Analiza optymalizacyjna podstawowej częstości drgań własnych słupa stalowego

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: B U D O W N IC T W O z. 93

2001 N r kol. 1514

Agnieszka K O P C IE W IC Z * Politechnika S zc z e c iń sk a

ANALIZA OPTYMALIZACYJNA PODSTAWOWEJ CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH SŁUPA STALOWEGO

Streszczenie. Podjęto próbę optymalizacji częstości drgań własnych stalowego słupa, którego schematem statycznym jest wspornik o w ysięgu h = 4,8 m, obciążonego masą użytkow ą m u = 3 0 0 kg. Zaproponowano przekrój rurowy o stałej sztyw ności w zdłuż osi elementu. Rozpatrzono cztery warianty średnic zewnętrznych o skokowo zmiennej grubości ścianek. Położenie mas skupionych od ciężaru w łasnego potraktowano jako zmienną decyzyjną zadania optymalizacji. Dokonano pełnego przeglądu zbioru rozwiązań. Przyjęto dwie funk­

cje celu: minimum masy własnej słupa i maksimum częstości drgań własnych. U zyskane zbiory ocen

¡rozwiązań om ówiono jako dwukryterialne zagadnienie optymalizacji.

OPTIMIMUM ANALYSIS OF EIGENFREQUENCY OF A STEEL COLUMN

Summary. An attempt has been undertaken for an optimization the eigenfrequency o f steel column (statical scheme is bracket 4,8 m long and user mass = 300 kg loading). The tubular section with constant stiffness be proposed. Four alternatives o f diameter with different thicknesses have been considered. The situation reduced mass from dead weight load have been treated as decisive variable o f optimum problem. Full presentation of solution set have been done. The goals were to m inim ize dead weight o f construction and to m axim ize eigenfre­

quency of column. The obtained alternative designs (valuation and solution sets) have been discussed as bicrite- rial optimum problem.

1. W prowadzenie

Projektow anie k o n stru k c ji to z ło ż o n y p ro ces, n a k tó ry s k ła d a ją się d ecy zje, d o św ia d c z e n ie i intuicja p ro jek tan ta. Je s t o b m y śla n ie m n o w y c h u stro jó w i u k ła d ó w lub u stro jó w i u k ład ó w powstających w w y n ik u p rz e k s z ta łc a n ia d o ty c h c z a s istn iejący ch .

K ażde zad an ie p ro je k to w e m o ż e b y ć z re a liz o w a n e n a w ie le sp o so b ó w („ Ilu in ży n ieró w , tyle ro zw iązań ” ). K o n stru k to r staje p rz e d p ro b le m e m w y e lim in o w a n ia ro z w ią z a ń zły ch , o k re­

ślenia dobry ch i w y b o re m ro z w ią z a n ia m o ż liw ie n ajlep szeg o . D o b re ro z w ią z a n ia s p e łn ia ją wszystkie p o d sta w o w e z a ło ż e n ia w y n ik a ją c e z e szc z e g ó ło w y c h zasad p ro je k to w a n ia , ale k o n ­ strukcja p o w in n a b y ć o p ty m a ln a w d an y ch w a ru n k a c h ze w z g lę d u n a p rz y ję te k ry te riu m (kryteria) o p ty m a liz a c ji [5].

’ Opiekun n au k o w y : D r hab. inż. W ito ld M . P ac z k o w sk i, prof. PSz.

206 A. Kopciewicz S fo rm u ło w a n e w te n sp o só b o g ó ln e uw agi n a te m a t w y m ia ro w a n ia u stro jó w m o g ą być z a p is a n e w p o sta c i m a te m a ty c z n e j. P o d sta w o w y m z a d a n ie m je s t z b u d o w a n ie m o d elu mate­

m a ty c z n e g o k o n stru k c ji. U sta la się w n im zb io ry z m ien n y ch d e c y zy jn y ch (np. w spółrzędnych w ę z łó w ) i p a ra m e tró w (np. w y m iaró w ), a n astę p n ie k o rz y sta ją c z p raw fizy k i b u d u je się za­

leżn o ści m a te m a ty c z n e .

