matematyka, I rok, I stopień lista 6

(1)

EMF

matematyka, I rok, I stopień lista 6

renty uogólnione

Zadania z podręcznika Kellisona

1. Find the accumulated value 18 years after the first payment is made of an annuity on which there are 8 payments of $2000 each made at two years intervals. The nominal rate of interest convertible semiannually is 7%. Answer to the nearest dollar.

2. Find the present value of a ten-years annuity which pays $400 at the beginning of each quarter for the first 5 years, increasing to $600 per quarter thereafter. The annual effective rate is 12%. Answer to the nearest dollar.

3. Show that the present value at time 0 of 1 payable at times 7, 11, 15, 19, 23, and 27 is a ₂₈ − a ₄

s ₃ − a ₁ .

4. A perpetuity of $750 payable at the end of every year and a perpetuity of $750 payable at the end of every 20 years are to be replaced by an annuity of R payable at the end of every year for 30 years. If i ⁽²⁾ = 0, 04, show that

R = 37500 1 s ₂ + v ⁴⁰

a ₄₀

s ₂ a ₆₀ , where all functions are evaluated at 2% interest.

5. Find the expression for the present value of an annuity-due of $600 per annum payable semiannually for 10 years if d ⁽¹²⁾ = 0, 09.

6. The present value of a perpetuity paying 1 at the end of every three years is ¹²⁵ ₉₁ . Find i.

7. Find the expression for the present value of an annuity on which payments are $100 per quarter for five years, just before the first payment is made, if δ = 0, 08.

8. A perpetuity paying 1 at the beginning of each year has a present value of 20. If this perpetuity is exchange for another perpetuity paying R at the beginning of every two years, find R so that the values of the two perpetuities are equal.

9. Derive the following formulas a) ¹

a

^(m)

n

= ¹

s

^(m)

n

+ i ^(m) ; b) ¹

¨ a

^(m)

n

= ¹

¨ s

^(m)

n

+ d ^(m) . 10. Derive the following formulas

a) ¨ a ^(m) _n = a ^(m) _n (1 + i)

^m¹

; b) ¨ s ^(m) _n = s ^(m) _n (1 + i)

^m¹

. 11. Derive the following formulas

a) ¨ a ^(m) _n = _m ¹ + a ^(m)

n−

_m¹

; b) ¨ s ^(m) _n = s ^(m)

n+

_m¹

− _m ¹ .

12. Express ¨ a ⁽¹²⁾ _n in terms a ⁽²⁾ _n with an adjustment factor.

13. Show that

a ^(m) _n = 1 m

m

X

t=1

v

^m^t

¨ a n .

(2)

14. A sum of $10000 is used to buy a deferred perpetuity-due paying $500 every six months forever. Find an expression for the deferred period expressed as a function of d.

15. Find the expression for the present value of an annuity which pays 1 at the beginning of each 3-month period for 12 years, assuming a rate of interest per 4-month period.

16. If

3a ⁽²⁾ _n = 2a ⁽²⁾

2n = 45s ⁽²⁾

1 , find i.

Zadania ze zbioru zadań Podgórskiej i inne

17. Renta z dołu składa się z 15 rat po 500 zł. Nominalna stopa procentowa z kapitalizacją kwartalną wynosi 12%.

Jaka jest wartość końcowa tej renty, jeśli raty są:

a) miesięczne;

b) kwartalne;

c) półroczne?

18. Odsetki kapitalizowane są co kwartał przy stopie procentowej i ⁽⁴⁾ = 0, 08. Obliczyć wartość początkową renty o 20 ratach po 100 zł płatnych:

a) na koniec kolejnych kwartałów;

b) na początku kolejnych kwartałów;

c) na koniec kolejnych kwartałów z odroczeniem o trzy kwartały;

d) na koniec kolejnych półroczy;

e) na koniec kolejnych miesięcy, przy czym odsetki za podokresy naliczane są zgodnie z zasadą:

1) oprocentowania składanego;

2) oprocentowania prostego.

