ANDRZEJ RYNGWELSKI
3.1 Jak to z Gaussem było
ZADANIE GAUSSA
Karol Fryderyk Gauss (1777–1855) – niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta, nazywany przez sobie współczesnych Księciem Matematyków. Już jako dziecko wykazywał zdolności do nauk ścisłych. Według anegdoty podczas jednej z lekcji
matematyki chłopiec był tak niesforny, że za karę dostał pracochłonne zadanie: miał obliczyć sumę 100 kolejnych liczb naturalnych, od jedynki poczynając. Ku zdziwieniu nauczyciela Karol bardzo szybko podał dobry wynik. Nie sumował pracowicie 100 liczb, lecz wymyślił odpowiedni wzór, za pomocą którego w pamięci obliczył sumę.
SUMOWANIE W ARKUSZU KALKULACYJNYM
Jak dziś szybko obliczyć sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100? Arkusz kalkulacyjny zrobi to bardzo sprawnie.
Dowiesz się, jak
sumować liczby w arkuszu kalkulacyjnym,
analizować obliczenia w poszukiwaniu prawidłowości.
Otwórz nowy skoroszyt Excela. W kolumnie A arkusza umieść liczby od 1 do 100. Aby ułatwić sobie pracę, wpisz dwie pierwsze liczby tworzące serię, a następne wprowadź za pomocą metody serii danych – zaznacz obie wypełnione komórki, chwyć za uchwyt wypełniania (mały kwadracik w prawym dolnym rogu zaznaczenia) i nie puszczając lewego przycisku myszy, wolno przeciągnij go w dół, aż do setnego wiersza.
Kolumna wypełni się liczbami – matematyk powiedziałby, że w arkuszu powstał ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz i różnica między kolejnymi wyrazami wynoszą 1.
Rys. 1. Zaznaczenie i uchwyt wypełniania
Ustaw kursor w komórce A101 i na pasku narzędzi wybierz przycisk Σ Autosumowanie. Zaznaczona zostanie cała kolumna
ANALIZOWANIE OBLICZEŃ I PRAWIDŁOWOŚCI W ARKUSZU KALKULACYJNYM
Pora na trochę samodzielnej pracy – zbuduj arkusz do sumowania liczb i na jego podstawie wyprowadź wzór wymyślony przez młodego Gaussa.
Metoda 1
wypełniana liczbami, a w komórce pojawi się formuła =SUMA(A1:A100).
Rys. 2. Formuła sumowania
Co to jest formuła?
Czy pamiętasz to z klasy 4? Formuła to wzór umieszczony w komórce arkusza. Zaczyna się od znaku równości, dalej znajduje się nazwa funkcji (np. SUMA, ŚREDNIA) oraz nawias z argumentami funkcji (liczbami lub zakresem komórek, np. B2:B30). Jeśli klikniesz komórkę z wpisaną formułą, ta formuła wyświetli się na górze, w polu edycji arkusza.
Zatwierdź wzór klawiszem Enter – w komórce A101 otrzymasz sumę stu kolejnych liczb. Gotowe!
Przejdź do drugiego arkusza w swoim skoroszycie i utwórz tabelę złożoną z trzech kolumn.
Kolumnę A nazwij n (rosnąco ) i wpisz w nią kolejne liczby naturalne od 1 do 100.
Kolumnę B nazwij n (malejąco) i wpisz w nią te same liczby w odwrotnej kolejności.
Kolumnę C nazwij suma .
Teraz wypełnij kolumnę C kolejnymi sumami par liczb w wierszach. Ustaw kursor w komórce C2 i wybierz przycisk Σ
Autosumowanie. Wynik =SUMA(A2:B2) zaakceptuj klawiszem Enter. Skopiuj ten wzór za pomocą uchwytu wypełniania do kolejnych komórek i sprawdź wyniki.
Metoda 2
Do wzoru Gaussa można dojść także inną metodą. Załóżmy, że masz do dyspozycji liczby naturalne z zakresu 1–20.
Rys. 3. Częściowo uzupełniony arkusz z nagłówkami – metoda 1
Przeanalizuj tabelę. Ile wierszy zostało zsumowanych? Jakie dostrzegasz prawidłowości? Jakie są sumy we wszystkich wierszach?
Oblicz sumę wszystkich sum w komórce C102. Porównaj ją z sumą liczb od 1 do 100. Zauważ, że w tabeli zsumowano n wierszy, suma w każdym wierszu ma wartość n + 1, a suma wszystkich sum jest dwukrotnie większa od sumy, jaką należało obliczyć. Czy potrafisz już podać wzór Gaussa na obliczenie sumy kolejnych n liczb?