W p rz e d sta w io n e j p racy p o d jęto a n a liz ę d rg ań słu p a stalo w eg o . P rzy jęto zmienne i p a ra m e try do z b u d o w a n ia m o d elu m a te m aty czn eg o k o n stru k cji. U w zg lęd n io n o szczegółowe z a sa d y p ro je k to w a n ia [7] w p ro w a d z a ją c n o rm o w e o g ra n ic z e n ia p ro jek to w e. U z y sk a n e wyniki a n a liz o w a n o tra k tu ją c j e ja k o d w u k ry te ria ln e z a g a d n ie n ie o p ty m alizacji.

Z a d a n ie w p rz y sz ło śc i b ę d z ie p o sz e rz a n e - d o d a w a n e n o w e elem en ty , p o p ra w ia n e istnie­

ją c e . P o p rz e z s to p n io w ą e w o lu c ję m o d elu o b iek tu [6] ró w n ie ż zm ien i się liczb a zmiennych d e c y z y jn y c h i k ry te rió w o p ty m a liz a c ji, a co się z ty m w iąże - sp o só b je g o analizy.

2. P rzedm iot analizy

Je d n y m z p a ra m e tró w d e c y d u ją c y c h o w y m ia ro w a n iu k o n stru k cji j e s t p o d staw o w a czę­

sto ść d rg ań w ła sn y c h co. T o in d y w id u a ln a c e c h a ro z w a ż a n e g o o b iek tu i n ie zale ży od czynni­

k ó w z e w n ę trz n y c h . D rg a n ia w ła sn e n ie s ą p ro cesem fizy czn y m , o p is u ją o n e je d y n ie pewną d y sp o z y c ję u stro ju [8].

D y n a m ic z n e ró w n a n ie ru ch u d la u k ła d u o je d n y m sto p n iu sw o b o d y d y n am iczn ej m a ogól­

n ą p o sta ć (b e z z d e fin io w a n y c h w aru n k ó w p o czątk o w y ch ):

m q + c q + k q = P ( t) (1)

g dzie:

m - m a sa c ia ła [kg],

c - w sp ó łc z y n n ik tłu m ie n ia [kg/s], k - sz ty w n o ś ć u stro ju [N /m ],

P(t) - siła w z b u d z a ją c a d rg a n ia k o n stru k cji [N],

q - p rz y s p ie sz e n ie p u n k tu m aterialn eg o (m asy sk u p io n ej p o d d an ej d rg an io m ) [m /s2], q - p rę d k o ść p u n k tu m aterialn eg o [m /s],

q - p rz e m ie s z c z e n ie p u n k tu m aterialn eg o [m ],

Analiza o p ty m a liz a c y jn a p o d staw o w ej. 207

Rów nanie to , z g o d n ie z z a s a d ą d ’A le m b e rta , w y ra ż a w a ru n e k ró w n o w a g i s ił d z iałający ch na rozw ażaną m asę w c z a sie ru ch u , p o z b a w io n e sk ła d n ik ó w re p re z e n tu ją c y c h siłę w z b u d z a ­ jącą i opory ru c h u m o ż e m ieć n ie z e ro w e ro zw iązan ie.

R ów nania te w p o sta c i m a c ie rz o w e j d la u k ład u o n -sto p n ia c h sw o b o d y p rz y jm u ją form ę:

gdzie:

B - m acierz b e z w ła d n o śc i, C - m acierz tłu m ie n ia , K - m acierz sz ty w n o śc i,

q - w e k to r p rz y s p ie sz e ń p u n k tó w m ate ria ln y c h (m as sk u p io n y ch ), q - w ek to r p ręd k o ści p.m .,

q - w ek to r p rz e m ie s z c z e ń p .m ., P(t) - w e k to r s ił z ew n ętrzn y ch .

