Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 2. – rozwiązania
20 października 2021
1. Niech A2= {n ∈ N∶ ∃k∈Nn = 2k} oraz A3= {n ∈ N∶ 3∣n}. Wyznacz A2∩A3. 2. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:
a) A = {{∅}, {∅, {∅}}}
b) B = {∅, N, {n+12 ∶n ∈ N}}
c) C = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
3. Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A następujące warunki są równoważne:
a) ⋃ A ⊆ A
b) dla dowolnych x, Z, jeśli x ∈ Z i Z ∈ A, to x ∈ A c) dla dowolnego Z, jeśli Z ∈ A, to Z ⊆ A
d) A ⊆ P(A)
4. Znajdź sumę i przecięcie dla każdej z następującej rodzin zbiorów:
a) A = {{∅}, {∅, {∅}}}
b) B = {∅, N, {n+12 ∶n ∈ N}}
5. Niech A = {{∅}, {N, ∅}, {{7}, R, ∅}}. Wyznaczyć ⋃ A oraz ⋃ ⋃ A i ⋂ ⋃ A.
6. Niech A, B będą niepustymi zbiorami. Udowodnij, że ⋃ ⋃(A × B) = A ∪ B.
7. Relację r, r′⊆A2nazywamy przeciwzwrotną, jeśli ∀a∈A⟨a, a⟩ ∉ r. Czy jeśli r, r′⊆A2 są przeciwzwrotne, to r ∩ r′oraz r ∪ r′też?
8. (ℷ) Relację r ⊆ N2nazwiemy skierowaną, jeśli ∀x,y,z∈N(⟨x, y⟩ ∈ r ∧ ⟨x, z⟩ ∈ r) → ∃t∈N(⟨y, t⟩ ∈ r, ⟨z, t⟩ ∈ r). Czy jeśli R jest rodziną relacji skierowanych i dla każdych r, s ∈ R zachodzi r ⊆ s lub s ⊆ r, to ⋃ R jest relacją skierowaną?
1
