Tablice Całek

Tablice Całek

29 grudnia 2003 roku

Spis treści

1 Wzory podstawowe 2

2 Całkowanie funkcji wielomianowych 4

3 Całkowanie funkcji wymiernych 5

4 Całkowanie funkcji niewymiernych 7

5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych 8

6 Całkowanie funkcji wykładniczych 9

7 Całkowanie przez cz¸ eści i podstawienie 10

1 Wzory podstawowe

1. ^R 0dx = C 2. ^R dx = x + C 3. ^R xdx = ¹ ₂ x ² + C

4. ^R x ⁿ dx = _n+1 ¹ x ⁿ⁺¹ + C, dla n 6= −1 5. ^{R 1} _x dx = ln |x| + C

6. ^{R f} _{f (x)}

^(x) dx = ln |f (x)| + C 7. ^R _x ¹

dx = − _x ¹ + C

8. ^R √

xdx = ² ₃ x √ x 9. ^{R √ 1} _x dx = 2 √

x + C 10. ^R √ ^f

^(x)

f (x) dx = 2 ^q f (x) + C 11. ^{R √ dx}

1−x

= arcsin x + C 12. ^R sin xdx = − cos x + C 13. ^{R 1} sinh xdx = − ² cosh x + C 14. ^R cos xdx = sin x + C

15. ^R cosh xdx = sinh x + C 16. ^R _sin ¹

x dx = − ³ cot x + C 17. ^R _sinh ¹

x dx = − ⁴ coth x + C 18. ^R _cos ¹

x dx = tan x + C 19. ^R _cosh ¹

x dx = ⁵ tanh x + C 20. ^R e ^x dx = e ^x + C

1

sinh x =

, jest to sinus hiperboliczy

2

cosh x =

, jest to cosinus hiperboliczy

3

cot x oznacza cotangens

4

cot x =

, jest to cotangens hiperboliczy

21. ^R m ^x dx = _{ln m} ^m

+ C, dla m > 0 i m 6= 1 22. ^R ln xdx = x ln x − x + C

23. ^R arctan xdx = x arctan x − ln √

x ² + 1

2 Całkowanie funkcji wielomianowych

1. ^R 0dx = C 2. ^R dx = x + C 3. ^R xdx = ¹ ₂ x ² + C

4. ^R (ax + b)dx = ^a ₂ x ² + bx + C 5. ^R x ⁿ dx = _n+1 ¹ x ⁿ⁺¹ + C, dla n 6= −1

6. ^R (ax + b) ⁿ dx = _a(n+1) ¹ (ax + b) ⁿ⁺¹ + C, dla a 6= 0 i n 6= −1 7. ^R (a _n x ⁿ + a _n−1 x ⁿ⁻¹ + ... + a ₁ x + a ₀ )dx = _n+1 ^a

x ⁿ⁺¹ + ^a

_n x ⁿ +

... + ^a ₂

x ² + a ₀ x + C

3 Całkowanie funkcji wymiernych

1. ^{R 1} _x dx = ln |x| + C 2. ^R _x ¹

dx = − _x ¹ + C 3. ^R _1+x ^dx

= arctan x + C

4. ^R _(1+x ^dx

)

= _2(n−1)(1+x ^x

)

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 ^R _(1+x ^dx

)

, dla n 6= 1 5. ^R _1+(ax+b) ^dx

= ¹ _a arctan (ax + b) + C, dla a 6= 0

6. ^R _a

^dx +x

= ¹ _a arctan ^x _a + C, dla a 6= 0 7. ^R _b+(x−a) ^dx

= ^{√ 1}

b arctan ^{x−a √}

b + C, dla b > 0 8. ^R _a

^dx −x

= _2a ¹ ln | ^a+x _a−x | + C, dla a > 0 i |x| 6= 0 9. ^R _ax+b ¹ dx = ¹ _a ln |ax + b| + C, dla a 6= 0 10. ^R _(ax+b) ¹