Rów nanie (2a) - u k ła d lin io w y c h je d n o ro d n y c h ró w n a ń a lg e b ra ic z n y c h m o ż e m ie ć n ie z e ­ rowe rozw iązanie, g d y

Wartość co m o ż n a o b lic z y ć w sp o só b p rz y b liż o n y (ro z w ią z a n ie u p ro s z c z o n e ) d la u k ład u o jednym sto p n iu sw o b o d y (rys. la ) ze w zo ru G e ig e ra [2]:

m - q + k - q = 0

W ielkość co j e s t c z ę s to ś c ią k o ło w ą d rg ań w łasn y ch

(2⁾

(3)

B ■ q+ C ■ q+ K • q = P ( t ) , ( l a )

B • q+ K • q = 0 , (²a)

|k - co2 • b| = 0 . (3a)

(4)

;dzie yst. max je s t m a k sy m a ln y m p rz e m ie s z c z e n ie m od sta ty c z n e g o d z ia ła n ia m asy

208 A . K opciew icz

a> m

I # " *

d)

# m,

A m2

m

U

—³*

Rys. 1. Rozważane modele konstrukcji

Fig. 1. M odels o f construction into consideration

Z ag ad n ien ie to m o żn a ro zw in ąć p o p rzez d y sk rety zację układ u do n-stopni sw obody dyna­

m icznej ( rys. Ib ; lc ) . W artości co liczo n e w g m eto d en erg ety czn y ch w ynoszą:

co =

co =

1

£ m i • « .

I g - Ę n y y j

I I m . - y f

(w zó r D unkerleya),

(w zó r R ayleigha).

(6)

(7)

W ten sp o só b m o ż n a o b liczy ć ty lk o p o d sta w o w ą często ść drgań.

P rz y w y k o rz y sta n iu m eto d m a c ie rz o w y c h , ro z w ią z u ją c w y z n a c z n ik (3), o trzy m u je się ró w n a n ie a lg e b ra ic z n e w z g lę d e m co² , k tó re g o p ie rw ia stk a m i s ą często ści d rg ań w łasn y ch : coi, (Oz, .... cou.

U z y sk a n e ro z w ią z a n ia - w ek to ry w łasn e - p o z w a la ją w y zn aczy ć p o d sta w o w ą i kolejne czę­

stości drgań w łasn y ch , p o d sta w o w ą i ko lejn e po stacie drgań w łasnych.

Im w ię k sz a liczb a p u n k tó w m a so w y c h , ty m d o k ła d n ie jsz e ro zw iązan ie. R o z w ią z a n ie ide­

aln e (w sen sie m o d e lo w y m ) m o ż n a o trz y m a ć d la sch em atu , w k tó ry m m a s a słu p a je s t po­

tra k to w a n a ja k o o b c ią ż e n ie ciąg łe [²] (rys. Id ):

co=

H

gd zie:

y

1 m g l4

3 ,5 162 E - J

C zęsto ści p o d staw o w e drgań, w zależn o ści od przyjętej m etody i sch em atu statycznegi p rz y jm u ją nieco ro zb ieżn e w artości.

Analiza o p ty m a liz a c y jn a p o d sta w o w e j. 209

Z decydow ano, że co liczo n e w z a d a n iu b ęd zie w e d łu g sch em atu 1 b (g ó rn a m a sa sk u p io n a m, to cięż ar w ła sn y i u żytkow y, d o ln a m2 - ty lk o cię ż a r w łasn y ). Przyjęto d w ie sk rajn e oceny:

idealną (su p erp o zy cja: m a sa u ż y tk o w a w g rys. l a + m asa słu p a w g rys. Id ) i u p ro s z c z o n ą (obie masy sk u p io n e w sk ra jn y m p u n k cie - rys. la ) ja k o w artości p o ró w n aw cze do u zyskiw anych wyników.

3. Sform ułow anie zadania optym alizacji

O biekt a n a liz y to słu p sta lo w y o w y so k o śc i h = 4 ,8 m , o b c ią ż o n y s ta łą m a s ą u ż y tk o w ą m„= 300 k g (ry s.2 ). Jak o p rzek ró j p o p rz e c z n y z a p ro p o n o w a n o rurę, k tó rej śre d n ic a D m oże przyjąć w a rto ś ć od 168,3 m m do 2 4 4 ,5 m m (4 w a ria n ty ) i g ru b o ść śc ia n e k g w za k re sie od 5,0 mm do 2 2 ,2 m m (12 w a ria n tó w ). Z m ia n a p rz e k ro ju słu p a p o c ią g a z a s o b ą z m ian y ciężaru własnego m w i sz ty w n o śc i ele m e n tu . C ię ż a r w ła sn y z o sta ł sk u p io n y w d w ó ch p u n k ta c h m a ­ sowych, z m ie n ia ją c y c h sw e p o ło ż e n ie n a e lem en cie. P rz y ro st sz ty w n o śc i p rz e k ro ju p o w o d u je zmniejszenie p rz e m ie s z c z e ń m as n a słu p ie ró w n o c z e śn ie z w ię k sz a ją c w a rto ś ć co. W p ro w a ­ dzono o g ra n ic z e n ia z a c h o w a w c z e [4], m .in . - d la stan u g ra n ic z n e g o u ż y tk o w a n ia : p rz e m ie sz ­ czenie k o ń c a słu p a n ie p rz e k ra c z a ją c e f gl = 1/100 h, czyli f gr = 4 ,8 cm .

