uj my parę w i e r z c h o ł k ó w n^, rig e Zfbj)»
|E ^"l* 0 l * £ l H “ ® i n | E ( e lf Sj^Cn))!
n fc Z(Wj. 2g) - | H i ^
|E(e2 ( n g ), a2 )| « m i n | E ( e 2 (n), e2 )|
i ł e 2 J.2 ? ”
Automatyczne korekta jednowarstwowych.. 197
Tw i er d z e n i e 8. Oeżeli istnieję rozwięzania PD S o w ł a ś ci wo ś ci ac h Wl,W2b, to i stnieje wś r ód nich rozwięzania, w których ścieżka a pochodzi od c ię
ciwy
Z g o d ni e z tw. 8, p o s zu ki wa n ie rozwięzania PDS o w ł a ś ci wo śc i ac h Wl, W2b odby wa ć się może w s posób podobny. Jak poszukiwanie rozwlęzania o w ł a ś c i wo ś ci ac h Wl, W2a, a wię c dzielić się ono będzie na dwie fazy:
Fl. P os zu k i w a n i e r o zwlęzania o w ła ś ci w o ś c i a c h Wl, W2b, W3c.
F2. Pos z uk iw an i e rozwi ęz an ia o w ła śc i w o ś c i a c h Wl, W2b, W3d.
Do r e a li za cj i obu wy m ie n i o n y c h faz w y k or zy st a ć można na s tępujęce twier
dzenia :
T w i e r d z e n i e 9 . ¿Jeżeli cięciwa y(£n , f^) nie daje rozwlęzania PDS, to cięciwa *(£.f) taka, że e(e2 (pn ), e ^ f ^ J C E(e2 (p) . e ^ f )) i £ .f e Z ^ J R) nie daje rozwię za ni a PDS o w ła ś ci w o ś c i a c h Wl, W2b.
T wi er d z e n i e 1 0 . Dana Jest ścieżka a^ • H ę ) pochodzęca od c ię
ciwy Y ^ . 1^,). P ^ y czym Z { b ^ ) fl Z ( ^ . f ^ ) f f l oraz cięciwa y(£,X) ta
ka, że £ n . f ^ e Z(£, f ) i E i e ^ j g J , e 1 ( f f ] ) ) C E(e2 (£ ), e ^ f )).
Oeżeli cięciwa y ^ , ) nie daje r o zwięzania PDS i nie istnieje w i e r z chołek k. € A n (£, f) - A n (£n , f^), który można p ołęczyć z wier zc h oł ki em b^
za pomocę ścieżki t = t i ^ , £ ) takiej, że T O A n - / k j i dochodzęcej do w ie rz c ho łk a k. od lewej s t r o n y ścieżki a n> to cięciwa y(£, f.) nie daje r ozwięzania PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl, W2b.
K or z ys ta ję c z powyżs zy ch twierdzeń i p rz e pr ow ad z aj ęc rozumowanie a n a logiczne Jak podczas po s zukiwania rozwięzania PDS o w ł a ś c i w oś ci ac h Wl,W2a, W3a dojść można do następujęcej procedury realizacji fazy FI:
KI. N iech £ » 1^.
K2. W y z n a c z w i er zc h oł ek £ 6 Z(bi) taki, że 8 ” y(JL> Hi),
gdzie f_ e Z(a^, 1^) - lub od cięciwy
8 “ y(£>2« I). ( W 3 d )
( W 3 c )
E(e2 (f.), e2 )| = mln| E( e 2 (k), e2 )|
* £ 2 (£a. fl) n - {flj.
O eże l i w i er zc ho ł ek f. nie istnieje, to K ON I EC NEGATYWNY,
198 0. Wojtuszek
K3. W y z n ac z cięciwę y(£, n ^ ) ora z ścieżkę a = a i a ^ , a.2 ) pochodzącą od tej cięciwy.
K4. Wyzn ac z za pomocą alg or y tm u Lee ścieżkę b » b(b_. , b g ) taką, że AfT B «
» ęl roz po cz yn a ją c cechowanie w i e r z c h o ł k ó w od w i e r z c h o ł k a b^. Jeżeli ścieżka b i s t n i e j e , to K ON IE C POZYTYWNY.
K5. Niech 3 oznacza zbiór w i e r z c h o ł k ó w k_ € £) • w po łączonych z wi e rz c h o ł k i e m o c ec ho wa n ym podczas realizacji alg or yt m u Lee za pomocę k rawędzi dochodzącej do ścieżki a od lewej strony.
W y z n a c z wi e rz c h o ł e k g_ e 3 taki, że
| z ( f l , a^ ) | ■ m i n | z ( k , gg )|
k 3 3
Jeżeli w i er z ch oł ek a nie istnieje, to K ON IE C N E G A T Y W N Y . K6. Prze jd ź do K2.
Z akońc z en ie reali z ac ji procedury przez K ON IE C N E G A T Y W N Y oznacz a, że nie istnieje r oz wiązanie POS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl, W2b, W3c. P ro cedura reali~
ż ująca fazę F2 Jest anal og ic zn a do wyżej przedstawionej.
b)
Rye. 4. Przy kł ad poszukiwania rozwiązania PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl,W2b ,W 3 c
Automatyczna korekta .jednowarstwowych.. 199
Przykł ad o wy przebieg fazy Fi zilu st r ow an o na rys. 4. Rozwiązanie PDS znalezione z o st ał o po w y z n a c z e n i u i spra wd ze n iu dwóch ścieżek a - a i a ^ ą ^ ) . Łatwo sprawdzić, że dla przypadku przeds ta w io ne go na rys. 4 nie istnieję rozwiązania PDS o w ł a ś c i w o ś c i a c h Wl, W2a oraz Wl, W2b, W3d.
