Lista 3: Podprzestrze´ n
(1) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R
3? Odpowied´ z uza- sadnij.
(a) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1= 0};
(b) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R3; x
1· x
2= 0};
(c) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
26= 0};
(d) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 0};
(e) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2+ x
3= 0};
(f) W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1+ x
2= 1}.
(2) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R
3? Odpowied´ z uza- sadnij.
(a) W = {(x
1, 0, x
3) | x
1, x
3∈ R};
(b) W = {(x
1, x
2, 4) | x
1, x
2∈ R};
(c) W = {(a, b, a + 2b) | a, b ∈ R};
(d) W = {(s, s − t, t) | s, t ∈ R};
(e) W = {(x
1, x
2, x
1· x
2) | x
1, x
2∈ R};
(f) W = {(x
1,
x11
, x
3) | x
1, x
3∈ R, x
16= 0};
(3) Kt´ ory z podzbior´ ow V
1, V
2jest podprzestrzeni¸ a R
4? (a) V
1= {x ∈ R
4; x
1∈ Z},
(b) V
2= {x ∈ R
4; x
1= 0 ∨ x
2= 0}.
(4) Czy W = {(x
1, x
2, x
3) ∈ R
3; x
1= −2x
3∧ x
2∈ Q} jest podprzestrzeni¸ a R
3?
(5) Czy A, B s¸ a podprzestrzeniami przestrzeni V , gdzie:
(a) V = R
4, A = {(x, x + 1, 0, 1); x ∈ R},
(b) V = R
4, B = {(x, y, x + y, x − y}; x, y ∈ R}.
(6) Zbada´ c, kt´ ore z poni˙zszych zbior´ ow s¸ a podprzestrzeniami wek- torowymi V :
(a) {x ∈ R
2; x
21− 1 = 0}, V = R
2, (b) {x ∈ R
2; x
1− 4x
22= 0}, V = R
2,
(c) {x ∈ R
2; x
1− 2x
2= 2}, V = R
2,
(d) {x ∈ R
3; (x
1− x
2)(x
1− x
3) 6= 0}, V = R
3, (e) {x ∈ R
2; e
x1+x2= 1}, V = R
2,
(f) {p ∈ R
2[x] | p(1) = p
0(0)}, V = R[x],
(g) {p | stopie´ n wielomianu p jest r´ owny 4}, V = R[x], (h) {p | wielomian p jest funkcj¸ a parzyst¸ a}, V = R[x].
(7) Znajd´ z cz¸e´s´ c wsp´ oln¸ a podanych podprzestrzeni U i W przestrzeni wektorowej V , je˙zeli
(a) U = {(a, b, 0) | a, b ∈ R}, W = {(0, 0, c) | c ∈ R}, V = R
3; (b) U = {(0, b, c, d) | b, c, d ∈ R},
W = {(p, q, r, 0) | p, q, r ∈ R}, V = R
4;
1
2