m

h li

EJ h

WWW

Rys. 2. Schemat obliczeniowy zadania Fig. 2. Statical schem e o f problem

S tałe obiek tu : h = 4,8 m □ = 300

P aram etry : m w - z k a talo g u [1]

[m]

[kg]

[kg/m ] [kg]

[kg]

m i = m u + 0 ,5 11 m w m2 = 0 ,5 m w (11 + 12 ) 0,25 h < 1 2 < 0,7 5 h 1,2 [m] < 1 2 < 3,6 [m]

1 1 = h - 1 2

3 ,6 [m ] < 1 1 < 1,2 [m]

12 = 1,2 + 0 , 3 n [m ]

n - k ro k ite ra c y jn y ( n = 0, 1, 2,...8)

21 0 A . Kopciewicz

Przy d efin io w an iu zad an ia o p ty m alizacji u stalono następ u jące d y sk retn e w artości zmiennych d e c y zy jn y ch (ry s.2):

x = [ Xj, x 2> x3 ]t (10)

x, = D xi = ( 168,3; 193,7; 219,1; 2 4 4 ,5 ) [m m ] (w g [ 1 ] ) X²= g x2 = ( 5 ,0 ; 5,6; 6,3; 7 , 1 ; ; 2 2 ,2 ) [m m ] ( w g [ l ] ) x3— 12 x 3 = ( 1,2; 1,5; 1,8; 2 ,1 ;...; 3 ,6 ) [m]

P rz y ję to n a stę p u ją c e fu n k c je celu o c e n ia ją c e o b ie k t o p ty m alizacji:

f (x) = [ f , (x), f²( x ) ] T (^{1 1})

f i (x) — czę sto ść d rg ań w łasn y ch , f 2 (x) - m asa w łasn a słupa.

P o sz u k iw a n o m a k sim u m f i (x) i m in im u m f2 (x).

4. A naliza optym alizacyjna

Z a d a n ie o p ty m a liz a c ji ro z w ią z a n o d la u sta lo n y c h d y sk retn y ch zm ie n n y c h decyzyjnych, p rzy p rz y ję ty c h fu n k c ja c h celu. A n alizo w an o j e ja k o zag a d n ie n ie d w u k ry terialn e.

M e to d ą p e łn e g o p rzeg ląd u [⁶] w y k o n a n o serię 4 32 o b liczeń (d la k ażdej średnicy 12 ró żn y ch g ru b o ści ścian ek , 9 m o żliw y ch p o zy cji m as sk u p io n y ch ). Z b a d a n o najp ierw za­

leżn o ść cz ę sto śc i d rg ań w ła sn y c h od p o ło ż e n ia p u n k tó w m aso w y ch n a w y so k o śc i słu p a ( co = f (12) - rys.3).

Ij=3,6

• 1^3,3

■ « A ^g • ^{* ' 2 = 2 j -} 8, [ m ]

0 ,0 2 6 2 -p g o„pf 0,0 2 5 8 • 0,0 2 5 4 • 0,0 2 5 0 ■ 0 ,0 2 4 6 • 0 ,0 2 4 2 ■ 0 ,0 2 3 8 ■ 0 ,0 2 3 4 ■ 0 ,0 2 3 0 • 0 ,0 2 2 6 ■ 0,0 2 2 2 ■

0,0218 1---1---1---1---1-

19,3 19,5 19,7 19,9 20,1 20,3 20,5 2 0 ,7 20 ,9 21,1

• wyniki wg MMS (nd=2)

■ ocena uproszczona A ocena idealna

“id

.