7. UWAGI KOŃCOWE
Oak już wspomniano, za sa dn i c z y m el e mentem z aprezentowanej metody aut o matycznej korekty połączeń druko wa ny ch Jest ro związywanie PDS. W chwili p rz ystępowania do ro związywania tego problemu dana jest ścieżka zaporowa z ” b ędąca zwykle najkró ts z ą ścieżką w grafie G łączącą w i e r z chołki a ą g nie przechodzącą przez w i e r z c h o ł k i b^, bg.Naj pr os t sz ym spo
sobem r ozwiązywania PDS w takiej s ytuacji Jest w y z na cz en i e ścieżki b =
“ k 2 ) będącej n ajkrótszą ścieżką w grafie G łączącą wier zc h oł ki b^, n ^e p rz ec hodzącą przez w i e r zc ho łk i £ 0 , Sg, a następnie przystąpienie do w yz na c z a n i a ścieżki a = £ 2 ) takiej, że A O B = j? [2] . Sposób ten nie gwarantuje jednak rozwiązania PDS nawet wtedy, gdy problem ten Jest rozwiązalny, czego p rzykładem są problemy z rys. 3, 4.
Metoda rozwiązy wa ni a P D S zaprez en to wa n a w pracy z apewnia znalezienie rozwiązania tego problemu, o ile rozwiązanie takie istnieje. Możemy więc stwierdzić, że o p ra co wa n a metoda a utomatycznej korekty gwarantuje w y t y czenie każdego braku ją c eg o połączenia poprzez zdeform ow a ni e Jednego tylko z wcześniej zapro je k to wa ny c h połączeń. Jeżeli tylko istnieje taka m oż l i
wość. Złożoność r ozwiązywania PDS pozwala sądzić, że o pr acowanie analogicz
nej metody au tomatycznej korekty opierającej się na r ozwiązywaniu konflik
tów p omiędzy więks z ą niż dwa liczbą połączeń Jest p ra ktycznie rzecz b io
rąc niemożliwe.
R ez ul ta t y pracy wy k or z y s t a n e zostały w programie pr oj ek towania połą
czeń d ru kowanych opra co wa n ym dla mi kr ok o mp ut er a Mera-60. W y niki pro j ek to wania z w y k o r zy s ta ni em za p re zentowanej metody zostały porównane z w y n i k a mi otrzy ma ny m i podczas projektowania bez automatycznej korekty oraz p od
czas projekt ow a ni a z w yk or z y s t a n i e m wspomnianej wyżej metody a u t o m a t y c z nej korekty z [2] . W odnie si en i u do p ro je k towania bez a utomatycznej korek
ty, me toda proponowana w pracy pozwoliła zmnie js zy ć o 6 1% l i czbę nie w y tyczonych połączeń. Przyrost liczby w y ty cz on y ch p ołączeń uzyskany za po
mocą przedstawionej metody automatycznej korekty ok azał s i ę o 3 3 % wi ęk sz y od przyrostu uzyska ne go za pomocą metody z [2] .
200 0. Wojtuszek
L IT E RA TU RA
B Wo jt us z ek U. ! Metoda automatycznej korekty po łączeń d ru kowanych pa
kietów e l e k t r o n ic zn yc h M.C. Praca doktorska. Politech ni k o' Śląska, Gliwice 1983.
[2] A b r a jt i s L . 8 . , Sz e jnauskas R.I., Zylew i cz us W.A. ; Aw to ma ti z ac ja pro- Jekt i ro wa nl a EWM, Moskwa 1978.
[3] Kinniment D . 3 . , W eston L.O. : An e va lu a ti on of conventional and back- tracing algori th m s for routing printed circuit boards. International c onference of co mputer aided d e s in g, Sa n Diego 1979.
|4] Akers S.B. i Wy z na c z a n i e ścieżek połączeń, [wj| A u t o ma t yc zn e p r o j e k t o wanie maszyn cyfrowych pod red. M.E. Breuera. W arszawa 1976.
(s] Shil oa c h Y. s A polynomial so lution to the undire ct ed two path problem.
Oournal ACM, vol. 27, 1980, nr 3.
Recenzent 1 Prof. dr lnż. Maciej Stolarski
Wpły n ęł o do Redakcji: 2 . 0 5 . 1 9 8 4 r.
ABTOMATHMECKAH KOPPEKTHPOBKA OÍHOCJIOÍÍHHX ÜEHATHHX COEflHHEHHÍÍ HP0EK1HP0BAHHX IIPH ÜOMOIIM 3BM
P e 3
n
ue
B ciaTbe npeflciaBzeHO uamHHHoe npoeKinpoBaHHe o^HOCJioiiHHX nenaTHHX xwai, IIpeAOTaBaieH ueioA ipaccHpoBKH coeAHHeHftH He npoB eA SH HH x KzaccHHecKHMH ueio- Aa u K aBTouaTH3HpoBaHHoro npo e KT Hp oB a HH H, Oc h o b oH sioro M e i o^ a HBJiaeicA pe- neHHe t.h. 3aAara A B y x AOpo xe K flaa ruiaHapnux rpa$oB c h s b sc t h h m reoMeipn- aecKHU npsAciaBzeHHeu.
RE RO U TI NG OF S I N G L E - L A Y E R PRIN T ED W IR I NG B OARDS D E S I GN ED B Y C OMPUTER
S u m m a r y
This paper deals w i t h compute r- ai d ed de sign of s i n gl e- l ay er printed wi
ring boards and presents a method for wires routing, that were not r eali
zed with the uee of co nv entional methods for aut o ma ti c routing. Solving of the so -c alled two path problem for p l anar graphs wi th known g e o me t ri cal r e pr es en t at io n is the basic element of the method.