19. Saldo rachunku wynosi 25 tys. zł.

a) Jeśli efektywna stopa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych kwartałów?

b) Przy jakiej minimalnej kwartalnej stopie procentowej można z rachunku pobierać w nieskończoność kwotę 800 zł na koniec kolejnych lat?

20. Po pięciu latach wpłacania co rok stałej kwoty na rachunek oprocentowany według rocznej nominalnej stopy procentowej z kapitalizacją kwartalną 4% uzbierała się kwota 6000 zł. Ile wynosiła pojedyncza wpłata, jeśli wpłaty były dokonywane:

a) na koniec roku;

b) na początku roku?

21. Rozważmy 15 kwartalnych wpłat w wysokości 1700 zł na konto bankowe oprocentowane według a) rocznej nominalnej stopy procentowej z kapitalizacją miesięczną 6%,

b) rocznej efektywnej stopy procentowej 6%.

Oblicz stan konta 31 grudnia 2017 roku, jeśli pierwsza wpłata miała miejsce 1 kwietnia 2011 roku i z tego konta

nie wypłacono w międzyczasie żadnych środków.

matematyka, I rok, I stopień lista 6

EMF

matematyka, I rok, I stopień lista 6

renty uogólnione

Zadania z podręcznika Kellisona

1. Find the accumulated value 18 years after the first payment is made of an annuity on which there are 8 payments of $2000 each made at two years intervals. The nominal rate of interest convertible semiannually is 7%. Answer to the nearest dollar.

2. Find the present value of a ten-years annuity which pays $400 at the beginning of each quarter for the first 5 years, increasing to $600 per quarter thereafter. The annual effective rate is 12%. Answer to the nearest dollar.

3. Show that the present value at time 0 of 1 payable at times 7, 11, 15, 19, 23, and 27 is a 28 − a 4

s 3 − a 1 .

4. A perpetuity of $750 payable at the end of every year and a perpetuity of $750 payable at the end of every 20 years are to be replaced by an annuity of R payable at the end of every year for 30 years. If i (2) = 0, 04, show that

R = 37500  1 s 2 + v 40

a 40

 s 2 a 60 , where all functions are evaluated at 2% interest.

5. Find the expression for the present value of an annuity-due of $600 per annum payable semiannually for 10 years if d (12) = 0, 09.

6. The present value of a perpetuity paying 1 at the end of every three years is 125 91 . Find i.

7. Find the expression for the present value of an annuity on which payments are $100 per quarter for five years, just before the first payment is made, if δ = 0, 08.

8. A perpetuity paying 1 at the beginning of each year has a present value of 20. If this perpetuity is exchange for another perpetuity paying R at the beginning of every two years, find R so that the values of the two perpetuities are equal.

9. Derive the following formulas a) 1

a

n

= 1

s

n

+ i (m) ; b) 1

¨ a

n

= 1

¨ s

n

+ d (m) . 10. Derive the following formulas

a) ¨ a (m) n = a (m) n (1 + i)

; b) ¨ s (m) n = s (m) n (1 + i)

. 11. Derive the following formulas

a) ¨ a (m) n = m 1 + a (m)

n−

; b) ¨ s (m) n = s (m)

n+

− m 1 .

12. Express ¨ a (12) n in terms a (2) n with an adjustment factor.

13. Show that

a (m) n = 1 m

m

X

t=1

v

¨ a n .

14. A sum of $10000 is used to buy a deferred perpetuity-due paying $500 every six months forever. Find an expression for the deferred period expressed as a function of d.

15. Find the expression for the present value of an annuity which pays 1 at the beginning of each 3-month period for 12 years, assuming a rate of interest per 4-month period.

16. If

3a (2) n = 2a (2)

2n = 45s (2)

1 , find i.