■+— —I---1---1* - W [1/S]

Rys. 3. Przykładowy rozkład częstości drgań własnych dla rury ę 193,7/12,5 ( x lfi) Fig. 3. Exemplary distribution o f eigenfrequency for tube $ 193,7/12,5 ( x i6 )

Analiza o p ty m a liz a c y jn a p o d sta w o w e j. 211

Uzyskano d w a ro z w ią z a n ia zd o m in o w an e . Te w yniki u zn an o za saty sfak cjo n u jące ze w zg lę­

du na odległości od sk rajn y ch o cen (idealnej i upro szczo n ej) - w p o ło żen iu m asy skupionej m ² na wysokości 1 2 = 2,4 lub 2,7 m. N a jw ię k sz a ró żn ica w z g lę d n a w o trzy m an y ch o b liczeniach wynosiła: -3 ,2 5 2 % (d la o cen y id e a ln e j) i n a jm n ie jsz a + 3 ,7 6 2 % (d la u p ro sz c z o n e j). S tw ie r­

dzono na p o d sta w ie w sz y stk ic h /4 3 2 / ro z w ią z a ń , że m o ż n a sfo rm u ło w a ć p e w n ą p ra w id ło ­ wość d o ty c z ą c ą z m ien n ej d ecy zy jn ej x 3 = 1 2 . M ian o w icie: d la n =5 (12 = 2 ,7 m ) w y stę p u je największa w a rto ś ć c z ę sto śc i d rg ań w łasn y ch . Z w sz y stk ic h o b lic z e ń w y b ra n o te w y n ik i /48/.

Zostały one w z ię te p o d u w a g ę p rz y dalszej a n a liz ie o p ty m a liz a c y jn e j. Z e w zg lęd u n a o g ra n i­

czenia n o rm o w e o d rz u c o n o k o lejn e, z a w ę ż a ją c o b sz a r p o sz u k iw a ń do 43 w a ria n tó w (ry s.4).

Rys. 4. Zbiór rozwiązań X zadania optymalizacji o dwu zmiennych decyzyjnych Fig. 4. Solution set X optimum problem with two decisive variables

Rys. 5. Zbiór ocen Y dwukryterialnego zadania optymalizacji Fig. 5. Valuation set Y bicriterial optimization problem

212 A . K opciew icz

D la p o zo staw io n y ch 43 d y sk retn y ch rozw iązań o trzym ano w yniki w zakresie:

14,978 - © - 3 3 ,7 4 3 [ l/s ] częstość drgań w łasn y ch , p rzy m ak sy m aln y ch przem ieszczen iach rzędu 0 . 0 4 6 2 - 0 ,0 0 9 8 [m], 124,8 - m w - 585, 6 [kg] m a sa w ła sn a słupa.

P rzy k ład o w e w arto ści ze zbioru rozw iązań p rzed staw io n o w tabeli I, d la elem en tó w brzego­

w y ch (x i , X9, X 2 1 , X 33, x 8, X20» x 32, X 43) i zaw arty ch w e w n ątrz (x ¹⁶, x 19, X 25, x 2 7 , X30) zbioru ro zw iązań d o p u szczaln y ch X.

T abela 1 W ybrane w artości ze zbioru rozw iązań X

^ i X l X 9 X 2 1 X 33 x 8 X20 X 3 2 X 43 X l 6 X 19 X 2 5 X 27 X27

CO 14.978 15,557 19,564 24,062 18.966 23,472 28,777 33,743 20.752 22.766 23,168 24,895 27,314

$m ax 0,0462 0,0423 0,0270 0,0180 0,0300 0,0198 0,0134 0,0098 0,0247 0,0209 0,0197 0,0173 0.0147 m w 166,08 124,80 158,88 199,68 350.88 411,36 518,40 585,60 268,32 364.80 247,68 305.76 417,60

P rzy jęte fun k cje celu d a ją ro zb ieżn e ocen y ro zw iązań (m in im u m m asy - m a k sim u m często­

ści drgań w łasn y ch ). P rzy ro st śred n icy słupa i grubości ścian ek (p o la p rzek ro ju ) powoduje zw ięk szen ie szty w n o ści elem entu. Z m n ie jsz a ją się p rzem ieszczen ia m as sk u p io n y ch , wzrasta często ść drgań w łasn y ch . To spraw ia, że zn o rm alizo w an y zb ió r ocen zad an ia (ry s.5) zaw iera się w ob szarze o cen ro zw iązań , o g ran iczo n y ch k rz y w ą o w yk ład n iczy m p rzebiegu.