Sposoby na sumowanie
Formułę =SUMA(), która w Excelu umożliwia dodawanie wartości z danego zakresu komórek, można wpisać z klawiatury albo wybrać na karcie Narzędzia główne w grupie Edytowanie za pomocą przycisku Σ Autosumowanie lub ikony f x na pasku formuły.
W przypadku sumowania wartości z danego zakresu oraz wartości z pojedynczych komórek należy kliknąć przycisk Σ Autosumowanie pod zakresem komórek i trzymając wciśnięty klawisz Ctrl, kliknąć wybrane pojedyncze komórki i zatwierdzić klawiszem Enter. Formuła powinna przyjąć następującą postać =SUMA(A1:A5;B3;C5).
Przejdź do kolejnego arkusza w swoim skoroszycie i aby mieć więcej materiału do rozważań, utwórz tabelę złożoną z sześciu kolumn.
Kolumnę A nazwij naturalne (n) i uzupełnij ją kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 20.
Kolumnę B nazwij suma n (uzupełnisz ją sumami kolejnych liczb – od 1 do liczby w bieżącym wierszu).
Kolumnę C nazwij parzyste (2n) i uzupełnij ją kolejnymi liczbami parzystymi.
Kolumnę D nazwij suma 2n (uzupełnisz ją sumami kolejnych liczb – od 2 do liczby w bieżącym wierszu).
Kolumnę E nazwij nieparzyste (2n – 1) i uzupełnij ją kolejnymi liczbami nieparzystymi.
Kolumnę F nazwij suma 2n – 1 (uzupełnisz ją sumami kolejnych liczb – od 1 do liczby w bieżącym wierszu).
Rys. 4. Częściowo uzupełniony arkusz z nagłówkami – metoda 2
Wypełnij kolumnę B kolejnymi sumami liczb naturalnych.
Ustaw kursor w komórce B2 i wybierz przycisk Σ Autosumowanie. Wynik =SUMA(A2) jest do zaakceptowania.
Zrób to samo w komórce B3. Tym razem trzeba „poprawić” wynik podany przez Excela, zaznaczając myszą zakres sumowania od A2 do A3. Skopiuj wzór do następnej komórki (zaznacz B3 i za pomocą uchwytu wypełniania
przeciągnij na B4) i sprawdź wynik. Przekonasz się niestety, że nie jest on poprawny – zostały zsumowane dwie liczby z komórek A3 i A4. Arkusz „nie domyślił się”, że sumowanie chcesz zaczynać zawsze od komórki A2. Dzieje się tak, ponieważ podczas kopiowania arkusz traktuje adresy komórek w sposób względny: jeśli w komórce B3 była SUMA(A2:A3), to w komórce B4 będzie SUMA(A3:A4). Aby zadeklarować, że adres A2 ma być traktowany
bezwzględnie jednakowo (nie podlegać zmianie), musisz wstawić przed numerami kolumny i wiersza znak $. Adres bezwzględny należy więc zapisać jako $A$2 (choć w tym wypadku wystarczy A$2).
Popraw wzór w komórce B3 na =SUMA(A$2:A3) i skopiuj go do pozostałych komórek w kolumnie B.
Kolumny D i F uzupełnij w podobny sposób. Pamiętaj, żeby sprawdzać uzyskane wyniki – podczas wpisywania wartości czy formuł łatwo popełnić błąd.
Twoja tabela powinna być podobna do przedstawionej poniżej.
Teraz rozbuduj tabelę tak, aby obejmowała wszystkie liczby parzyste i nieparzyste od 1 do 100.
Zauważ, że w kolumnach A, C i E tabeli znajdują się szeregi kolejnych sumowanych liczb. Są to ciągi o takiej własności, że Rys. 5. Uzupełniona tabela – metoda 2
parzystych, jak i nieparzystych wynosi 2. Jak obliczyć sumę n kolejnych wyrazów takiego ciągu? Dodaj pierwszą liczbę parzystą i ostatnią liczbę nieparzystą, drugą parzystą i przedostatnią nieparzystą itd. Jaki jest wynik każdego dodawania? Ile działań musisz wykonać? Czy już wiesz, jaki to wzór? Czy jest taki sam jak ten wyprowadzony na podstawie poprzedniej tabeli?
ZADANIA
1. Oblicz kolejne sumy pierwszych stu liczb parzystych. Pierwszą sumą będzie 2, drugą 6. A setną?
2. Oblicz kolejne sumy pierwszych stu liczb nieparzystych. Pierwszą sumą będzie 1, drugą 4. A setną?
