• Nie Znaleziono Wyników

(1) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Lista 3: Podprzestrze´ n

(1) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R

3

? Odpowied´ z uza- sadnij.

(a) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

1

= 0};

(b) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R3; x

1

· x

2

= 0};

(c) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

2

6= 0};

(d) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

1

+ x

2

= 0};

(e) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

1

+ x

2

+ x

3

= 0};

(f) W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

1

+ x

2

= 1}.

(2) Czy podany zbi´ or W jest podprzestrzeni¸ a R

3

? Odpowied´ z uza- sadnij.

(a) W = {(x

1

, 0, x

3

) | x

1

, x

3

∈ R};

(b) W = {(x

1

, x

2

, 4) | x

1

, x

2

∈ R};

(c) W = {(a, b, a + 2b) | a, b ∈ R};

(d) W = {(s, s − t, t) | s, t ∈ R};

(e) W = {(x

1

, x

2

, x

1

· x

2

) | x

1

, x

2

∈ R};

(f) W = {(x

1

,

x1

1

, x

3

) | x

1

, x

3

∈ R, x

1

6= 0};

(3) Kt´ ory z podzbior´ ow V

1

, V

2

jest podprzestrzeni¸ a R

4

? (a) V

1

= {x ∈ R

4

; x

1

∈ Z},

(b) V

2

= {x ∈ R

4

; x

1

= 0 ∨ x

2

= 0}.

(4) Czy W = {(x

1

, x

2

, x

3

) ∈ R

3

; x

1

= −2x

3

∧ x

2

∈ Q} jest podprzestrzeni¸ a R

3

?

(5) Czy A, B s¸ a podprzestrzeniami przestrzeni V , gdzie:

(a) V = R

4

, A = {(x, x + 1, 0, 1); x ∈ R},

(b) V = R

4

, B = {(x, y, x + y, x − y}; x, y ∈ R}.

(6) Zbada´ c, kt´ ore z poni˙zszych zbior´ ow s¸ a podprzestrzeniami wek- torowymi V :

(a) {x ∈ R

2

; x

21

− 1 = 0}, V = R

2

, (b) {x ∈ R

2

; x

1

− 4x

22

= 0}, V = R

2

,

(c) {x ∈ R

2

; x

1

− 2x

2

= 2}, V = R

2

,

(d) {x ∈ R

3

; (x

1

− x

2

)(x

1

− x

3

) 6= 0}, V = R

3

, (e) {x ∈ R

2

; e

x1+x2

= 1}, V = R

2

,

(f) {p ∈ R

2

[x] | p(1) = p

0

(0)}, V = R[x],

(g) {p | stopie´ n wielomianu p jest r´ owny 4}, V = R[x], (h) {p | wielomian p jest funkcj¸ a parzyst¸ a}, V = R[x].

(7) Znajd´ z cz¸e´s´ c wsp´ oln¸ a podanych podprzestrzeni U i W przestrzeni wektorowej V , je˙zeli

(a) U = {(a, b, 0) | a, b ∈ R}, W = {(0, 0, c) | c ∈ R}, V = R

3

; (b) U = {(0, b, c, d) | b, c, d ∈ R},

W = {(p, q, r, 0) | p, q, r ∈ R}, V = R

4

;

1

(2)

2

(c) U = {(a, b, c, 0) | a, b, c ∈ R},

W = {(p, q, p, r) | p, q, r ∈ R}, V = R

4

;

(d) U = {(a, b, c) | c = a + b}, W = {(e, f, g) | f = 2g − e}, V = R

3

,

(8) Podaj przyk lad ilustruj¸ acy fakt, ˙ze suma mnogo´sciowa dw´ och podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V nie musi by´ c jej pod- przestrzeni¸ a.

(9) Niech U i W b¸ed¸ a podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V . Poka˙z, ˙ze zbi´ or

U + W = {v | v = u + w gdzie u ∈ U, w ∈ W } jest podprzestrzeni¸ a V . Opisz U + W , w przypadku, gdy

(a) V = R

2

, U = {(x, 0) | x ∈ R}, W = {(0, y) | y ∈ R};

(b) V = R

3

, U = {(a, 0, 0) | a ∈ R}, W = {(0, b, 0) | b ∈ R};

(c) V = R

3

, U = {(a, 0, 0) | a ∈ R}, W = {(0, b, c) | b, c ∈ R};

(d) V = R

3

, U = {(a, 0, 0) | a ∈ R}, W = {(c, d, 0) | c, d ∈ R};

(e) V = R

3

, U = {(a, b, 0) | a, b ∈ R}, W = {(0, c, d) | c, d ∈ R};

(f) V = R

4

, U = {(x, 0, x, 0) | x ∈ R}, W = {(0, 0, 0, t) | t ∈ R}.

(g) V = R[x], U = {p ∈ R[x] | p(x) = a

0

+a

2

x

2

+. . .+a

2m

x

2m

}, W = {p ∈ R[x] | p(x) = a

1

x + a

3

x

3

+ . . . + a

2m+1

x

2m+1

}.

W przypadku, gdy V = U + W odpowiedz na pytanie: czy V = U ⊕ W ?

(10) Niech V = R

3

, U

1

= {(x, y, 0) | x, y ∈ R},

U

2

= {(0, 0, z) | x, y ∈ R}, U

3

= {(0, y, y) | x, y ∈ R}.

Uzasadnij, ˙ze R

3

= U

1

+ U

2

+ U

3

. Czy R

3

= U

1

⊕ U

2

⊕ U

3

?

Cytaty

Powiązane dokumenty

Je˙zeli dziedzina ca lkowito´ sci R spe lnia ACC dla idea l´ ow g l´ ownych, to ka˙zdy element nieodwracalny jest iloczynem element´ ow nierozk ladalnych..

[r]

• Rachunek symboliczny pozwala na zastąpienie równań różniczkowych opisujących obwodu prądu sinu- soidalnie zmiennego równaniami algebraicznymi (formalnie odbywa się to

Z (??) wida´ c, ˙ze warto´sci pierwszych dw´ och wyraz´ ow ci¸ agu rekurencyjnego okre´sla wszystkie warto´sci tego ci¸ agu.. Ponadto, dane dowolne pierwsze warto´sci zawsze

TeX, algorytm sortowania, informatyzacja procesu dydaktycznego, ECTS] Streszczenie W pracy podany jest sposób wykorzystania pewnych poleceń w TeX-u w celu uzyskania możliwości

Jaka jest liczba różnych k-wymiarowych podprzestrzeni liniowych przestrzeni n-wymiarowej nad q-elementowym ciałem.. Zanim poznamy odpowiedź na to pytanie, przybliżymy pojęcia,

Udowodni´c, ˙ze je˙zeli ka˙zda niezrandomizowana niezmiennicza regu la decyzyjna ma sta le ryzyko, to klasa niezrandomizowanych niezmienniczych regu l decyzyjnych tworzy podklase..

Zakładając, że system S poddany został modyfikacji polegającej na umieszczaniu obiektów będących odpowiedzią na zadawane pytania na górze kartoteki oraz przeszukiwaniu tylko