D o a n a liz y z b io ru o cen p o słu ż o n o się w arto ściam i w zg lęd n y m i. O d n iesio n o u zy sk an e wy­

n ik i (m a sę i c zęsto ść) do m a k s y m aln y ch . N a p o d sta w ie n o w y ch (w z g lę d n y c h ) d an y ch ustalo­

no w a rto ś ć o ce n y idealnej - y ¡d = [ 1,0; 0 ,2 1 3 1]T. D o k o n an o w y b o ru ro z w ią z a n ia preferow a­

n eg o m e to d ą fu n k cji d y stan so w ej [4], O b liczo n o o d leg ło ści g e o m e try c z n e dj (czy li w sensie eu k lid e so w y m , z n o rm ą || p || = 2) p o m ię d z y p u n k te m o ce n y idealnej a o c e n a m i leżą cy m i na k rzy w ej o g ra n ic z a ją c e j z b ió r o cen n iezd o m in o w a n y c h (rys.5). U zy sk an e m etry k i przedsta­

w io n o w tabeli 2.

T abela 2 O d le g ło śc i o cen n ie zd o m in o w an y ch od o cen y idealnej

y ¡d y 9 y2 i y 3 3 y 3 4 y 3 5 y 3 6 y 3 7 y s s y 3 9 y 4 0 y 4 i y 4 2 y 43 I

1,0000 0,4610 0,5798 0,7131 0,7452 0,7711 0,8059 0,8316 0,8654 0,8983 0,9278 0.9491 0.9785 1.0000 I 0,2131 0.2131 0,2713 0,3410 0,3828 0,4197 0,4738 0,5189 0,5861 0,6607 0 J 3 9 3 0,8033 0,9098 1.0000

d ¡ 0.5390 0,4242 0,3141 0,3061 0,3084 0,3250 0,3491 0,3965 0.4590 0,5312 0,5924 0,6971 0,7869

Po p rz e g lą d z ie stw ierd zo n o , że d w ie o ce n y m o ż n a o k reślić ja k o n ajlep iej sp e łn ia ją c e ocze­

k iw an ia. S ą to o ce n y y3 4 i y3 5. O d p o w ia d a ją im e lem en ty x 34 i x 35 ze z b io ru ro zw iązań . W

Analiza o p ty m a liz a c y jn a p o d sta w o w e j. 213

sensie m a te ria ln y m s ą to ru ry o śre d n ic y ze w n ę trz n e j D = 2 4 4 ,5 [m m ] i g ru b o śc i ścian ek o d ­ powiednio: g = 8,0 lub 8 , 8 [m m ]. W arto ści fu n k cji celu: f i (x) — c z ę sto ść d rg ań w ła sn y c h , f 2

(x) - m a sa w ła sn a słu p a w y n o s z ą d la nich:

f i ( x 34) - 2 5 ,1 4 6 [l/s ] ; f2( x 34) - 2 2 4 , 1 6 [kg];

f , ( x³s ) - 2 6 ,0 1 8 [ l /s ] ; f²( x 35) - 2 4 5 , 7 6 [kg].

U zyskane ro z w ią z a n ia n ie s ą ro z w ią z a n ia m i o sta te c z n y m i. P o d le g a ją d y sk u sji. Istn ieje możliwość m o d y fik a c ji z a d a n ia p o za o strz e n iu o g ran iczeń lub w p ro w a d z e n iu n o w y c h k ry te ­ riów. Pracę nad o p ty m a liz a c ją k o n stru k c ji w y so k ic h ro z p o częto i b ę d z ie o n a k o n ty n u o w an a.