Zadania ze zbioru zadań Podgórskiej i inne

17. Renta z dołu składa się z 15 rat po 500 zł. Nominalna stopa procentowa z kapitalizacją kwartalną wynosi 12%.

Jaka jest wartość końcowa tej renty, jeśli raty są:

a) miesięczne;

b) kwartalne;

c) półroczne?

18. Odsetki kapitalizowane są co kwartał przy stopie procentowej i (4) = 0, 08. Obliczyć wartość początkową renty o 20 ratach po 100 zł płatnych:

a) na koniec kolejnych kwartałów;

b) na początku kolejnych kwartałów;

c) na koniec kolejnych kwartałów z odroczeniem o trzy kwartały;

d) na koniec kolejnych półroczy;

e) na koniec kolejnych miesięcy, przy czym odsetki za podokresy naliczane są zgodnie z zasadą:

1) oprocentowania składanego;

2) oprocentowania prostego.

19. Saldo rachunku wynosi 25 tys. zł.

a) Jeśli efektywna stopa wynosi 3%, jaka jest maksymalna kwota, którą można pobierać w nieskończoność z rachunku na koniec kolejnych kwartałów?

b) Przy jakiej minimalnej kwartalnej stopie procentowej można z rachunku pobierać w nieskończoność kwotę 800 zł na koniec kolejnych lat?

20. Po pięciu latach wpłacania co rok stałej kwoty na rachunek oprocentowany według rocznej nominalnej stopy procentowej z kapitalizacją kwartalną 4% uzbierała się kwota 6000 zł. Ile wynosiła pojedyncza wpłata, jeśli wpłaty były dokonywane:

a) na koniec roku;

b) na początku roku?

21. Rozważmy 15 kwartalnych wpłat w wysokości 1700 zł na konto bankowe oprocentowane według a) rocznej nominalnej stopy procentowej z kapitalizacją miesięczną 6%,

b) rocznej efektywnej stopy procentowej 6%.

Oblicz stan konta 31 grudnia 2017 roku, jeśli pierwsza wpłata miała miejsce 1 kwietnia 2011 roku i z tego konta

nie wypłacono w międzyczasie żadnych środków.

3. Show that the present value at time 0 of 1 payable at times 7, 11, 15, 19, 23, and 27 is a ₂₈ − a ₄

s ₃ − a ₁ .

4. A perpetuity of $750 payable at the end of every year and a perpetuity of $750 payable at the end of every 20 years are to be replaced by an annuity of R payable at the end of every year for 30 years. If i ⁽²⁾ = 0, 04, show that

R = 37500 1 s ₂ + v ⁴⁰

a ₄₀

s ₂ a ₆₀ , where all functions are evaluated at 2% interest.

5. Find the expression for the present value of an annuity-due of $600 per annum payable semiannually for 10 years if d ⁽¹²⁾ = 0, 09.

6. The present value of a perpetuity paying 1 at the end of every three years is ¹²⁵ ₉₁ . Find i.

9. Derive the following formulas a) ¹

= ¹

+ i ^(m) ; b) ¹

= ¹

+ d ^(m) . 10. Derive the following formulas

a) ¨ a ^(m) _n = a ^(m) _n (1 + i)

; b) ¨ s ^(m) _n = s ^(m) _n (1 + i)

a) ¨ a ^(m) _n = _m ¹ + a ^(m)

; b) ¨ s ^(m) _n = s ^(m)

− _m ¹ .

12. Express ¨ a ⁽¹²⁾ _n in terms a ⁽²⁾ _n with an adjustment factor.

a ^(m) _n = 1 m

3a ⁽²⁾ _n = 2a ⁽²⁾

2n = 45s ⁽²⁾

18. Odsetki kapitalizowane są co kwartał przy stopie procentowej i ⁽⁴⁾ = 0, 08. Obliczyć wartość początkową renty o 20 ratach po 100 zł płatnych: