Jednomiany i sumy algebraiczne

(1)

Jednomiany i sumy algebraiczne

Materiał zawiera 2 ilustracje (fotograﬁe, obrazy, rysunki), 4 ﬁlmy, 34 ćwiczenia, w tym 20 interaktywnych.

Deﬁnicje - jednomian, współczynnik liczbowy jednomianu, suma algebraiczna, jednomiany podobne, redukcja jednomianów podobnych.

Filmy - przykłady jednomianów, porządkowanie jednomianów, jednomiany podobne, redukcja wyrazów podobnych.

Ćwiczenia - rozpoznawanie jednomianów, porządkowanie jednomianów, określanie wyrazów sumy algebraicznej, jednomiany podobne, redukcja wyrazów podobnych, wykorzystanie jednomianów w zadaniach.

(2)

Jednomiany i sumy algebraiczne

Przykład 1

Spośród podanych wyrażeń algebraicznych wybierzemy te, które są zapisane za pomocą pojedynczych liczb lub liter albo są iloczynami liczb i liter.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Animacja

Deﬁnicja: Jednomian

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.

Ważne!

Wyrażenie algebraiczne zbudowane jest z jednomianów.

Tabela. Dane

Wyrażenie algebraiczne Jednomiany tworzące to wyrażenie

-6a+ 6b

4abc -6a, 6b, 4abc

x²y

x -8y x²y, x, -8y

100 - h ∙ h² 100, -h, h²

Występujący w jednomianie znak mnożenia często pomijamy, na przykład:

4 ∙ x = 4x x ∙ y = xy -15 ∙ a = - 15a

( )

(3)

Jeżeli w jednomianie pierwszym czynnikiem jest litera, a drugim liczba, to znaku mnożenia nie pomijamy, albo zmieniamy kolejność czynników (mnożenie jest przemienne), na przykład:

x ∙ 3 = 3x

a ∙ (-9) = - 9a Przykład 2

Uporządkujemy jednomian i odczytamy jego współczynnik liczbowy.

Animacja

Zapamiętaj!

Jednomian jest uporządkowany, jeżeli jego pierwszym czynnikiem jest liczba, a następnymi litery w kolejności alfabetycznej.

Deﬁnicja: Współczynnik liczbowy

Liczbę, która występuje na początku uporządkowanego jednomianu nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.

Ważne!

W jednomianie współczynnik liczbowy 1 możemy pominąć 1 ∙ d = d. Współczynnik -1 możemy zastąpić znakiem minus

-1 ∙ h = - h.

Deﬁnicja: Suma algebraiczna

Sumą algebraiczną nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów. Jednomiany te nazywamy wyrazami sumy.

Wyrażenie algebraiczne, w którym występuje odejmowanie jednomianów, jest także sumą algebraiczną, ponieważ odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem jednomianów przeciwnych.

6x²- 4y - (-5x) - 13xy = 6x²+ (-4y) + 5x + (-13xy).

Sumę algebraiczną

(4)

-2x + x²+ 23y + 15xy - 3y²+ xy²+ (-5) możemy zapisać bez użycia nawiasów

-2x + x²+ 23y + 15xy - 3x²+ xy²- 5 Przykład 3

Spośród jednomianów wybierzmy te, które różnią się tylko współczynnikiem liczbowym.

Animacja

Deﬁnicja: Jednomiany podobne

Jednomianami podobnymi nazywamy jednomiany, w których występują takie same czynniki literowe w tej samej potędze.

Jednomiany podobne różnią się współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników.

Jednomiany podobne występujące w sumie algebraicznej nazywamy wyrazami podobnymi sumy algebraicznej.

Przykład 4

(5)

Animacja

Deﬁnicja: Redukcja wyrazów podobnych

Redukcją wyrazów podobnych nazywamy przekształcenie sumy algebraicznej polegające na wykonaniu dodawania lub odejmowania wyrazów podobnych. W wyniku redukcji wyrazów podobnych,

otrzymujemy prostszą postać sumy algebraicznej.

Ćwiczenie 1

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

x y

( - 2x) ∙ x x + x² 6h ∙ 7t 100 + 100x -uk ab + cd g¹⁰∙ 2¹⁰

a+ b a-b

Ćwiczenie 2

Które z podanych wyrażeń algebraicznych są jednomianami?

– 6abc-a -8 x2y+xy2 -2ab∙(-3cd) a2+c d 34∙(-12) -x

(6)

Ćwiczenie 3

Wypisz wyrazy sumy algebraicznej.

1. 23a-12b+2c

2. -x5+2x3-x

3. 9a·-13b-1513c

4. 112d·-815g·30+dg2-0,4gd2

5. 9,3x·(-2,2y)+11,5xy·(-x)

Ćwiczenie 4

Uporządkuj jednomian.

1. 6·a·-2c

2. 412·(-10)·xxx·y

3. -0,9a2b·100ab2

4. -123x3y2z·(-18xyz3)

5. 49adr·(-38ra2)·(-d3)·(-ar2)

6. -3hk·(-k)·(-h4)·827kh2·(-1)

(7)

Ćwiczenie 5

Połącz w pary jednomian i odpowiadający mu współczynnik liczbowy.

<mi>x</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>y</mi><mi>z</mi><mo>)</mo></math>,

<math>

<mo>)</mo><mo>·</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mfrac><mn>100</mn><mn>6</mn></mfrac><mo>)

</mo></math>, <math>

</mfrac><msup><mi>k</mi><mn>4</mn></msup><mo>·</mo><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>4</mn>

<mi>y</mi><mi>z</mi><mi>x</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mi>z</mi><mo>)

</mo><mn>2</mn><mi>y</mi></math>, <math><mn>2</mn><mo>,

</mo><mn>2</mn><mi>r</mi><mi>s</mi><mi>t</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>s</mi><mo>)

</mo><mi>r</mi><mi>t</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>

-4,4 -10 6 10 -0,44 -6 4,4

Ćwiczenie 6

Które z podanych jednomianów są podobne?

12xy2z2, 2xyyzz

12xyz , -12xxyyzz , xy2 z -3x∙0,7yz∙yz, 2xyz∙-6yz -x∙-y2z∙z, 37z2xy2

(8)

Ćwiczenie 7

Które z podanych jednomianów są podobne?

5∙a∙a∙b∙b∙c∙c, -5∙a∙a∙b∙b∙c∙c 50abc , 5∙2a∙2b∙2

257a2b2c2, 0,5aabbcc 7∙a∙b∙c∙a∙b∙c , 13ac2b2a 7a2bc2

Ćwiczenie 8

Połącz w pary jednomiany podobne.

<mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mi>m</mi></math>,

<math><mn>6</mn><mi>m</mi><mi>m</mi></math>,

<math><mo>-</mo><mi>m</mi><mi>k</mi></math>,

2mmk 3mk -mkmk -3m2 -7mkk -13m -0,6k2 -9k

(9)

Ćwiczenie 9

Podaj przykład jednomianu podobnego do jednomianu

1. 237x2·-21x·0,21xy3

2. -23ababa·cacaca

3. 511kht4·411k4ht·211kh4t·(-11)

Ćwiczenie 10

Suma algebraiczna 1+56x2+-2x+13x2+15x-8 po zredukowaniu wyrazów podobnych ma postać

216x2+13x-8 116x2+13x-7 16x2-13x-7 116x2+17x-7

(10)

Ćwiczenie 11

Połącz w pary sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

<span aria-label="x indeks górny, dwa, minus, pięć x indeks górny, dwa, plus, siedem x indeks górny, dwa"

role="math"><math><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>-

</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+

</mo><msup><mrow><mn>7</mn><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup></math>

, <math><msup><mrow><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn>

</mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>

</msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup>

</math>, <math><msup><mrow><mn>4</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>x</mi></mrow>

</math>, <math><mi>x</mi>

, <math><mn>13</mn><msup><mrow><mi>x</mi>

</mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo>

-2x x 3x2 -3x2 -x 2x -2x2 2x2

(11)

Ćwiczenie 12

Niech A=-12x2y2,B=37xy2,C=41y2x2,D=1,2y2x,E=-x2y,F=3yx2. Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie

1. A+C

2. B+D

3. E+F

Ćwiczenie 13

Wykonaj redukcję wyrazów podobnych.

1. 2x+6y+-10x-15y-x-y

2. 12a2-6a+a2-7a-a+(-14a2)

3. 5x2y+2xy-7xy2+-16x2y-xy+y2x

4. 1,2ab-b+a-13ba+79b-37a+(-ab)

5. 414xar-arx+12ar-xr-314rax+1,5ra+xr

6. 4,2km-0,2mm+4mk-10k+12km-0,8m2+21k

7. 3ws2z+4wsz-2sz2+-34s2wz+wsz-7z2s

Ćwiczenie 14

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

Wyrażenie xyz∙(x+y+z) jest jednomianem.