5. Wnioski

Zadanie o p ty m alizacji p rzep ro w ad zo n o m e to d ą pełn eg o p rzeg ląd u , w y k o n an o serię 4 3 2 ob­

liczeń, ro zw ażając o stateczn ie liczbę 43 rozw iązań. U tw o rzo n o zb ió r o cen n iezd o m in o w an y ch , ograniczony k rz y w ą o w y k ład n icz y m ch arak terze. S tw ierdzono, że istn ieje o c e n a idealna, nie istnieje ro zw iązan ie idealne. U zy sk an o 13 o cen n iezd o m in o w an y ch . R o zw iązan o zad an ie po- lioptymalizacji m e to d ą fu n k cji d y stan so w ej. U zn an o d w ie o cen y z a saty sfak cjo n u jące. O k re­

ślono dla u z y sk an y ch ro zw iązań w arto ści zało żo n y ch kryteriów . S tw ierd zo n o , że o w y b o rze rozwiązania n ie d e c y d u ją ek strem a ln e w arto ści funkcji celu, ty lk o pośred n ie. N a p o d staw ie przebiegu k rz y w y c h o cen d la ro zp atry w an y ch p rz e k ro jó w (sta ła w arto ść D , z m ie n n a g), za­

uważono, że m a ją on e podobny, w y k ład n icz y charakter.

U ogólnienie to m o ż n a przen ieść n a p o d o b n e zag ad n ien ia, p rzy inaczej zd efin io w an y m wektorze zm ien n y ch d ecy zy jn y ch (in n a w y so k o ść słupa, zm ien n a szty w n o ść, inny k ształt p rze­

kroju), ale p rzy p o d o b n ie p rzy jęty ch fu n k cjach celu.

LITERA TURA

1. Bogucki W ., Ż y b u rto w ic z M .: T a b lic e do p ro je k to w a n ia k o n stru k c ji m etalo w y ch . A rk ad y , W arszaw a 1984.

2. Dyląg Z. i inni: M e c h a n ik a b u d o w li. P W N , W a rsz a w a 1977.

3. G órecki H .: O p ty m a liz a c ja sy ste m ó w d y n a m ic z n y c h . P W N , W a rs z a w a 1993.

4. Lubiński M ., Ż ó łto w sk i W .: K o n stru k c je m etalo w e, t.2, A rk ad y , W a rs z a w a 1992.

214 A . Kopciewicz

5. O siń sk i Z ., W ró b el J.: T e o ria k o n stru k cji. P W N , W a rsz a w a 1995.

6. P a c z k o w sk i W . M .: W y b ra n e p ro b le m y d y sk retn ej o p ty m a liz a c ji ew o lu cy jn e j. Wydaw­

n ictw o U c z e ln ia n e P o lite c h n ik i S zczeciń sk iej n r 544, S zczecin 1999

7. P y ra k S. (red): W y b ó r n o rm b u d o w lan y ch . C z. 1 i 2, K o m ite t D o sk o n a le n ia K adr ZG P Z IT B , W a rs z a w a 1992.

8. R a k o w sk i G (red): M ec h a n ik a b u d o w li - ujęcie k o m p u tero w e, t.2, A rk ad y , Warszawa 1992.

R ecen zen t: P rof. d r hab. inż. A ndrzej Flaga

A b s tr a c t

A n a tte m p t h as b een u n d ertak en fo r an o p tim iz a tio n th e e ig e n fre q u e n c y o f steel column (sta tic a l sch em e is b ra c k e t 4,8 m lo n g an d u se r m ass = 3 0 0 kg lo ad in g ). T h e tu b u la r section w ith c o n sta n t stiffn e ss be p ro p o sed . F o u r altern ativ es o f d ia m e te r w ith d iffe re n t thicknesses hav e b e e n c o n sid e re d . T h e situ atio n re d u ced m ass fro m d e a d w eig h t load h av e b een treated as d e c is iv e v a ria b le o f o p tim u m p ro b lem . F u ll p resen tatio n o f so lu tio n se t h av e b een done. The g o als w ere to m in im iz e d e a d w e ig h t o f co n stru c tio n an d to m a x im ize eig en fre q u e n c y o f col­

um n. T h e o b ta in e d a lte rn a tiv e d esig n s (v a lu a tio n an d so lu tio n sets) h a v e b een d iscu ssed as b ic rite ria l o p tim u m pro b lem .