dx = − _a(ax+b) ¹ + C

11. ^R _(ax+b) ¹

= a(1−n)(ax+b) ¹

+ C, dla n 6= 1

12. ^{R Ax+B} _ax+b dx = ^A _a x + ^aB−Ab _a

ln |ax + b| + C, dla a 6= 0 13. ^R _ax

+bx+c ^dx = ¹

a

q

4a2

arctan ^x+

b 2a

q

4a2

+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0

14. ^R _ax

+bx+c ^dx = ^{√ 1}

∆ ln | ^x+

b−√

∆ 2a

x+

√

∆ 2a

| + C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0 15. ^R _ax

+bx+c ^dx = − _ax+ ¹

2

+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0 16. ^R _b+x ^dx

= ^{√ 1}

b arctan ^{√ x}

b + C, dla b > 0

17. ^R _ax ^Ax+B

+bx+c dx = _2a ^A ln |ax ² + bx + c| + ^2aB−Ab

a √

−∆ arctan q ^x+

−∆

4a2

+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0

18. ^R _ax ^Ax+B

+bx+c dx = _2a ^A ln |ax ² + bx + c| + ^2aB−Ab

2a √

∆ ln | ^x+

b−√

∆ 2a

x+

√

∆ 2a

| + C, dla

a 6= 0 oraz ∆ > 0

19. ^R _ax ^Ax+B

+bx+c dx = _2a ^A ln |ax ² + bx + c| + ^2aB−Ab _2a (− ¹

ax+

) + C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0

20. ^R _(ax ^Ax+B

+bx+c)

dx = _2a(1−n)(ax ^A

+bx+c)

+ ^2aB−bA

2a

(

4a2

)

R _dt

(1+t

)

, dla a 6= 0, n 6= 1, ∆ < 0 oraz t = q ^x+

−∆

4a2

21. ^{R Ax} _ax

^+Bx+C +bx+c dx = ^A _a x+ ^B−

bA a

2a ln |ax ² + bx + c|+ ^2a(C−

cA

a

)−(B−

)b a √

−∆ arctan ^x+

b 2a

q

4a2

+ C, dla a 6= 0 oraz ∆ < 0

22. ^{R Ax} _ax

^+Bx+C +bx+c dx = ^A _a x+ ^B−

bA a

2a ln |ax ² + bx + c|+ ^2a(C−

cA

a

)−(B−

)b 2a √

∆ ln | ^x+

b−

√

∆ 2a

x+

√

∆ 2a

|+

C, dla a 6= 0 oraz ∆ > 0

23. ^{R Ax} _ax

^+Bx+C +bx+c dx = ^A _a x+ ^B− _2a

ln |ax ² + bx + c|+ ^2a(C−

cA

a

)−(B−

)b

2a (− _ax+ ¹

)+

C, dla a 6= 0 oraz ∆ = 0

24. ^R (x−a)(x−b)(x−c) ^dx = _{(a−b)(a−c)} ¹ ln |x − a|+ _{(b−a)(b−c)} ¹ ln |x − b|+ _{(c−a)(c−b)} ¹ ln |x − c|+

C, dla a 6= b 6= c

25. ^R (x−a)(x−b)(x−c) ^Ax+B dx = _{(a−b)(a−c)} ^Aa+B ln |x − a| + _{(b−a)(b−c)} ^Ab+B ln |x − b| +

Ac+B

(c−a)(c−b) ln |x − c| + C, dla a 6= b 6= c

4 Całkowanie funkcji niewymiernych

1. ^R √

xdx = ² ₃ x √ x 2. ^R √

ax + bdx = _3a ² (ax + b) ^q (ax + b), dla a 6= 0 3. ^{R √ 1} _x dx = 2 √

x + C 4. ^R √ ¹

(ax+b) dx = ²

√ ax+b

a + C, dla a 6= 0 5. ^{R √ dx}

1−x

= arcsin x + C 6. ^R √ ^dx

1−(ax+b)

= _a ¹ arcsin (ax + b) + C, dla a 6= 0 7. ^{R √} _a ^dx

_−x

= arcsin ^x _a + C, dla a > 0

8. ^{R √ dx}

x

−a

= ln |x + √

x ² − a ² | + C, dla a 6= 0 9. ^{R √} _1+x ^dx

= ln (x + √

x ² + 1) + C 10. ^R √ ^dx

1+(ax+b)

= _a ¹ ln ((ax + b) + ^q (ax + b) ² + 1) + C, dla a 6= 0 11. ^{R √} _x ^dx

₋₁ = ln |x + √

x ² − 1| + C, dla |x| > 1 12. ^R √ ^dx

(ax+b)

−1 = ¹ _a ln |(ax + b) + ^q (ax + b) ² − 1| + C, dla |ax + b| > 1 i a 6= 0

13. ^{R √ dx}

x

+bx+c = ln |x + ¹ ₂ b + √

x ² + bx + c| + C, dla ⁶ ∆ < 0 14. ^{R √ dx}

ax

+bx+c = ^{√ 1} _−a arcsin

√ −ax−

2√

−a

q

−4a

+ C, dla a < 0, oraz ∆ > 0 15. ^{R √ dx}

ax

+bx+c = ^{√ 1} _a ln | √

ax + ₂ ^{√ b} _a + √

ax ² + bx + c| + C, dla a >

0 i ∆ < 0

16. ^{R √} _ax ^Ax+B

_+bx+c dx = ^A _a √

ax ² + bx + c+ ^2aB−Ab _2a ^√ _a ln | √

ax + ₂ ^{√ b} _a + √

ax ² + bx + c|+

C, dla a > 0 i ∆ < 0 17. ^{R √ Ax+B}

ax

+bx+c dx = ^A _a √

ax ² + bx + c + ^2aB−Ab _2a ^√ _−a arcsin

√ −ax−

2√

−a

q

−4a

+ C, dla a < 0, oraz ∆ > 0

6

∆ = b

− 4ac oznacza delt równania kwadratowego

5 Całkowanie funkcji trygonometrycznych

1. ^R sin xdx = − cos x + C

2. ^R sin (ax + b)dx = − ¹ _a cos (ax + b) + C, dla a 6= 0 3. ^R cos xdx = sin x + C

4. ^R cos (ax + b)dx = ¹ _a sin (ax + b) + C, dla a 6= 0 5. ^R _sin ¹

x dx = − cot x + C

6. ^R _sin

(ax+b) ¹ dx = − ¹ _a cot (ax + b) + C, dla a 6= 0 7. ^R _cos ¹

x dx = tan x + C

8. ^R _cos

(ax+b) ¹ dx = ¹ _a tan (ax + b) + C, dla a 6= 0 9. ^R sinh xdx = − cosh x + C

10. ^R sinh (ax + b)dx = − ¹ _a cosh (ax + b) + C, dla a 6= 0 11. ^R cosh xdx = sinh x + C

12. ^R cosh (ax + b)dx = ¹ _a sinh (ax + b) + C, dla a 6= 0 13. ^R _cosh ¹

x dx = tanh x + C

14. ^R _cosh

¹ (ax+b) dx = ¹ _a tanh (ax + b) + C, dla a 6= 0 15. ^R _sinh ¹

x dx = − coth x + C

16. ^R _sinh

(ax+b) ¹ dx = − ¹ _a coth (ax + b) + C, dla a 6= 0

6 Całkowanie funkcji wykładniczych

1. ^R e ^x dx = e ^x + C

2. ^R e ^ax+b dx = ¹ _a e ^ax+b + C, dla a 6= 0 3. ^R m ^x dx = _{ln m} ^m

+ C, dla m > 0 i m 6= 1

4. ^R m ^ax+b dx = ^m _{a ln m}

+ C, dla d > 0, m 6= 1 i a 6= 0

7 Całkowanie przez cz¸ eści i podstawienie

1. ^R ln (ax + b)dx = ¹ _a [(ax+b) ln (ax + b)−(ax+b)]+C, dla a 6= 0 2. ^R x ⁿ ln xdx = _n+1 ¹ x ⁿ⁺¹ ln x − _(n+1) ¹

x ⁿ⁺¹ + C

3. ^R arctan (ax + b)dx = ¹ _a [(ax+b) arctan (ax + b)−ln ^q (ax + b) ² + 1] + C