Jednomiany x oraz x2 są podobne.

Jednomian 12abc2 jest uporządkowany.

Redukcja wyrazów podobnych polega na mnożeniu jednomianów.

Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

(12)

Ćwiczenie 16

Przeciągnij i upuść tak, aby otrzymany jednomian był podobny do jednomianu 2 x · 3 5 y 2 · ( - 20 x y z 7 ) .

y z 5 , - x 2 z 7 , x y 2 z 6

5 x 2 · ... · y 2 · 12 z 2 x y z· ...

24 · ... · y 3

Ćwiczenie 17

Połącz w pary podobne do siebie jednomiany.

, <math><mn>12</mn><mi>xy</mi></math>,

-7yx 1512yxz x·(-2) -32zx 710zy

(13)

Ćwiczenie 18

Połącz sumę algebraiczną i odpowiadający jej jednomian.

<math><mo>-</mo><mi>a</mi></math>, <math><mn>3</mn><mi>a</mi></math>, <span aria-label="a"

role="math"><math><mi>a</mi></math>, <math>

<mn>2</mn><mi>a</mi></math>, <math><mo>-

</mo><mn>3</mn><mi>a</mi></math>

7a-6a+a -a-a-a -10a+10a+a -5a-a+9a

2a-5a+2a

Ćwiczenie 19

Dany jest trójkąt ABC, w którym podstawa AB ma długość x. Wysokość CD poprowadzona do boku AB ma długość 5 razy mniejszą niż podstawa tego trójkąta. Zapisz pole tej ﬁgury w postaci uporządkowanego jednomianu, a następnie oblicz jego wartość dla x=20 cm.

Ćwiczenie 20

Dany jest prostokąt, którego długość jest równa x, a szerokość jest trzecią częścią długości. Zapisz pole i obwód prostokąta w postaci uporządkowanych jednomianów. Oblicz pole i obwód prostokąta dla x=9.

Ćwiczenie 21

Dany jest czworokąt, w którym najkrótszy bok ma długość a. Każdy następny bok jest o 2 dłuższy od boku poprzedniego. Zapisz wyrażenie, które będzie opisywało obwód tego czworokąta.

Ćwiczenie 22

W równoległoboku krótsza wysokość ma długość x, a krótszy bok ma długość y. Wysokość poprowadzona do krótszego boku ma długość 3 razy większą niż krótsza wysokość równoległoboku.

1. Zapisz pole, obwód oraz długość dłuższego boku tego równoległoboku w postaci uporządkowanych jednomianów.

2. Oblicz pole i obwód równoległoboku dla x=8 cm, y=1 dm.

(14)

Ćwiczenie 23

Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego obwód trójkąta. Oblicz wartość liczbową tego wyrażenia dla x=4 i y=12.

Ćwiczenie 24

Zapisz w najprostszej postaci obwód narysowanej ﬁgury.

Ćwiczenie 25

W teatrze znajduje się x rzędów, a w każdym rzędzie jest z miejsc siedzących. Piątą część liczby wszystkich rzędów stanowią rzędy dla gości zagranicznych.

1. Ile miejsc siedzących jest przeznaczonych dla gości zagranicznych?

2. Podczas przedstawienia teatralnego w każdym rzędzie było wolnych 20% miejsc siedzących. Ilu zagranicznych gości było obecnych na tym seansie?

Ćwiczenie 26

Lena zbiera piłki. Ma już w swej kolekcji n czerwonych piłek oraz trzy razy więcej zielonych piłek. Niebieskich piłek ma o 2 mniej niż połowa zielonych piłek. Żółtych piłek ma o 5 więcej niż czerwonych. Na urodziny Lena dostała od koleżanek jeszcze 2 czerwone piłki i jedną zieloną piłkę.

1. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego liczbę wszystkich piłek dziewczynki.

2. Oblicz, ile wszystkich piłek ma Lena, jeżeli wiadomo, że ma 24 zielone piłki.

(15)

Ćwiczenie 27

Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian

1. graniastosłupa n-kątnego,

2. ostrosłupa n-kątnego,

3. wielościanu, który powstanie w wyniku sklejenia podstawami dwóch jednakowych ostrosłupów n-kątnych.

Wskazówka

Zależność między liczbą wierzchołków, ścian i krawędzi wielościanu:

W+S=K+2,

Gdzie:

W — liczba wierzchołków, S — liczba ścian,

K — liczba krawędzi.

Ładuję [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctua on.js